专题02 圆锥曲线5考点15题型6易错（期末复习知识清单）高二数学下学期沪教版

专题02 圆锥曲线 圆锥曲线是椭圆（包括圆）、双曲线和抛物线的总称，它们都可以由平面在圆锥上截得．圆锥曲线的方程都是二元二次方程． 1．圆 （1）平面上到一定点的距离等于定长（大于零）的点的轨迹，叫做圆． （2）圆的标准方程是 ，其中 是圆心坐标， 为圆的半径． （3）圆的一般方程是 ． （4）直线与圆有三种位置关系：相交、相切与相离．判断直线与圆的位置关系除了比较圆心到直线的距离和半径的大小外，还可以通过求解联立方程组 并讨论其解的个数来解决． （5）两个圆的位置关系，可以通过比较圆心距与两圆半径的大小来判断两圆内含、内切、相交、外切与外离；也可以通过联立方程组 并讨论其解的个数来判断两圆相离、相切与相交． 2．椭圆 （1）平面上到两个定点 的距离之和等于常数 的点的轨迹对称轴椭圆． （2）椭圆的焦点在 轴上时，其标准方程是 ；椭圆的焦点在 轴上时，其标准方程是 ． （3）椭圆有两条对称轴，椭圆的扁平程度取决于其离心率 ，其中 . 3．双曲线 （1）平面上到两个定点 的距离之差的绝对值等于常数 的点的轨迹叫做双曲线。 （2）双曲线的焦点在 轴上时，其标准方程是 ；双曲线的焦点在 轴上时，其标准方程是 ． （3）双曲线 有两条对称轴，其离心率 ，其中 ，并有两条渐近线 ． 4．抛物线 （1）平面上到一个定点 和到一条定直线 不在 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 （2）顶点在坐标原点的抛物线，焦点在 轴的正、负半轴时，其标准方程分别为 ；焦点在 轴的正、负半轴时，其标准方程分别为 ． （3）抛物线有且只有一条对称轴，离心率 ． ＊5．曲线与方程 （1）曲线 的方程 满足下列两个条件： ①曲线 上的点的坐标都是方程 的解； ②以方程 的解为坐标的点都是曲线 上的点． （2）平面上的曲线也可以用参数方程 来表示，其中 在一定范围内变动．如能消去参数 ，可以转化为普通方程． （3）与平面直角坐标系一样，极坐标系也可以确定平面上点的位置，建立平面曲线的极坐标方程 ，其中 是极径， 为极角． 一、由圆心（或半径）求圆的方程 【例1】（22-23高二下·上海崇明·期末）已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是______. 【答案】 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据条件求出圆心坐标及圆的半径即可. 【详解】、,的中点坐标为，即为圆心坐标， 又圆的半径为 则所求圆的方程为. 故答案为：. 【变式1】（21-22高二下·上海长宁·期末）圆关于直线对称的圆的方程为______． 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】先求圆心关于直线的对称点，半径不变，可得圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆心关于直线对称的点为， 所以所求圆的方程为. 故答案为：. 【变式2】（22-23高二下·上海静安·期末）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.    (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程； (2)求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到） 【答案】(1)建系见解析，圆拱方程为，. (2)桥面在圆拱内部分的长度约为367.4m 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦、直线与圆的实际应用 【分析】 （1）先找到合适的垂直关系建立平面直角坐标系，再根据圆的几何关系列出方程求解半径并写出方程即可； （2）根据圆的方程，代入纵坐标求解横坐标即可. 【详解】（1）设圆拱所在圆的圆心为，以为原点，方向为轴正方向， 中垂线向上为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.    设与轴交于点，与轴交于点，连接 设圆的半径为， 则，，， 在直角中，， 所以，解得， 所以， 所以圆拱方程为，. （2）由题意得，， 令，得， 所以， 所以，所以. 所以桥面在圆拱内部分的长度约为367.4m 二、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【例2】（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则圆心的坐标是________． 【答案】 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将方程配成标准式，即可得到圆心坐标. 【详解】圆的方程是，即， 所以圆心的坐标为. 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·上海·期末）设实数，圆的面积为，则________． 【答案】 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将一般方程化成标准方程后可得圆的半径，结合已知面积可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为， 故，故（负解舍去）， 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则这个圆的半径是____________. 【答案】3 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】化圆的方程为标准形式，进而求出圆半径. 【详解】圆的方程化为：， 所以圆的半径为3. 故答案为：3 三、由圆的一般方程确定圆心和半径 【例3】（24-25高二下·上海·期末）圆的半径为__________． 【答案】 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据给定条件，把圆的方程化成标准方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为， ∴圆的半径为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海·期末）已知，圆的面积为，则______. 【答案】 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】已知圆的方程为 ， 可得， 此为标准形式，圆心为 ，半径平方为 ， 由 得：， 解方程：. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）已知圆，则圆的圆心坐标为__________. 【答案】 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】应用圆的一般方程圆心坐标公式计算求解. 【详解】由圆，则圆的圆心坐标为. 故答案为：. 【变式3】（22-23高二下·上海浦东新·期末）圆的圆心到直线的距离是______． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据圆的方程和点到直线的距离公式求解即可. 【详解】， 即：， 故圆心为： 所以圆心到直线的距离：. 故答案为： 四、判断直线与圆的位置关系 【例4】（23-24高二下·上海·期末）已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 【答案】B 【知识点】判断直线与圆的位置关系、由斜率判断两条直线平行 【分析】先计算出直线的斜率，由，可得出直线的斜率，再由点斜式可得出直线的方程，由点在圆内得出，据此可判断直线、是平行关系，再利用点到直线的距离可计算出圆心到直线的距离，并与作大小比较，即可得出直线与圆的位置关系． 【详解】如图：    直线的斜率为，由垂径定理可知，，所以，直线的方程为，即， 由于点是圆内一点，则， 又直线的方程为：， 所以，. 圆心到直线的距离为，因此，直线与圆相离. 故选：B 【变式1】（24-25高二下·上海·月考）设直线的方程为，圆的方程为，且直线与圆相交，令集合，设全集，集合为集合的补集，给出以下两个说法，下列选项中正确的是（    ） ①存在点使得表示一条直线 ②对于任意点，都存在圆，使得点在圆的内部，且对于圆上任意一点都有 A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【知识点】判断命题的真假、判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据直线与圆的位置，分别检验两个命题，直观想象，可得答案. 【详解】当圆与直线相交时，设其交点为，易知方程组的解为点的坐标， 由，此时过两点的所有圆， 由题意，得表示直线上除以外的所有点， 对于①，当为时，表示直线，故①正确； 对于②，当为或时，若包含的圆足够大时，该圆上的点不一定在上， 即圆上任意点不一定成立，故②错误. 故选：B. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)弦长为；直线方程为 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）由两直线垂直求出斜率，再由点斜式求出直线方程可得； （2）将直线方程整理为关于的方程，再解方程组可得顶点；由定点在圆内可证明； （3）弦长最短时利用斜率关系求出斜率，点斜式得到直线方程，再由几何法求弦长可得. 【详解】（1）由题意可得圆心， 由点在圆上，所以设切线斜率为， 则， 所以直线方程为，即. （2）变形为， 令，解得， 所以直线l恒经过点， 因为，所以点在圆内部， 所以直线l与圆C恒相交. （3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直， 设弦的斜率为，则， 弦方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 五、过圆上一点的圆的切线方程 【例5】（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为________． 【答案】 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】先求得半径，然后根据点斜式求得切线方程. 【详解】由于点在圆上， 所以，所以圆， 所以圆心，， 所以过点M的圆C的切线的斜率为， 所以过点M的圆C的切线方程为， 化简得. 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·上海·月考）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为_____. 【答案】 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程. 【详解】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二下·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为______． 【答案】 【知识点】已知直线垂直求参数、由标准方程确定圆心和半径、判断点与圆的位置关系、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】根据题意可知点在圆上，根据垂直关系可得切线方程的斜率，即可得切线方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆上， 又因为，可知切线方程的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海·阶段检测）圆的过点的切线的一般式方程为_________. 【答案】 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】由点在圆上，所以过点的切线和(圆心) 垂直，求出斜率，用点斜式求出方程. 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径， 点在圆上,则， 则切线的斜率， 则切线的方程为,变形可得; 故答案为: 六、过圆外一点的圆的切线方程 【例6】（23-24高二下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、用定义求向量的数量积 【分析】先设出，利用求出在以原点为圆心，半径为2的圆上，数形结合转化为且只需原点到直线的距离小于半径2即可，用点到距离公式列出不等式，求出的取值范围可得答案. 【详解】设，连接，设， 则，，所以， 又， 所以， 令，则有，解得：或， 因为在单位圆外，所以舍去， 即在以原点为圆心，半径为2的圆上， 因为曲线上存在四个点， 即与圆有4个交点，且过点， 结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可， 所以，解得：或（舍去）.， 所以、、都符合. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：数形结合的思想对于求解函数零点或交点个数问题经常使用，要能抓住一些不变量，比如本题中的直线方程过定点. 【变式1】（22-23高二下·上海闵行·月考）解答下列问题． (1)求经过点且与相切的直线的方程； (2)求经过点且与圆相切的直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】（1）分析可知点在圆上，根据切线性质运算求解； （2）分析可知点在圆外，分类讨论斜率是否存在，结合切线性质运算求解. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，即点在圆上， 且，可知切线的斜率， 所以切线的方程为，即.    （2）由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，即点在圆外， 当直线斜率不存在时，则直线方程为， 此时圆心到直线的距离， 即直线与圆相切，符合题意； 当直线斜率存在时，设为， 则直线方程为，即， 可得，解答， 所以直线方程为； 综上所述：切线方程为或.    【变式2】（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B． (1)若P点坐标为，求 (2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）利用特殊角的三角函数和对称性即可得到答案； （2）设，计算出中点坐标，写出圆的方程，整理，利用方程恒成立得到方程组，解出即可. 【详解】（1）因为点坐标为，所以， 又因为，所以,故. （2）设的中点，因为为圆的切线， 所以经过三点的圆是以为圆心，为半径的圆， 故其方程为 化简得， 由，解得（舍）或 所以经过三点的圆经过异于点的定点.    【变式3】（21-22高二下·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离是到点的距离的倍． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若，求过点且与曲线相切的直线的方程． 【答案】(1) (2)或. 【知识点】轨迹问题——圆、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）设，根据已知条件列方程，化简求得曲线的轨迹方程； （2）设出直线的方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程，求得直线的斜率，进而求得直线的方程. 【详解】（1）设，由题意得，两边平方并整理得， 故曲线的轨迹方程为； （2）曲线：是以为圆心，半径为的圆. 显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 即，所以，解得， 所以直线的方程为或， 即或. 七、由圆的位置关系确定参数或范围 【例7】（22-23高二下·上海闵行·期末）已知圆和圆内切，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】把两圆化为标准方程，得到圆心坐标和半径，由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，列方程解实数的值. 【详解】圆化为标准方程为，圆心，半径， 圆化为标准方程为，圆心，半径， 由两圆外切，有，即，解得. 故答案为： 【变式1】（21-22高二下·上海松江·期末）已知圆与圆相交于，两点，且满足，则_________. 【答案】 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】求得两个圆的圆心和半径，根据两圆相交弦的性质列方程来求得的值. 【详解】圆的圆心为， 半径. 圆，即， 所以圆心为，半径. 由于，所以，是坐标原点. 即两圆公共弦的垂直平分线过， 根据两圆相交弦的性质可知，公共弦的垂直平分线， 所以，所以，解得. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海宝山·月考）如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线被圆、圆、圆所截得弦长均等于，求出的值. 【答案】(1)、 (2) 【知识点】圆的弦长与中点弦、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）设圆心，其中，根据圆与圆的位置关系可得出，可求出的值，即可得出点的坐标，同理可得出点的坐标； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用几何法求出直线截三个圆所得的弦长，可得出关于的方程，解出的值，即可求出的值. 【详解】（1）圆的半径为，设圆心，其中， 由于圆和圆外切，且圆的半径为，则，解得， 即点，同理可得点. （2）若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时，直线与圆、圆都相离，不合乎题意， 设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为， 且圆、圆的半径均为，所以，直线截圆、圆的弦长为， 圆心到直线的距离为，则直线截圆的弦长为， 由题意可得，解得， 所以，.    八、根据方程表示椭圆求参数的范围 【例8】（24-25高二下·上海松江·阶段检测）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】由方程表示焦点在y轴上的椭圆得解出即可求解. 【详解】由题意有， 所以“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的必要非充分条件， 故选：B. 【变式1】（24-25高二下·上海松江·期末）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是__________ 【答案】 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可 【详解】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆 则有： 解得： 故答案为：. 【变式2】（22-23高二下·上海金山·期末）已知P：，Q：表示椭圆，则P是Q的______条件． 【答案】必要不充分 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】先求出方程表示椭圆时的范围，再利用充分条件与必要条件的定义判定即可． 【详解】若方程表示椭圆， 则且， 且， 是方程表示椭圆的必要不充分条件， 即P是Q的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分． 九、根据椭圆方程求a、 b、 C 【例9】（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 【答案】D 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据椭圆方程求a、b、c、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据方程可得，结合椭圆的定义运算求解. 【详解】由题意可知：， 则， 所以的周长为. 故选：D. 【变式1】（2024高二下·上海·专题练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且满足，则______． 【答案】18 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义得到，由，得到，结合，即可求解． 【详解】如图：    由题意，椭圆，可得，，则， 根据椭圆的定义，可得. 又由，可得，所以. 因为， 即，解得． 故答案为：18 【变式2】（23-24高二下·上海·期末）如图，已知点为椭圆在第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点和上顶点分别作与轴和轴的平行线交于，过引、的平行线交于，交于，交于、，矩形的面积是，三角形的面积是，则________    【答案】1 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】设，用表示矩形的面积和的面积，可得. 【详解】如图：    设，则. 因为，，所以，， 所以. 又直线的方程为：，所以，， 所以. 因为，所以. 所以. 故答案为：1 十、根据a、b、c求椭圆标准方程 【例10】（2024高二下·上海·专题练习）长轴的长是4，焦距是2，中心在原点的椭圆的标准方程是________ 【答案】或． 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据长轴长求出，根据焦距求出，再根据椭圆的定义求出，即可写出椭圆的标准方程． 【详解】因为长轴的长是，，焦距是，解得， 所以， 所以当焦点在轴上时，椭圆的标准方程是； 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程是． 故答案为：或． 【变式1】（22-23高二下·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是______. 【答案】 【知识点】利用椭圆定义求方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】依题意可得点为以点、为焦点的椭圆，即可求出、、，从而得到椭圆方程. 【详解】因为点到点、的距离之和为， 即，所以点的轨迹为以点、为焦点的椭圆， 且，，所以，所以椭圆方程为. 故答案为： 【变式2】（23-24高二下·上海青浦·期末）2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与． (1)写出图中“果圆”的方程； (2)直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求直线与椭圆的交点坐标、根据a、b、c求椭圆标准方程、求直线与圆交点的坐标、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）由焦点坐标和短轴的两个顶点坐标可得半个椭圆的方程，由圆弧经过的焦点坐标和短轴的两个顶点坐标，可求出圆弧方程，可得图中“果圆”的方程； （2）通过联立方程组求出A、B两点坐标，可求弦AB的长度. 【详解】（1）因为椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与. 可得，即， 所以半个椭圆的方程为； 圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与， 设圆弧方程为， 利用，解得，所以， 得. 所以果圆方程为，. （2）由，解得，得， 由，解得，得， 所以. 【变式3】（23-24高二下·上海静安·期末）如图的实线部分是江南某公园内的一个月亮门的正面外部轮廓，它由三部分构成：①水平地平线；②位于地平线与离地高的水平线之间的是长半轴长为的同一个椭圆的左、右两侧的一部分；③水平线以上是半径为的半圆． (1)请建立适当的平面直角坐标系，并用曲线方程将此月亮门的轮廓刻画与表达出来； (2)某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门，包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小，若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形，搬运过程中要求包装箱保持水平状态（横截面与地面垂直，且有一边保持水平），为方便搬运，你会提前告诉货运公司哪些信息？为什么？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）建立平面直角坐标系后利用圆和椭圆的方程求解即可. （2）依据题意得到方程，求出截面边长最值即可. 【详解】（1）【小问1详解】 如图，以矩形ABCD 的对称中心为原点建立平面直角坐标系 则半圆的方程为设椭圆的标准方程为： 则由已知，有， 得出所以，椭圆部分的方程为： 水平线AB的方程为： （2）提前告诉搬运公司：正方形截面的边长的最大值为3.2米； 三角形截面的边长的最大值为米. 若为正方形截面，设正方形边长为，如图所示放置时正方形截面的边长的最大值 则点在圆上,即，解得 所以正方形截面的边长的最大值为3.2米； 若为等边三角形截面，如图放置： 解法一：因为直线倾斜角为， 所以直线的斜率为，且直线过定点，故直线的方程为， 联立整理得： 解得和 (舍). 所以三角形截面的边长的最大值为米 解法二： 设正三角形边长为 ,则点 在椭圆 上， 由 得 ， 即，解得和(舍) 所以三角形截面的边长的最大值为米. 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是合理设出边长，然后表列出方程求解边长最值，计算得到所要求的数值即可． 十一、椭圆定义及辨析 【例11】（21-22高二下·上海闵行·期末）若是椭圆上动点，则到该椭圆两焦点距离之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆定义直接求解即可. 【详解】由椭圆方程得：，根据椭圆定义可知：到椭圆两焦点的距离之和为. 故选：B. 【变式1】（21-22高二下·上海普陀·期末）已知､是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则______. 【答案】3 【知识点】向量加法的法则、数量积的运算律、椭圆定义及辨析 【分析】利用向量的数量积运算可得，利用，进一步利用椭圆的定义可转化为，进而得解. 【详解】解：连接,设椭圆的半焦距为，半虚轴为， , . 故答案为：3. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是__________. 【答案】8 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆中的最值问题 【分析】设椭圆右焦点为，连接，.根据三角形三边关系可得，当且仅当，，三点共线时等号成立.故周长.根据椭圆的定义及椭圆的标准方程，即可求解周长最大值为. 【详解】    如图所示，设椭圆右焦点为，直线交轴于点，连接，. 则根据三角形三边关系可得，当且仅当，，三点共线时等号成立，即点与点重合. ∴周长. 根据椭圆的定义及椭圆的标准方程可知：， ∴，即周长最大值为. 故答案为：. 十二、求椭圆的焦点、焦距 【例12】（24-25高二下·上海崇明·期末）椭圆的两个焦点之间的距离为_______． 【答案】2 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】确定椭圆焦点坐标，即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：， 所以， 则焦点坐标为， 所以两个焦点之间的距离为2， 故答案为：2 【变式1】（23-24高二下·上海奉贤·期末）如图，曲线的上，下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于M、N两点，动点P、Q分别在直线MN与椭圆上. (1)写出椭圆的长轴长，顶点坐标和对称性； (2)求线段MN的长； (3)若线段PQ的中点在轴上，且直线PQ的斜率为4，求P点坐标. 【答案】(1)长轴长是4，顶点坐标，，关于原点中心对称，关于轴，轴轴对称 (2)3 (3)或 【知识点】求椭圆中的弦长、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的焦点、焦距 【分析】（1）由曲线方程可求得，可求长轴长与顶点坐标，进而可得对称性； （2）依题意可求，可求得，进而计算可求线段MN的长； （3）由题意可得，计算可得，由已知可得，进而可求P点坐标. 【详解】（1）由曲线，曲线，所以， 长轴长是4，顶点坐标， 对称性：关于原点中心对称，关于轴，轴轴对称. （2）依题意得：，所以，由轴，得：， 代入椭圆方程得：， 所以线段MN的长为3. （3）显然，线段PQ的中点在轴上，则， 有，. 所以，， 或者， 或 【变式2】（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，已知椭圆的方程为，点、分别是椭圆的左、右顶点，点的坐标是，过点的动直线交椭圆于点、（点的横坐标小于点的横坐标）． (1)求椭圆焦点的坐标； (2)是否存在常数，使为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当设直线的斜率不为时，设直线与交于点．请提出一个与点有关的问题，并求解该问题． （备注：本小题将根据提出问题的质量及其解答情况进行分层计分．） 【答案】(1)和 (2)存在， (3)答案见解析 【知识点】椭圆中的定值问题、椭圆中的定直线、求椭圆的焦点、焦距 【分析】（1）根据椭圆方程求出，即可得到焦点坐标； （2）①当直线斜率不为时，设直线的方程为：，、，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，利用数量积运算求解；②当直线斜率为，直接求出点的坐标，再计算数量积，即可得解； （3）首先得到、的方程，联立消去，求出，即可得到点在直线上. 【详解】（1）椭圆的方程为，则，，所以， 则椭圆的焦点坐标为和. （2）①l必存在斜率，当直线斜率不为时，设直线的方程为：，、， 联立并化简得：， ∴，解得，∴，， 又，，，， ∴， ， 若使为定值， 只需，即，其定值为， ②当直线斜率为，直线的方程为，则有、， 又，，，， ∴，当时，也为定值， 综上，存在一个常数，使为定值. （3）问题：S是否在一条定直线上？ 点在定直线上，理由如下： 由（2）可知，，， 当直线的斜率不为时，，， 则直线的方程为， 直线的方程为， 则， 所以 ， 所以， 所以点的轨迹方程为，即点在定直线上. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 十三、求椭圆的长轴、短轴 【例13】（22-23高二下·上海·期末）年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（    ）个.    ①椭圆的长轴长为 ②线段长度的取值范围是 ③的面积最小值是 ④的周长恒为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆的长轴、短轴 【分析】由题设椭圆中可得，又、判断①②；令得，特殊值判断③；利用椭圆定义求焦点三角形周长判断④. 【详解】由题意，椭圆中几何量，所以，则， 故①正确； 因为，由椭圆性质可知， 所以，故②正确； 设，则 ，取， 则，故③错误； 由椭圆定义知，， 所以的周长，故④正确，故答案为①②④. 故选：C.    【点睛】关键点睛：本题③的关键点在于设，由表示出，结合三角函数的性质即可得出答案. 【变式1】（24-25高二下·上海·期末）椭圆的短轴的长是__________. 【答案】6 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【分析】方程化为椭圆的标准方程，即可得出，求解即可. 【详解】由可得， 所以，即，， 所以椭圆的短轴的长为， 故答案为：6 【变式2】（23-24高二下·上海松江·期末）椭圆具有对称美，受到设计师的青睐．现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”.已知“斜椭圆”的方程为，则“斜椭圆”的离心率为_________．    【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的长轴、短轴、基本（均值）不等式的应用 【分析】由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值，然后根据已知方程结合基本不等式可求出的最大值和最小值，从而可求出长半轴长和短半轴长，进而可求出离心率. 【详解】设“斜椭圆”的中心为坐标原点， 由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值， 短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值，    由基本不等式，可得， 所以，解得， 当且仅当时成立， 当且仅当时，成立， 所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为， 所以椭圆离心率为. 故答案为： 十四、根据双曲线的渐近线求标准方程 【例14】（24-25高二下·上海黄浦·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，且C的实轴长为4，则C的方程为________． 【答案】 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据给定条件，结合双曲线渐近线方程求出即可. 【详解】由双曲线C：的实轴长为4，得， 双曲线C：的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线方程为， 则，解得，所以C的方程为. 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·上海静安·期末）已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为______，离心率______． 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据渐近线可设双曲线的标准方程为，代入即可得方程；结合方程分析可知，进而可求离心率. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 设双曲线的标准方程为， 代入，可得， 所以双曲线的标准方程为，可得； 可知双曲线的焦点在x轴上，且， 所以离心率. 故答案为：；. 【变式2】（22-23高二下·上海青浦·期末）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则__________． 【答案】 【知识点】由两条直线平行求方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据双曲线的渐近线为求解即可. 【详解】双曲线的渐近线为， 又因为双曲线的一条渐近线与直线平行， 所以. 故答案为：. 十五、根据离心率求双曲线的标准方程 【例15】（22-23高二下·上海浦东新·月考）已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为__________. 【答案】 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线的实轴、虚轴、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】由离心率求出，再由求出可得双曲线方程． 【详解】由已知可得 ,即得,所以双曲线方程为:. 故答案为: . 【变式1】（24-25高二下·上海松江·期末）如图，已知椭圆的离心率为，该椭圆的左右焦点 恰好是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是 和. (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别是，求证: ； (3)是否存在常数，使得 恒成立？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中的弦长、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设椭圆的焦距为，根据题意，得到，由离心率，得到，进而求得椭圆的方程； （2）设点，可得，结合，即可求解； （3）设直线的方程为，则直线方程为 ，联立方程组，结合弦长公式，求得和，根据题目条件得，即可证得结论. 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 因为椭圆焦点恰好是双曲线的左右顶点， 所以 ，故， 因为离心率，所以， 因为，所以 ，所以椭圆的方程是 . （2）设点，则 ， 因为点在双曲线上，所以，可得， 所以. （3）由 (2) 知 ， 设直线的方程为，则直线方程为 ， 联立方程组 ，整理得， 记，则， 所以 ，同理可得， 所以 ， 即 ， 所以存在，使成立. 【变式2】（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【知识点】双曲线中的定值问题、双曲线中存在定点满足某条件问题、根据离心率求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； （3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 十六、抛物线定义的理解 【例16】（24-25高二下·上海闵行·期末）抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以的最小值也即是到准线的距离的最小值， 当与原点重合时，到准线的距离最小为， 也即是的最小值为. 故选：A 【变式1】（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知抛物线 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为________． 【答案】. 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】根据抛物线的方程求出准线，再由抛物线定义求解即可. 【详解】抛物线方程，则焦点坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，点P到准线的距离为5， 所以，解得：，代入， 则 所以点P到x轴的距离为． 故答案为：. 【变式2】（23-24高二下·上海宝山·期末）抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为__________. 【答案】 【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线定义的理解 【分析】由题意结合抛物线的定义求出，设点关于直线对称点为，则，从而可求出的最小值. 【详解】由，得，所以，准线为， 不妨设点在第一象限，过作于，则，得， 则，得，所以， 设点关于直线对称点为，则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 十七、根据抛物线方程求焦点或准线 【例17】（22-23高二下·上海浦东新·期末）抛物线的准线方程_________． 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】利用抛物线的标准方程即可求解. 【详解】由抛物线标准方程可得：准线方程为， 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则________． 【答案】4 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由抛物线方程可得顶点坐标与焦点坐标，建立方程，可得答案. 【详解】由抛物线，则其顶点为，焦点，由题意可得，解得. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，若过点，则的标准方程为______. 【答案】 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据焦点坐标和双曲线上的点可构造方程组求得结果. 【详解】的焦点，； 又双曲线过点，； 由得：或（舍），的标准方程为：. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线是以直线为渐近线，且经过抛物线的焦点，则该双曲线的标准方程是_____. 【答案】 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】先根据题意判断双曲线的焦点位置；再设出双曲线的方程，根据双曲线经过的点及渐近线列出方程组求解，从而可得出双曲线的方程. 【详解】抛物线的焦点为：. 因为双曲线经过点， 所以该双曲线的焦点在轴上，设该双曲线方程为：. 又因为双曲线是以直线为渐近线， 所以，解得：. 所以该双曲线方程为：. 故答案为：. 十八、根据抛物线上的点求标准方程 【例18】（24-25高二下·上海普陀·期末）顶点在坐标原点，以轴为对称轴的抛物线过点则它的方程是_____. 【答案】 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程 【分析】设抛物线为，结合点在抛物线上求方程即可. 【详解】由题意，设抛物线为， ， ， 综上：抛物线方程为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二下·上海松江·期末）已知点为抛物线上一点，点P到的准线的距离为5. (1)求抛物线的标准方程； (2)过原点的一条直线与圆相切，交抛物线于另一点，且，求圆的方程； (3)设为的焦点，，为上两点，，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据抛物线上的点求标准方程、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）根据抛物线定义计算求参得出抛物线方程； （2）直线和圆的位置关系转化为点到直线距离为半径即可计算； （3）联立方程组结合韦达定理计算求参数范围，再应用面积公式求最值即可. 【详解】（1）由题可知，解得.所以的标准方程为 （2）设，则， 由对称性，不妨取，则， 直线方程为，即，由圆的圆心到的距离为， 得，解得， 故圆的方程为. （3）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得，，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或， 所以当时，的面积. 【变式2】（22-23高二下·上海浦东新·期末）（1）抛物线的焦点在轴上且抛物线过点，求抛物线的标准方程； （2）双曲线中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，又双曲线的实轴长为4，且一条渐近线为，求双曲线的标准方程. 【答案】（1）；（2）或. 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）根据点所在的象限设抛物线方程，代入点求得解； （2）根据渐近线方程设出双曲线方程，根据实轴长分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为点在第三象限，且抛物线的焦点在轴上， 设所求抛物线方程为，点代入，可得， 故所求抛物线的标准方程为. （2）因为一条渐近线为，所以设双曲线方程为， 当时，双曲线为，此时实轴长为，所以， 所以双曲线方程为， 当时，双曲线为，此时实轴长为，所以， 所以双曲线方程为， 故所求双曲线方程为或. 十九、求平面轨迹方程 【例19】（21-22高二下·上海浦东新·期末）定义点到曲线的距离为该点到这个曲线上任意点的距离的最小值.已知曲线C：，那么平面内到曲线C的距离与到坐标原点O的距离相等的点的轨迹是（    ） A．双曲线一支 B．一个椭圆 C．一条线段 D．一条射线 【答案】D 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】曲线C的方程为，设所求动点为，根据到曲线C的距离与到坐标原点O的距离相等可得答案. 【详解】曲线C的方程为，设所求动点为， 因为到曲线C的距离与到坐标原点O的距离相等， 所以，整理得， 因为点到曲线的距离为该点到这个曲线上任意点的距离的最小值， 所以点的轨迹方程是. 故答案为：D. 【变式1】（21-22高二下·上海虹口·期末）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的离心率与抛物线的方程； (2)过焦点的动直线与抛物线交于，两点，从原点作直线的垂线，垂足为，求动点的轨迹方程； (3)点为椭圆上的点，设直线与平行，且直线与椭圆交于，两点，若的面积为1，求直线的方程． 【答案】(1)离心率为；抛物线的方程为 (2) (3) 【知识点】求平面轨迹方程、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）由椭圆的标准方程直接求出离心率；由椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，求出，得到抛物线的方程； （2）设动点的坐标为，利用直接法求出动点的轨迹方程； （3）设直线方程为，，．利用“设而不求法”表示出，即可求得. 【详解】（1）因，，故，从而椭圆的离心率为．           且椭圆的右焦点坐标为． 于是由椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，得，即． 从而抛物线的方程为． （2）设动点的坐标为，由条件，且点，在直线上，可得． 于是．           即． 故动点的轨迹方程为：． （3）由于，设直线方程为，，． 由得，故． 则．           又点到直线的距离，故由 ， 解得，从而．因此，直线的方程为． 【变式2】（21-22高二下·上海浦东新·期末）已知反比例函数的图象C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线． (1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标； (2)设为双曲线C的两个顶点，点是双曲线C上不同的两个动点．求直线与交点的轨迹E的方程； (3)设直线l过点，且与双曲线C交于A、B两点，与x轴交于点Q．当，且时，求点Q的坐标． 【答案】(1)顶点：、；焦点：、； (2) (3) 【知识点】求平面轨迹方程、等轴双曲线、求双曲线的焦点坐标、双曲线向量共线比例问题 【分析】（1）先得到双曲线的顶点和焦点均在直线上，联立与得，即可求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标； （2）求出直线与方程，两式相乘，将代入，即可求直线与交点的轨迹E的方程； （3）将代入，得，利用韦达定理，结合，且，求出k的值，即可求点Q的坐标． 【详解】（1）由题意得，双曲线的顶点和焦点均在直线上， 联立与得，，解得， 当时，，当时，，故顶点坐标为、， 设焦点横坐标为，因为双曲线为等轴双曲线，故， 故焦点坐标为、； （2），， 两式相乘，得． 将代入上式，得，即． 即直线与交点的轨迹E的方程为． （3）将代入，得， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，求解过程中要注意一些轨迹问题中包含隐含条件，也就是曲线上的点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标. 一、由直线与圆的位置关系求参数 【例1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据条件得到曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求解. 【详解】由，得到， 所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图， 当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，由，解得或（舍）， 由图可知，实数的取值范围是， 故选：C. 【变式1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）已知圆 (1)若直线，，，经过圆心，求的最大值． (2)若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程． 【答案】(1) (2)或. 【知识点】基本不等式求积的最大值、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）由圆的方程确定圆心坐标和半径，根据条件可得，结合基本不等式求的最大值； （2）先验证过点斜率不存在直线满足条件，再由直线与圆有且只有一个交点结合几何关系列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径， 因为直线经过圆心， 所以，又，， ，当且仅当时等号成立， 即， 所以的最大值为； （2）过点斜率不存在的直线为， 联立，可得， 所以直线与圆有且只有一个交点，满足条件， 过点的斜率为的直线方程为， 若直线与圆有且只有一个交点， 则点到直线距离为， 所以，化简可得， 解得，即直线方程为， 所以若直线过点且与圆有且仅有一个公共点， 则该直线方程为或. 【变式3】（24-25高二下·上海崇明·期末）已知圆，直线． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 【答案】(1)； (2). 【知识点】数量积的坐标表示、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】（1）将圆的一般方程整理成标准方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，即可得解； （2）联立直线方程和圆的方程，根据韦达定理结合向量数量积的坐标运算可得，即可得解. 【详解】（1）由圆的一般方程可得标准方程，则，即. 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，所以，解得，满足. 所以，. （2）由题意，联立可得， 设， 则，解得， 根据韦达定理可得， 则， 所以，满足. 所以，圆的半径满足，故. 【变式4】（23-24高二下·上海长宁·期末）（1）已知直线方程： ，：，求出实数m分别取何值时，与分别：相交、平行、垂直； （2）已知曲线C的方程为，求过点且与曲线C相切的直线方程. 【答案】（1）相交且，平行，垂直；（2）或 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）先分别求出平行、重合以及垂直时的值，然后再利用直线的位置关系以及补集的概念即可求得相交时的范围； （2）分所求直线斜率是否存在进行讨论，由圆心到直线的距离等于半径即可列式求解. 【详解】（1）若与平行，则，解得或， 当时，与平行，故满足假设， 当时，与重合，故不满足假设， 所以当且仅当时，与平行， 若与垂直，则当且仅当，解得， 而如果与不平行，也不重合时，那么与相交， 换言之若与相交，则当且仅当且； （2）圆的圆心，半径分别是； 过点且斜率不存在的直线为，圆心到直线的距离等于半径1，故满足题意； 过点且斜率为的直线为，若它与题设圆相切， 则有，解得，此时所求直线为，即； 综上所述，所求直线为或. 【变式5】（23-24高二下·上海闵行·期末）设直线为公海与领海的分界线，一巡逻艇在处发现了北偏东的海面处有一艘走私船，此走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，与相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜.在如图所示的平面直角坐标系中，试问：    (1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，且走私船和巡逻船相距6海里，那么走私船能被截获的点是哪些？ (2)设，要保证巡逻艇在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不相交），相距最远是多少海里？ 【答案】(1)走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、4为半径的圆. (2)15海里. 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆的一般方程与标准方程之间的互化、轨迹问题——圆 【分析】（1）设，根据得到方程，化简即可得到轨迹； （2）设，根据化简得到轨迹，；利用在圆的内部，得到不等式，转化为直线与圆的位置关系从而得到不等式，解出即可. 【详解】（1）由题意得，设走私船能被截获的点为， 则，则， 化简得. 因此，走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、4为半径的圆. （2）设走私船能被截获的点为，则， 由，整理得， 走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，记为圆. 当在圆的内部，则， 可变形为，即， 因此巡逻庭不能在圆内部截获走私船. 分要保证巡逻艇在领海内捕获走私船， 圆内部区域与直线不相交， 则圆心到直线的距离， 所以，相距最远是15海里. 二、圆的弦长与中点弦 【例2】（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知直线与圆相交于、两点，则________. 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦 【分析】利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离， 所以. 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·上海虹口·期末）直线被圆所截得的弦长为_________. 【答案】2 【知识点】圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离 【分析】根据圆的弦长的几何法求解. 【详解】根据题意，圆的圆心，， 则圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为：2 【变式2】（22-23高二下·上海松江·期末）直线l经过点，且与曲线相交于A，B两点，，则面积最大时，直线l的一般式方程是______. 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】先求得圆心到直线的距离，再由，取等条件时得出一般方程； 【详解】曲线，可知直线的斜率存在且大于0， 设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离． 因为（当且仅当，即时取等号）． 由，得，解得或（舍），所以． 所以直线l的一般式方程是. 故答案为： 【变式3】（22-23高二下·上海黄浦·期末）设直线与圆相交所得弦长为，则______； 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦 【分析】利用点线距离公式与圆的弦长公式即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线，即的距离， 由圆的弦长公式，即，得， 所以，解得， 经检验，满足题意，所以. 故答案为：. 【变式4】（24-25高二下·上海·期末）过圆外一点任意引一条割线交圆于、两点，求弦的中点的轨迹是__________． 【答案】以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧. 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】根据题意，由条件可得，然后代入计算化简，即可得到结果. 【详解】 如图所示，设弦的中点的坐标为，连接，由， ，可得，即，得．又，， 于是，即． 因此，点的轨迹是以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧. 故答案为：以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧. 三、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【例3】（23-24高二下·上海青浦·期末）已知中，，，，则以A、B为焦点，经过点C的椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由A、B为焦点，可得，点C在椭圆上，可得，即可求得椭圆的离心率. 【详解】由已知，所以， 又点C在椭圆上，所以，所以， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 【变式1】（22-23高二下·上海·期末）点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的任意一点，若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为______. 【答案】/ 【知识点】椭圆中的定值问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由斜率公式、点的坐标满足的条件等式可得，结合离心率公式即可求解. 【详解】由题意方程可知，，，设， 所以，，则，整理得：，①， 又，得，即，②， 联立①②，得，即，解得. 故答案为：. 【变式2】（22-23高二下·上海黄浦·期末）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，、在椭圆上，且是线段的中点.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为______. 【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】取线段的中点，连接，推导出，可得出，利用点差法可求得的值，由此可求得椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示：    由题意可知，点为椭圆的左焦点， 因为点、，易知点为线段的中点， 又因为为的中点，所以，， 取线段的中点，连接，则，所以，， 所以，，故， 设点、，则点， 所以，，两个等式作差可得，可得， 所以，， 所以，椭圆的离心率为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·上海虹口·期末）某款平安锁边缘形状可以看作平面内一个椭圆的两段“弧”和以椭圆左右焦点为圆心的两个半圆组成，曲线和曲线交于点，. 如图1所示建立平面直角坐标系，曲线所对应的方程为，，曲线所对应的方程为，. (1)求的值及曲线所在椭圆的离心率的值； (2)现要在平安锁上找一个点作为装饰孔，要求过点且法向量为的直线与曲线交于两点（如图2所示），满足，求实数的值； (3)商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁，要求该菱形的四边与平安锁椭圆段和圆弧段均相切（如图3所示），求该菱形的面积. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）根据椭圆方程直接求解； （2）设，由题意，直线，且，联立方程组，借助韦达定理可求解； （3）根据对称性，设第一象限的切线方程为：，根据直线与圆和椭圆相切，可解直线方程，从而求解. 【详解】（1）曲线所对应的方程为， 即，则，， 所以； （2）设， 由题意，直线，且， ，解得， 有，， 可得，此时与的斜率等于， 满足直线与曲线交于两个交点， 所以； （3）根据对称性，设第一象限的切线方程为：， 由与右圆弧相切，可知点到切点的距离， 即  ① 由与上椭圆段相切，可知：， 可得， 则， 所以， 解得，即代入 ①式，可得， 化简得，解得， 即第一象限的切线方程为：， 令，令， 故菱形的面积为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式4】（24-25高二下·上海徐汇·期末）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”．“果圆”与轴、轴的交点分别为、、、．    (1)写出半椭圆所在椭圆的离心率，并计算四边形的面积； (2)设平行于的直线交于、两点．若，求直线的方程； (3)若封闭曲线在“果圆”的内部（含边界），则可用曲线拟合“果圆”，将曲线与“果圆”面积的比值记为“拟合系数”，其中．问是否存在圆心在轴上的圆，使得圆的拟合系数比四边形的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，圆心为，半径为 【知识点】点与圆的位置关系求参数、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据椭圆方程和性质求解即可. （2）首先设出直线方程，然后与半椭圆联立方程组，结合韦达定理和线段长度，求出的值，进而得到直线的方程. （3）先设出圆的方程，确定半径的范围，并讨论的范围，最后确定的值并比较圆的面积和四边形的面积，从而得出结果. 【详解】（1）根据题意可知， 所以半椭圆的离心率为. 四边形的面积为. （2）由的斜率，可设的方程为， 将它与的方程联立，消整理得， 设，则有 ,解得, 又因为化简可得，结合 解得，故直线的方程为 （3）依题意，只需要比较在“果圆”内部的圆的面积最大值与四边形面积即可. 设圆的圆心，半径为，则圆的方程为， 易有以原点为圆心的单位圆在“果圆”内部，故应该有 设上有任意一点，则， 当时，时，；当时，时 同理，设上有任意一点，可有 记， 易有，当时，，此时圆面积. 故圆心为，半径为的圆，符合题意. 【变式5】（24-25高二下·上海崇明·期末）如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M， N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q． (1)求椭圆的离心率； (2)若点M的坐标为，求点P的坐标； (3)求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）根据椭圆方程，直接求离心率； （2）首先利用垂直关系，先求点的坐标，再求点的坐标； （3）首先设，设，，首先根据，得到，再根据，得到坐标的关系，最后根据，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，，，则， 所以椭圆的离心率； （2），，设，，， 因为，所以，即，即 设，，， 由题意可知，，得，， 则； （3）设，，设，，，， 由，所以，得， ，，， 由，所以，且， 化简得，又， 所以，即 所以，得， . 【变式6】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知椭圆的图像经过点    (1)若椭圆的焦距为，求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，点与点关于原点对称，连接，当取得最大值时，求椭圆的离心率； (3)若椭圆经过点，点是椭圆上的动点，直线与椭圆交于两点，为的中点，且满足，则的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)； (3)是，定值. 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程； （2）首先得到点的坐标，根据坐标表示直线和的斜率，得到，并利用倾斜角表示的正切值，即，转化后利用基本不等式求最值，根据最值成立的条件求离心率； （3）首先根据条件确定椭圆方程，当直线斜率存在时，设出直线得到方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示弦长，根据向量关系转化为，利用韦达定理表示点的坐标，结合点在椭圆上，得到，并求解点到直线的距离，结合面积公式求定值，当直线得到斜率不存在时，求定值. 【详解】（1）由已知条件可知， 从而， 所以椭圆的方程； （2）设，则， 则， 从而. 设直线的倾斜角分别为则 ， 当且仅当，即时取等号， 此时，即， 所以， 从而，解得（舍负）， 所以当取得最大值时，椭圆的离心率为； （3）由已知椭圆经过点可得， 从而椭圆的方程； ①当直线与轴不垂直时，设， 联立方程组， 得. 由题意可知. 设，则，所以 ， 由可知， 设，则有， ， 因为点，在椭圆上， 所以， 整理得， 此时，， 点到直线的距离， 所以的面积 ， ②当直线与轴垂直时，，， ， ， . 综上可和，的面积为定值.    四、根据离心率求椭圆的标准方程 【例4】（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)设圆，若直线与圆相切，求点的坐标； 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程、求直线与圆交点的坐标、求点到直线的距离 【分析】（1）根据离心率得到，从而得到椭圆方程. （2）确定圆心和半径，设出直线，根据圆心到直线的距离等于半径得到斜率，解得答案. 【详解】（1）椭圆的离心率是，解得. 故椭圆方程为：. （2）圆，即， 故圆心，半径，， 设直线的方程为，即， 直线与圆相切，则，解得， 当时，，解得或（舍），故， 当时，，解得或（舍），故， 故或 【变式1】（24-25高二下·上海闵行·期末）在直角坐标系中，已知椭圆（）的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为，且，求的值； (3)是否存在，使恒为定值？若存在，请求出与的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）根据椭圆的长轴与离心率直接可得解； （2）联立直线与椭圆方程，结合根与系数关系表示向量数量积，即可得解； （3）设直线方程，联立直线与椭圆，结合根与系数关系表示，化简即可得解. 【详解】（1）由已知椭圆的长轴长为，即， 又椭圆的离心率，则， 所以， 故椭圆方程为； （2）由已知直线的斜率为，且过点，则直线的方程为， 设，， 联立直线与椭圆，得， 则，即， 且，， 则， 则， 解得； （3）当直线斜率存在时，设直线，即， 联立直线与椭圆，得， 则， 且，， 则，， 则， 又恒为定值， 则，解得，即， 且； 当直线斜率不存在时，直线， 则，则，， 此时， 则， 易知当时，.    【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系中，已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右顶点．椭圆以线段为短轴且与椭圆为“相似椭圆”． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的两个焦点，，椭圆的焦点为、，求四边形的面积； (3)设为椭圆上异于，的任意一点，过作轴，垂足为，线段PQ交椭圆于点．求证：为的垂心． 【答案】(1) (2)； (3)证明见解析 【知识点】椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】(1)设出椭圆方程为，根据椭圆的离心率公式，以及可求，所以即可求得椭圆方程； (2)根据方程求出，的焦点，可知四边形为正方形，故可求得； (3) 不妨设，代入，把代入椭圆，求得坐标，结合，即可求解. 【详解】（1）椭圆：中，，离心率， 设椭圆：，，则，，， 则，，椭圆：； （2），，， ∴； （3）设，，则， 设则，， 由点P，H在x轴同一侧可得即， ∵， ∴，又∵，∴H为的垂心． 【变式3】（22-23高二下·上海松江·期末）已知椭圆：的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)设圆．若直线与圆相切，且点在轴右方，求点的坐标； (3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线、分别交轴与点、点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)为定值， 【知识点】椭圆中的定值问题、根据离心率求椭圆的标准方程、由直线与圆的位置关系求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）根据椭圆离心率的定义可得结果； （2）设直线的方程为，由直线与圆相切求出k，联立直线与椭圆方程解方程组得交点坐标可得结果； （3）设，由三点共线，得，由三点共线，得，计算可得结果. 【详解】（1）因为椭圆的离心率是，解得， 故椭圆方程为：. （2）圆，即， 故圆心，半径，， 设直线的方程为，即， 直线与圆相切，则，解得， 因为点在轴右方，所以， 由，解得或（舍），故. （3）设, 且，， 因三点共线，则，即， 解得， 因三点共线，同理可得，， 所以为定值，该定值为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键点是根据三点共线，得，由三点共线，得，计算可得结果. 【变式4】（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知椭圆的离心率为，、为椭圆的左、右焦点，，P为椭圆上的动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)当取最大值时，求的面积； (3)已知r为正常数，过动点P作圆的切线PQ、PR，记直线PQ、PR的斜率分别为、，是否存在r，使得为定值？若存在，求出r及的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据题意可得，解得，，，即可得出答案． （2）设，，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，由基本不等式可得取得最小值，可得取得最大值，即点为短轴的一个顶点，再计算，即可得出答案． （3）设，，，根据是圆的切线，可得，同理可得，进而可得，为方程的两个根，由韦达定理可得答案． 【详解】（1）根据题意可得， 解得，，， 所以椭圆的方程为． （2）设，， 由椭圆的定义可得， 又， ， 因为（当且仅当时，取等号）， 所以，即， 所以， 所以， 所以当且仅当时，取得最小值，取得最大值， 即点为短轴的一个顶点， 所以． （3）设，，则直线的直线方程为， 又是圆的切线， 所以， 即， 同理可得， 所以，为方程的两个根， 所以， 因为，为动点， 所以， 若要该式为定值，则，解得，此时，符合题意.    【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程． 五、已知方程求双曲线的渐近线 【例5】（24-25高二下·上海·期末）已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 【答案】2 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意得，再结合即可求解. 【详解】渐近线方程为， ∵点F到渐近线的距离为，∴， 即，所以． 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海松江·期末）双曲线的两条渐近线的夹角大小是__________ . 【答案】 【知识点】二倍角的正切公式、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据题意，求得双曲线的渐近线方程，结合正切的倍角公式，即可求解. 【详解】由双曲线，可得其渐近线的方程为， 则渐近线与轴的夹角， 设渐近线与轴的夹角为，则， 所以两条渐近线的夹角为，且，则， 所以两条渐近线的夹角为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）双曲线的渐近线方程是__________. 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由双曲线的标准方程直接求解渐近线. 【详解】因为双曲线所以渐近线方程为， 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点.若（为坐标原点），且点到直线的距离为，则该双曲线的两条渐近线的夹角为____________________. 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由题意得，进一步得所求为，结合诱导公式、二倍角公式即可求解. 【详解】令双曲线的半焦距为，取的中点，连接，由， 得，，连接，由为的中点，得， 则，，， 因此，即，整理得， 所以，即，所以， 设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则， 所以， 故双曲线的两条渐近线的夹角的正切为. 故答案为：. 六、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【例6】（24-25高二下·上海·期末）已知双曲线：，则的离心率为_____. 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据离心率公式直接求解即可. 【详解】已知双曲线：，则的离心率为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为________． 【答案】或 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意分焦点在轴和轴，再利用渐近线与直线平行可求离心率. 【详解】当双曲线焦点在轴时，曲线方程可设， 此时双曲线的一条渐近线为，与直线平行， 所以，又， 所以离心率； 当双曲线焦点在轴时，曲线方程可设， 此时双曲线的一条渐近线为，与直线平行， 所以，又， 所以离心率； 故答案为：或. 【变式2】（24-25高二下·上海嘉定·期末）在相距2000m的两个观察站A、B先后听到远处传来的爆炸声，已知A站听到的时间比B站早4s，声速是340m/s，根据以上信息，爆炸点位于以A、B为焦点的双曲线上，该双曲线的离心率是______． 【答案】/ 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意结合双曲线的定义与方程求解离心率即可. 【详解】如图，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则， 设爆炸点为， 由题意可得：， 所以爆炸点在以为焦点的双曲线上（左半支）， 设双曲线的焦距为，实轴长为，虚轴长为， 可得，所以双曲线的离心率是. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期末）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是_______________.    【答案】/ 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意，根据双曲线的定义，结合矩形的性质，可得椭圆长轴长，由离心率的计算公式，可得答案. 【详解】设，，因为在双曲线上，所以， 又四边形为矩形，所以， 所以，， 设椭圆方程为，则，，又因与双曲线有相同焦点，则， 所以离心率为． 故答案为：． 【变式4】（24-25高二下·上海奉贤·期末）点、是双曲线：的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若、、组成一个直角三角形，且其中两条直角边的长度分别为3和4，则满足条件的双曲线的离心率有________种情况. 【答案】5 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由双曲线的定义得：，所以，根据直角三角形的六种情况可求，进而利用定义可求，再利用勾股定理或余弦定理可求，即可得到离心率. 【详解】 因为两条直角边的长度分别为3和4，所以斜边为5， 由双曲线的定义得：， 所以，解得， ①时，，若 又，， ， 所以此时离心率； 若 又，， ， 所以此时离心率； ②时，，若， ，， ， 所以此时离心率； 若， ，， ， 所以此时离心率； ③，若，， ，， 所以此时离心率； 若，， ，， 所以此时离心率； 综上，满足条件的双曲线的离心率有5种情况. 故答案为：5. 2 / 85 1 / 85 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆锥曲线 圆锥曲线是椭圆（包括圆）、双曲线和抛物线的总称，它们都可以由平面在圆锥上截得．圆锥曲线的方程都是二元二次方程． 1．圆 （1）平面上到一定点的距离等于定长（大于零）的点的轨迹，叫做圆． （2）圆的标准方程是______________ ，其中 是圆心坐标， 为圆的半径． （3）圆的一般方程是 ______________ ． （4）直线与圆有三种位置关系：相交、相切与相离．判断直线与圆的位置关系除了比较圆心到直线的距离和半径的大小外，还可以通过求解联立方程组 并讨论其解的个数来解决． （5）两个圆的位置关系，可以通过比较圆心距与两圆半径的大小来判断两圆内含、内切、相交、外切与外离；也可以通过联立方程组 并讨论其解的个数来判断两圆相离、相切与相交． 2．椭圆 （1）平面上到两个定点 的距离之和等于常数 的点的轨迹对称轴椭圆． （2）椭圆的焦点在 轴上时，其标准方程是 ______________ ；椭圆的焦点在 轴上时，其标准方程是 ______________ ． （3）椭圆有两条对称轴，椭圆的扁平程度取决于其离心率 ______________ ，其中 . 3．双曲线 （1）平面上到两个定点 的距离之差的绝对值等于常数 的点的轨迹叫做双曲线。 （2）双曲线的焦点在 轴上时，其标准方程是 ______________ ；双曲线的焦点在 轴上时，其标准方程是 ______________ ． （3）双曲线 有两条对称轴，其离心率 ______________ ，其中 ，并有两条渐近线 ______________ ． 4．抛物线 （1）平面上到一个定点 和到一条定直线 不在 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 （2）顶点在坐标原点的抛物线，焦点在 轴的正、负半轴时，其标准方程分别为 ______________ ；焦点在 轴的正、负半轴时，其标准方程分别为 ______________ ． （3）抛物线有且只有一条对称轴，离心率 ______________ ． ＊5．曲线与方程 （1）曲线 的方程 满足下列两个条件： ①曲线 上的点的坐标都是方程 的解； ②以方程 的解为坐标的点都是曲线 上的点． （2）平面上的曲线也可以用参数方程 来表示，其中 在一定范围内变动．如能消去参数 ，可以转化为普通方程． （3）与平面直角坐标系一样，极坐标系也可以确定平面上点的位置，建立平面曲线的极坐标方程 ，其中 是极径， 为极角． 一、由圆心（或半径）求圆的方程 【例1】（22-23高二下·上海崇明·期末）已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是______. 【变式1】（21-22高二下·上海长宁·期末）圆关于直线对称的圆的方程为______． 【变式2】（22-23高二下·上海静安·期末）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.    (1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程； (2)求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到） 二、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【例2】（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则圆心的坐标是________． 【变式1】（24-25高二下·上海·期末）设实数，圆的面积为，则________． 【变式2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则这个圆的半径是____________. 三、由圆的一般方程确定圆心和半径 【例3】（24-25高二下·上海·期末）圆的半径为__________． 【变式1】（24-25高二下·上海·期末）已知，圆的面积为，则______. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）已知圆，则圆的圆心坐标为__________. 【变式3】（22-23高二下·上海浦东新·期末）圆的圆心到直线的距离是______． 四、判断直线与圆的位置关系 【例4】（23-24高二下·上海·期末）已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 【变式1】（24-25高二下·上海·月考）设直线的方程为，圆的方程为，且直线与圆相交，令集合，设全集，集合为集合的补集，给出以下两个说法，下列选项中正确的是（    ） ①存在点使得表示一条直线 ②对于任意点，都存在圆，使得点在圆的内部，且对于圆上任意一点都有 A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 五、过圆上一点的圆的切线方程 【例5】（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为________． 【变式1】（24-25高二下·上海·月考）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为_____. 【变式2】（23-24高二下·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为______． 【变式3】（24-25高二下·上海·阶段检测）圆的过点的切线的一般式方程为_________. 六、过圆外一点的圆的切线方程 【例6】（23-24高二下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二下·上海闵行·月考）解答下列问题． (1)求经过点且与相切的直线的方程； (2)求经过点且与圆相切的直线的方程． 【变式2】（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B． (1)若P点坐标为，求 (2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由． 【变式3】（21-22高二下·上海闵行·期末）在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离是到点的距离的倍． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若，求过点且与曲线相切的直线的方程． 七、由圆的位置关系确定参数或范围 【例7】（22-23高二下·上海闵行·期末）已知圆和圆内切，则实数的取值范围是_______. 【变式1】（21-22高二下·上海松江·期末）已知圆与圆相交于，两点，且满足，则_________. 【变式2】（24-25高二下·上海宝山·月考）如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线被圆、圆、圆所截得弦长均等于，求出的值. 八、根据方程表示椭圆求参数的范围 【例8】（24-25高二下·上海松江·阶段检测）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【变式1】（24-25高二下·上海松江·期末）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是__________ 【变式2】（22-23高二下·上海金山·期末）已知P：，Q：表示椭圆，则P是Q的______条件． 九、根据椭圆方程求a、 b、 C 【例9】（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 【变式1】（2024高二下·上海·专题练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且满足，则______． 【变式2】（23-24高二下·上海·期末）如图，已知点为椭圆在第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点和上顶点分别作与轴和轴的平行线交于，过引、的平行线交于，交于，交于、，矩形的面积是，三角形的面积是，则________    十、根据a、b、c求椭圆标准方程 【例10】（2024高二下·上海·专题练习）长轴的长是4，焦距是2，中心在原点的椭圆的标准方程是________ 【变式1】（22-23高二下·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是______. 【变式2】（23-24高二下·上海青浦·期末）2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与． (1)写出图中“果圆”的方程； (2)直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）． 【变式3】（23-24高二下·上海静安·期末）如图的实线部分是江南某公园内的一个月亮门的正面外部轮廓，它由三部分构成：①水平地平线；②位于地平线与离地高的水平线之间的是长半轴长为的同一个椭圆的左、右两侧的一部分；③水平线以上是半径为的半圆． (1)请建立适当的平面直角坐标系，并用曲线方程将此月亮门的轮廓刻画与表达出来； (2)某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门，包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小，若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形，搬运过程中要求包装箱保持水平状态（横截面与地面垂直，且有一边保持水平），为方便搬运，你会提前告诉货运公司哪些信息？为什么？ 十一、椭圆定义及辨析 【例11】（21-22高二下·上海闵行·期末）若是椭圆上动点，则到该椭圆两焦点距离之和是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二下·上海普陀·期末）已知､是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则______. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是__________. 十二、求椭圆的焦点、焦距 【例12】（24-25高二下·上海崇明·期末）椭圆的两个焦点之间的距离为_______． 【变式1】（23-24高二下·上海奉贤·期末）如图，曲线的上，下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于M、N两点，动点P、Q分别在直线MN与椭圆上. (1)写出椭圆的长轴长，顶点坐标和对称性； (2)求线段MN的长； (3)若线段PQ的中点在轴上，且直线PQ的斜率为4，求P点坐标. 【变式2】（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，已知椭圆的方程为，点、分别是椭圆的左、右顶点，点的坐标是，过点的动直线交椭圆于点、（点的横坐标小于点的横坐标）． (1)求椭圆焦点的坐标； (2)是否存在常数，使为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当设直线的斜率不为时，设直线与交于点．请提出一个与点有关的问题，并求解该问题． （备注：本小题将根据提出问题的质量及其解答情况进行分层计分．） 十三、求椭圆的长轴、短轴 【例13】（22-23高二下·上海·期末）年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（    ）个.    ①椭圆的长轴长为 ②线段长度的取值范围是 ③的面积最小值是 ④的周长恒为 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25高二下·上海·期末）椭圆的短轴的长是__________. 【变式2】（23-24高二下·上海松江·期末）椭圆具有对称美，受到设计师的青睐．现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”.已知“斜椭圆”的方程为，则“斜椭圆”的离心率为_________．    十四、根据双曲线的渐近线求标准方程 【例14】（24-25高二下·上海黄浦·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，且C的实轴长为4，则C的方程为________． 【变式1】（23-24高二下·上海静安·期末）已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为______，离心率______． 【变式2】（22-23高二下·上海青浦·期末）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则__________． 十五、根据离心率求双曲线的标准方程 【例15】（22-23高二下·上海浦东新·月考）已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为__________. 【变式1】（24-25高二下·上海松江·期末）如图，已知椭圆的离心率为，该椭圆的左右焦点 恰好是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是 和. (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别是，求证: ； (3)是否存在常数，使得 恒成立？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由. 【变式2】（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 十六、抛物线定义的理解 【例16】（24-25高二下·上海闵行·期末）抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1】（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知抛物线 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为________． 【变式2】（23-24高二下·上海宝山·期末）抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为__________. 十七、根据抛物线方程求焦点或准线 【例17】（22-23高二下·上海浦东新·期末）抛物线的准线方程_________． 【变式1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则________． 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，若过点，则的标准方程为______. 【变式3】（24-25高二下·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线是以直线为渐近线，且经过抛物线的焦点，则该双曲线的标准方程是_____. 十八、根据抛物线上的点求标准方程 【例18】（24-25高二下·上海普陀·期末）顶点在坐标原点，以轴为对称轴的抛物线过点则它的方程是_____. 【变式1】（23-24高二下·上海松江·期末）已知点为抛物线上一点，点P到的准线的距离为5. (1)求抛物线的标准方程； (2)过原点的一条直线与圆相切，交抛物线于另一点，且，求圆的方程； (3)设为的焦点，，为上两点，，求面积的最小值． 【变式2】（22-23高二下·上海浦东新·期末）（1）抛物线的焦点在轴上且抛物线过点，求抛物线的标准方程； （2）双曲线中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，又双曲线的实轴长为4，且一条渐近线为，求双曲线的标准方程. 十九、求平面轨迹方程 【例19】（21-22高二下·上海浦东新·期末）定义点到曲线的距离为该点到这个曲线上任意点的距离的最小值.已知曲线C：，那么平面内到曲线C的距离与到坐标原点O的距离相等的点的轨迹是（    ） A．双曲线一支 B．一个椭圆 C．一条线段 D．一条射线 【变式1】（21-22高二下·上海虹口·期末）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的离心率与抛物线的方程； (2)过焦点的动直线与抛物线交于，两点，从原点作直线的垂线，垂足为，求动点的轨迹方程； (3)点为椭圆上的点，设直线与平行，且直线与椭圆交于，两点，若的面积为1，求直线的方程． 【变式2】（21-22高二下·上海浦东新·期末）已知反比例函数的图象C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线． (1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标； (2)设为双曲线C的两个顶点，点是双曲线C上不同的两个动点．求直线与交点的轨迹E的方程； (3)设直线l过点，且与双曲线C交于A、B两点，与x轴交于点Q．当，且时，求点Q的坐标． 一、由直线与圆的位置关系求参数 【例1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）已知圆 (1)若直线，，，经过圆心，求的最大值． (2)若直线过点且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程． 【变式3】（24-25高二下·上海崇明·期末）已知圆，直线． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 【变式4】（23-24高二下·上海长宁·期末）（1）已知直线方程： ，：，求出实数m分别取何值时，与分别：相交、平行、垂直； （2）已知曲线C的方程为，求过点且与曲线C相切的直线方程. 【变式5】（23-24高二下·上海闵行·期末）设直线为公海与领海的分界线，一巡逻艇在处发现了北偏东的海面处有一艘走私船，此走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，与相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜.在如图所示的平面直角坐标系中，试问：    (1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，且走私船和巡逻船相距6海里，那么走私船能被截获的点是哪些？ (2)设，要保证巡逻艇在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不相交），相距最远是多少海里？ 二、圆的弦长与中点弦 【例2】（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知直线与圆相交于、两点，则________. 【变式1】（23-24高二下·上海虹口·期末）直线被圆所截得的弦长为_________. 【变式2】（22-23高二下·上海松江·期末）直线l经过点，且与曲线相交于A，B两点，，则面积最大时，直线l的一般式方程是______. 【变式3】（22-23高二下·上海黄浦·期末）设直线与圆相交所得弦长为，则______； 【变式4】（24-25高二下·上海·期末）过圆外一点任意引一条割线交圆于、两点，求弦的中点的轨迹是__________． 三、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【例3】（23-24高二下·上海青浦·期末）已知中，，，，则以A、B为焦点，经过点C的椭圆的离心率为________． 【变式1】（22-23高二下·上海·期末）点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的任意一点，若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为______. 【变式2】（22-23高二下·上海黄浦·期末）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，、在椭圆上，且是线段的中点.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为______. 【变式3】（23-24高二下·上海虹口·期末）某款平安锁边缘形状可以看作平面内一个椭圆的两段“弧”和以椭圆左右焦点为圆心的两个半圆组成，曲线和曲线交于点，. 如图1所示建立平面直角坐标系，曲线所对应的方程为，，曲线所对应的方程为，. (1)求的值及曲线所在椭圆的离心率的值； (2)现要在平安锁上找一个点作为装饰孔，要求过点且法向量为的直线与曲线交于两点（如图2所示），满足，求实数的值； (3)商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁，要求该菱形的四边与平安锁椭圆段和圆弧段均相切（如图3所示），求该菱形的面积. 【变式4】（24-25高二下·上海徐汇·期末）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”．“果圆”与轴、轴的交点分别为、、、．    (1)写出半椭圆所在椭圆的离心率，并计算四边形的面积； (2)设平行于的直线交于、两点．若，求直线的方程； (3)若封闭曲线在“果圆”的内部（含边界），则可用曲线拟合“果圆”，将曲线与“果圆”面积的比值记为“拟合系数”，其中．问是否存在圆心在轴上的圆，使得圆的拟合系数比四边形的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理由． 【变式5】（24-25高二下·上海崇明·期末）如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M， N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q． (1)求椭圆的离心率； (2)若点M的坐标为，求点P的坐标； (3)求证：为定值． 【变式6】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知椭圆的图像经过点    (1)若椭圆的焦距为，求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，点与点关于原点对称，连接，当取得最大值时，求椭圆的离心率； (3)若椭圆经过点，点是椭圆上的动点，直线与椭圆交于两点，为的中点，且满足，则的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 四、根据离心率求椭圆的标准方程 【例4】（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)设圆，若直线与圆相切，求点的坐标； 【变式1】（24-25高二下·上海闵行·期末）在直角坐标系中，已知椭圆（）的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为，且，求的值； (3)是否存在，使恒为定值？若存在，请求出与的值，若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系中，已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右顶点．椭圆以线段为短轴且与椭圆为“相似椭圆”． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的两个焦点，，椭圆的焦点为、，求四边形的面积； (3)设为椭圆上异于，的任意一点，过作轴，垂足为，线段PQ交椭圆于点．求证：为的垂心． 【变式3】（22-23高二下·上海松江·期末）已知椭圆：的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)设圆．若直线与圆相切，且点在轴右方，求点的坐标； (3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线、分别交轴与点、点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由. 【变式4】（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知椭圆的离心率为，、为椭圆的左、右焦点，，P为椭圆上的动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)当取最大值时，求的面积； (3)已知r为正常数，过动点P作圆的切线PQ、PR，记直线PQ、PR的斜率分别为、，是否存在r，使得为定值？若存在，求出r及的值；若不存在，请说明理由. 五、已知方程求双曲线的渐近线 【例5】（24-25高二下·上海·期末）已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 【变式1】（24-25高二下·上海松江·期末）双曲线的两条渐近线的夹角大小是__________ . 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）双曲线的渐近线方程是__________. 【变式3】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点.若（为坐标原点），且点到直线的距离为，则该双曲线的两条渐近线的夹角为____________________. 六、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【例6】（24-25高二下·上海·期末）已知双曲线：，则的离心率为_____. 【变式1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为________． 【变式2】（24-25高二下·上海嘉定·期末）在相距2000m的两个观察站A、B先后听到远处传来的爆炸声，已知A站听到的时间比B站早4s，声速是340m/s，根据以上信息，爆炸点位于以A、B为焦点的双曲线上，该双曲线的离心率是______． 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期末）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是_______________.    【变式4】（24-25高二下·上海奉贤·期末）点、是双曲线：的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若、、组成一个直角三角形，且其中两条直角边的长度分别为3和4，则满足条件的双曲线的离心率有________种情况. 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $