精品解析：江苏省淮阴中学教育集团淮安市新淮高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

江苏省淮阴中学教育集团 淮安市新淮高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数为纯虚数，则（ ） A. B. C. 0 D. 10 2. 已知向量满足，且，则向量的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知表示两个不同的平面，分别为平面与平面内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. （ ） A. 0 B. C. 2 D. 5. 已知平面向量满足，记在上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，，点在线段上，则的最小值是（ ） A. 6 B. C. D. 8 8. 已知中，，，分别是角，，的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是z的共轭复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处 11. 已知是方程的根，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，则______． 13. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米． 14. 已知平面向量，，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）若与垂直，求的值； （2）若向量，若与共线，求． 16. 如图，在三棱柱中，D在线段AC上． （1）若D是AC中点，求证：平面； （2）若M为BC的中点，直线平面，求． 17. 已知的内角所对的边分别为，且，． （1）求； （2）若的面积为，求的周长； （3）求的取值范围． 18. 已知函数． （1）若，且，求角； （2）在（1）的条件下，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 19. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求． （2）若为边的中点，，求的最大值． （3）奥古斯丁•路易斯•柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年－1857年）是法国著名数学家．柯西在数学领域的造诣极高，诸多数学定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式，其中柯西不等式在求解不等式证明的相关问题中广泛应用．现保持（1）的条件不变，若是内一点，过点分别作的垂线，垂足分别为，借助三维柯西不等式：，其中，当且仅当时，等号成立．当取得最小值时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省淮阴中学教育集团 淮安市新淮高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数为纯虚数，则（ ） A. B. C. 0 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】， 因为复数为纯虚数，所以，解得. 2. 已知向量满足，且，则向量的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量垂直的充要条件求出的值，再代入向量夹角余弦公式计算. 【详解】因为，所以 即 ，又，故 ， 所以  解得 ， 所以. 3. 已知表示两个不同的平面，分别为平面与平面内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线和面面的位置关系，结合充分，必要条件，判断选项. 【详解】若，，，则与平行或异面，所以不是的充分条件， 反过来，若，，，则或相交，所以也不是的必要条件. 所以 “”是“”的既不充分也不必要条件. 4. （ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】 . 5. 已知平面向量满足，记在上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】代入投影向量公式求解. 【详解】在上的投影向量为， 所以. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用余弦差角公式求得 ，再通过余弦和角公式计算，最后用余弦二倍角公式求出的值. 【详解】由 ，可得 ，解得， 由 ，可得。 所以. 7. 在正方体中，，点在线段上，则的最小值是（ ） A. 6 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，将平面和平面展开到同一平面，进而可求解. 【详解】 如图1，连接，， 将平面和平面展开到同一平面， 如图2，连接，交于点， 则， 因为，所以， 所以四边形为菱形，， 则， 所以.重合时，取等号. 则的最小值是. 8. 已知中，，，分别是角，，的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果 【详解】，化简得， 再由正弦定理，得， 又， 代入得，整理得． 又，为的内角，则，即． 因为为的平分线，所以，， 在中，．① 又， ∴， 则， 化简得， 又，∴．② ①代入②，得，解得或（舍去）， ∴， 在中，由余弦定理得， ∴． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是z的共轭复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算、复数的模、共轭复数以及复数的定义加以计算判断. 【详解】对于A，令，则， 于是，所以，故A正确； 对于B，令，则，因为， ，故B正确； 对于C，令，满足， 而，，故C错误； 对于D，令，则， 于是，则，故D正确. 10. 如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由与是正方体对角面的两条对角线，可判断，对于B，证明平面平面，根据面面平行的性质，可得答案.对于C，根据异面直线夹角的定义，作图，结合等边三角形的性质，可得答案；对于D，通过平面，设垂足为，通过等体积计算，确定，可判断D. 【详解】 对于A，直线与是正方体对角面的两条对角线，故共面，A错误； 对于B，在正方体中， ，平面，平面， 平面， 连接，由正方体的性质可得， 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面, 所以平面平面. 因为平面，所以平面，故B正确. 对于C，如图： 在正方体中，易知为等边三角形，则， ，或其补角为异面直线与所成角， 则异面直线与所成角的取值范围，故C正确； 对于D，连接，记， 在正方体中，平面， 平面，， 在正方形中，， ，平面，平面， 平面，， 同理可得：， ，平面，平面， 又平面平面. 所以平面，设交点为， 所以直线与直线相交时，交点为， 又，设正方体棱长为2， 得， 得，又， 所以当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处，D正确. 11. 已知是方程的根，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合三角函数求出或，即可求出判断AB选项；根据以及两角和差的正切公式化简判断C；根据以及二倍角的正弦公式化简判断D. 【详解】，即， 则或， 则或， 则在内的有，，， 因为，所以，，， 则，故A正确，B错误； 因为，所以， 则， 则，故C正确； 因为， 所以 ，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】在中，，由正弦定理可得， 设， 由余弦定理可得， 因为，所以. 13. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可. 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 14. 已知平面向量，，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意画出图形，知，在以为直径的圆上，过作，交于，交圆于，在上的射影最长为，，设，则，，可得，代入．整理后利用二次函数求最值． 【详解】如图， 设，， 若对任意实数，都有，成立， 则，在以为直径的圆上，过作，交于，交圆于， 在上的射影最长为， ． 设，则，， ， ， 则当时，有最大值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）若与垂直，求的值； （2）若向量，若与共线，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ， ， 由垂直关系：， 解得：. 【小问2详解】 ， ， 若与共线，则， 所以. ， 所以. 16. 如图，在三棱柱中，D在线段AC上． （1）若D是AC中点，求证：平面； （2）若M为BC的中点，直线平面，求． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）连接交于点O，连接OD，证明，证明平面； （2）设交于点E，连接DE，得到，利用平行即可求解. 【小问1详解】 连接交于点O，连接OD， ∵三棱柱，∴四边形为平行四边形，∴O为的中点， 又∵D为AC的中点，∴ ∴平面，平面，∴平面 【小问2详解】 设交于点E，连接DE, ∵平面，平面，平面平面 ∴，∴ 又∵四边形为平行四边形，M为BC的中点 ∴，∴ 17. 已知的内角所对的边分别为，且，． （1）求； （2）若的面积为，求的周长； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简原式，再用和角公式求解即可； （2）根据三角形面积公式求出的值，再根据余弦定理求出，进而求出，最后求出周长； （3）根据正弦定理表示出，根据三角函数值的范围求解. 【小问1详解】 ，且. 整理得 由正弦和角公式： ， 由正弦定理，代入得 两边除以得 整理得 即 ，即 因为，所以 ， 故，得. 【小问2详解】 已知面积，且，. 由面积公式 故，得. 由余弦定理 代入，： 整理得 而 ， 因为，故. 因此周长为 【小问3详解】 由正弦定理： ， 故，. 又，，故 ，其中. 因为，所以， 则 ， 故 . 18. 已知函数． （1）若，且，求角； （2）在（1）的条件下，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用和差角的正弦公式及辅助角公式化简函数，再由给定函数值求出. （2）由（1）求出在上的范围，再利用换元法，结合函数单调性求出范围. （3）分别求出函数在上的值域、函数在的值域，再按分类，结合集合的包含关系列式求出范围. 【小问1详解】 函数 ，由，得， 由，得，则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，不等式 ， 令，由，得，则， ，， 函数在上单调递增， 当时，，，因此， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 函数，而，则， 即函数在上的值域为，由（1）知， 由，得，， 则函数在的值域为， 由对任意，总存在，使得成立， 得函数在的值域包含于函数在上的值域， 当时，，则，解得； 当时，成立，因此； 当时，，则，解得， 所以实数的取值范围是. 19. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求． （2）若为边的中点，，求的最大值． （3）奥古斯丁•路易斯•柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年－1857年）是法国著名数学家．柯西在数学领域的造诣极高，诸多数学定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式，其中柯西不等式在求解不等式证明的相关问题中广泛应用．现保持（1）的条件不变，若是内一点，过点分别作的垂线，垂足分别为，借助三维柯西不等式：，其中，当且仅当时，等号成立．当取得最小值时，求的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用切化弦及正弦定理边化角，和角的正弦求解. （2）由余弦定理及基本不等式求得，再利用向量数量积的运算律求解. （3）由三维分式型柯西不等式，余弦定理，基本不等式，函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 在中，由，得， 由正弦定理得，而， 则，又， 因此，而，所以. 【小问2详解】 由（1）及余弦定理，当且仅当时取等号， 由为边中点，得， 所以， 所以当且仅当时，取得最大值. 【小问3详解】 ， 又，， 则，由三维分式型柯西不等式有， 当且仅当，即 时取等号， 由余弦定理，得，即， 由，得，当且仅当时取等号， 因此，令，， ，函数在上单调递减， 当且仅当，即时， 因此当时，取得最小值，此时， 则当与时，取得最小值， 此时的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $