江苏连云港市东海县2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

2025~2026学年第二学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.在复平面内，复数：对应的点坐标是(-2,1)，则+= A.√5 B.5 C.2W2 D.8 2.化简sin200°cos140°-cos160°sin40°，得 A.3 B.sin20° C.cos 20 D 3.己知向量a与b均为非零向量，则“a⊥b”是“a+b=a-b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 4.已知向量OA=(k,1),OB=(4,2),OC=(5,k),若A,B,C三点共线，则实数k= A.3 B.-3 C.2或3 D.-3或-1 5.已知 1+sin 2a 1+cos2a+sin 2a 2a-2,则(a-争- A.2 B.-2 c.1 2 D.- 2 6.已知sin a5）片则ana-eaa A.、14 B.14 C.、7 9 9 9 D.7 7.在△4BC中，C生，D是BC边的中点，E是AB边上靠近A的三等分点，AD与CB 交于点M,若AB·AC=6AM·EC,则角A等于 B, c p.2 8.在△ABC中，3c0S2A=2c0s2B+c0S2C,则c0SA的最小值是 A.V② B.1 3 C.-2 3 3 D._1 3 高一数学第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设31、z2是方程2+二+1=0的两个复数根，则 A.21=22 B.2=52 C.-3=-1 D. 10.下列等式成立的是 A.cos(A+B)cos(A-B)=cos2A-sin2 B B.sin(A+B)sin(A-B)=sin2 A-cos2 B C.tan(4+牙）+tan(A-=2tan2A D.tan 34-tan 24-tan A=tan 3Atan 24tan A 11.△ABC的角A,B,C所对边分别为a,b,c,若b=2√3，atanA+atan B=2 ctanA,则 A.B=2π B.△ABC面积的最大值为3√3 3 C.△ABC外接圆半径为2 D.CA.CB的最大值为6+45 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2√3,2)，b=(1,√3)，则a在b上的投影向量的坐标为▲. 13.已知∈C,若+3-4i=1,则2的最小值为▲_· 14.在平面凸四边形ABCD中，AB=2,BC=6,CD=DA=4,则四边形ABCD面积的 最大值是▲· 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 己知向量a,b满足4=1，b=4,V5),a与b的夹角为死 (1)求2a-: (2)若(k-b)⊥(2m+b),求实数k的值. 高一数学第2页共4页 16.(本小题满分15分) 已知ac03ca+月-5，cs6=2 10 求：(1)sin2a的值： (2)B+2&的值. 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，已知BC=√3，sin2A+sin B sinC=sinB+sin2C. (1)求角A: (2)求边BC上的中线AD的最大值. 高一数学第3页共4页 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，AB=3,BC=7,AC=5,点E,F分别是边BC和AC上的动点 (1)求△ABC的面积： (2)若点E,F分别是边BC和AC的中点，求AE·BF: (3)是否存在定点E,使AEBF为定值？若存在，求出该定值，若不存在，说明理由. 19.(本小题满分17分) 己知单位圆的圆心为O,点A、B是单位圆上的两个不同定点.动点P在单位圆上，且 满足OP=cosa0A+sna0B0<a<究. (1)求OAOB: (2)求OP.AP-OB.BP的取值范围： (3)设直线OP交直线AB于点M,OM=mOP,BM=nBA,求m的最小值. n+1 高一数学第4页共4页2025~2026学年第二学期期中考试 高一数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.C2.A3.D4.A5.C6.B7.D8.A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.AB 10.ACD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(5,3) 13.4 14.8V5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解：(1D4-1,b=QV,a与的夹角为写 所以a.b=1,… …2分 所以2a-=V42-4m.b+b3=2: 6分 (2)因为(ka-b)⊥(2a+b), 所以(k-b)(2a+b)=0, …8分 即2ka2+ka.b-2m.b-b2=3k-6=0 所以k=2,…13分 16.解：(1)因为a,Be0,,所以ax+Be0,), ur月a-历-怎m=n-g …4分 10 cosa=cos[(a+B)-B]=cos(a+B)cos B+sin(a+B)sin B 55语a-wa …8分 10 所以sn2a=2 2sin-2x0x3i0_3 …10分 10105 高一数学参考答案第1页共4页 (2)因为cos(B+2a)=cos[(a+B)+a]=cos(au+β)cosa-sin(a+β)sina 253w10510_V2 5105102 因为aBe0月.所以2a+pe@, 所以2a+B-晋 …15分 17.(1)因为sin2A+sin BsinC=sin2B+sinC, 由正弦定理得，a+bC=b2+C2,…2分 又由余弦定理得，coSA= b2+c2-a2 bc 1 …4分 2bc 2bc 2 又0<A< 3, 故 6分 2②》由杂张定星得.即d=c-2icea号 即3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc, 所以bc≤3，当且仅当b=c时取等号， …9分 又因为4D是中线，所以AD=4B+A©， …10分 ad-h-ac+2a40)-6+c+e)-c+ 即a: 。。。。。。。。。。。。。。 …14分 综上，边BC上中线AD的最大值为？ …15分 18.解：(1)在△ABC中，由余弦定理得 c0s4=4B+AC2-BC232+52-721 2AB·AC 2x3×5=-2 …2分 因为A∈(0)，所以4=2r 3 所以Se44CA-*35xS15 24 …5分 (2)因为E,F分别是边BC和AC的中 所以AB=(AB+AC,BF=AF-AB=号AC-AB,7分 高一数学参考答案第2页共4页 所以证-亚西ac（}4C-西 -ac0+c）年}号 …9分 (3)(法一)因为B,E,C三点共线，A,F,C三点共线， 所以设AE=1AB+A-)AC(1∈R),AF=uAC(u∈R), 由AE.BF=1AB+1-1AC,AF-AB=AB+1-1AC·uAC-AB =-1+九AB·AC-AB+μ1-1AC 、15 2 u-1+1-92+25u1-元 …3分 因为F是动点，若要使AE.BF为定值，即存在1，数量积与u无关，…14分 故25-智0，即28此时正BF- (定值) .…17分 26 (法二)如图，当AE⊥AC时，无论点F在AC上如何移动， BF在AE上的投影向量始终等于DA, 故AE-BF=AEDA=AEDA 在直角三角形ABD中，由AB=3,∠BAD=30°， 所以AD=35,BD=3 2 2 由BD-DBAD-AE3 AC AE AE 10 可得A迟-155.所以证，8丽=A到D4=15×3y5135.17分 13 13226 19.1)由OP=cosa0A+sina0B，oP=oA=oB=1, 两边平方得1=cos2a+sin+2 sina cosaOA.OB, 高一数学参考答案第3页共4页 即2sin0心C0SaOA.OB=0,…3分 又0<u<T,所以sin a cos>0, 2 故OA.OB=0; ………4分 (2)OP.AP-OB.BP =OP:(OP-04)-OB:(OP-OB) OP"-OP.OA-OB.OP+OB'=2-OP:(OA+OB) =2-(cosaOA+sinaOB).(04+OB)=2-(sina+cosa)=2-sin(+), 4 …8分 又0ca号所以年a,头 4 44 a字停， 4 故OP.AP-OB.BP的范围为[2-√2,1)： …10分 (3)由BM=nBA得OM-OB=n(OA-OB), 即OM=nOA+(1-mOB, 又OM=mOP, 所以mOP=nOA+1-m)OB, 两边平方得m2=2n2-2n+1,…14分 故m=2m2-2+1 n+1n+1 令n+1=t,t∈L,2],则n=t-1, 原式可化为2r-6+5=2x+5-6≥20-6， t 当且仅当t= V10 时取最小值， 故1的最小值为2106.…17分 n+1 高一数学参考答案第4页共4页