江苏南京市第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

**基本信息** 南京一中高一数学期中试卷立足三角函数、向量、解三角形等核心内容，通过基础题（如第1题三角函数化简）与创新题（如第19题费马点应用）结合，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|三角函数化简（1题）、向量投影（2题）|注重概念辨析，如复数模与共轭（5题）| |多选|3/18|空间直线位置关系（9题）、向量性质（10题）|考查批判性思维，如向量平行传递性判断（10C）| |填空|3/15|三角恒等变换（12题）、向量线性表示（13题）|强调几何直观，如解三角形中线问题（14题）| |解答|5/77|空间几何证明（15题）、解三角形面积（16题）|融入文化情境，如费马点探究（19题），体现数学建模与创新意识|

南京一中2025－2026学年第二学期期中试卷 高一数学 2026.05 命题人：蒋文化,唐颖杰 校对人：唐颖杰 审核人：雷蕾 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.(  ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了诱导公式，两角差的余弦公式，属于基础题． 由已知利用诱导公式，两角差的余弦公式即可求解． 【解答】 解： ． 故选：． 2.已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为(  ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：在上的投影向量． 故选：． 3.在中，内角、、所对的边分别为、、，若：：：：，则：：( ) A. ：： B. ：： C. ：： D. ：： 【答案】D  【解析】解：由且：：：：，则，， 因为：：：：：：：：． 故选：． 4.已知，则(  ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：， 解得， 所以． 故选：． 5.已知复数，则下列说法正确的是(  ) A. 的模为 B. 的虚部为 C. 的共轭复数为 D. 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查复数四则运算、复数的概念、复数的代数表示及其几何意义、共轭复数以及复数的模，属于基础题． 由复数四则运算可得，然后逐项判断即可． 【解答】 解：， 则，C错误； ，A正确； 的虚部为B错误； 的共轭复数表示的点在第一象限，D错误． 故选A． 6.已知的边长均为，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是(  ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查向量数量积的坐标运算、向量线性运算的坐标表示，属于一般题． 建立平面直角坐标系，设点坐标为，由，求出点坐标，利用平面向量数量积的坐标运算，即可求出结果． 【解答】 解：以为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示： 则， 所以，， 设点坐标为，则， 设， 所以， 即， 所以， 所以． 故选：． 7.已知，，，若是纯虚数，则(  ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查复数的概念和运算，属于中档题． 求出，得，再利用的周期性即可求解． 【解答】 解：由题意，因为复数， 可得， 因为是纯虚数， 则，则， 则 ．故选B． 8.已知锐角，角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是(  ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查正弦定理和正切函数的图象性质，注意分析的范围，属于中档题． 根据题意结合正弦定理可得，由锐角三角形的性质分析可得的取值范围，进而由正弦定理化简可得，结合的范围分析可得答案． 【解答】 解：因为 由正弦定理可得 由，则， 因为  ，所以． 因为  是锐角三角形，所以 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是 ．故选：． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 是空间三条不同的直线，则下列命题不正确的是(    ) A. ， B. ， C. ，，共面 D. ，，共点，，共面 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查空间中直线平行、垂直、共面的判定，属于基础题． 通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为判断出对；通过举常见的图形中的边面的关系说明其它选项错误． 解：对于，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，错； 对于，，所成的角是， 又，所成的角是，，对； 对于，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错； 对于，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错． 故选：． 10．关于非零向量，，下列命题中，正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BC  解：选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以选项错误． 选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以选项正确． 选项，非零向量，，若，，则成立，所以选项正确． 选项，向量不能比较大小，所以选项错误． 故选：． 11．下列计算正确的选项有(   ) A. B. C. D. 【答案】AD  【解析】【分析】 本题主要考查了三角函数的概念及基本公式以及三角恒等变换，属较难题． 利用由两角和的正切公式化简即可判断；化切为弦结合辅助角公式、诱导公式化简即可判断；利用两角和与差的正弦公式化简可判断；先化切为弦再通分结合余弦的二倍角公式化简可判断，进而可得正确选项． 解：对于 ，故A正确 对于 ，故B错误 对于： ，故C错误 对于： ，故D正确．故选AD． 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题． 由已知利用诱导公式，二倍角的余弦公式即可求解． 【解答】 解：因为， 所以． 故答案为． 13．如图所示，是线段外一点，若，，，，中，相邻两点间的距离相等，，，则            用，表示 【答案】  【解析】设为线段的中点，则也为线段，的中点，则，所以． 14．在中，角、、所对的边分别为、、，，是的中线，且，则的最大值为           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查向量在平面几何中的应用，向量数量积的概念与运算，属于较难题． 由题意得，两边平方化简后得，然后结合基本不等式可求得的最大值． 解：由题意得，， 因为是的中线，所以， 所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以，得，当且仅当时取等号， 所以的最大值为， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分) 如图所示，在四棱锥，平面，，是的中点． 求证：； 求证：平面． 证明：在四棱锥中，平面，平面，平面平面， ，-------------6分 取的中点，连接，， 是的中点， 则为的中位线， ，， 又由可得，且， ，， 四边形是平行四边形， ，-------------10分 平面，平面， 平面． ------------------13分 16．(本小题满分15分) 已知三个内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． 求角； 若，，求的面积． 解：因为，所以，----------2分 由正弦定理得， 因为，所以，即：，----------5分 又因为，所以；-----------7分 由余弦定理可得：， 代入可得关于的方程：，解得：或舍，---------11分 由三角形面积公式． -----------------15分 【解析】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于基础题． 利用两向量垂直得到，由正弦定理得，整理得到，即可求解； 由余弦定理可得：，代入整理求得，利用三角形面积公式即可求解． 17．(本小题满分15分) 已知，，且，，求： 的值 的值． 解：由， 解得，------------3分 所以；-----------6分 ，----------8分 由，， 所以，----------10分 所以 ，---------12分 因为，， 所以，所以， 又，，所以， 所以，所以， 所以． -----------15分 【解析】本题考查二倍角正弦公式、二倍角余弦公式、正余弦齐次式的计算、由一个三角函数值求其他三角函数值、两角和与差的正弦公式、两角和与差的正切公式，属于中档题． 由题意求出，再由，即可求出结果； 由，求出，再求出，由此求出，即可求出结果． 18．(本小题满分17分) 如图所示，在中，是边的中点，在边上，，与交于点． 以为基底表示； 若，求的值． 解：，----------2分 设，， ，-----------4分 ， ，解得， ．----------10分 ， 由， 所以， 即， 所以，--------------15分 ． -----------17分 19．(本小题满分17分) “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，且满足， 求 求的值 求的取值范围． 解：根据正弦定理，由， 得，-------------2分 根据两角和公式，得， 又由于，则有，可得，又， 故A为．---------4分 由可得的三个内角均小于，点为的费马点， 则， 由，根据余弦定理有， 则，可得，------------6分 所以， 又有 ， 可得，-------------8分 所以， 因此．-----------10分 设，则，，，其中， 中，由正弦定理可得，则， 中，由正弦定理可得，则， 即，----------13分 故 ， 故， 因为， 所以的取值范围是 -----------17分 高一数学答案第14页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $南京一中2025一2026学年第二学期期中试卷 高一数学 2026.05 命题人：蒋文化，唐颖杰 校对人：唐颖太 审核人：雷蕾 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.sin49Sin19cos193in41() A.12 B.-12 C.32 D.-32 2.已知向量a,6满足l=1,⑥=2，京，6夹角为，则6在上的投影向量为() A.-V2 B.v2a C.-2a D.- 3.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若A:B:C=1:1:4,则a:b:c=() A.1:1:V2 B.1:1:2 C.1:1:V5 D.1:1:V3 4.已知tan(+)=2,则sin8=() sina+cosa A.-2 B-月 c D.2 5.已知复数红=品则下列说法正确的是() A.z的模为0 2 B.z的虚部为- C.z的共轭复数为-3引 D.z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 6.已知△ABC的边长均为1，点D为边AB的中点，点E为边BC上的动点，则AD.AE的取值范围是() A.哈 B. C.,1] D.,] 7.已知z1=Q+i,z五=1+i,aeR,若是纯虚数，则号+分2+)3+…+分2023=() A.1 B.-1 C.i D.-i 高一数学试卷第1页（共4页） 8.己知锐角△ABC,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos C+ccos A=2 bcos B,则的取值范围是() A.(G,2) B(得) C.(V3,2v3) D.(，23) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.1,2,l3是空间三条不同的直线，则下列命题不正确的是() A.l11l2,l21l3→l1/l3 B.1⊥2，l2/l3→l11l3 C.1/儿2/儿3→l1,2,l3共面 D.l1,L2,3共点→l1,2,l3共面 10.关于非零向量，，下列命题中，正确的是() A.若=b,则a= B.若8=-6，则8/6 C.若/b,b/c,则/c D.若|a>b1,则a> 11.下列计算正确的选项有() A共S =3 B.sin50(1+V3tan10)=2 C.sin(2A+B 2-2cos(A+B)=sim 1 1 sinA sinB 第卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知sin8-3,则sin(20+=▲一 13.如图所示，0是线段A0A2025外一点，若A0,A1,A2,,A2025中，相邻两点间的距离相等，0A=元， 0A2025=万，则0A+0A+…+0A2025=▲.（用d,6表示） A2025 Ao 14.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,∠ABC=120°，BD是△ABC的中线，且BD=1, 则a+c的最大值为▲一： 高一数学试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 如图所示，在四棱锥P-ABCD,BC//平面PAD,2BC=AD,E是PD的中点. (1)求证：BC/AD: (2)求证：CE/平面PAB. 16.(本小题满分15分) 已知△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量元=(a,√3b),元=(sinB,cosA),且m⊥元. (1)求角A; (2)若a=V7,b=2,求△ABC的面积. 17.(本小题满分15分)》 已知a(e+争=-3，cosB=-2沿且a,B∈(0，.求 (1)sin2a的值； (2)2a-B的值. 高一数学试卷第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 如图所示，在·ABC中，D是边BC的中点，E在边AB上，BE=2EA,AD与CE交于点O. B D (1)以AB,AC为基底表示AO: 2)若D元=3A0·EC,求巴的值. AC 19.(本小题满分17分)》 “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使 其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小 于120°时，使得A0B=∠B0C=∠C0A=120°的点0即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时， 最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b, c,点P为△ABC的费马点，且满足(2b-c)cosA-acosC=0,a2-(b-c)2=4 (1)求A; (2)求PA·PB+PB.PC+PC.PA的值； (3)求1PB1·IPC1的取值范围. 高一数学试卷第4页（共4页）南京一中2025-2026学年第二学期期中试卷 高一数学 2026.05 命题人：蒋文化，唐颖杰校对人：唐颖杰 审核人：雷蕾 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.sin49sin19°+cos19sin41°=() A B.-克 c号 D-9 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了诱导公式，两角差的余弦公式，属于基础题. 由己知利用诱导公式，两角差的余弦公式即可求解. 【解答】 解：sin49°sinl9°+cos19sin41 =sin49°sinl9°+cos19°cos49° =C0s(490-19)c0s30°=3 21 故选：C. 2.已知向量a,6满足=1，=2，式，6夹角为3π，则6在上的投影向量为() A.-V2 B.v√zd C.-V2a D.-a 【答案】C 【解析)解：6在a上的投影恤量a=Dos主a=1x2xaE二√2立了 12 12 故选：C 3.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若A:B:C=1:1:4,则a:b:c=() 高一数学答案第1页（共14页） A.1:1:V2 B.1:1:2 C.1:1:√5 D.1:1:√3 【答案】D 【解析】解：由A+B+C=元且A:B:C=1:1:4,则A=B=名C=号 因为a:b:c=sA:snB:snC=分子号=1：1：V3 故选：D 4.已知tan(+a)=2,则imos8=() sina+cosa A.-2 B.- C. D.2 【答案】B tan +tan 1+tand-2, 【解析】解：：tan保+)=1-tan tan d=-ana 解得tana= 所以Sina-cos&=ana-1_1_ 1 sin a+cos a tana+1 3+1 -21 故选：B. 5.已知复数z=1+ 2-i 则下列说法正确的是() A.z的模为⑩ 2 B.z的虚部为- Cz的共辄复数为-引 D.z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查复数四则运算、复数的概念、复数的代数表示及其几何意义、共轭复数以及复数的模，属于基础 题 由复数四则运算可得2=多，然后逐项判断即可。 【解答】 0-昌=片 解：“z= 则z-+,C错误： 高一数学答案第2页（共14页） z=+(多=四，A正确： z的虚部为-B错误： z的共轭复数表示的点(，引)在第一象限，D错误。 故选A 6.已知△ABC的边长均为1，点D为边AB的中点，点E为边BC上的动点，则AD.AE的取值范围是() A哈 B.动 C.2, D.,] 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查向量数量积的坐标运算、向量线性运算的坐标表示，属于一般题， 建立平面直角坐标系，设E点坐标为x),由8配=入BC=（人，？)0<入<1)，求出E点坐标，利用 平面向量数量积的坐标运算，即可求出结果 【解答】 解：以D为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 如图所示： 则A(0),D0,0).B(G,0）,c(o,) 所以BC=（-),A0=(,0) 设E点坐标为(x,y),则BE=(x-y), 设死=8C-(孔号列0<1<1)， 所以x=是孔y=号。 即s6-2号) 所以正=(（1-入，受 高一数学答案第3页（共14页） 所以A丽.AE=(1-)=-入+号e,引 故选：B 7.已知Z1=a+,五=1+，aER,若是纯虚数，则哈+身2+身3+…+身223=() A.1 B.-1 C.i D.-i 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查复数的概念和运算，属于中档题 求出a,得=i,再利用i的周期性即可求解， Z2 【解答】 解：由题意，因为复数z1=a+i,22=1+i,a∈R, 可得2==二=安+12. =1+i=(1+0(1-0 因为1是纯虚数， Z2 (a+1二0 则 2 *0 →a=-1,则21=i, 则哈+身2+身3+…+身223 =i+i2+3+…+2023 =(i-1-i+1)×504+i-1-i =-1.故选B. 8.已知锐角△ABC,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos C+ccos A=2 bcos B,则S的取值范围是() A(G2) B(停 C.(3,23) D.(停，23) 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查正弦定理和正切函数的图象性质，注意分析A的范围，属于中档题. 根据题意结合正弦定理可得B,由锐角三角形的性质分析可得A的取值范围，进而由正弦定理化简可得 csin Cv3x 11 amA=2XmnA+2,结合A的范围分析可得答案 【解答】 解：因为2 bcos B=acos C+ccos A=b, 高一数学答案第4页（共14页） 由正弦定理可得2 sinBcos B=sinAcos C+sinCcos A=sinB, 由sinB≠0，则cosB= 因为B∈(0，)，所以B=景 0<A<z 因为△ABC是锐角三角形，所以 →<A 0< -A<2 3 所以S=sinC=sin经) a sin A sin A 2π sincos A-cossin A sin A V3 2 cos A+sin A 3 1 1, sin A 2anA+2 因为g<A<交，所以tanA>3 3 所0<品<g,所时<号×+<2 所以的取值范围是（分，2故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.,l2,l3是空间三条不同的直线，则下列命题不正确的是() A.l11l2,l21l3→l1/3 B.11l2,2/儿3→l1⊥l3 C.l1/儿2/儿3→l1,L2,13共面 D.l1,L2,3共点→l1,L2,l3共面 【答案】ACD 【解析】【分析】 本题考查空间中直线平行、垂直、共面的判定，属于基础题 通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°判断出B对：通过举常见的图形中的边，面的关系说明 其它选项错误， 解：对于A,通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错； 对于B,·l11l2,·l1,l2所成的角是90°， 又：l2/儿3，l1,l3所成的角是90°，l1⊥l3,B对： 对于C,例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错： 高一数学答案第5页（共14页） 对于D,例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错. 故选：ACD. 10.关于非零向量à，b,下列命题中，正确的是() A.若=，则a= B.若8=-下，则8/6 C.若8/6，b/c,则/ D.若|a>b1,则a> 【答案】BC 解：A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误， B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确. C选项，非零向量d,b,若/b,b/,则/c成立，所以C选项正确. D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误. 故选：BC 11.下列计算正确的选项有() A.1+an15 1-tan15=V3 B.sin50(1+V3tan10)=2 C.sin(AB)-2cos(A+B)=siA sinA sinB 1 1 1 D. tane tan20-sin20 【答案】AD 【解析】【分析】 本题主要考查了三角函数的概念及基本公式以及三角恒等变换，属较难题 利用tan45°=1由两角和的正切公式化简即可判断A:化切为弦结合辅助角公式、诱导公式化简即可判断B: 利用两角和与差的正弦公式化简可判断C;先化切为弦再通分结合余弦的二倍角公式化简可判断D,进而可 得正确选项， 解：对于 tan45°+tan15 1-tan45tan15 =tan(45°+15) tan60 =√3，故A正确： 高一数学答案第6页（共14页） 对于B:sin50(1+V3tan10)=sin50(1+V3.sin10 c0s10) =sin50°.cos10°+V3sin10° c0s10 =sin50° 22cos10°+3 °sin10) c0s10 2sin50°·cos50 c0s10° sin100° c0s10 =C0s10° co910=1,故B错误； C:sin (2A+B)-2cos (A+B)=sin[(AB)+Al-2cos(A+B) sin A sinA =sin(A+B)cosA+cos(A+B)sinA-2cos(A+B)sinA sinA sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA sinA nA故C错误； sinB = 1 1 _cos0 cos20 对于D:tand tan28=sin6 sin20 2cos20 cos20 =2sin0cose sin20 2c0s20c0s20 sin20 sin20 2c0s20-c0s26 sin20 =2c0s20-(2c0s20-1=1 故D正确.故选AD sin20 sin20' 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知sim9=多，则sin(20+2= 【答案】名 【解析】【分析】 本题考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题 由已知利用诱导公式，二倍角的余弦公式即可求解. 【解答】 高一数学答案第7页（共14页） 解：因为sin0= 所以sin(26+9=cos20=1-2sm20=1-2×月2=云 故答案为号 13.如图所示，0是线段A0A2025外一点，若A0,A1,A2,,A2025中，相邻两点间的距离相等，0A=a, 0A2025=万，则0A+0A+…+0A2025= .(用d,b表示) A2025 0 【答案】1013(a+b) 【解析】设A为线段AA2025的中点，则A也为线段A1A2024,A1012A1013的中点，则0A+0A2025=0A+ 0A2024=…=0A1012+0A1013=a+万，所以0A+0A+…+0A2025=1013(a+. 14.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,∠ABC=120°，BD是△ABC的中线，且BD=1, 则a+c的最大值为 【答案】4 【解析】【分析】 本题主要考查向量在平面几何中的应用，向量数量积的概念与运算，属于较难题 由题意得BD=(BA+BC),两边平方化简后得4=a2+c2-ac,然后结合基本不等式可求得a+c的最 大值 解：由题意得BA-c,BC=a,BA·BC=accos120°--2ac,|BD-1, 因为BD是△ABC的中线，所以BD=(BA+BC), 所以BD2=1(BA+2BA.BC+BC), 所以4=a2+c2-ac, 所以4=a2+2-ac之a2+c2--,当且仅当a=c时取等号， 2 因为a2+c2≥2ac,所以2(a2+c2)≥2ac+a2+c2=(a+c)2,当且仅当a=c时取等号， 高一数学答案第8页（共14页） 所以a2+c2≥a+d2 ，当且仅当a=c时取等号， 2 所以4≥，得a+c≤4，当且仅当a=c时取等号， 所以a+c的最大值为4， 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 如图所示，在四棱锥P-ABCD,BC/平面PAD,2BC=AD,E是PD的中点. 公 E B (1)求证：BC/AD; (2)求证：CE/平面PAB 证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，BC//平面PAD,BCC平面ABCD,平面ABCD 0平面PAD=AD, :BC//AD, 6分 (2)取PA的中点F,连接EF,BF, 高一数学答案第9页（共14页） "E B :E是PD的中点， 则EF为△PAD的中位线， EF//AD,EF=AD, 又由(1)可得BC/AD,且BC=号AD, ·.BC/EF,BC=EF, :四边形BCEF是平行四边形， ·CE/BF,-10分 ·CE平面PAB,BFC平面PAB, ·CE/平面PAB. -------13分 16.(本小题满分15分) 已知△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量元=(a,V3b),元=(sinB,cosA),且m⊥元. (1)求角A: (2)若a=√7，b=2,求△ABC的面积. 解：(1)因为m1元，所以m.元=asinB+V3bc0sA=0,----2分 由正弦定理得sinAsinB+V3 sinBcosA=0, 因为sinB≠0，所以sinA+V3cosA=0,即：tanA=-√3，---5分 又因为0<A<π，所以A=号π：-7分 (2)由余弦定理可得：a2=b2+c2-2 bccosA, 代入可得关于c的方程：c2+2c-3=0,解得：c=1或c=-3(舍)，---11分 由三角形面积公式5n4c=bcmA=x2x1×号=号 -----15分 高一数学答案第10页（共14页） 【解析】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于基础题. (1)利用两向量垂直得到m·元=asinB+V3 bcosA=0,由正弦定理得sinAsinB+√3 sinBcosA=0,整 理得到tanA=-V√3，即可求解； (2)由余弦定理可得：a2=b2+c2-2 bccosA,代入整理求得c=1,利用三角形面积公式即可求解. 17.(本小题满分15分) 已知a(a+争=-3，cosB=-2 ,且，B∈(0，)，求： (1)sin2a的值； (2)2a-B的值. 解：(L)由tan(a+孕= tana+tanz tana+1 1-tana.tan 1-tana =-3, 解得tanc=2, -3分 所以sin2a= 2sinacosa 2tana =2x2 4 sin a+cos2a tan2a+122+15 -6分 (2)cos2a _cos2a-sin-a 1-tan2a 1-22 之之十、 ，-8分 sin-a+cos2a 由cs6=-7沿，B∈0.m, 所以sinA=是 ----10分 所以sin(2a-β)=sin2 acosB-cos2 asinB =x(-5-(角×0=号 2 -12分 因为a∈(0，π)，tana=2>1, 所以a∈（乐，，所以2a∈(，m, 又B∈(0，)，cosB<0,所以B∈(G,m), 所以-Be(←元，-2，所以2a-Be(-,, 所以2a-B=-景 -15分 【解析】本题考查二倍角正弦公式、二倍角余弦公式、正余弦齐次式的计算、由一个三角函数值求其他三 角函数值、两角和与差的正弦公式、两角和与差的正切公式，属于中档题. ()由题意求出tama,再由sin2a=乙sinccos。=2an,即可求出结果： sin a+cos2a tan2a+1 (2)cos2a=cos2a-sin'a=1-tan2a sin-a+cos2a tanza+1 求出cos2a,再求出sinB,由此求出sin(2a-B),即可求出结果。 高一数学答案第11页（共14页） 18.(本小题满分17分) 如图所示，在△ABC中，D是边BC的中点，E在边AB上，BE=2EA,AD与CE交于点O. D (1)以AB,AC为基底表示AO 2)若丽元=3A0.EC,求巴的值， AC 解：(1)EC=AC-AE=-3AB+AC, -2分 设AO=1AD,E0=uEC, AO=AD=(AB+AC), ----4分 A0=AE+EO=AE+uEC=AE+(AC-AE) =(1-)AE+μAC=号AB+uAC, A0=AB+是AC.-10分 (2)EC=AC-A正=-AB+AC, 由AD.AC=3A0.EC, 所以GAB+2AC)·AC=3(AB+AC·(-3AB+AC), 即吗AB.AC+AC=-}AB+A丽.4AC+AC2, 所以AB2=}AC2,-15分 码=1.-17分 19.(本小题满分17分) “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使 其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小 高一数学答案第12页（共14页） 于120°时，使得∠A0B=∠B0C=∠C0A=120°的点0即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时， 最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b, c,点P为△ABC的费马点，且满足(2b-c)cosA-acosC=0,a2-(b-c)2=4 (1)求A; (2)求PA.PB+PB.PC+PC.PA的值； (3)求PB·PC的取值范围. 解：(1)根据正弦定理品=品B=品C由(2b-c)cosA-acosC=0, 得(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0,-----2分 根据两角和公式sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C),得2 sinBcosA-sin(A+C)=0, 又由于sin(A+C)=sinB,则有2 sinBcosA-sinB=0,可得cosA=2,又A∈(0，m),A=60°， 故A为60°.---4分 (2)由A=60°可得△ABC的三个内角均小于120°，点P为△ABC的费马点， 则∠APB=∠BPC=∠CPA=120°， 由a2-(b-c)2=4,根据余弦定理有a2=b2+c2-2 bccosA, 则b2+c2-bc=4+b2-2bc+c2,可得bc=4,-----6分 所以SEABC=bcsinA=V3, 又有SAABC=SAAPB+SABPC+SACPA =2(IPA·PB1+IPBl·IPC+IPC·PA)sin120, 可得1PA·IPB1+1PB|·IPC|+IPC·IPA=4,--8分 所以PA·PB+PB.PC+PC·PA=((IPAI IPBI-+IPBI IPCI+|PC·IPA)·cos120°=4×(-)=-2， 因此PA·PB+PB.PC+PC·PA=-2.---10分 (3)设LABP=6,则PAB=60°-0，∠PAC=∠BAC-∠PAB=60°-(60°-0)=0，LACP=60°-0， 其中0°<0<60°， △APB中，由正弦定理可得n9p西=2则PB=子Sin(60-), PB △APG中，由正弦定理可得m29pc=2Fc则PC=方sin9, PC 即1 PBI IPCI=号besine6sin(60-0)=sin0sin(60-0),-l3分 故gsin0sin(60°-0) 高一数学答案第13页（共14页） 16. 1 -3sin(2 cos0-7sine) 8 =3(3sin@cos0-sin20) 8√3 =3(2sin20- 1-cos20 2 -[sin(20+30)-2引， 故1PB·PC=9[sin(26+30)-2力， 因为0°<0<60°→30°<28+30°<150°→2<sin(29+30°)≤1， 所以PB·PC的取值范围是(0，.-17分 高一数学答案第14页（共14页） 南京一中2025－2026学年第二学期期中试卷 高一数学 2026.05 命题人：蒋文化,唐颖杰 校对人：唐颖杰 审核人：雷蕾 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin49°sin19°+cos19°sin41°=(    ) A. 12 B. −12 C. 32 D. − 32 2．已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 3．在中，内角、、所对的边分别为、、，若：：：：，则：：(    ) A. ：： B. ：： C. ：： D. ：： 4．已知，则(    ) A. B. C. D. 5．已知复数，则下列说法正确的是(    ) A. 的模为 B. 的虚部为 C. 的共轭复数为 D. 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 6．已知的边长均为，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7．已知，，，若是纯虚数，则(    ) A. B. C. D. 8．已知锐角，角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 是空间三条不同的直线，则下列命题不正确的是(    ) A. ， B. ， C. ，，共面 D. ，，共点，，共面 10．关于非零向量，，下列命题中，正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 11．下列计算正确的选项有(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则 ． 13．如图所示，是线段外一点，若，，，，中，相邻两点间的距离相等，，，则 用，表示 14．在中，角、、所对的边分别为、、，，是的中线，且，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分) 如图所示，在四棱锥，平面，，是的中点． 求证：； 求证：平面． 16．(本小题满分15分) 已知三个内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． 求角； 若，，求的面积． 17．(本小题满分15分) 已知，，且，，求： 的值 的值． 18．(本小题满分17分) 如图所示，在中，是边的中点，在边上，，与交于点． 以为基底表示； 若，求的值． 19．(本小题满分17分) “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，且满足， 求 求的值 求的取值范围． 高一数学试卷 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $