2026年甘肃省兰州市中考数学新题型 二次函数代数推理专项练习

**基本信息** 聚焦二次函数代数推理，以"概念-性质-证明"逻辑链构建方法体系，强化推理意识与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求解|8题|待定系数法、对称轴公式、最值计算|从表达式确定到性质应用，形成"点坐标→参数关系→函数特征"推导链| |代数推理|10题|对称性应用、代数变形、定值证明|以二次函数对称性为核心，通过方程思想实现从形到数的转化，培养逻辑推理能力|

兰州2026中考新题型二次函数代数推理专项练习 1、在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点， (1)求的值； (2)已知二次函数的最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 2、在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为， （i）求该二次函数的表达式； （ii）若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 3、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象过点A（1，t），B（2，t）． （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的最大值为1． （i）求该二次函数的表达式； （ⅱ）若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 4、已知抛物线y＝ax2﹣bx（a，b为常数，其中a≠0）． （1）求证：抛物线与x轴必有交点； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣bx上，点B（x2，y2）在抛物线y＝（a+1）x2﹣2x（a≠﹣1）上．当时，是一个与x1无关的定值． （i）求b的值； 5、已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（4，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝x2﹣2x上（A，B与原点都不重合）． ①若，且x1＝x2，证明：y2＞y1； ②当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值． 6、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（3，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若二次函数y＝ax2+bx的最大值为． （i）求该二次函数的表达式； （ii）若M（x1，m），N（x2，n）为该二次函数图象上的不同两点，m≠0，且，求证：m＝n． 7、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（2，t），B（3，t）． （1）求a与b之间关系； （2）已知二次函数的y＝ax2+bx+4最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 8、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（4，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若二次函数y＝ax2+bx的最大值为6﹣2a2． ①求该二次函数的表达式； ②若M（x1，p），N（x2，q）为该二次函数图象上不同的两点，p≠0且，求证：p＝q． 9、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（1，t），点B（2，t）． （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若m，n是一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的两个实数根，求m2﹣4m﹣n的值． 10、已知关于x的二次函数y＝x2＋2ax－3a，点M(x1，y1)，N(x2，y2)在该函数图象上，且x1＋x2＝3.求证：y1＋y2≥ 精锐专项每日一练 第3天 1 1 学科网（北京）股份有限公司 11、已知函数为常数，且．当时，．直接写出的取值范围． 精锐专项每日一练 第3天 1 学科网（北京）股份有限公司 12、在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2＋2mx－m＋2(m是常数). （1）若函数图象经过点(0，3)，求该函数图象的顶点坐标； (2)若函数图象经过点(－1，p)，(1，q)，求证：pq≤12. 精锐专项每日一练 第3天 1 学科网（北京）股份有限公司 13、在平面直角坐标系中，点在抛物线上，对称轴为直线 (1)若求的值； 精锐专项每日一练 第3天 (2)已知点，在该抛物线上，且比较的大小，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 14、在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点Q和，给出如下定义：若存在点Q在内（包含圆周），则称为的关联三角形． (1)如图1，若点 ①已知点，，则在，中为⊙O的关联三角形的是 ； ②P是x轴上的动点，且为的关联三角形，则点P横坐标m的取值范围是 ； (2)如图2，若点，直线上存在点P使得．为的关联三角形，直接写出b的取值范围． 精锐专项每日一练 第5天 1 1 学科网（北京）股份有限公司 15、在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 精锐专项每日一练 第5天 1 1 学科网（北京）股份有限公司 16、已知二次函数． (1)求证：该二次函数图象必过定点； (2)若，在该二次函数图象上，，求k值； (3)若该二次函数图象与x轴有两个交点，其横坐标分别为，，求证： 精锐专项每日一练 第5天 1 学科网（北京）股份有限公司 17、已知抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)点，在该抛物线上． ①若，时，求的值； ②若，求的最大值． 精锐专项每日一练 第5天 1 学科网（北京）股份有限公司 18、已知二次函数y=x2-2(p+1)x+q的图象经过(1，0)，(0，-5)两点． (1)求p、q的值； (2)点A(x1，y1)、B(x2，y2)是该函数图象上两点，若x1+x2=2，求证：y1+y2>0． 参考答案与试题解析 1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点A（2，k），B（﹣1，k）． （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx+2的最大值为． （i）求该二次函数的表达式； （ii）若M（x1，n），N（x2，n）为该二次函数图象上的不同两点，且n≠0，求证：． 【分析】（1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出x1+x2＝1，然后把通分后代入即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的对称轴为， ∴， ∴； （2）（ⅰ）∵， ∴当时，二次函数的最值为， ∴二次函数图象开口向下，即a＜0， ∵二次函数y＝ax2+bx+2的最大值为， ∴， 化简得，a3﹣b2﹣2a＝0， 由（1）知，， ∴b＝﹣a， ∴a3﹣a2﹣2a＝0， ∴a（a+1）（a﹣2）＝0， ∴a+1＝0或a﹣2＝0， ∴a＝﹣1或a＝2（舍去）， ∴二次函数解析式为y＝﹣x2+x+2； （ⅱ）∵M（x1，n），N（x2，n）为该二次函数图象上的不同两点，且n≠0，不妨设x1＜x2， ∴二次函数的对称轴为直线， 由（1）知，二次函数y＝﹣x2+x+2的对称轴为直线， ∴，， ∴x1+x2＝1， ∵ ＝0， ∴． 【点评】本题考查了二次函数．熟练掌握待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，二次函数的最值，用分式的减法证明相等关系，是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象过点A（1，t），B（2，t）． （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的最大值为1． （i）求该二次函数的表达式； （ⅱ）若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 【分析】（1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为，列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出x1+x2＝3，然后把通分后代入即可求解． 【解答】（1）解：二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象的对称轴为直线， ∵点A（1，t），B（2，t）在该函数的图象上， ∴， ∴， ∴； （2）①解：由（1）可得， ∵b＝﹣3a， ∴该函数的表达式为y＝ax2﹣3ax﹣2， ∴函数图象的顶点坐标为， ∵函数的最大值为， ∴a＜0，且， 解得a＝﹣1，或a＝4（舍去）， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x﹣2， ②证明：∵点M（x1，m）在函数y＝﹣x2+3x﹣2的图象上， ∴， 由①知，点M（x1，m），N（x2，m）关于直线对称，不妨设x1＜x2， 则，即x1+x2＝3， ∴ ＝0， ∴． 【点评】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程，掌握以上性质是解题的关键． 3．已知抛物线y＝ax2﹣bx（a，b为常数，其中a≠0）． （1）求证：抛物线与x轴必有交点； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣bx上，点B（x2，y2）在抛物线y＝（a+1）x2﹣2x（a≠﹣1）上．当时，是一个与x1无关的定值． （i）求b的值； 【分析】（1）根据二次函数的性质，得出y＝ax2﹣bx，得Δ＝（﹣b）2﹣4a×0＝b2≥0，即可作答； （2）（i）理解题意，先得出y1，y2，又因为，整理得（a+1）x2﹣2＝ax1﹣b，故x2，又因为是一个与x1无关的定值，得出，即可作答； 【解答】（1）证明：∵y＝ax2﹣bx（a，b为常数，其中a≠0）， 当y＝0时，得：ax2﹣bx＝0， ∵Δ＝（﹣b）2﹣4a×0＝b2≥0， ∴ax2﹣bx＝0必有解， ∴抛物线与x轴必有交点； （2）解：（i）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣bx上，将点A的坐标代入得： ∴y1； 点B（x2，y2）在抛物线y＝（a+1）x2﹣2x上，将点B的坐标代入得： ∴y2， ∵， ∴， ∴， 则x2x1[（a+1）x2﹣2]＝x2x1（ax1﹣b）， ∴x1x2[（a+1）x2﹣2]＝x1x2（ax1﹣b）， ∵， ∴x1≠0，x2≠0，（当x1＝0，x2＝0，无意义）， ∵x1x2[（a+1）x2﹣2]＝x1x2（ax1﹣b）， ∴（a+1）x2﹣2＝ax1﹣b， ∴， ∴， ∵是一个与x1无关的定值． ∴， ∴﹣b+2＝0， ∴b＝2； 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，点的平移，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（4，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝x2﹣2x上（A，B与原点都不重合）． ①若，且x1＝x2，证明：y2＞y1； ②当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值． 【分析】（1）将点（4，0）代入y＝ax2+bx得，b＝﹣4a，根据对称轴公式即可解答； （2）①当时，求得抛物线y＝ax2+bx的解析式为．根据题意判断 y2﹣y1＞0，即可； ②由题意得，，．代入，得，由A，B与原点都不重合，即，整理得x2＝a（x1﹣4）+2，代入计算得，是一个与x1无关的定值，即2﹣4a＝0，求出a，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得，将点（4，0）代入y＝ax2+bx得， 16a+4b＝0，即b＝﹣4a， ∴， 故所求抛物线的对称轴是直线x＝2． （2）①由（1）可知，当时，b＝﹣4a＝﹣2， 抛物线y＝ax2+bx的解析式为． ∵x1＝x2， ∴ ， ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴x1≠0， ， ∴y2＞y1； ②由题意知，，． ∵，即x1y2＝x2y1． ∴即x1x2（x2﹣2）＝ax1x2（x1﹣4）． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以x1≠0，x2≠0． 故x2﹣2＝a（x1﹣4），即x2＝a（x1﹣4）+2． 于是． 依题意知，是与x1无关的定值． 则2﹣4a＝0，解得． 经检验，当时，是一个与x1无关的定值，符合题意． 所以，b＝﹣4a＝﹣2． 【点评】本题考查二次函数性质，整式的加减，分式的化简，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（3，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若二次函数y＝ax2+bx的最大值为． （i）求该二次函数的表达式； （ii）若M（x1，m），N（x2，n）为该二次函数图象上的不同两点，m≠0，且，求证：m＝n． 【分析】（1）将A（3，0）代入可得a、b之间的关系，即可得解； （2）（i）化成顶点式，得到顶点坐标，根据题意建立方程即可求出a值，从而得解； （ii）先化简，可得x1+x2＝3，进而可得x1、x2关于对称轴对称，即可得证． 【解答】（1）解：∵二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（3，0）， ∴9a+3b＝0， ∴b＝﹣3a． ∴， ∴该抛物线的对称轴为x； （2）（i）解：由（1）可得b＝﹣3a， ∴该函数的解析式为， ∴函数图象的顶点坐标为， ∵函数的最大值为， ∴a＜0，且， 解得a＝﹣1，或a＝4（舍去）， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x； （ii）证明：∵点M（x1，m）在函数y＝﹣x2+3x的图象上， ∴， ∵m≠0， ∴ ， ∴x1+x2﹣3＝0，即x1+x2＝3， 不妨设x1＜x2， ∴， ∵该抛物线的对称轴为 ∴m＝n． 【点评】本题主要考查二次函数的解析式、顶点坐标、对称轴等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 6．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（2，t），B（3，t）． （1）求a与b之间关系； （2）已知二次函数的y＝ax2+bx+4最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 【分析】（1）由点A（2，t），B（3，t）在该函数的图象上，所以，得到，即可解答； （2）①根据函数图象有最小值为，得到，由此求出a的值，得到函数解析式；②由对称性得到x1+x2＝5，代入等式左边和右边即可判断． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象的对称轴为， ， ， ∴； （2）①由（1）可得b＝﹣5a， ∴， 则函数图象的顶点坐标为． ∴a＞0，且， 解得a＝1，或a＝﹣26（舍去）． ∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣5x+4． ②证明：∵点M（x1，m）在函数y＝x2﹣5x+4的图象上， ∴． 由①知，点M（x1，m），N（x2，m）关于直线对称， 不妨设x1＜x2，则， ∴x1+x2＝5，即x1＝5﹣x2， ∴， ∴． 【点评】此题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3a的图象过点A（1，t），B（3，t） （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx+3a的最小值为a2﹣6． ①求该二次函数的表达式； ②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 【分析】（1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最小值为a2﹣6列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出x1+x2＝4，然后把代入通过分解因式和约分后即可证得结论． 【解答】解：（1）二次函数图象的对称轴为． ∵点A（1，t），B（3，t）在该函数的图象上， ∴， ∴． （2）①由（1）可得b＝﹣4a，抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴该函数的表达式为y＝ax2﹣4ax+3a， 当x＝2时，y＝﹣a，即函数图象的顶点坐标为（2，﹣a）． ∵函数的最小值为a2﹣6， ∴a＞0，且﹣a＝a2﹣6， 解得a1＝2，a2＝﹣3（舍去）． ∴该二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x+6． ②证明：∵点M（x1，m）在函数的图象上， ∴． 由①知，即x1＝4﹣x2． ∴． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是关键． 8．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（4，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若二次函数y＝ax2+bx的最大值为6﹣2a2． ①求该二次函数的表达式； ②若M（x1，p），N（x2，q）为该二次函数图象上不同的两点，p≠0且，求证：p＝q． 【分析】（1）把A（4，0）代入得b＝﹣4a，进而根据对称轴公式，即可求解； （2）①根据当x＝2时，最大值为6﹣2a2.得出a＝﹣1，结合b＝﹣4a即可求解； ②把M（x1，p）代入y＝﹣x2+4x得到：代入代数式化简得出x1+x2＝4，即可得出点M，N关于对称轴对称，即可求解． 【解答】解：（1）把A（4，0）代入y＝ax2+bx得：16a+4b＝0， 解得b＝﹣4a， ∴抛物线对称轴为直线， 即对称轴为直线x＝2． （2）①∵二次函数y＝ax2+bx的最大值为6﹣2a2.对称轴为直线x＝2， ∴抛物线开口向下， 当x＝2时，函数取得最大值， ∴4a﹣8a＝6﹣2a2， 解得a＝3（舍去）或a＝﹣1， ∴b＝﹣4a＝4， ∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x； ②把M（x1，p）代入y＝﹣x2+4x得到：， ∴， 化简得x1+x2＝4， 即点M，N关于对称轴对称， ∴p＝q． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（1，t），点B（2，t）． （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若m，n是一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的两个实数根，求m2﹣4m﹣n的值． 【分析】（1）利用二次函数的对称性进行求解； （2）①利用二次函数的顶点坐标及b＝﹣3a，建立方程求解即可； ②利用方程的根及根与系数的关系进行求解即可． 【解答】解：（1）二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象过点A（1，t），B（2，t）． ∴对称轴为直线x1.5， ∴1.5， ∴； （2）①∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的最大值为， ∴a＜0，， 又∵b＝﹣3a， ∴a2﹣3a﹣4＝0， 解得：a＝4（不合题意，舍去）或﹣1， ∴b＝3， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x﹣2； ②由①知，方程为：﹣x2+3x﹣2＝0，即x2﹣3x+2＝0， 若m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根， 则m+n＝3，mn＝2，m2﹣3m＝﹣2， ∴m2﹣4m﹣n＝m2﹣3m﹣（m+n）＝﹣2﹣3＝﹣5． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 10、 11、 或． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，分类讨论思想的运用是解题的关键． 由解析式可知抛物线一定过点，，分两种情况讨论即可求得的取值范围． 【详解】解：如图， 时，，时，， 抛物线一定过点，， 当时，， 函数为常数，且的图象开口向上时满足题意，则， 函数为常数，且的图象开口向下时，，解得， 当时，，则的取值范围是或． 12、 （2） 13、 3．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据对称性求出对称轴，即可得出结果； （2）根据对称性确定对称轴的范围，根据二次函数的增减性，比较的大小即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上，且 ∴关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线； 故； （2），理由如下： ∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， 又∵抛物线过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，在抛物线上， ∴三点到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14、 (1)，； (2)或 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一元二次不等式的解； （1）①Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的，根据旋转性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质，可分别求出、的坐标，计算与圆心的距离可确定是否在圆内； ②P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在内，求出Q点坐标，利用来求出m的范围； （2）分将P顺时针和逆时针旋转来讨论，思路是一样的先求出对应的Q点的坐标，然后利用勾股定理计算出与圆心的距离，让这个距离小于等于2即可，要注意的是建立的关于t的一元二次不等式是含有参数b的，再利用一元二次不等式要有解，判别式来求出b范围. 【详解】（1）解：由题意得 ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的， ①如图所示，过A作轴平行线，过作，过作，过A作轴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， ∵在x轴上， ∴， ∴点的坐标为， ∵圆心为O的坐标为，圆的半径为2， ∴等于半径，小于半径， ∴、分别在的内部和圆周之上，都符合关联三角形的定义， ∴，都是的关联三角形. 故答案为：，. ②如图所示：P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在⊙O内（包含圆周） ∵P是x轴上的动点，点P横坐标m， ∴， 由①得， ∴Q点坐标， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即，即在数轴上m到的距离小于等于2， ∴， 故答案为：. （2）解：当点，点P在直线上，设P点坐标为，此时由Q点可由顺时针或逆时针旋转得到，分类讨论， 当Q由顺时针旋转得到时，如图所示： 由（2）得， ∴，， ∴Q点坐标为， 由勾股定理的， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即， 整理得， 若此时Q点存在，则此不等式一定要有解， ∴， 解得； 当Q由逆时针旋转得到时，如图所示： 同理可得Q点的坐标为， 由勾股定理的， 整理得， 同样的道理若要存在Q点，则此不等式要有解， ∴， 解得. 综上所述：或. 15、 (1)，； (2)或 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、因式分解、解不等式等知识点是解题关键． （1）①将代入即可求出该抛物线的对称轴； ②根据二次函数的性质即可求解； （2）因为不确定，所以要分类讨论，根据和分两种情况讨论，再根据范围取舍即可． 【详解】（1）解：①将代入得， ∴该抛物线的对称轴为直线； 即该抛物线的对称轴为直线； ②∵， ∴该抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 分两种情况： ①当时，，在对称轴右侧， 当和是都在对称轴右侧，此时随增大而增大， ∵对于，，都有， ，， ； 即 当在对称轴左侧时，关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 此时随增大而增大， ∵， ∴， ∵对于，，都有， ，即， ， ∵， ∴此时没有符合条件的a存在； 综上分析可知：此时； ②当时，，在对称轴左侧， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 在对称轴右侧，随增大而减小， ∵对于，，都有， ， ； 综上，的取值范围为或． 16、 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）令，求出值，进行判断即可； （2）把点代入函数解析式，根据，列出方程进行求解即可； （3）令，根的判别式得到，再根据根与系数的关系，进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴当时，； ∴该二次函数图象必过定点； （2）由题意，，， ∵， ∴， 解得：或； （3）令， ∵二次函数图象与x轴有两个交点， ∴，， ∴， ∴， ∵二次函数， ∴， ∴， ∵， ∴． 17、 【答案】(1) (2)①或②3 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①根据，，得到，，代入解析式进行求解即可； ②根据，得到，，代入解析式后，得到关于的函数解析式，利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴； （2）①当，时，则：，，代入，得： ，整理，得：， 解得：或； ②时，则：，， ∴， 整理，得：， ∴当时，有最大值为3． 18、 【答案】(1){p=-3,q=-5 (2)证明见解析 【分析】(1)将(1，0)，(0，-5)代入函数解析式求解； (2)由抛物线解析式及x1+x2=2，可得y1+y2=2(x1-1)^(2)>0． 【详解】(1)解：将(1，0)，(0，-5)代入y=x^(2)-2(p+1)x+q得{0=1-2(p+1)+q,-5=q， 解得{p=-3,q=-5， 故p的值为-3，q的值为-5； (2)解：由(1)得y=x^(2)+4x-5， ∵点A(x1，y1)、B(x2，y2)是该函数图象上两点， ∴y1=x1^(2)+4x1-5，y2=x2^(2)+4x2-5， ∴y1+y2=x1^(2)+x2^(2)+4(x1+x2)-10， ∵x1+x2=2， ∴x2=2-x1， ∴y1+y2=x1^(2)+(2-x1)^(2)-2=2x1^(2)-4x1+2=2(x1-1)^(2)， ∵点A，B是图象上两点， ∴x1≠x2≠1， ∴y1+y2=2(x1-1)^(2)>0． $