精品解析：贵州遵义市第一中学2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试题

2027届高二下期中质量检测数学试题 本卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2．选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 甲、乙两名同学报名参加4个兴趣小组，每人只报其中一个小组，则不同的报名方法有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 12种 D. 16种 【答案】D 【解析】 【分析】甲、乙各有4种报名选择，根据分步计数原理，总方法数为两者选择数的乘积。 【详解】甲有4种报名选择，乙也有4种报名选择，根据分步计数原理(乘法原理)，总方法数为种. 故选：D. 2. 设随机变量，则（ ） A. 0.25 B. 0.35 C. 0.65 D. 0.70 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，， 所以. 故选：B. 3. 对于样本相关系数，下列说法错误的是（ ） A. 样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性 B. 样本相关系数可以是正的，也可以是负的 C. 样本相关系数 D. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 【答案】D 【解析】 【分析】利用相关系数与成对样本数据间的相关关系逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性，A对； 对于B选项，样本相关系数可以是正的，也可以是负的，B对； 对于C选项，样本相关系数，C对； 对于D选项，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度也越强，D错. 故选：D. 4. 已知随机变量、满足，且，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】代入方差公式，即可求解. 【详解】. 5. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理得到展开式通项，根据的取值可确定所求系数. 【详解】展开式通项公式为：， 展开式中的系数为：. 故选：C. 6. 某家庭有3个孩子，已知其中一个孩子是男孩，则恰有1个孩子是女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据样本空间法，结合古典概型概率公式求解. 【详解】3个孩子，其中一个是男孩包含的基本事件有（男男男），（男女男），（女男男）， （男男女），（男女女），（女男女），（女女男），共包含7个基本事件 其中恰有1个女孩包含（男女男），（女男男），（男男女），共3个基本事件， 所以恰有1个孩子是女孩的概率. 7. 从1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个数字，则至少有两个数是连续数字的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先算出取3个数有几种取法，再计算没有连续的数字的取法有几种，最后拿1减去没有连续的数字的取法的概率得出结果. 【详解】取3个数字有种取法，没有连续的数字的取法 ， ， 一共20种，故至少有两个数是连续数字的概率为. 8. 方程的正整数解的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定变量的正整数取值，再对剩余变量的和用挡板法分情况计算分组数，累加得到结果. 【详解】已知均为正整数，即 . 由 ， 结合，得 ，解得 ，故可取. 利用挡板法：将个相同元素分为3组且每组至少1个，分组方式数为. 当时， ，分组数 ， 当时， ，分组数， 当时， ，分组数 ， 当时， ，分组数 ， 因此，总分组方式数为 . 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设事件A、B满足，，则（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若与独立，则 D. 若，则与独立 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A选项，若，则，则 ，故A选项错误； 对于B选项，若与互斥，则 ，故B选项正确； 对于C选项， ， 若与独立，则与独立， 故 ，故C选项正确； 对于D选项，若，则，得出， 因为，所以与不独立，故D选项错误. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过赋值法，结合二项式定理逐项判断即可. 【详解】选项A：令展开式中，可得，即，A正确； 选项B：分别令和：  时，  ①，  时， ② ， ①+②得， 即，B错误； 选项C：展开式通项为， 故当 ，，当时，， 所以，C正确； 选项D：将所求式子变形为 ， 令代入原式得， 两边同乘得 ，D正确. 11. 将甲、乙、丙、丁、戊5位教师分配到A、B、C三所学校支教，若每所学校至少分配一位教师，则（ ） A. 共有540种不同的分配方法 B. 甲分配到学校的概率为 C. 若甲、乙两位教师必须分配到同一所学校，则共有36种不同的分配方法 D. 甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】按与分配求解判断AC；缩小样本空间求出古典概率判断B；按甲去校分类求出方法种数，再求出概率判断D. 【详解】对于A，按分配有种方法，按分配有种方法， 因此符合要求的不同分法种数是 ，A错误； 对于B，甲有3种分配方案，因此甲分配到学校的概率为，B正确； 对于C，若甲乙和另外一位老师分配到某校，则需按分配有种方法， 若甲乙分配到某校，则需按分配有种方法， 因此甲、乙两位教师必须分配到同一所学校的不同分法种数是，C正确； 对于D，甲到校有种方法，甲到校有种方法， 因此甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的概率为，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，且，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二项分布中的对立事件为，结合对立事件概率公式列方程求解. 【详解】随机变量 ，根据对立事件的概率性质 ， 代入，可得，   ，得， 解得. 13. 现有8道四选一的单选题，学生李华对其中6道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对的概率为．现从这8道题中随机选择1题，则他做对该题的概率为____________． 【答案】##0.7375 【解析】 【分析】将题目划分为有思路、无思路两类，结合对应条件概率，利用全概率公式求解随机抽取一题做对的总概率. 【详解】随机抽取1道题，抽到有思路题的概率为，抽到无思路题的概率为. 抽到有思路题时做对的条件概率为，抽到无思路题时做对的条件概率为. 由全概率公式可得 . 14. 连续4次抛掷一枚质地均匀的骰子，则向上的点数之和为的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式，先计算总基本事件数，再通过隔板法计算点数之和为10的事件数，最终求两者的比值即可. 【详解】连续4次抛掷质地均匀的骰子，每次抛掷有6种等可能结果，总基本事件数为 ，属于古典概型. 设4次向上的点数为， 其中 ，需求满足的正整数解的个数. 1. 不考虑 的限制时，由隔板法，正整数解个数为 2. 排除存在的情况：①②③④共4 种， 因此符合条件的解的个数为.故所求概率. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种产品的广告费支出与销售额 (单位：万元）具有较强的相关性，且两者之间有如下对应数据: 2 4 5 6 8 28 36 52 56 78 （1）求关于的线性回归方程； （2）根据（1）中的线性回归方程，当广告费支出为10万元时，预测销售额是多少？ 参考数据： ，，． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，. 【答案】（1）（2）当广告费支出为10万元时，预测销售额大约为. 【解析】 【分析】（1）利用公式和题目中的数据，先求样本中心，代入方程直接求解． （2）根据第一问的方程，当时代入求解． 【详解】：（1）， ， 因此所求回归直线方程为 （法二：利用前半个公式求解相应给分） (2)当时， 答：当广告费支出为10万元时，预测销售额大约为. 【说明：没有答题和估计的扣两分】 【点睛】：回归直线方程必过样本中心．回归直线及回归系数是一个近似值，只能大致的（不能精确）反映变量的取值和变化趋势． 16. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，且． （1）证明：； （2）求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合正弦二倍角公式化简即可证明； （2）由题意可得，根据三角恒等变换化简结合正弦函数性质计算求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可得，即， 所以或， 因为，若，则，不符合题意， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 因为，且， 所以， 则 ， 当时，， 由正弦函数性质可知，， 所以的取值范围. 17. 如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，在侧棱上，，为的中点，点在侧棱上，且． （1）证明：、、、四点共面； （2）若，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为空间内一组基底，根据空间向量线性运算结合空间向量共面基本定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，根据点到平面距离空间向量法计算即可. 【小问1详解】 因为为非零向量且不共线， 所以可以作为空间内一组基底， 因为在侧棱上，， 所以， 同理可得， 因为为的中点，所以， 因为, 所以共面，即、、、四点共面； 【小问2详解】 以点为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，且到上任意一点的距离最小值为1． （1）求的方程； （2）过的直线与交于、两点，与轴交于点，且在线段之间，为的右顶点． （i）若的面积是的面积的3倍，求的方程； （ii）设，，证明：为定值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）（i）设出直线的方程，由三角形面积关系用的斜率表示出点坐标并列出方程求解；（ii）联立直线的方程与的方程，利用韦达定理及共线向量的坐标表示列式计算得证. 【小问1详解】 由椭圆的左焦点为，得椭圆的半焦距， 由到上任意一点的距离最小值为1，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）得，直线的斜率存在，设其方程为，则， 由，得，而的面积是的面积的3倍， 则，由在线段上，得是线段的中点，于是， 又点在椭圆上，则，解得， 所以直线的方程为. （ii）由消去得， 设，则， 由，得，则，同理， 因此， 所以为定值. 19. 甲、乙两人进行知识答题比赛，比赛方案为：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个．已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再回答一道题，答对则判乙胜，答错则判甲胜． （1）求甲、乙两人共答对个问题的概率； （2）试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由； （3）求乙答对题目数的分布列和期望． 【答案】（1） （2）乙胜出的可能性更大，理由见解析 （3）随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 期望. 【解析】 【分析】（1）根据题意分别计算出甲乙答对题目数的概率，考虑甲答对道题，乙答对道题和甲答对道题，乙答对道题即可； （2）通过分情况和，先得出甲获胜的概率，从而得到乙获胜的概率，然后比较两者的概率即可； （3）根据题意，得出乙答对题目数的可能取值为，分别计算对应的概率即可，最后利用随机变量的期望公式即可求出期望. 【小问1详解】 设甲答对的题目数为，乙答对的题目数为， 则甲答对的题目数的可能取值为，其概率分布如下： ，，， 乙答对的题目数服从二项分布，其概率分布如下： ，， ，， 因此甲、乙两人共答对个问题，即 ，可能的情况有： ①甲答对道题，乙答对道题，此时概率为， ②甲答对道题，乙答对道题，此时概率为， 由于. 因此甲、乙两人共答对个问题的概率为. 【小问2详解】 先计算的概率，根据题意， ， 由（1）得，， 在的情况下，甲获胜的概率为； 再计算的概率，即甲在前题中已经获胜的概率， 当时，； 当时，； 当 时，； 当 时，； 当时，； 当 时，； 因此，所以甲获胜的概率为 则乙获胜的概率为，因此乙更可能获胜. 【小问3详解】 乙答对的题目数包含两部分：前道题中答对的题目数以及在平局情况下额外答对的道题（答对概率，答错概率）， 因此乙答对的题目数的可能取值是， ①当时，由于，所以不可能加赛，因此只能是乙在前道题中答对的题目数， 所以； ②当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且没有进入加赛、乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答错， 所以，代入数据得； ③当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且没有进入加赛、乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答错， 乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答对， 所以，代入数据得； ④当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且没有进入加赛、乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答错， 乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答对， 所以， 代入数据得； ⑤当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答对， 所以， 代入数据得； 因此乙答对的题目数的分布列为： 期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二下期中质量检测数学试题 本卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2．选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 甲、乙两名同学报名参加4个兴趣小组，每人只报其中一个小组，则不同的报名方法有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 12种 D. 16种 2. 设随机变量，则（ ） A. 0.25 B. 0.35 C. 0.65 D. 0.70 3. 对于样本相关系数，下列说法错误的是（ ） A. 样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性 B. 样本相关系数可以是正的，也可以是负的 C. 样本相关系数 D. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 4. 已知随机变量、满足，且，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 某家庭有3个孩子，已知其中一个孩子是男孩，则恰有1个孩子是女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 从1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个数字，则至少有两个数是连续数字的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 方程的正整数解的个数为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设事件A、B满足，，则（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若与独立，则 D. 若，则与独立 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 将甲、乙、丙、丁、戊5位教师分配到A、B、C三所学校支教，若每所学校至少分配一位教师，则（ ） A. 共有540种不同的分配方法 B. 甲分配到学校的概率为 C. 若甲、乙两位教师必须分配到同一所学校，则共有36种不同的分配方法 D. 甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的概率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，且，则____________． 13. 现有8道四选一的单选题，学生李华对其中6道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对的概率为．现从这8道题中随机选择1题，则他做对该题的概率为____________． 14. 连续4次抛掷一枚质地均匀的骰子，则向上的点数之和为的概率为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种产品的广告费支出与销售额 (单位：万元）具有较强的相关性，且两者之间有如下对应数据: 2 4 5 6 8 28 36 52 56 78 （1）求关于的线性回归方程； （2）根据（1）中的线性回归方程，当广告费支出为10万元时，预测销售额是多少？ 参考数据： ，，． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，. 16. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，且． （1）证明：； （2）求的取值范围． 17. 如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，在侧棱上，，为的中点，点在侧棱上，且． （1）证明：、、、四点共面； （2）若，求点到平面的距离． 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，且到上任意一点的距离最小值为1． （1）求的方程； （2）过的直线与交于、两点，与轴交于点，且在线段之间，为的右顶点． （i）若的面积是的面积的3倍，求的方程； （ii）设，，证明：为定值． 19. 甲、乙两人进行知识答题比赛，比赛方案为：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个．已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再回答一道题，答对则判乙胜，答错则判甲胜． （1）求甲、乙两人共答对个问题的概率； （2）试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由； （3）求乙答对题目数的分布列和期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $