精品解析：贵州织金县第二中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

织金县第二中学（2025-2026学年）春季学期半期考试 数学试卷（高二） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】由全称命题的否定是特称命题可知：命题“，”的否定为，. 2. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，则， 又，，则. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】根据平面向量平行的坐标性质，若，， 则，代入，得：， 即，解得或， 判断充分必要性：若，一定能推出，充分性成立； 若，还可以取，不能推出，必要性不成立， 因此是的充分而不必要条件. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质和基本不等式进行分析，再结合特殊值法进行判断即可. 【详解】对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于A ，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于D，由题干无法判断，故D错误. 故选：C. 5. 从4名男生和3名女生中选3人去参加比赛，若3人中既有女生又有男生的选法共有（ ） A. 18种 B. 20种 C. 30种 D. 60种 【答案】C 【解析】 【详解】方法1、间接法： ∵ 从7名学生中任选3人的总选法共有 种， 选3人全为男生的选法有 种，选3人全为女生的选法有 种， ∴ 3人中既有男生又有女生的选法为总选法减去全为男生、全为女生的选法，即 种. 方法二、直接法： ∵ 3人中既有男生又有女生包含两类情况：1名男生2名女生、2名男生1名女生， 选1名男生2名女生的选法有 种， 选2名男生1名女生的选法有 种， ∴ 总选法共有 种. 6. 已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长，利用几何法求出球的半径，最后利用球的表面积公式求解． 【详解】已知圆锥底面半径，体积为，设圆锥的高为，则 ，解得， 设圆锥母线长为，则， 设圆锥内切球半径为，则截面图如下： 则，，， ，即， ， 该内切球的表面积为． 7. 已知是第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式得出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为是第二象限角，且， 所以， 故. 8. 已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线定义及余弦定理得，则，从而得到方程，解出离心率即可. 【详解】如图，设，是双曲线左支上的两点， 令，由双曲线的定义可得． 在中，由余弦定理得， 整理得，解得或（舍去）． ，根据双曲线定义可得， ∴，则, ∴为直角三角形，且． 在中，， 即， ∴， ∴．即该双曲线的离心率为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 某工厂甲､乙､丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件､80件､60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则下列说法正确的是（ ） A. 甲车间应抽取6件 B. 乙车间应抽取8件 C. D. 该抽样方法是随机抽样 【答案】AC 【解析】 【分析】根据分层抽样的步骤及抽样比计算公式即可判断ABC，根据分层抽样的定义及随机抽样的定义即可判断选项D. 【详解】由分层抽样可得，解得，故C正确. 则甲车间应抽取，故A正确. 乙车间应抽取，故B错误. 分层抽样属于概率抽样，随机抽样一般指简单随机抽样，二者概念不同，故D错误. 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在上的最小值为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，因为的最小正周期为， 所以，解得，故A正确. 对于B，因为，所以，故B错误. 对于C，因为，故C正确. 对于D，因为，所以，所以，故D错误. 11. 深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，激活函数是神经网络的重要组成部分.函数是其中重要的激活函数之一，则（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间上不单调 C. 存在唯一极值点 D. 恒成立 【答案】ACD 【解析】 【详解】对A：因为恒成立， 所以当时，；当时，；当时，. 所以函数有且仅有一个零点，故A正确； 对B：因为， 当时，，所以函数在上单调递增，故B错误； 对C：由B可得. 设，易知在上单调递增，且，， 所以存在，当时，. 当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增. 所以存在唯一极值点，故C正确； 对D：由C，， 且， 所以，因为，所以. 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的虚部为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，则，可得虚部为. 13. 二项式的展开式中，的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】，， 则， 即的系数为. 14. 若是定义在上的奇函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性求，利用奇偶性及函数单调性转化为，求解即可. 【详解】是定义在上的奇函数，所以，， 当时，， ， 是奇函数，故； 当时，是增函数，根据复合函数单调性，在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，所以在上单调递增， 由可得， 因为是奇函数，则， 又因为在上单调递增，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项，前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系消去，得递推式，判断是等比数列，即可求得其通项； （2）先求出的通项公式，利用分组求和法与等差、等比数列求和公式求解即得. 【小问1详解】 由①，当时，②， ①-②得，即， 又∵，满足， ∴是以3为首项，3为公比的等比数列，即 【小问2详解】 ∵， ∴ ． 16. 甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将这些零件混合放在一起且甲乙两厂零件数之比为1:4. （1）从混合放在一起的零件中随机抽取一个： ①抽到合格产品的概率. ②若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率； （2）已知这批混合零件共10件，甲厂2件，乙8件，从中不放回随机抽取3件，记这3件来自甲厂的个数为，求的分布列及期望. 【答案】（1）①；②. （2）分布列为： 0 1 2 ，期望为 【解析】 【分析】（1）①根据互斥事件、全概率公式计算可得答案；②利用条件概率公式计算即得； （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 ①事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂”， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自乙工厂”， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件是合格品”， 则且 ，有， 根据全概率公式得 ， 所以抽到合格产品的概率为； ②所以所求概率， 所以任取一件，是合格品的条件下该零件来自甲工厂生产的概率为； 【小问2详解】 依题意，的所有可能值为， ， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，则可得，再由面面垂直性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【小问1详解】 由，，，、平面 可得平面，又平面，故， 由平面平面ABCD，平面平面，且平面， 故平面； 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向， 的方向为z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设，， 则，，，， ，，， 记平面的法向量为，，即， 令，则，，即可取， 设直线与平面所成角为， 则， 即，， 解得或（负值舍去），故或． 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）证明：当时，． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何性质求出切线方程，再代入可得答案； （2）把不等式转化为，构造函数 ，求导并分析函数单调性，求出的最大值，进而得出，可得答案． 【小问1详解】 函数的定义域为， 所以， ， ， 曲线在点处的切线方程为 ， 把代入，得； 【小问2详解】 当时，要证成立，即证成立， 记， 则，． 记，， 和在上均单调递减， 在上单调递减， 又，， 存在，使得，即， ，， 当时，，即，在上单调递增， 当时，，即，在上单调递减， ， ，故成立，原命题得证． 19. 已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2. （1）求的值和抛物线的准线方程； （2）直线与抛物线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的几何性质可得； （2）利用韦达定理，结合求解可得. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 因为焦点F到准线的距离为2，所以. 故抛物线的标准方程为： 【小问2详解】 由（1）可得抛物线方程为，联立得， 因为直线与抛物线C有两个交点， 所以，，解得且， 设，则， 得， 因为以为直径的圆经过坐标原点，所以， 所以，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 织金县第二中学（2025-2026学年）春季学期半期考试 数学试卷（高二） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 从4名男生和3名女生中选3人去参加比赛，若3人中既有女生又有男生的选法共有（ ） A. 18种 B. 20种 C. 30种 D. 60种 6. 已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 某工厂甲､乙､丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件､80件､60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则下列说法正确的是（ ） A. 甲车间应抽取6件 B. 乙车间应抽取8件 C. D. 该抽样方法是随机抽样 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在上的最小值为 11. 深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，激活函数是神经网络的重要组成部分.函数是其中重要的激活函数之一，则（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间上不单调 C. 存在唯一极值点 D. 恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的虚部为__________. 13. 二项式的展开式中，的系数为________. 14. 若是定义在上的奇函数，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项，前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的前n项和． 16. 甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将这些零件混合放在一起且甲乙两厂零件数之比为1:4. （1）从混合放在一起的零件中随机抽取一个： ①抽到合格产品的概率. ②若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率； （2）已知这批混合零件共10件，甲厂2件，乙8件，从中不放回随机抽取3件，记这3件来自甲厂的个数为，求的分布列及期望. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）证明：当时，． 19. 已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2. （1）求的值和抛物线的准线方程； （2）直线与抛物线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $