精品解析：2026年湖北省襄阳市襄州区中考二模考试数学试题

2026年襄州区中考适应性考试 数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答． 1. 我国很早就开始使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得，黑色算筹“”表示的数是． 2. 长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．如图，是一个帆船模型抽象出来的几何图形，已知，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用两直线平行、同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 3. 中国瓷器以“技术+文化”为双驱动，在国际市场保持核心竞争力．如图，是白釉暗刻龙纹高足杯，下面说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 主视图和左视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 主视图、左视图和俯视图都相同 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形得到其三视图，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知：该白釉暗刻龙纹高足杯的主视图和左视图相同，故B选项符合题意． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，原计算正确； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算错误． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 调查长江流域的水污染情况，可以采用全面调查的方法 B. 某次抽奖活动中，中奖的概率为，表示每抽奖100次一定有一次中奖 C. 甲、乙两人各进行10次射击测试，两人成绩的平均数都是8.5环，方差分别是2和1.5，则甲的成绩更稳定 D. 掷一枚均匀的硬币，正面朝上，这是随机事件 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵长江流域范围广，无法完成全面调查，应当采用抽样调查，∴A选项错误； ∵中奖概率为，表示大量重复试验时，平均每100次抽奖可能中奖1次，并非抽奖100次一定有一次中奖，∴B选项错误； ∵方差越小，成绩越稳定，甲的方差2大于乙的方差1.5，因此乙的成绩更稳定，∴C选项错误； ∵掷一枚均匀的硬币，正面朝上的结果不确定，符合随机事件的定义，∴D选项正确． 6. 在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小 ∴比例系数 解得 观察选项，只有选项A的满足． 7. 设、是方程的两个根，且，则的值是（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用关系得到两根和与两根积，代入已知等式求解m． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴， ∵ ∴ ∴． 8. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E，连接，若点C，A，D在一条直线上，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转可得，，，，，则是等边三角形，由即可判断B；由求出的度数，即可判断A；然后求解，即可判断C；再由求解的度数即可判断D． 【详解】解：由旋转可得，，， ∴是等边三角形， ∴ ∴，故B错误； ∵， ∴， ∴，故A错误； ∵ ∴， ∴， ∴，故C正确； 由旋转可得，， ∵ ∴，故D错误． 9. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，核心是根据每月销量的增长关系列出方程． 【详解】解：∵月增长率为x，5月份销售量为144个， ∴6月份销售量为个， ∴7月份销售量为个， 又∵7月份实际销售量为225个， ∴可列方程为. 10. 如图，在中，，以点D为圆心作弧，交边于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，连接，若，则边的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】证明，利用勾股定理求得的长，作于点，求得，利用，求得，再利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】解：由作图得， ， ，，， ，， ， ， ， ， 如图，作于点， ， ， ，即， ， ． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 写出一个能与合并的二次根式_______（答案不唯一）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：能与合并的二次根式可以是．（答案不唯一） 12. “天宫课堂”开课时，航天员从包含“浮力消失”“水膜张力”和“液体结晶”的三个实验中随机抽取一个进行演示，则抽到“水膜张力”的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】找出所有等可能的结果总数，以及所求事件包含的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解： 从三个不同实验中随机抽取个，共有种等可能的结果，其中抽到“水膜张力”的结果有种， 抽到“水膜张力”的概率是． 13. 圆内接正六边形的半径为，则这个正六边形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆内接正六边形的性质可知，正六边形的边长等于其外接圆的半径，先求出边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：圆内接正六边形的中心角为， 正六边形的中心与各顶点的连线相等， 因此可将正六边形分为6个全等的等边三角形． 因此正六边形的边长等于外接圆的半径，即边长为． 因此正六边形的周长为． 14. 化简__________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 15. 如图1，在同一平面内放置的和矩形，与在一条直线上，点在的延长线上，将以1个单位／秒的速度沿向点运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒，设矩形与重合部分的面积为，与的函数图象如图2所示，它是由线段，和曲线三部分组成．根据图中信息可知，的长为___________，的值为___________． 【答案】 ①. 5 ②. 7 【解析】 【分析】观察函数图象，明确函数图象每部分对应的动态图，再画出的一些特殊值对应的图形，找出图形中动点运动的长度，结合梯形和三角形的面积公式求解即可 【详解】解：当时，点G与点C重合，此时移动距离为， 在矩形中； 当时，如图所示， 此时移动距离为， 当时，点刚好到达点B，如图所示， 此时移动距离为，矩形与重合部分是梯形，其面积为， ∴，即， 解得：， ∴， 当时，如图所示，此时移动距离为， 重合部分是五边形，其面积为梯形的面积减去的面积， ∵，， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴重合部分的面积为： 三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】先计算乘方（包括正整数指数幂，负整数指数幂，零指数幂）和绝对值，再计算有理数的和差即可． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先证明，得到，即得，据此即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴是等腰三角形． 18. 如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距的和两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正南方向，在的南偏西的方向，求河宽（结果精确到）．（，，） 【答案】河宽约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，∵， ∴， 答：河宽约为． 19. 2026年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界，科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A，B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如表： 众数／万件 中位数／万件 平均数／万件 A型号 14和16 b 15 B型号 a 20 20 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中_______，_______，直接补全条形统计图； （2）若该省共投放市场的A型号智能机器人有100台、B型号智能机器人有80台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？ （3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 【答案】（1）20，15，图见解析 （2）3100万件 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义来确定和的值即可，再补全条形统计图即可； （2）根据A、B两种型号智能机器人每天分拣快递数量的平均数，根据总数平均数数量，求出两种型号智能机器人每天分拣快递的总数即可； （3）根据平均数、众数、中位数等数据分析结果来给出建议即可． 【小问1详解】 解：从表格可得B型号智能机器人众数为20， A型号智能机器人从表格可得13万件1人，15万件2人，16万件3人，17万件1人， 所以14万件3人，中位数在5和6，所以中位数为15， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：由平均数进行求解可得，（万件）； 答：该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有3100万件； 【小问3详解】 解：B型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数及中位数都高于A型号智能机器人， 所以购买B型号智能机器人． 20. 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数方式，约定逢十进一就是十进制，在日常生活中，我们最熟悉、最常用的就是十进制．当我们学完《用字母表示数》以后，发现用字母表示数简洁明了，具有普遍性和概括性，可以揭示一般规律和本质，也可以进行代数推理和证明． （1）我们常用表示一个十位数字为a，个位数字为b的两位数，即用代数式表示，类似的，请你用代数式表示三位数______． （2）在小学中，我们知道一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．例如：一个两位数，若能被3整除，则这个两位数就能被3整除，理由如下： 证明：， 因为9a中有因数3且a为整数， 所以9a能被3整除， 因为能被3整除，所以能被3整除， 即能被3整除． 请用类似的方法说明：若能被9整除，则三位数就能被9整除． （3）请选出三位数能被11整除的条件是______． A．能被11整除； B．能被11整除； C．能被11整除； D．能被11整除； 在此条件下，交换这个三位数的个位数字与百位数字后得到的新三位数能否被11整除，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）B，见解析 【解析】 【分析】本题考查列代数式，整式加减运算的实际应用，理解并掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）仿照两位数的表示方法，进行作答即可； （2）仿照题干给出的证明方法进行证明即可； （3）仿照题干给出的方法，进行作答即可． 【小问1详解】 解：由题意，； 【小问2详解】 证明： ， ∵能被整除，也能被9整除， ∴能被9整除， 即三位数能被9整除． 【小问3详解】 ， ∵能被11整除， ∴当能被11整除时，能被11整除； 故选B； 当交换三位数的个位数字与百位数字后得到的新三位数能被11整除，理由如下： ， ∵能被11整除，也能被11整除， ∴能被11整除， 即能被11整除． 21. 如图，是的直径，是弦，点为中点，过作的垂线，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据是的中点，得，则，结合，得出，证出，则，结合，得出，即可证明． （2）过点作于点，则，，结合，得出，，证明四边形是矩形，得出，，在中，，，求出，再根据求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，， 是的中点，即， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 为的切线． 【小问2详解】 解：过点作于点， 则，， 又， ∴，， 又，， ∴四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， ． 22. 为了有效落实省教育厅颁布的《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学进行研学活动．在此次活动中，若每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生． （1）参加此次研学活动的老师和同学各有多少名？ （2）现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表所示．学校要求每位老师负责一辆车的组织工作，因此需按老师人数租车．设租用辆甲型客车，租车的总费用为元． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 ①求与的函数解析式； ②求学校租车最少的总费用． 【答案】（1）参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名 （2）①；②最少是2800元 【解析】 【分析】（1）设参加此次研学活动的老师有位，则参加此次研学活动的学生有名，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）①根据题意，租用辆甲型客车，则租用辆乙型客车，进一步确定关于的函数解析式即可；②根据题意，得，求解可得的取值范围，然后结合一次函数的性质，易得随的增大而增大，故当时，学校租车总费用最少，即可获得答案． 【小问1详解】 解：设参加此次研学活动的老师有位，则参加此次研学活动的学生有名， 根据题意得：，解得， 答：参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名； 【小问2详解】 ①根据题意，租用辆甲型客车，则租用辆乙型客车， ∴租车的总费用； ②根据题意，得， ， 在中， ， 随的增大而增大， ∴当时，， ∴租甲型车3辆，乙型车5辆费用最少，最少是2800元． 23. 在正方形中，点分别在边，，上，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长，交于点，若，，，求的长； （3）如图3，延长，交于点，延长，交于点，若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得 ，进而得，由得 ，进而得 ，从而根据两个角分别相等的两个三角形相似证明即可； （2）先利用证明，得，设，则 ，由，得 ，从而得即，解得得值，进而根据勾股定理求的长； （3）过点作交延长线于，证明 得，由题意得四边形是矩形、，进而得 ，进而得 ，由得，进而得，从而 ，设，，则，，在中，由勾股定理得，即，解得，根据勾股定理得，进而计算的长，最后计算的值即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，， 又， ， ， 设， ， ， ， ， ，即， 解得，（舍去）， ； 【小问3详解】 解：如图3，过点作交延长线于，得， ∵四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 设，，则，， 在中，，即， 解得， ，（舍去）， ，，， 由勾股定理得， ， ， ． 24. 如图，抛物线的图象交x轴于、B两点，交y轴于点C，点P是x轴上方抛物线上一点，点P的横坐标为m． （1）求a的值； （2）若点P是第一象限抛物线上的点，且平分，求点P的坐标； （3）若点Q的横坐标为，且轴，则点Q是点P的“衍生点”，过P作轴交直线于点D，以、为边作矩形叫作点P的“衍生矩形”，“衍生矩形”的周长为l． ①求l与m的函数解析式； ②当l随m的增大而增大时，且抛物线与“衍生矩形”的任意一条边交于点F，若点F是“衍生矩形”边的中点，直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）把代入求解即可； （2）过点P作轴，过点C作轴，交于点M，证明，根据列方程求解即可； （3）①分，，三种情况分别求解即可； ②根据①的分类方法，求出符合当l随m的增大而增大时，点F的坐标，代入二次函数函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， 解得； 【小问2详解】 解：过点P作轴，过点C作轴，交于点M， 平分， ， 由（1）知，抛物线的解析式为， 则，， 令，得， ，，， 令，则， 解得，或， ，， ，， ， 轴， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 解得（舍去），或， 当时，， 点P的坐标是； 【小问3详解】 解：①轴，轴， ，， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， ， 当时，如图， ， ， ； 当时，如图，，， ； 当时，如图，，， ； 与m的函数解析式为；． ②当时，l随m的增大而增大，但没有符合条件的点F； 当时， ， 当时，l随m的增大而增大， 若点F为的中点，此时即， ， 解得（舍去）或； 若点F为的中点，此时，即， ， 解得（舍去）或； 当时， ， 此时l随m的增大而减小，不符合题意，舍去； 综上所述，m的值是或． 【点睛】m在不同范围内，“衍生矩形”的位置发生相应的变化，解答时要分别画出图形来理解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年襄州区中考适应性考试 数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答． 1. 我国很早就开始使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．若红色算筹“”表示的数是“”，则黑色算筹“”表示的数是（ ） A. B. C. D. 2. 长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．如图，是一个帆船模型抽象出来的几何图形，已知，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 中国瓷器以“技术+文化”为双驱动，在国际市场保持核心竞争力．如图，是白釉暗刻龙纹高足杯，下面说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 主视图和左视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 主视图、左视图和俯视图都相同 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 调查长江流域的水污染情况，可以采用全面调查的方法 B. 某次抽奖活动中，中奖的概率为，表示每抽奖100次一定有一次中奖 C. 甲、乙两人各进行10次射击测试，两人成绩的平均数都是8.5环，方差分别是2和1.5，则甲的成绩更稳定 D. 掷一枚均匀的硬币，正面朝上，这是随机事件 6. 在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设、是方程的两个根，且，则的值是（ ） A. 2 B. C. 6 D. 8. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E，连接，若点C，A，D在一条直线上，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以点D为圆心作弧，交边于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，连接，若，则边的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 写出一个能与合并的二次根式_______（答案不唯一）． 12. “天宫课堂”开课时，航天员从包含“浮力消失”“水膜张力”和“液体结晶”的三个实验中随机抽取一个进行演示，则抽到“水膜张力”的概率是__________． 13. 圆内接正六边形的半径为，则这个正六边形的周长为__________． 14. 化简__________． 15. 如图1，在同一平面内放置的和矩形，与在一条直线上，点在的延长线上，将以1个单位／秒的速度沿向点运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒，设矩形与重合部分的面积为，与的函数图象如图2所示，它是由线段，和曲线三部分组成．根据图中信息可知，的长为___________，的值为___________． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16. 计算： 17. 如图，，，求证：是等腰三角形． 18. 如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距的和两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正南方向，在的南偏西的方向，求河宽（结果精确到）．（，，） 19. 2026年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界，科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A，B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如表： 众数／万件 中位数／万件 平均数／万件 A型号 14和16 b 15 B型号 a 20 20 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中_______，_______，直接补全条形统计图； （2）若该省共投放市场的A型号智能机器人有100台、B型号智能机器人有80台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？ （3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 20. 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数方式，约定逢十进一就是十进制，在日常生活中，我们最熟悉、最常用的就是十进制．当我们学完《用字母表示数》以后，发现用字母表示数简洁明了，具有普遍性和概括性，可以揭示一般规律和本质，也可以进行代数推理和证明． （1）我们常用表示一个十位数字为a，个位数字为b的两位数，即用代数式表示，类似的，请你用代数式表示三位数______． （2）在小学中，我们知道一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．例如：一个两位数，若能被3整除，则这个两位数就能被3整除，理由如下： 证明：， 因为9a中有因数3且a为整数， 所以9a能被3整除， 因为能被3整除，所以能被3整除， 即能被3整除． 请用类似的方法说明：若能被9整除，则三位数就能被9整除． （3）请选出三位数能被11整除的条件是______． A．能被11整除； B．能被11整除； C．能被11整除； D．能被11整除； 在此条件下，交换这个三位数的个位数字与百位数字后得到的新三位数能否被11整除，请说明理由． 21. 如图，是的直径，是弦，点为中点，过作的垂线，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 为了有效落实省教育厅颁布的《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学进行研学活动．在此次活动中，若每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生． （1）参加此次研学活动的老师和同学各有多少名？ （2）现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表所示．学校要求每位老师负责一辆车的组织工作，因此需按老师人数租车．设租用辆甲型客车，租车的总费用为元． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 ①求与的函数解析式； ②求学校租车最少的总费用． 23. 在正方形中，点分别在边，，上，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长，交于点，若，，，求的长； （3）如图3，延长，交于点，延长，交于点，若，，求的值． 24. 如图，抛物线的图象交x轴于、B两点，交y轴于点C，点P是x轴上方抛物线上一点，点P的横坐标为m． （1）求a的值； （2）若点P是第一象限抛物线上的点，且平分，求点P的坐标； （3）若点Q的横坐标为，且轴，则点Q是点P的“衍生点”，过P作轴交直线于点D，以、为边作矩形叫作点P的“衍生矩形”，“衍生矩形”的周长为l． ①求l与m的函数解析式； ②当l随m的增大而增大时，且抛物线与“衍生矩形”的任意一条边交于点F，若点F是“衍生矩形”边的中点，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $