精品解析：广东省深圳市南山区南海中学2025-2026学年 七年级下学期期中质量检测 数学试题

2025-2026学年度深圳市南山区南海中学七年级下期中质量检测（回忆版） 一． 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式中，结果为的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列整式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 3. 两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角，这就是“三线八角”．如图所示，以下选项中在位置上互为同旁内角的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 同学们将在下学期的物理课上学习《凸透镜成像规律》．如图，箭头所画的是光线的方向，，若 ， ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 中华民族历经浩浩汤汤五千年璀璨历史，其中对民族发展和历史进程做出重要贡献的伟人多如繁星．若你穿越回唐朝，则以下哪一件是不可能事件（ ） A. 从岭南为杨贵妃运送荔枝 B. 与元稹、白居易参加科举考试，荣登三甲 C. 与李太白金龟换酒、舞剑赋诗 D. 和王安石共商国是，探讨青苗法、募役法 6. 南山实验教育集团于建校90周年之际，用“大智、大爱、大气、大为”寥寥八字勾勒出了南实学子精神画像，若在这八个字中任选一个，选到“大”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明站在河岸边的点处，想要测量河对岸的一棵树到的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，他想出来这样一个办法：他面向树的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在树的底部处；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与点的距离，这个距离就是他与树的距离，小明这种方法的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 比较大小： ________ ． 10. 一个角的补角是它本身的两倍，则这个角等于_________度． 11. 不透明的口袋中装有12个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有_____个． 12. 一个三角形三个内角度数之比是，它是一个_____．（填锐角三角形，直角三角形或钝角三角形） 13. 如图，已知的面积为，垂直于的平分线于点则的面积是____________· 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2） 15. 已知，，求下列代数式的值： （1）； （2） 16. 定义一种幕的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）_________； （2），，，求的值； 17. 已知：如图，， 求证： 证明：（已知） （_______） _______（_______） （_______） _______（_______） （已知） _______（_______） （_______） 18. 如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． （1）求证：； （2）求． 19. 在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，刘老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． （1）路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______°； （2）一种路灯的示意图如图②所示，在安装时需要保证其底部支架与吊线平行；灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，若，则安装是否符合标准？请说明理由． 20. 本学期我们认识了“角平分线”的概念后，老师布置了一项探究性作业：角平分线除了将已知角分为完全相同的两部分以外，还有怎样的性质特点呢？我校七年级某班“探海数学小组”经过研究发现：角平分线上的任意一点到角两边的垂直距离都相等． （1）请你协助他们进行证明： 在图①中，已知平分，过点作，，求证：； （2）如图②所示，四边形、是长方形，为公共点，在上，在延长线上，、为长方形的对角线．已知， ①用尺规作的角平分线，与相交于点； ②若， ，请结合（）中的结论，求与的面积之比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度深圳市南山区南海中学七年级下期中质量检测（回忆版） 一． 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式中，结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，根据合并同类项法则、同底数幂相乘法则、幂的乘方法则、同底数幂相除法则逐项判断即可． 【详解】解∶A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列整式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平方差公式为，要求两个二项式相乘时，有一项相同，另一项互为相反数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项中，相同项为，与互为相反数，符合平方差公式结构，能用平方差公式计算； B选项中无相同项，不符合结构，不能用平方差公式计算； C选项中无相同项，不符合结构，不能用平方差公式计算； D选项，变形后两项都相同，不符合结构，不能用平方差公式计算． 3. 两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角，这就是“三线八角”．如图所示，以下选项中在位置上互为同旁内角的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可． 【详解】解：A、 和是同位角的关系； B、和是内错角的关系； C、和是内错角的关系； D、和是同旁内角的关系． 4. 同学们将在下学期的物理课上学习《凸透镜成像规律》．如图，箭头所画的是光线的方向，，若 ， ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，，然后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴． 5. 中华民族历经浩浩汤汤五千年璀璨历史，其中对民族发展和历史进程做出重要贡献的伟人多如繁星．若你穿越回唐朝，则以下哪一件是不可能事件（ ） A. 从岭南为杨贵妃运送荔枝 B. 与元稹、白居易参加科举考试，荣登三甲 C. 与李太白金龟换酒、舞剑赋诗 D. 和王安石共商国是，探讨青苗法、募役法 【答案】D 【解析】 【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，结合历史常识判断各事件能否在唐朝发生即可得到答案． 【详解】解：∵不可能事件是一定不会发生的事件，王安石是北宋时期人物，青苗法、募役法是北宋王安石变法的内容，不可能出现在唐朝， ∴ D选项描述的事件是不可能事件. 其余选项中，杨贵妃、元稹、白居易、李白均为唐代人物，对应的事件都可能在唐朝发生，不符合要求． 6. 南山实验教育集团于建校90周年之际，用“大智、大爱、大气、大为”寥寥八字勾勒出了南实学子精神画像，若在这八个字中任选一个，选到“大”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定总基本事件数，再确定符合要求的“大”字的数量，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵“大智、大爱、大气、大为”一共包含个字，其中“大”字共有个， ∴根据概率公式可得，选到“大”的概率为：． 7. 如图，小明站在河岸边的点处，想要测量河对岸的一棵树到的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，他想出来这样一个办法：他面向树的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在树的底部处；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与点的距离，这个距离就是他与树的距离，小明这种方法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用证明即可． 【详解】解：根据题意可知：，， 又， ， ， 小明这种方法的依据是， 故选：D． 8. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理及其外角性质．根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， ，，， ， 将沿对折，使点落在△外的点处， ， ， ， 故选：A． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 比较大小： ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据乘方的定义分别计算出两个幂的值，再比较所得结果的大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 10. 一个角的补角是它本身的两倍，则这个角等于_________度． 【答案】 【解析】 【分析】设这个角为，则这个角的补角为，根据两倍关系列出方程运算即可． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为， 根据题意得：， 解得：， ∴这个角等于． 11. 不透明的口袋中装有12个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有_____个． 【答案】18 【解析】 【分析】设未知数，根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：设口袋中白球大约有个， ∵摸到黄球的频率稳定在附近， ， 解得：，经检验是原方程的解， 则估计口袋中白球大约有18个． 12. 一个三角形三个内角度数之比是，它是一个_____．（填锐角三角形，直角三角形或钝角三角形） 【答案】锐角三角形 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，计算出最大内角的度数，再根据三角形按角的分类判断三角形的形状即可． 【详解】解：设三角形三个内角的度数分别为，，， 根据三角形内角和定理可得：， 合并同类项得， 解得， 因此最大内角的度数为 ， 因为，最大内角为锐角，所以该三角形是锐角三角形， 13. 如图，已知的面积为，垂直于的平分线于点则的面积是____________· 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，证明，得到，即可得到，，再利用三角形面积关系求解即可． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ∵平分， ∴ ， 又∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）优先化简数的平方和绝对值，再运算即可； （2）优先化简幂的乘方，再运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 15. 已知，，求下列代数式的值： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．（1）利用完全平方公式 ，即可得到结论；（2）利用完全平方公式，即可得到结论． 【小问1详解】 解： ， ， 即 ， 把代入得， ； 【小问2详解】 解： ， ， 即 ， 两边同时加，得 ， 即 ， 把代入得 ， ， ． 16. 定义一种幕的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）_________； （2），，，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可； 【小问1详解】 解： ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：当，，时， ． 17. 已知：如图，， 求证： 证明：（已知） （_______） _______（_______） （_______） _______（_______） （已知） _______（_______） （_______） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据补角的性质得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，等量代换得出，根据平行线的判定得出，最后根据平行线的性质得出结论即可． 【详解】证明：（已知） （邻补角的定义）， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知） ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行） ． 18. 如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． （1）求证：； （2）求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合“”进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，然后求出结果即可． 【小问1详解】 证明：和都是等边三角形， ， ， 即， 在 中 ， ∴； 【小问2详解】 解：是等边三角形， ， 又由（）得， ． 19. 在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，刘老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． （1）路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______°； （2）一种路灯的示意图如图②所示，在安装时需要保证其底部支架与吊线平行；灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，若，则安装是否符合标准？请说明理由． 【答案】（1） （2）安装符合标准，见解析 【解析】 【分析】（1）过拐点作平行线，通过平行线的性质推导得出，代入的度数即可求解； （2）通过作辅助线平行于和，将相关的角分解为与、相关的角，结合平行线性质求出锐角度数． 【小问1详解】 解：如图，过的顶点作直线平行于支撑平台． ∵工作篮底部支撑平台，支撑平台， ∴工作篮底部， ∵支撑平台， ∴， ∵工作篮底部， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：安装符合标准，理由如下： 如图，过点作， ， ， ∵顶部支架与灯杆所成锐角， ， ， ， ， ． ∴安装符合标准． 20. 本学期我们认识了“角平分线”的概念后，老师布置了一项探究性作业：角平分线除了将已知角分为完全相同的两部分以外，还有怎样的性质特点呢？我校七年级某班“探海数学小组”经过研究发现：角平分线上的任意一点到角两边的垂直距离都相等． （1）请你协助他们进行证明： 在图①中，已知平分，过点作，，求证：； （2）如图②所示，四边形、是长方形，为公共点，在上，在延长线上，、为长方形的对角线．已知， ①用尺规作的角平分线，与相交于点； ②若， ，请结合（）中的结论，求与的面积之比． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用证明即可解答： （2）①根据角平分线的作法作出角平分线即可； ②利用证明，得到，，设，则，利用线段的长度关系求出的值，过点作，，由角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式进行比较即可． 【小问1详解】 解：证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①如图所示即为所求： ②∵四边形、是长方形， ∴， 又∵， 即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 即， ∵， ∴， 解得：， ，， 过点作，如图所示： 又∵平分，由（）结论得：， ∴， ∴与的面积之比为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $