精品解析：广东省深圳市南山外国语学校（集团）2024-2025学年七年级下学期数学期中试卷

广东省深圳市南山外国语学校（集团）2024-2025学年七下数学期中试卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 近日，我国半导体技术有了新突破，中科院计算技术研究所成功研制出的超导神经形态处理器原型芯片“苏轼”.其中数据（即）用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数：其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；解题关键是熟练运用科学记数法表示绝对值小于1的正数．根据科学记数法表示绝对值小于1的正数定义，即可选出正确答案． 【详解】解：根据科学记数法的定义： 即用科学记数法表示为：m， 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，根据完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 3. 一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，从中随机摸出一个球，是红球的概率是：； 故选A． 4. 如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1＝55°，则∠2的度数为（　　） A. 55° B. 105° C. 125° D. 135° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对顶角相等求出∠3的度数，再由平行线的性质求出∠2的度数即可． 【详解】如图： ∵∠1与∠3是对顶角，∠1＝55°， ∴∠3＝55°． ∵a∥b， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣55°＝125°． 故选C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补． 5. 如图，为估计池塘两岸，间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，，直接利用三角形的三边关系求解即可求得的取值范围，继而求得答案． 【详解】解：，， ， 即， 间的距离不可能是：． 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 同位角相等 B. 某彩票中奖率是，则买100张彩票一定有一张中奖 C. 平行于同一条直线的两条直线平行 D. 等腰三角形的一边长4，一边长9，则它的周长为17或22 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线性质、概率定义、平行线判定及等腰三角形性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、由两直线平行，同位角相等可知前提是平行线，该选项说法错误，不符合题意； B、根据概率的定义，彩票中奖率是，与买100张彩票一定有一张中奖没有必然联系，该选项说法错误，不符合题意； C、根据平行线的判定，平行于同一条直线的两条直线平行说法正确，符合题意； D、等腰三角形的一边长4，一边长9，分两种情况：若腰长为4，底边长为9，根据三角形三边关系可知；若腰长为9，底边长为4，得到它的周长为22，该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查命题真假判断，涉及平行线性质、概率定义、平行线判定及等腰三角形性质，熟记相关定义与性质是判定说法正确与否的关键． 7. 如图所示的的正方形网格中，的值是（ ） A. 225° B. 270° C. 315° D. 360° 【答案】C 【解析】 【分析】由全等三角形的判定和性质，得到，则有，同理可证，又，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，如图： 同理可证 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等． 8. 我国古代数学的许多创新和发明都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（ ） A. 210 B. 171 C. 191 D. 190 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形规律，观察并应用发现的规律是解题的关键． 观察“杨辉三角”中的第三列，发现其规律为连续自然数之和；接着基于此规律，推导出的第三项系数的计算公式；最后，根据公式计算 的第三项系数，并选择正确答案. 【详解】解： 观察“杨辉三角”中的第三列，可以发现规律为连续自然数之和： 的第三项系数为 ； 的第三项系数为 ； 的第三项系数为 ； ...... 的第三项系数为. 故选：D. 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 一个角等于，则这个角的补角等于________． 【答案】##125度 【解析】 【分析】本题考查求一个角的补角，根据和为180度的两个角互为补角，进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 10. 如图，在中，是边上的中线，若，，则点D到的距离为 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据中线的性质得到，再利用三角形的面积，结合点到直线的距离的概念求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴点D到的距离为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了中线的性质，三角形的面积，点到直线的距离，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积． 11. 已知，，则的值为____________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先根据幂的乘方的逆运算求出，再根据同底数幂乘法的逆运算求解即可．熟知相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：15． 12. 近年来，深圳实施“山海连城”计划，打造了一条横贯深圳东西海岸，连通滨海海岸空间的高品质骑行道，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面l平行，，当为_________度时，与平行． 【答案】66 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质的应用-求角度． 首先，我们需要根据题目给出的条件，利用平行线的性质定理来推导出相关的角度关系，然后，结合平行线的判定定理，根据内错角相等，两直线平行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，中，，，，点从点出发沿路径运动，终点为点；点从点出发沿路径运动，终点为点．点和点分别以和的速度同时开始运动，两点到达相应的终点时分别停止运动．若分别过点和作于，于．当与全等时，点的运动时间为 ____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据点的运动规律，设点运动秒时，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，分类讨论，①如图1，在上，在上，则，；②如图2，在上，在上，则，；③如图3所示，当都在上时；④当到点停止，在上时，；⑤和都在上的情况；图形结合，根据三角形全等的判定方法即可求解． 【详解】解：设点运动秒时，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，分为五种情况： ①如图1，在上，在上，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； ②如图2，在上，在上，则，， 由①知：， ∴， ∴； ∵此时， ∴此种情况不符合题意； ③当都在上时，如图3， ， ∴； ④当到点停止，在上时，， ∴时，解得； ⑤∵的速度是每秒，的速度是每秒， ∴，， ∵， ∴和都在上的情况不存在； 综上所述，点运动或或秒时，与全等． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查动点与几何图形的变换，理解动点运动的规律，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 三、解答题（第14题9分，第15题7分，第16题9分，第 17题7分，第18题9分，第19题 10分，第 20题 10 分） 14. 计算下列各题： （1） （2） （3） 【答案】（1）0 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式；零指数幂；负整数指数幂；多项式除以单项式，掌握以上运算法则是解题的关键； （1）运用幂运算规则，分别计算乘方、负指数幂、零指数幂，再进行加减； （2）先算积的乘方，再算单项式乘法，最后进行整式加减运算 ； （3）先计算出的值，再根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，最后将所得的商相加。 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查代数式求值、平方差公式和完全平方公式、多项式除以单项式的法则，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据多项式除以单项式的法则进行计算，最后把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 16. 填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据） 已知：如图，，，求证：． 证明：（已知）， （________）， （等量代换）． （________）． ________（________）． 又（已知） ________（等量代换）． ________________（________）． （________）． 【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；4；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，对顶角，熟练的利用平行线的判定与性质解决问题是解本题的关键． 根据对顶角的定义，等量代换，平行线的判定和性质进行填空即可． 【详解】证明：（已知）， （对顶角相等）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 又（已知） （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；4；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 17. 某商场进行“6·18”促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：如图1，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：如图2，一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为3的倍数则获奖． （1）若采用方式一，骰子掷出后，“5”朝上的概率为______； （2）若采用方式二，当转盘停止后，指针指向的数字为“5”的概率为______； （3）小明想增加获奖机会，应选择哪种摇奖方式？请通过相关计算，应用概率相关知识说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：应选择方式二，理由如下： 采用方式一，（“6”朝上）， 采用方式二，指针指向的数字为3的倍数有3，6，9，12，共4个， ∴（指针指向的数字为3的倍数）， ∵， ∴方式二获奖机会大， ∴选方式二． 【解析】 【分析】（1）根据概率的计算公式，易得标有数字“5“的面数，进而与总面数相比可得答案； （2）根据概率的计算公式，易得标有数字“5“的面数，进而与总面数相比可得答案； （3）分别求出两种摇奖方式的获奖概率，然后比较即可． 【小问1详解】 解：∵正二十面体形状的骰子，5个面标有“5”， ∴“5”朝上的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵一个均匀的转盘被等分成12份，数字为“5”的个数为1， ∴“5”朝上的概率为， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了概率在游戏中的应用，根据题意确定两种摇奖方式的获奖概率是解答本题的关键． 18. 如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，，交于点P． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质，全等三角形性质和判定，三角形外角性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质． （1）利用等边三角形性质证明，利用全等三角形性质即可证明； （2）利用全等三角形性质得到，，结合等量代换和三角形外角性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ， ， ． 19. 【阅读理解】 在学习《整式的乘法》时，我们通过借助图形的面积来直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，体会了“以数解形、以形助数”的思想方法． （1）①观察图1，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式 ． ②根据上面的信息回答：若，，则的值为 ． （2）【知识延伸】 若x满足，求的值．我们可以作如下解答： 设，，则，． 所以 请根据你对上述内容的理解，解答问题： 若x满足， 求的值 （3）【拓展探索】 如图2，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是面积为32的长方形，延长线段，分别交，于点Q、P，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长 【答案】（1）①；②62 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，算术平方根的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）①观察图形，根据面积的关系即可得出结论； ②根据代入计算即可； （2）设，，由题意得，， 由代入计算即可； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据代入计算即可． 【小问1详解】 解： ①通过两种表达方式相等，得到等式：； 故答案为：； ②∵，， ∴ ， 故答案为：62； 【小问2详解】 解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 由题意知， ∴，即， ∵长方形的面积为32， ∴， ∴， ∴该正方形的边长为． 20. “千园之城”深圳目前是国内公园最多的城市，全市公园数量达到1290个．其中一个公园为吸引游客，在公园湖边布置了“灯光秀”，为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至后立即回转，灯B射线从开始绕点B顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯B转动的速度分别是度/秒、度/秒．且满足． （1）填空：　　　，　　　． （2）若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线到达之前，B灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，若两灯同时转动，在灯B射线到达之前，两灯射出的光束交于点C．点D在射线AF上，在转动过程中，（为常数）且度数保持不变，请求出的值和的度数． 【答案】（1）， （2）秒，秒 （3）， 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质，进而得出a、b的值； （2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当和当时，根据平行线的性质列式计算求解即可； （3）设灯B射线转动时间为秒，根据，，即可得出，当时，在转动过程中，存在一点D，使得k为定值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：1，3； 【小问2详解】 解：设B灯转动秒，两灯的光束互相平行， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得 ； 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； 【小问3详解】 解：． 理由：设灯B射线转动时间为秒， ∵， ∴， 又∵， ∴，而， ∴， ∴当时，在转动过程中，存在一点D，使得k为定值， 此时，． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市南山外国语学校（集团）2024-2025学年七下数学期中试卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 近日，我国半导体技术有了新突破，中科院计算技术研究所成功研制出的超导神经形态处理器原型芯片“苏轼”.其中数据（即）用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1＝55°，则∠2的度数为（　　） A. 55° B. 105° C. 125° D. 135° 5. 如图，为估计池塘两岸，间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 同位角相等 B. 某彩票中奖率是，则买100张彩票一定有一张中奖 C. 平行于同一条直线的两条直线平行 D. 等腰三角形的一边长4，一边长9，则它的周长为17或22 7. 如图所示的的正方形网格中，的值是（ ） A. 225° B. 270° C. 315° D. 360° 8. 我国古代数学的许多创新和发明都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（ ） A. 210 B. 171 C. 191 D. 190 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 一个角等于，则这个角的补角等于________． 10. 如图，在中，是边上的中线，若，，则点D到的距离为 _____． 11. 已知，，则的值为____________． 12. 近年来，深圳实施“山海连城”计划，打造了一条横贯深圳东西海岸，连通滨海海岸空间的高品质骑行道，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面l平行，，当为_________度时，与平行． 13. 如图，中，，，，点从点出发沿路径运动，终点为点；点从点出发沿路径运动，终点为点．点和点分别以和的速度同时开始运动，两点到达相应的终点时分别停止运动．若分别过点和作于，于．当与全等时，点的运动时间为 ____________． 三、解答题（第14题9分，第15题7分，第16题9分，第 17题7分，第18题9分，第19题 10分，第 20题 10 分） 14. 计算下列各题： （1） （2） （3） 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据） 已知：如图，，，求证：． 证明：（已知）， （________）， （等量代换）． （________）． ________（________）． 又（已知） ________（等量代换）． ________________（________）． （________）． 17. 某商场进行“6·18”促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：如图1，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：如图2，一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为3的倍数则获奖． （1）若采用方式一，骰子掷出后，“5”朝上的概率为______； （2）若采用方式二，当转盘停止后，指针指向的数字为“5”的概率为______； （3）小明想增加获奖机会，应选择哪种摇奖方式？请通过相关计算，应用概率相关知识说明理由． 18. 如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，，交于点P． （1）求证：； （2）求的度数． 19. 【阅读理解】 在学习《整式的乘法》时，我们通过借助图形的面积来直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，体会了“以数解形、以形助数”的思想方法． （1）①观察图1，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式 ． ②根据上面的信息回答：若，，则的值为 ． （2）【知识延伸】 若x满足，求的值．我们可以作如下解答： 设，，则，． 所以 请根据你对上述内容的理解，解答问题： 若x满足， 求的值 （3）【拓展探索】 如图2，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是面积为32的长方形，延长线段，分别交，于点Q、P，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长 20. “千园之城”深圳目前是国内公园最多的城市，全市公园数量达到1290个．其中一个公园为吸引游客，在公园湖边布置了“灯光秀”，为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至后立即回转，灯B射线从开始绕点B顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯B转动的速度分别是度/秒、度/秒．且满足． （1）填空：　　　，　　　． （2）若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线到达之前，B灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，若两灯同时转动，在灯B射线到达之前，两灯射出的光束交于点C．点D在射线AF上，在转动过程中，（为常数）且度数保持不变，请求出的值和的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $