山东省泰安市2025--2026学年八年级下学期期末备考专题训练----专题07图形的相似

**基本信息** 以“概念-判定-性质-应用”为逻辑主线，系统整合比例线段、相似判定与性质、位似及实际建模，通过分层题型提炼可迁移解题方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|单选1-2、填空11|比例性质变形、参数法|从成比例线段定义到比例式转化，构建概念认知| |判定应用|单选3-5、7、填空15|AA/SAS判定、图形剪拼分析|通过平行线、角关系等条件，建立相似判定逻辑链| |性质拓展|单选9-10、填空12、解答17-19|面积比、位似坐标变换|由相似性质推导面积关系，延伸到位似图形坐标规律| |实际建模|单选6、8、填空13、解答18、20-24|黄金分割、影子测量、杠杆原理、动态相似|将相似知识应用于实际问题，培养模型意识与应用能力|

山东省泰安市2026年八年级下学期期末备考专题训练----专题07图形的相似 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，则（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若成立，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，且．若，，，则的长是（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·四川眉山·期中）如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·山东·期末）为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案（雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比等于下部与全部的高度比），其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到，参考数据：，，）是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·山东泰安·期末）阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍撬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如图②所示，的距离为，动力臂米，阻力臂，则的长度为（   ）． A．50 B．80 C．90 D．100 9．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的坐标为，点的坐标为，的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如果且，那么________． 12．（24-25八年级下·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，位似比为，把扩大，则点B的对应点的坐标是___________． 13．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，垂足分别为A，B．若测得影长米，米，影长米，则楼高为______米． 14．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，平分，线段的中垂线交于点，若，，，则 ______． 15．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有_______．（填序号） 三、解答题 16．（24-25八年级下·山东威海·期末）已知a，b，c是的三边，，，求的面积． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，，求证． 18．（25-26九年级上·北京通州·期中）在数学探究活动中，小辰同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得长的标杆影长为，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离，旗杆在教学楼墙上的影长，求旗杆的高． 19．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的端点都在格点（网格线的交点）上． (1)以点O为位似中心，将在点O的另一侧放大2倍得到，画出； (2)计算的面积． 20．（25-26九年级上·浙江·单元复习）已知线段，点是线段的黄金分割点（）． (1)求线段的长； (2)以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长． 21．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，． (1)求的值； (2)求的长． 22．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，点D，E分别在，上，且．求的值．    23．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在矩形中，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从C出发，沿向点B移动．设P、Q两点移动时间为． (1)___ ，____ （用含t的式子表示） (2)当运动时间为多少秒时，与相似． 24．（24-25八年级下·山东烟台·期末）【模型建立】 （1）如图1，正方形中，E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，连接，当点恰好落在上时，求的值； 【模型应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，求的值（用含的式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市2026年八年级下学期期末备考专题训练----专题07图形的相似》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B D C C C B C 1．C 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，根据成比例线段的定义，四条线段满足，即与的比等于与的比。将已知数值代入比例式，解方程即可求出的值。 【详解】解：线段，，，是成比例线段， ， 将，，代入， 可得：， 整理得：， 解得：， 故选：C． 2．A 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的基本性质，能够灵活对一个比例式进行变形是解题的关键．由比例和分式的基本性质，针对选项进行各种演变，逐一判定即可． 【详解】解：A、由已知得到，故选项符合题意； B、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； C、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； D、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； 故选：A． 3．C 【分析】本题考查运用平行线分线段成比例定理，解题关键是由平行线得到对应边成比例求解． 根据平行对应边成比例列出等式，代入已知边的长度，求出． 【详解】解：∵， ，即， 解得：， 故选：． 4．B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用比例关系代入数据即可． 【详解】， 即 故选：B． 5．D 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了学生对黄金分割的应用和解分式方程的应用，利用题中的信息找出黄金分割中成比例的对应线段并列出等式是解决问题的关键.． 设雷锋人体雕像下部的设计高度为，则雕像上部的高度为．根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程． 【详解】解：设雷锋人体雕像下部的设计高度为，那么雕像上部的高度为．依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 经检验，是原方程的根， ∵， ∴． 故选：C． 7．C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 8．C 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， 的距离为，动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：C． 9．B 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键，由题意得与的相似比为，则与的面积比为，进而可得答案． 【详解】解：与是位似图形，位似中心为点，点的坐标为，点的坐标为， 与的相似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积是． 故选：B． 10．C 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，先由，，则，，又，所以，然后根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∴ 故选：C． 11． 【分析】本题考查比例关系的应用及代数方程的解法．正确设定比例参数并转化为代数表达式是解题的关键．设，则，，，再根据列方程，解得的值，进而得到，，的值，最后代入式子求值即可． 【详解】解：设， ，，， ， ，即， ， ，，， ． 故答案为：． 12．或 【分析】此题主要考查了位似变换，关键是掌握若位似比是k，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．分当点在第二象限和第四象限两种情况，根据位似的性质求解即可． 【详解】解：当点在第二象限时， ，， ∴； 当在第四象限时， ，， ∴； 故答案为：或． 13．12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得：，从而可得，再根据垂直定义可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴楼高为12米， 故答案为：12． 14．/ 【分析】连接，由中垂线性质及，可判定为直角三角形，设，由，可得，进而可得，，由勾股定理可得作于点，由角平分线性质知，证明∽，可得，得证，则，故AB过点作交的延长线于点，利用平行线性质和角平分线、等腰三角形判定可得由，可得∽，故得，即，整理得，解得（负根舍去），即得的长． 【详解】解：连接，由中垂线性质可知，如图所示， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 设， ，， ，， ∴． 由勾股定理可得， ∴． 作于点，如图所示， 平分， ， ，， ． ，即， 解得． ∵，， ∴， ∴， ∴． 过点作交的延长线于点，如图所示， ， 平分， ， ， ． 由，可得， ，即， 整理可得，进一步整理得， 解得（负根舍去）， 即的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题关键． 15．①②④ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案为：①②④． 16．54 【分析】本题考查了比例的性质，勾股定理的逆定理.根据等式的性质设， 求出，，，进而证明是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形， ∴的面积为 17．证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据已知线段的长度，推出，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 【详解】证明：∵，，． ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 18．旗杆的高是． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，难点在于作辅助线．过点D作交于H，根据同时同地物高与影长成正比求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作交于H， 则四边形是矩形， 所以，，， 由同一时刻物高与影长成比例可得： ∴， ∴， ∴． 答：旗杆的高是． 19．(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查作图位似变换、三角形的面积等知识点，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质确定得对应点，然后顺次连接即可； （2）利用网格结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：由图可知，的面积为． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查了黄金分割的意义及角平分线的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用． （1）依据题意，根据黄金比值计算即可得解； （2）依据题意，由若平分，可得到、的距离相等，从而，又由（1），再结合，即可得解． 【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点，， ∴ （2）解：∵平分， ∴到、的距离相等． ∴． 又由（1）， ∵， ∴． ∴． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理计算即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理计算即可得解． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 又因为， 所以． （2）解：因为，， 所以． 因为， 所以． 又因为， 所以． 22． 【分析】先证明，利用三角形相似的性质解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．(1)， (2)与 【分析】本题考查的是相似三角形的判定、矩形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）先运用勾股定理求得的长度，然后用t表示出的长度即可； （2）分与两种情况，分别根据相似三角形的判定方法求解论即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，， ∴ , ∵动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从C出发，沿向点B移动， ∴，， ∴. 故答案为：，. （2）解： ， ①当时，， ，即，解得：； ②当时，， ，即，解得：． 综上，当与时，与相似． 24．（1）2；（2） 【分析】本题属于四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，合理构造相似三角形是解决本题的关键． （1）根据翻折的性质，全等三角形的性质，平角的概念得到，再根据相似三角形的性质，得出与的关系即可求解； （2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据与的关系，与的关系即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，， 由翻折的性质可知，， ∴， 由正方形的性质和折叠的性质可得，， ∴, 在与中， ， ∴， ∴， 由翻折的性质可得，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）由（1）知，，， ∵， ∴， ∴，即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $