江苏省南京市第一中学2025-2026学年 九年级下学期中考数学练习卷

260515南京一中 九年级数学练习卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．豆包大模型于年月日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，年月，月活跃用户稳定在户．数据用科学记数法可表示为（ ） A． B． C． D． 2．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3．将一把直尺和正六边形按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ） A． B． C． D． 4．计算，则与的关系是（ ） A． B． C． D． 5．如图，将量角器放置在平面直角坐标系中，使刻度线与轴重合，且点位于量角器边缘．双曲线（）经过量角器边缘上一点，点对应刻度为，点是量角器中心，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在长为，宽为，高为的长方体中挖去一个与三边相切的圆柱，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10题，每小题2分，共20分） 7．若分式有意义，则的取值范围是________． 8．若，则________． 9．计算的结果是________． 10．分解因式：________． 11．已知二次函数与轴有两个公共点，则实数的取值范围是________． 12．已知实数、满足，，则的值为________． 13．学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占，音色和创意各占组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为________． 14．如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为________． 15．如图，内接于，，点在上，于点．若，，则的长为________． 16．如图，正方形中，，是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点，为上另一个动点，连接，，则的最小值是________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（7分）． 18．（9分）先化简，再求值：，其中是方程的根． 19．（8分）射击训练班中的甲乙两名选手在次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：，，，， 乙：，，，， 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）________，________，________； （2）教练根据这次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）选手乙再射击第次，由于发挥失常，命中的成绩仅是环，则选手乙这次射击成绩的方差与前次射击成绩的方差相比会________．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 20．（7分）甲袋子中装有个相同的小球，它们分别写有数字和；乙袋子中装有个相同的小球，它们分别写有数字，和，先从甲袋子中随机取出个小球，再从乙袋子中随机取出个小球． （1）取出的个小球上所写数字没有的概率是________； （2）取出的个小球上所写数字都不相同的概率是多少？ 21．（7分）阅读感悟：代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数、满足，证明：． 证明：因为且，均为正， 所以________，________．（________________________________________） 所以（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整． （2）尝试证明：若，则． 22．（8分）如图，在平行四边形中，，是对角线上的点，且，连接，． （1）求证； （2）连接，，若，求证：四边形是菱形． 23．（8分）甲、乙两货车分别从相距的、两地同时出发，甲货车从地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往地，乙货车沿同一条公路从地驶往地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回地，结果比甲货车晚半小时到达地．如图是甲、乙两货车距地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）甲货车到达配货站之前的速度是________，乙货车的速度是________； （2）求甲货车在配货站卸货后驶往地的过程中，甲货车距地的距离与行驶时间之间的函数解析式； （3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 24．（8分）如图，码头位于码头的北偏西方向，，之间的距离为，灯塔在连线上且，轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿南偏东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了两倍的距离到达处．此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 25．（8分）如图，在中，，点、分别在、上，且，以为圆心，长为半径作圆，经过点，与、分别交于点、． （1）求证：是的切线． （2）若，， ①求的半径； ②若的内切圆圆心为，则________． 26．（8分）在二次函数中． （1）若它的图象与轴只有一个交点，求的值和顶点坐标； （2）当时，的最小值为，求出的值； （3）如果，，都在这个二次函数的图象上，且．直接写出的取值范围． 27．（10分）（1）知识回顾： 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第到第汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为，该时间段行驶的路程为 如图①，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中与之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从到共行驶________． （2）知识应用： 如图②，一条河宽度，小明欲从处游到对岸，水流速度为，小明游泳速度（注：表示小明在水平方向上的速度，表示小明在垂直方向上的速度，表示小明斜向游泳的速度，且），小明为了游到正对岸的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与河岸的夹角，小明在竖直方向的速度为________，最终到达点，所用的时间是________． （3）实际情况下，如图③小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减，为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸垂直的方向游泳． ①小明的游泳轨迹可能是________（选择，，，其中一个）． ②小明可以游到的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，直接写出小明实际到对岸的位置与的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $