抽象函数求解模型化课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦抽象函数专题，依据高考评价体系梳理了一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数等六大模型的抽象函数性质，通过真题分析明确单调性、周期性、不等式求解等高频考点分布，归纳出“模型识别—性质迁移—问题转化”的常考题型体系。 课件亮点在于“模型化转化+一题多解+强化训练”的备考策略，如以一次函数模型f(x+y)=f(x)+f(y)-2为例，用模型解法将抽象函数具象为f(x)=kx+b，培养学生的数学抽象和逻辑推理素养。通过22道典型题解析（含高考真题变式），帮助学生掌握“性质类比—模型代入—结论验证”的解题技巧，教师可据此精准定位学生薄弱点，实现高效复习冲刺。

抽象函数求解模型化 高中总复习·数学（创新版） 　　所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些 特征或性质，并用一种符号表示的函数.抽象函数是由特殊的、具体的函 数抽象而得到的，我们所遇到的抽象函数都是以中学阶段所学的初等函数 为背景抽象而得，解决此类问题，若能从研究抽象函数的“模型”入手， 根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种初等函数， 变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质， 并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法. 高中总复习·数学（创新版） 　　常见的抽象函数对应的初等函数模型如下： 初等函数模型 抽象函数性质 一次函数f（x）＝kx＋b （k≠0） f（x±y）＝f（x）±f（y）∓b 幂函数f（x）＝xn f（xy）＝f（x）f（y）或f（ ）＝ 二次函数f（x）＝ax2＋bx ＋c（a≠0） f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2axy－c 高中总复习·数学（创新版） 初等函数模型 抽象函数性质 指数函数f（x）＝ax（a＞ 0且a≠1） f（x＋y）＝f（x）f（y）或f（x－y） ＝ 对数函数f（x）＝logax （a＞0且a≠1） f（xy）＝f（x）＋f（y）或f（ ）＝f （x）－f（y）或f（xm）＝mf（x） 高中总复习·数学（创新版） 初等函数模型 抽象函数性质 正弦函数y＝A sin ωx （Aω≠0） f（x＋y）f（x－y）＝[f（x）]2－[f （y）]2 余弦函数f（x）＝A cos ωx （Aω≠0） f（x）＋f（y）＝ f（ ）·f（ ） 或f（x＋y）＋f（x－y）＝ f（x）·f （y） 正切函数f（x）＝tan x f（x±y）＝ 高中总复习·数学（创新版） 以一次函数为模型的抽象函数 〔一题多解〕已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）＋f （y）＝2＋f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，则不等 式f（a2－5a－5）＞3的解集为 ⁠. {a｜a＜－1或a＞6} 高中总复习·数学（创新版） 解析：法一（常规解法）　设x1＜x2，则x2 －x1＞0，∵当x＞0时，f （x）＞2，∴f（x2－x1）＞2，则f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－ x1）＋f（x1）－2＞2＋f（x1）－2＝f（x1），即f（x2）＞f（x1），∴f （x）为增函数.∵f（3）＝f（2＋1）＝f（2）＋f（1）－2＝[f（1）＋f （1）－2]＋f（1）－2＝3f（1）－4，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3.∴f （a2－5a－5）＞f（1），∴a2－5a－5＞1，即a2－5a－6＞0，解得不等 式的解集为{a｜a＜－1或a＞6}. 高中总复习·数学（创新版） 法二（模型解法）　由f（x）＋f（y）＝2＋f（x＋y），即f（x＋y） ＝f（x）＋f（y）－2，可设函数f（x）＝kx＋2（k≠0），由f（3）＝ 5，得3k＋2＝5，k＝1，即f（x）＝x＋2，满足当x＞0时，f（x）＞2， 则不等式f（a2－5a－5）＞3可化为a2－5a－5＋2＞3，即a2－5a－6＞0， 解得a＜－1或a＞6，故不等式的解集为{a｜a＜－1或a＞6}. 高中总复习·数学（创新版） 以二次函数为模型的抽象函数 〔一题多解〕已知对于每一对正实数x，y，函数f（x）满足：f （x）＋f（y）＝f（x＋y）－xy－1，若f（1）＝1，则满足f（n）＝n （n∈N*）的n的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 √ 高中总复习·数学（创新版） 解析： 　法一（常规解法）　令y＝1，则f（x＋1）＝f（x）＋x＋2， 即f（x＋1）－f（x）＝x＋2，所以f（x）－f（x－1）＝x＋1，f（x －1）－f（x－2）＝x，…，f（2）－f（1）＝3，累加得f（x）－f （1）＝ ，则f（x）＝ －1，所以f（n）＝ － 1，又f（n）＝n，解得n＝－2或n＝1，又n∈N*，所以n＝1.故选A. 法二（模型解法）　由f（x）＋f（y）＝f（x＋y）－xy－1，可设函数 f（x）＝ x2＋bx－1，由f（1）＝1，得b＝ ，故f（x）＝ x2＋ x－ 1，由f（n）＝n，即 n2＋ n－1＝n，解得n＝－2或n＝1，又n∈N*， 所以n＝1.故选A. 高中总复习·数学（创新版） 以幂函数为模型的抽象函数 〔一题多解〕已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（xy）＝f （x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x） ∈[0，1）.若a≥0且f（a＋1）≤ ，则a的取值范围为 ⁠. [0，2] 高中总复习·数学（创新版） 解析：法一（常规解法） 设0≤x1＜x2，∴0≤ ＜1，f（x1）＝f （ ·x2）＝f（ ）·f（x2），∵0≤x＜1时，f（x）∈[0，1），∴0≤f （ ）＜1，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在[0，＋∞）上单调递 增.∵f（27）＝9，又f（3×9）＝f（3）×f（9）＝f（3）×f（3）×f （3）＝[f（3）]3，∴9＝[f（3）]3，∴f（3）＝ ，∵f（a＋1） ≤ ，∴f（a＋1）≤f（3），∴a＋1≤3，即a≤2，又a≥0，故a的 取值范围为[0，2]. 高中总复习·数学（创新版） 法二（模型解法） 由f（xy）＝f（x）f（y），可设函数f（x）＝xn， 由f（－1）＝1，f（27）＝9，得n＝ ，即f（x）＝ ，满足当0≤x＜1 时，f（x）∈[0，1）.由f（a＋1）≤ ，即（a＋1 ≤ ，即（a ＋1 ≤ ，即a＋1≤3，得a≤2，又a≥0，故a的取值范围为[0，2]. 高中总复习·数学（创新版） 以指数函数为模型的抽象函数 〔一题多解〕已知函数f（x）对于一切实数x，y满足f（0）≠0，f （x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1.则当x＞0时，f （x）的取值范围为 ⁠. （0，1） 高中总复习·数学（创新版） 解析：法一（常规解法）　∵对于一切x，y∈R，f（x＋y）＝f（x）f （y）且f（0）≠0，令x＝y＝0，则f（0）＝1，设x＞0，则－x＜0， ∴f（－x）＞1，又f（0）＝f（x－x）＝f（x）f（－x）＝1，∴f（－ x）＝ ＞1，∴0＜f（x）＜1. 法二（模型解法）　由f（x＋y）＝f（x）f（y），可设函数f（x）＝ ax（a＞0，且a≠1），由当x＜0时，f（x）＞1，结合指数函数的图象特 征知0＜a＜1，取a＝ ，则f（x）＝（ ）x满足题意，故当x＞0时，f （x）的取值范围为（0，1）. 高中总复习·数学（创新版） 以对数函数为模型的抽象函数 〔一题多解〕已知函数f（x）是定义域为（0，＋∞）的增函数，满 足f（4）＝1，f（xy）＝f（x）＋f（y），若f（x）＋f（x－3）≤1， 则x的取值范围为 ⁠. 解析：法一（常规解法）　f（x）＋f（x－3）＝f[x（x－3）]≤1＝f （4），又f（x）是定义域为（0，＋∞）的增函数， ∴ ⇒3＜x≤4，∴x的取值范围为（3，4]. （3，4] 高中总复习·数学（创新版） 法二（模型解法）　由f（xy）＝f（x）＋f（y），可设函数f（x）＝ logax（a＞0，且a≠1）.由f（4）＝1，得a＝4，则f（x）＝log4x，由f （x）＋f（x－3）≤1，得log4x＋log4（x－3）≤1，即log4[x（x－ 3）]≤1，故 解得3＜x≤4，故x的取值范围为（3，4]. 高中总复习·数学（创新版） 以余弦函数为模型的抽象函数 〔一题多解〕已知函数f（x）的定义域为R，且f（x＋y）＋f（x－ y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则 f（k）＝（　　） A. －3 B. －2 C. 0 D. 1 √ 解析： 　法一（常规解法）　因为f（1）＝1，所以在f（x＋y）＋f （x－y）＝f（x）f（y）中，令y＝1，得f（x＋1）＋f（x－1）＝f （x）·f（1），所以f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）　①，所以f（x＋ 2）＋f（x）＝f（x＋1）　②.由①②相加，得f（x＋2）＋f（x－1） 高中总复习·数学（创新版） ＝0，故f（x＋3）＋f（x）＝0，所以f（x＋3）＝－f（x），所以f（x ＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），所以函数f（x）的一个周期为6.在f（x ＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y）中，令x＝1，y＝0，得f（1）＋f （1）＝f（1）f（0），所以f（0）＝2.令x＝1，y＝1，得f（2）＋f （0）＝f（1）·f（1），所以f（2）＝－1.由f（x＋3）＝－f（x），得 f（3）＝－f（0）＝－2，f（4）＝－f（1）＝－1，f（5）＝－f（2）＝ 1，f（6）＝－f（3）＝2，所以f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝1－1－2 －1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知， f（k）＝f（1）＋f（2）＋f （3）＋f（4）＝1－1－2－1＝－3.故选A. 高中总复习·数学（创新版） 法二（模型解法）　由f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）·f（y），可设 函数f（x）＝2 cos ωx，由f（1）＝1，得2 cos ω＝1，取ω＝ ＋2kπ， k∈Z，令k＝0，得ω＝ ，则f（x）＝2 cos 满足题意，可得f（x）的 周期T＝ ＝6，且f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝0.由于22除以6余4， 所以 f（k）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝1－1－2－1＝－3. 故选A. 高中总复习·数学（创新版） 1. 〔一题多解〕定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f （y）＋2xy，f（1）＝2，则f（－3）＝（　　） A. 2 B. 3 √ C. 6 D. 9 解析： 　法一（常规解法）　f（－3）＝f（－1）＋f（－2）＋4＝3f （－1）＋6，f（0）＝f（0）＋f（0）＋0，f（0）＝0，又f（0）＝f（1 －1）＝f（1）＋f（－1）－2＝f（－1），所以f（－3）＝6. 法二（模型解法）　由f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy，设函数f （x）＝x2＋bx，又由f（1）＝2，得b＝1，所以f（x）＝x2＋x，f（－ 3）＝6. 高中总复习·数学（创新版） 2. 已知函数f（x）的定义域为R，且对任意x1，x2∈R都有f（x1＋x2）＝ 100f（x1）f（x2），则下列结论一定正确的是（　　） A. f（x）是偶函数 B. f（x）是周期函数 C. 存在常数k，对任意x∈R，都有f（x＋1）＝kf（x） D. 对任意m∈R，存在x0∈R，使得f（x0）＝m √ 高中总复习·数学（创新版） 解析： 　令f（x）＝10x－2，因为f（x1＋x2）＝1 ，100f （x1）f（x2）＝100×1 ＝1 ，所以f（x）＝10x－2满 足f（x1＋x2）＝100f（x1）f（x2）.对于A，因为f（x）＝10x－2不是偶 函数，故A错误；对于B，因为f（x）＝10x－2不是周期函数，故B错误； 对于C，令x1＝x，x2＝1，则f（x＋1）＝100f（x）f（1），令k＝100f （1），所以存在常数k，对任意x∈R，都有f（x＋1）＝kf（x），故C 正确；对于D，因为f（x）＝10x－2＞0，故m＜0时，不存在x0∈R，使得 f（x0）＝m，故D错误. 高中总复习·数学（创新版） 3. 〔多选〕〔一题多解〕已知函数f（x）的定义域为R，且f（x＋y）＝ f（x）＋f（y），当x＞0时，f（x）＞0，且满足f（2）＝1，则下列说 法正确的是（　　） A. f（x）为奇函数 B. f（－2）＝－1 C. 不等式f（2x）－f（x－3）＞－2的解集为（－5，＋∞） D. f（－2 026）＋f（－2 025）＋…＋f（0）＋…＋f（2 025）＋f（2 026）＝2 025 √ √ 高中总复习·数学（创新版） 解析： 　法一（常规解法）　对于A，令x＝y＝0，可得f（0）＝f （0）＋f（0）＝2f（0），所以f（0）＝0，令y＝－x，得到f（－x）＋ f（x）＝f（0）＝0，即f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，故 A正确；对于B，因为f（x）为奇函数，所以f（－2）＝－f（2）＝－1， 故B正确；对于C，设x1＞x2，x＝x1，y＝－x2，可得f（x1－x2）＝f （x1）＋f（－x2），所以f（x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）＝f （x1－x2），又因为x1＞x2，所以x1－x2＞0，所以f（x1－x2）＞0，即f （x1）＞f（x2），所以f（x）在R上是增函数，因为f（－2）＝－1，所 以f（－4）＝f（－2－2）＝2f（－2）＝－2，由f（2x）－f（x－3）＞ 高中总复习·数学（创新版） －2，可得f（2x）＞f（x－3）＋f（－4），所以f（2x）＞f（x－3－ 4）＝f（x－7），所以2x＞x－7，得到x＞－7，所以f（2x）－f（x－ 3）＞－2的解集为（－7，＋∞），故C错误；对于D，因为f（x）为奇函 数，所以f（－x）＋f（x）＝0，所以f（－2 026）＋f（2 026）＝f（－ 2 025）＋f（2 025）＝…＝f（－1）＋f（1）＝0，又f（0）＝0，故f （－2 026）＋f（－2 025）＋…＋f（0）＋…＋f（2 025）＋f（2 026） ＝0，故D错误. 高中总复习·数学（创新版） 法二（模型解法）　由f（x＋y）＝f（x）＋f（y），设f（x）＝kx， 由f（2）＝1，得f（x）＝ x，满足当x＞0时，f（x）＞0.对于A，由f （x）＝ x，得f（x）为奇函数，A正确；对于B，f（－2）＝ ×（－2） ＝－1，B正确；对于C，不等式可化为 x＋ ＞－2，解得x＞－7，故C错 误；对于D，因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＋f（x）＝0，且f（0） ＝0，故原式＝0，D错误.故选A、B. 高中总复习·数学（创新版） 4. 已知函数y＝f（x）对于任意实数x，y都有f（x＋y）＝f（x）f （y），当x＞0时，f（x）＞1，则f（x）的解析式可以是 ⁠ .（写出一个即可） 解析：令x＝0，y＝1，则f（1）＝f（0）f（1），又当x＞0时，f（x） ＞1，所以f（0）＝1.任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，则f（x2）＝ f（x1＋x2－x1）＝f（x1）f（x2－x1），即 ＝f（x2－x1），因为 x2－x1＞0，即 ＞1，所以f（x2）＞f（x1），所以函数f（x）在 （0，＋∞）上单调递增.令f（x）＝2x，满足f（0）＝1，且f（x）在 （0，＋∞）上单调递增，且f（x）f（y）＝2x·2y＝2x＋y＝f（x＋y）. 所以满足条件的f（x）的解析式可以是f（x）＝2x. f（x）＝2x （答案不唯一） 高中总复习·数学（创新版） $