精品解析：吉林长春市公主岭市2025-2026学年 九年级下学期中考第三学情自测数学试题

九年级第三次模拟测试数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 的算术平方根为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的算术平方根为． 2. 据统计，2026年春节假期，某市全市重点景区、星级酒店、乡村民宿等累计接待全域游客超7225000人次．用科学记数法可将“7225000”表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值，当原数的绝对值大于等于10时，小数点向左移动位数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：由题意可得平移后的抛物线解析式为； 故选：A． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将原不等式进行移项、合并同类项、系数化为1以及不等式性质求出一元一次不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ， 在数轴上表示如下： 5. 已知关于x、y的方程组的解满足，则a的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】用加减消元法将两方程相减，并化简，又与已知条件相结合，得到关系，求解即可． 【详解】解：将方程组上面的方程减下面的方程得：， 化简得， 又因为， 所以， 解得． 6. 如图，矩形中，对角线、交于点．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出，运用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴， 故选：C． 7. 如图，甲、乙两位登山者同时从点出发后，一段时间后，甲步行米到达点，乙步行米到达点，若坡角为，则甲、乙两人的水平距离可以表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；由题意得米，，由余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，米， ∵， ∴， 在中，， ∴米， 故选：A． 8. 跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏．如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形以及六个等边三角形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若点的横坐标为1，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点P作轴于点M，过点E作轴于点N，先求出，得出，再在等边三角形中求出和，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作轴于点M，过点E作轴于点N， 由题意可得、是等边三角形，是正六边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式： ______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式进行二次分解，即可得到结果． 【详解】解：． 10. 如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是________． 【答案】两点之间线段最短 【解析】 【分析】根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：两点之间线段最短． 【点睛】本题主要考查线段的基本事实，理解线段的基本事实是解题的关键． 11. 如图，的弦，是的中点，且，则的直径等于_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查的是垂径定理、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解题的关键． 如图：连接，由垂径定理可得，；设的半径为r，则，在中运用勾股定理列方程可求得，进而求得直径． 【详解】解：如图：连接， ∵的弦，是的中点， ∴，， 设的半径为r，则， 在中， ∵， ∴，解得：， ∴的直径． 故答案为：10． 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若的周长等于，则的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质可知，且相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即．再根据相似三角形的周长比等于相似比，结合已知条件求出相似比，进而求出的周长． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，且等于相似比． ， ． 与的相似比为． 相似三角形的周长比等于相似比，． 的周长等于， 的周长． 13. 如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_________． 【答案】12 【解析】 【分析】由平移的性质得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：由平移可得， ∵， ∴，即， ∴． 14. 如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点D，反比例函数的图像经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论：①反比例函数的关系式为；②点C的坐标是；③；④，其中正确的结论有_________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】如图：过点B作轴于点F，利用菱形的面积公式求出，得到，从而得到，即可判断A选项；利用菱形的性质，可判断B选项；利用锐角三角函数判断C选项；利用勾股定理可判断D选项． 【详解】解：如图：过点B作轴于点F， ∵点A的坐标为， ， ∵四边形是菱形， ，，， ， 在中，， ， ∴， ∴点D的坐标为，即， ∵反比例函数的图像经过点D， ， ∴双曲线的解析式为，①结论正确； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点C的纵坐标与点B相同为8，横坐标为， ∴点C的坐标是，②结论正确； ∵四边形是菱形， ∴， ， ，③结论正确； ，， ， ， ， ，④结论错误． 综上，正确的结论有①②③个． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再从，，三个数中选择一个合适的数代入求值． 【答案】；当时，原式． 【解析】 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∴在，，中，取， 当时，原式． 16. 剪纸窗花是我国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．手工制作课上，小轩剪了4张窗花，然后将其粘在大小相同的正面是白色的卡片（背面完全相同）上，然后将这些卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上． （1）若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的窗花图案是“中心对称图形”的概率是________； （2）若小轩从中随机抽取一张卡片，记录下窗花的图案，放回洗匀，再从中随机抽取一张，记录下窗花的图案．请用列表或画树状图的方法，求两次记录的窗花图案均是“轴对称图形”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用概率公式即可得到答案； （2）画树状图求出共有16种等可能的结果，其中两次所抽取的卡片上的窗花图案恰好都是轴对称图形的结果有4种，即可根据概率公式求出答案． 【小问1详解】 解：观察4张卡片，是中心对称图形的有C卡片1张， ∴从中随机抽取1张卡片，抽到的卡片上的窗花图案是中心对称图形的概率为； 【小问2详解】 解：观察4张卡片上的窗花图案，是轴对称图形的有A和D两张卡片， 画树状图如图： 共有16种等可能的结果，其中两次记录的窗花图案恰好都是轴对称图形的结果有4种， ∴两次记录的窗花图案均是“轴对称图形”的概率为． 17. 如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可； （2）证明是等腰直角三角形可得结论． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 18. 2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队．为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看．已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序．如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 【答案】过道的宽应该设计米． 【解析】 【分析】设过道的宽为米，根据题意得出，解方程，根据实际取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：设过道的宽为米，根据题意得， 整理得，， 解得：（舍去）， 答：过道的宽应该设计米． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、、均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画轴对称图形，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图①中，四边形面积为4； （2）在图②中，四边形面积为10； （3）在图③中，四边形面积为12． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）构造筝形即可； （2）构造正方形即可； （3）构造等腰梯形，使即可． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求； 证明：由图可知四边形是轴对称图形， ∵ ∴四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图，四边形即为所求； 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵正方形是轴对称图形， ∴四边形即为所求； 【小问3详解】 解：如图，四边形即为所求； 证明：由作图可知四边形是等腰梯形， ∴四边形是轴对称图形，， ∴四边形即为所求． 20. 教师群体的心理健康状况值得特别关注．某区为了解教师心理健康现状，从本区随机抽取a名教师进行心理健康测评，测评标准如下： 得分区间 0～10分 11～20分 21～30分 31～40分 41～50分 心理健康等级 A：优秀 B：良好 C：一般 D：需要注意 E：需专业干预 【数据处理】 将收集到的数据整理成以下两幅统计图： 【数据应用】 （1）_________，_________，_________； （2）补全条形统计图； （3）在抽取的教师中，得分为中位数的教师心理健康等级处于_________； （4）调查发现，心理健康等级为E的教师中，通过单次专业心理干预，约有的教师心理获得正向改善，恢复了健康．若该区共有教师2900名，问心理健康等级为E的教师都经过单次专业心理干预后，约有多少名教师获得正向改善，恢复了健康？ 【答案】（1）200，16，38 （2）见解析 （3）C （4）约有116名获得正向改善，恢复了健康 【解析】 【分析】（1）用B等级的人数除以其所占的百分比，可求出a的值；用总人数乘以A等级所占的百分比可得b的值，用D等级的人数除以总人数，可求出c的值； （2）根据（1）中即可补全条形统计图； （3）根据中位数的定义解答即可； （4）用2900乘以E等级所占的百分比，再乘以，即可． 【小问1详解】 解：； ； ，即； 【小问2详解】 解：等级E的人数： 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：∵，， ∴把这200个数据从小到大排列，第100个和101个数位于等级C， 即在抽取的教师中，得分为中位数的教师心理健康等级处于C； 【小问4详解】 解：（名） 答：该区心理健康等级为E的教师约有116名获得正向改善，恢复了健康． 21. 为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． （1）完成这个光缆铺设工程用了多少天? （2）求乙队y关于x的函数关系式． （3）甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天? 【答案】（1）14天 （2） （3）2天 【解析】 【分析】（1）由函数图象即可得到答案； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）由原计划甲队y关于x的函数解析式，得到，求出，计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图象得完成这个光缆铺设工程用了天； 【小问2详解】 解：设乙队y关于x的函数关系式为， 把，代入得， 解得， 则乙队y关于x的函数解析式； 【小问3详解】 解：， 原计划甲队y关于x的函数解析式， 甲、乙两队完成光缆工程需满足， 解得， （天）， 答：甲队工人离队导致工期比原计划延长了2天． 22. 综合与实践 【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形中，是对角线上一动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，作射线，分别交边，于点，．试探究线段与的数量关系． 小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下． 【观察猜想】 小明先对点在特殊位置时的图形进行了探究． （1）如图①，若是对角线的中点，则线段与的数量关系为_______； （2）【推理验证】小明认为当点是对角线上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图②的情形判断他的说法是否正确，并说明理由； （3）【拓展应用】已知正方形的边长为，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）正确，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用正方形对边平行的性质得到两组内错角相等，结合是中点的条件，用证明，得出；再根据正方形对角线性质得，结合已知的、，判定四边形是矩形，由矩形对角线互相平分得；最后通过等量代换即可得到； （2）过点作于点，过点作于点，构造直角三角形；再利用正方形内角和垂直关系，通过角的等量代换得到，结合、，用证明，得出；接着根据等腰直角三角形的边长关系，由推导出；最后利用平行线的性质得到一组角相等，用证明，从而证得； （3）先由正方形边长计算出对角线的长度，再根据求出、的长度；利用（2）中的结论得到的长度；分别在等腰直角和中求出、、、、的长度；通过三个直角判定四边形是矩形，得出、、的长度；再由两组角相等证明，根据相似比列方程求出的长度，进而得到的长度；最后在中运用勾股定理计算出的长． 【小问1详解】 解：； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， 【小问2详解】 解：正确； 理由如下： 如图，过点作于点，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：； 过点作于，过点作于，延长交于点， ∴， ∵正方形的边长为，， ∴， ∵ ∴，， 由（2）知， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形 ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， 在中， ． 23. 如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以点为圆心，长为半径的与对角线交于、两点，交于、两点． （1）当为中点时，求的长； （2）①连接，当与相切于点时，求的长； ②当时，通过计算比较弦和的大小关系； （3）当与平行四边形的边恰好有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 【答案】（1） （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，解直角三角形求出，在中求出，进而求得的长； （2）①如图：连接，过P作，则， ，利用平行四边形的性质以及解直角三角形可得，进而得到；再根据切线的性质以及已知条件运用勾股定理构造关于的方程求解即可；②如图4：连接，，由①可得：，再利用等边对等角、三角形外角的性质、弧长公式可得，最后比较大小即可； （3）分当与相切时，分点C在内和外，两种情况讨论，分别画出图形求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵在平行四边形中， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①如图：连接，过P作，则， ∵在平行四边形中， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵与相切于点， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴，解得：或0（不合题意舍去）． ②如图4：连接，， 当时，由①可得：， ∵，， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴； 【小问3详解】 解：①如图3，当与相切时，设切点为G， 由上述结果可知，，， ∴，解得：， 即当，与相切，与平行四边形的边的公共点的个数为1； ②如图4：过点C， 与平行四边形的边的公共点的个数为2， ∵在平行四边形中， ∴， ∴ ∴是直径，此时， 当时，点C在圆P内，与平行四边形的边的公共点的个数为1． 综上，的值的取值范围是或． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过、．已知点在抛物线上，横坐标为，将向右平移两个单位得到点，点坐标为，作点关于点对称点为点，点关于点对称点为点，当点、、不在同一条直线上，以、为边作． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）求证：； （3）若线段被轴分成两部分，求的值； （4）点坐标为，连结、，当，直接写出的取值范围．（这里、、均是大于且小于的角） 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求解即可； （2）由平移可知，，由中心对称的性质可得，结合平行四边形的性质可得； （3）设线段与轴的交点为点，根据题意可得点，点，分两类讨论，当时，作轴于点，作轴于点，容易证明，则，从而得到，解方程可得（同侧舍去）；当时，同理可得，解得； （4）连接，将向右平移至处，由平移的性质可得，，，则，结合可得，因此射线在内部，即点、在直线的同一侧，且点、在直线的同一侧．根据题意可得点，，，，使用待定系数法求出直线的函数解析式为，分别将和代入解析式求出和．根据点、在直线的同一侧可得，，整理得，解得或．同理，求出直线的解析式，根据点、在直线的同一侧．可得或，选取公共部分即为的取值范围． 【小问1详解】 解：将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 证明：∵点由点向右平移两个单位得到， ∴， ∵点与点关于点对称，点与点关于点对称， ∴线段与线段关于点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； 【小问3详解】 解：设线段与轴的交点为点， ①当时，如图，作轴于点，作轴于点， ∵点在抛物线上，横坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点关于点对称， ∴点的坐标为， ∵轴，轴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得或， ∵点与点在轴两侧， ∴， ∴或， ∴； ②当时，如图，作轴于点，作轴于点， 同理①可得，， ∴， ∴， 解得或， ∵或， ∴， 综上所述，或； 【小问4详解】 解：如图，连接，将向右平移至处， 由平移的性质可得，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴射线在内部， ∴点、在直线的同一侧，且点、在直线的同一侧， 由（2）可得，点，点， ∵点由点向右平移两个单位得到， ∴点， ∵点与点关于点对称， ∴点， ∴轴， ∵，且， 又∵点， ∴点， 当或时，、、三点共线，与题意不符；当时，、、三点共线，与题意不符， ∴，，， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得； 将代入，得； ∵点、在直线的同一侧， ∴ 整理，得， 两边同乘以，得， 当时，，，， ∴，符合题意； 当时，，，， ∴，不符合题意； 当时，，，， ∴，符合题意； 当时，，，， ∴，不符合题意； 综上，或， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得； 将代入，得 ； ∵点、在直线的同一侧， ∴ 整理，得， 解得或， 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第三次模拟测试数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 的算术平方根为（ ） A. B. C. D. 2. 据统计，2026年春节假期，某市全市重点景区、星级酒店、乡村民宿等累计接待全域游客超7225000人次．用科学记数法可将“7225000”表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是 A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知关于x、y的方程组的解满足，则a的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 6. 如图，矩形中，对角线、交于点．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 7. 如图，甲、乙两位登山者同时从点出发后，一段时间后，甲步行米到达点，乙步行米到达点，若坡角为，则甲、乙两人的水平距离可以表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏．如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形以及六个等边三角形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若点的横坐标为1，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式： ______． 10. 如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是________． 11. 如图，的弦，是的中点，且，则的直径等于_____． 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若的周长等于，则的周长为_____． 13. 如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点D，反比例函数的图像经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论：①反比例函数的关系式为；②点C的坐标是；③；④，其中正确的结论有_________（填序号）． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再从，，三个数中选择一个合适的数代入求值． 16. 剪纸窗花是我国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．手工制作课上，小轩剪了4张窗花，然后将其粘在大小相同的正面是白色的卡片（背面完全相同）上，然后将这些卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上． （1）若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的窗花图案是“中心对称图形”的概率是________； （2）若小轩从中随机抽取一张卡片，记录下窗花的图案，放回洗匀，再从中随机抽取一张，记录下窗花的图案．请用列表或画树状图的方法，求两次记录的窗花图案均是“轴对称图形”的概率． 17. 如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求的长． 18. 2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队．为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看．已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序．如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、、均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画轴对称图形，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图①中，四边形面积为4； （2）在图②中，四边形面积为10； （3）在图③中，四边形面积为12． 20. 教师群体的心理健康状况值得特别关注．某区为了解教师心理健康现状，从本区随机抽取a名教师进行心理健康测评，测评标准如下： 得分区间 0～10分 11～20分 21～30分 31～40分 41～50分 心理健康等级 A：优秀 B：良好 C：一般 D：需要注意 E：需专业干预 【数据处理】 将收集到的数据整理成以下两幅统计图： 【数据应用】 （1）_________，_________，_________； （2）补全条形统计图； （3）在抽取的教师中，得分为中位数的教师心理健康等级处于_________； （4）调查发现，心理健康等级为E的教师中，通过单次专业心理干预，约有的教师心理获得正向改善，恢复了健康．若该区共有教师2900名，问心理健康等级为E的教师都经过单次专业心理干预后，约有多少名教师获得正向改善，恢复了健康？ 21. 为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． （1）完成这个光缆铺设工程用了多少天? （2）求乙队y关于x的函数关系式． （3）甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天? 22. 综合与实践 【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形中，是对角线上一动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，作射线，分别交边，于点，．试探究线段与的数量关系． 小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下． 【观察猜想】 小明先对点在特殊位置时的图形进行了探究． （1）如图①，若是对角线的中点，则线段与的数量关系为_______； （2）【推理验证】小明认为当点是对角线上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图②的情形判断他的说法是否正确，并说明理由； （3）【拓展应用】已知正方形的边长为，当时，请直接写出线段的长． 23. 如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以点为圆心，长为半径的与对角线交于、两点，交于、两点． （1）当为中点时，求的长； （2）①连接，当与相切于点时，求的长； ②当时，通过计算比较弦和的大小关系； （3）当与平行四边形的边恰好有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过、．已知点在抛物线上，横坐标为，将向右平移两个单位得到点，点坐标为，作点关于点对称点为点，点关于点对称点为点，当点、、不在同一条直线上，以、为边作． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）求证：； （3）若线段被轴分成两部分，求的值； （4）点坐标为，连结、，当，直接写出的取值范围．（这里、、均是大于且小于的角） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $