精品解析：吉林松原市长岭县2025—2026学年度下学期第三次学情自测九年级数学

九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 在体育课的立定跳远测试中，以为标准，若小明跳了，记作，则小亮跳了，记作（ ） A. B. C. D. 2. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“马”字一面的相对面上的字为（ ） A. 万 B. 事 C. 如 D. 意 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，点在的边上，需要用尺规作．以下是作图步骤，其正确的顺序是（ ） ①作射线，则就是所求作的角． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点． ③以M为圆心，长为半径画弧，交弧于点D． ④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，． A. ①→②→③→④ B. ②→④→①→③ C. ④→②→③→① D. ④→③→②→① 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”，已知某种梅花的花粉直径是，这个直径用科学记数法表示为_____． 8. 计算：_____． 9. 如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、14cm，若，则等于________cm． 10. 如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 11. 如图，正方形相邻的两个顶点、分别在轴、轴上，且满足轴，反比例函数的图象经过正方形的两条对角线的交点，若正方形的面积为16，则_______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范，某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟．求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟？ 14. 有4张除数字外完全相同的卡片，上面分别写着数字1、2、3、4，将卡片背面朝上洗匀，随机抽取一张后不放回，再随机抽取一张，用列表或画树状图的方法，求出“第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字”的概率． 15. 如图，在菱形中，已知点为边上的一点，与对角线交于点，过点作于点，若． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，则______． 16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，以为斜边画一个面积为5的等腰直角三角形，使点在格点上； （2）在图②中，以为边画一个面积为5的钝角三角形，使点在网格线上． 17. 某小区活动中心想在房前高的墙上安装一个遮阳篷，使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光线与水平地面的夹角为，遮阳篷与水平面的夹角为，如图为侧面示意图，请求出此时遮阳篷端到墙的距离是多长（结果精确到，参考数据：，，；，，）？ 18. “法治中国的未来在年轻人身上”，为了筑牢青少年的法治之基，某中学进行了满分为分的“法治知识”测评，分别从九年级班和班各随机抽取了参与测评的名学生的成绩（单位：分）并进行整理分析： 【收集数据】 班名学生成绩数据如下： 班名学生成绩数据如下： 【整理数据】 成绩 班 班 【分析数据】 根据以上信息，解决下列问题： （1）填空：______，______； （2）若成绩不低于分为“合格”，判断在本次测评中合格率较高的是______班，班的平均分______班的平均分（填“”“”或“”）； （3）在本次测评中，班的甲同学和班的乙同学成绩均为分，你认为两人在各自班级参与测评的学生中______的排名更靠前； （4）请结合具体数据，从平均数、中位数、众数中选择一个角度，说明哪个班的学生对“法治知识”的掌握程度更好． 19. 为响应国家积极推进中小学生每天综合体育运动的号召，某学校实施了“运动积分”奖励制度，鼓励学生周末在家多锻炼．现有甲、乙两班的奖励方案如图所示，学生可根据运动时间（分钟/周）兑换相应的运动积分（分）． 请根据图象解决下列问题： （1）若甲班学生本周末的运动时间为12分钟，可兑换_____运动积分？ （2）求乙班运动积分与运动时间的函数表达式，若某学生本周末的运动时间为21分钟，则他根据哪个班的方案兑换更好？ （3）对于相同的运动时间（分钟/周），若根据两个班的方案兑换的运动积分相差15分，求的值． 20. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，当点不与点、重合时，过点作，交折线于点，是的中点，取的中点，连接，设的面积为，点的运动时间为秒． （1）线段______； （2）求线段的长（用含的代数式表示）； （3）求关于的函数关系式． 21. 当角与直角相遇时，那绝对是一场浪漫的邂逅．把含角的图形构造成直角三角形进行研究，会点亮思维的导航灯． 【初步感知】 （1）如图1，在中，，D是边上的一点，，，于点F，求证：； 【解决问题】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，点M在正方形的内部，且，．若，，求正方形的边长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，点D是边上的中点，点E在边上，连接交于点F，若，，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）的顶点坐标为．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m，点B、C为抛物线与x轴的交点（点B在点C的左侧）． （1）求b、c的值． （2）当的面积为1时，求点A的坐标； （3）当时，，则m的取值范围为______； （4）过点B作x轴的垂线l，过点A作于点P，点Q在直线l上，且点Q的纵坐标为，以AP、PQ为边作矩形，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 在体育课的立定跳远测试中，以为标准，若小明跳了，记作，则小亮跳了，记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际应用，理解相反意义的量是解题关键，根据正负数的意义，超出标准记为正，不足标准记为负解答即可． 【详解】解：∵标准为，小亮跳了， ∴差值 ， 故记作， 故选：B． 2. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“马”字一面的相对面上的字为（ ） A. 万 B. 事 C. 如 D. 意 【答案】B 【解析】 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，与“马”相隔一个正方形的面上的字是“事”． 【详解】解：与“马”字一面相对的面上的字是“事”． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用单项式乘法法则，分别计算系数乘积与同底数幂的乘积即可得到结果. 【详解】解：． 4. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 5. 如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用弧长公式求解即可． 【详解】解：的长度． 故选：B． 6. 如图，点在的边上，需要用尺规作．以下是作图步骤，其正确的顺序是（ ） ①作射线，则就是所求作的角． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点． ③以M为圆心，长为半径画弧，交弧于点D． ④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，． A. ①→②→③→④ B. ②→④→①→③ C. ④→②→③→① D. ④→③→②→① 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查尺规作图--作一个角等于已知角，掌握作图方法是解题的关键． 【详解】解：根据作一个角等于已知角的尺规作图，正确步骤为：④→②→③→①， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”，已知某种梅花的花粉直径是，这个直径用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单位换算和科学记数法，掌握科学记数法是解题的关键． 先将米转换为厘米，再用科学记数法表示绝对值小于1的数． 【详解】解：，． 故答案为：． 8. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加减．先简化为，然后进行二次根式的减法计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9. 如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、14cm，若，则等于________cm． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用．根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：8． 10. 如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据正多边形内角计算公式求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 11. 如图，正方形相邻的两个顶点、分别在轴、轴上，且满足轴，反比例函数的图象经过正方形的两条对角线的交点，若正方形的面积为16，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义进行计算即可． 【详解】解：正方形的面积为16， ， 正方形相邻的两个顶点、分别在轴、轴上，且满足轴， ， ， 反比例函数图象分布在二、四象限， ， ． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式， 当时，原式． 13. 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范，某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟．求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟？ 【答案】制作一对“花扣”需80分钟，制作一对“一字扣”需15分钟 【解析】 【分析】设制作一对“花扣”需分钟，制作一对“一字扣”需分钟，根据制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟建立方程组求解即可． 【详解】解：设制作一对“花扣”需分钟，制作一对“一字扣”需分钟， 由题意，得， 解得， 答：制作一对“花扣”需80分钟，制作一对“一字扣”需15分钟． 14. 有4张除数字外完全相同的卡片，上面分别写着数字1、2、3、4，将卡片背面朝上洗匀，随机抽取一张后不放回，再随机抽取一张，用列表或画树状图的方法，求出“第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字”的概率． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知可能出现的结果有12种，其中第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字有6种， ∴第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字的概率为． 15. 如图，在菱形中，已知点为边上的一点，与对角线交于点，过点作于点，若． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，则______． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，证明，即可得到结论； （2）根据等腰三角形三线合一证明点是的中点，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：菱形， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 解：菱形， ， 是等腰三角形，， 点是的中点， ． 16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，以为斜边画一个面积为5的等腰直角三角形，使点在格点上； （2）在图②中，以为边画一个面积为5的钝角三角形，使点在网格线上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）面积为需要两条直角边为，即三个小正方形宽，一个小正方形长的斜边； （2）利用等高模型作出点即可． 【小问1详解】 解：如图①，即为所求； 【小问2详解】 解：如图②，即为所求． 17. 某小区活动中心想在房前高的墙上安装一个遮阳篷，使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光线与水平地面的夹角为，遮阳篷与水平面的夹角为，如图为侧面示意图，请求出此时遮阳篷端到墙的距离是多长（结果精确到，参考数据：，，；，，）？ 【答案】的长约是 【解析】 【分析】过点作于点，则，设，根据三角函数求得，求出，解得，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，则，设， 在中，， ， ， ． 在中，， ， ， ，， ， 解得， ． 答：的长约是． 18. “法治中国的未来在年轻人身上”，为了筑牢青少年的法治之基，某中学进行了满分为分的“法治知识”测评，分别从九年级班和班各随机抽取了参与测评的名学生的成绩（单位：分）并进行整理分析： 【收集数据】 班名学生成绩数据如下： 班名学生成绩数据如下： 【整理数据】 成绩 班 班 【分析数据】 根据以上信息，解决下列问题： （1）填空：______，______； （2）若成绩不低于分为“合格”，判断在本次测评中合格率较高的是______班，班的平均分______班的平均分（填“”“”或“”）； （3）在本次测评中，班的甲同学和班的乙同学成绩均为分，你认为两人在各自班级参与测评的学生中______的排名更靠前； （4）请结合具体数据，从平均数、中位数、众数中选择一个角度，说明哪个班的学生对“法治知识”的掌握程度更好． 【答案】（1）， （2）， （3）甲 （4）见解析 【解析】 【分析】（）根据数据解答即可求解； （）根据数据及算术平均数的定义解答即可求解； （）根据中位数的意义解答即可求解； （）根据平均数、中位数、众数的意义解答即可求解； 本题考查了统计表，平均数、中位数和众数，掌握平均数、中位数、众数的意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由数据可知，班测评成绩在的有人，班测评成绩在的有人， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由数据可知，班成绩不低于分的人数有人，班成绩不低于分的人数有人， ∴本次测评中合格率较高的是班， ∵班的平均分为 分， 班的平均分为 分， ∴班的平均分班的平均分， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由数据可知，班测评成绩的中位数为分，班测评成绩的中位数为分， ∵班的甲同学和班的乙同学成绩均为分， ∴甲同学的成绩排名在本班处于参与测评学生的中等位置，乙同学的成绩排名在本班处于参与测评学生的中等偏下， ∴甲同学排名更靠前， 故答案为：甲； 【小问4详解】 解：从平均数看，由（）可知，班参与测评学生的成绩的平均数比班的高，所以班的学生对“法治知识”的掌握程度更好； 从中位数看，由（）可知，班参与测评学生的成绩的中位数比班的高，所以班的学生对“法治知识”的掌握程度更好； 从众数看，班参与测评学生的成绩的众数为分，班参与测评学生的成绩的众数为分，班参与测评学生的成绩的众数比班的高，所以班的学生对“法治知识”的掌握程度更好．（答案不唯一，写出一个即可） 19. 为响应国家积极推进中小学生每天综合体育运动的号召，某学校实施了“运动积分”奖励制度，鼓励学生周末在家多锻炼．现有甲、乙两班的奖励方案如图所示，学生可根据运动时间（分钟/周）兑换相应的运动积分（分）． 请根据图象解决下列问题： （1）若甲班学生本周末的运动时间为12分钟，可兑换_____运动积分？ （2）求乙班运动积分与运动时间的函数表达式，若某学生本周末的运动时间为21分钟，则他根据哪个班的方案兑换更好？ （3）对于相同的运动时间（分钟/周），若根据两个班的方案兑换的运动积分相差15分，求的值． 【答案】（1）10 （2），根据乙班的方案兑换更好 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据函数图象作答即可； （2）根据待定系数法求出乙班运动积分与运动时间的函数表达式，进而求出两个班的积分，比较后作答即可； （3）分、两种情况作答即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，当时，可兑换运动积分恒为10， 即若甲班学生本周末的运动时间为12分钟，可兑换10运动积分． 故答案为：10； 【小问2详解】 解：设乙班运动积分与运动时间的函数表达式为， 将代入得， 即， 即乙班运动积分与运动时间的函数表达式为， 将代入得：， 即根据乙班的方案兑换更好； 【小问3详解】 解：当时， 将代入得：， ∵， ∴不存在x的值使得两个班的方案兑换的运动积分相差15分； 当时， 设甲班运动积分与运动时间的函数表达式为， 将、代入得： ， 解得：， 即甲班运动积分与运动时间的函数表达式为， ∵根据两个班的方案兑换的运动积分相差15分， ∴， 解得：； 综上所述，． 20. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，当点不与点、重合时，过点作，交折线于点，是的中点，取的中点，连接，设的面积为，点的运动时间为秒． （1）线段______； （2）求线段的长（用含的代数式表示）； （3）求关于的函数关系式． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）分两种情况讨论解答即可； （3）分三种情况讨论解答即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，． ∴； 【小问2详解】 解：当点D与点C重合时， 由（1）得， ∴， 解得， 点P到达终点B时，即，解得； 当点D在上时，即， ， 由题意得， ∴， 又∵点是的中点， ∴； 当点D在上时，即， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵是的中点，， ∴， 当时，即时， ， 当时， ; 当时， ， ∴． 21. 当角与直角相遇时，那绝对是一场浪漫的邂逅．把含角的图形构造成直角三角形进行研究，会点亮思维的导航灯． 【初步感知】 （1）如图1，在中，，D是边上的一点，，，于点F，求证：； 【解决问题】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，点M在正方形的内部，且，．若，，求正方形的边长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，点D是边上的中点，点E在边上，连接交于点F，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出即可； （2）过点M作于点H，交于点G，证明四边形为矩形，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，证明为等腰直角三角形，得出，最后求出结果即可； （3）过点E作于点G，延长，过点B作于点H，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，解直角三角形得出，，求出，，，，，根据，得出，求出x的值，然后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点M作于点H，交于点G，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为． （3）解：过点E作于点G，延长，过点B作于点H，如图所示： 则， ∵在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点为的中点， ∴， 设，则，， ∴在中，根据勾股定理得：， ，， ∴在中，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）的顶点坐标为．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m，点B、C为抛物线与x轴的交点（点B在点C的左侧）． （1）求b、c的值． （2）当的面积为1时，求点A的坐标； （3）当时，，则m的取值范围为______； （4）过点B作x轴的垂线l，过点A作于点P，点Q在直线l上，且点Q的纵坐标为，以AP、PQ为边作矩形，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），； （2）点A的坐标为或或； （3）； （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标公式，即可求解； （2）先求出，再结合，即可得到答案； （3）由图可知：时，，进而即可得到答案； （4）分三种情况讨论，①当点A在对称轴右侧时，，②当点A在对称轴左侧时，，③时，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线（b、c是常数）的顶点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：抛物线， 令，解得：， ∴， ∴， ∴的面积=， ∴， ∴，解得：， ∴点A的坐标为或或； 【小问3详解】 解：令， 则， ∵，由图可知：， ∵当时，， ∴； 【小问4详解】 解：①当点A在对称轴上或右侧时，，则， 此时点Q在x轴上或下方，抛物线在矩形内部，y随x得增大而增大， 当时，无重合； ②当点A在对称轴左侧时，，则，此时无重合； ③时，， ，解得， ∴当时，y随x得增大而增大， 当时，y随x得增大而减小， 综上所述：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数得图形和性质，掌握待定系数法以及数形结合的思想方法是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $