精品解析：内蒙古呼和浩特市赛罕区2024-2025学年下学期期中八年级学业质量监测数学试卷　

赛罕区2024-2025学年度第二学期期中八年级学业质量监测 数学 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，将答题卡交回． 3．本试卷满分100分．考试时间90分钟． 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图象不能反映y是x的函数的是（ ） A B. C. D. 3. 如图，矩形中，，，则的长是（ ） A 2 B. C. 4 D. 8 4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A 5，8，10 B. 1，2， C. 1，， D. 4，5，6 5. 如图，在菱形中，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 7. 下列说法正确的是（　　） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是菱形，那么原来四边形的对角线一定相等 8. 如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ） ①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE+AD＝2AC A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 9. 若有意义，则x的取值范围是_____________． 10. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为_________尺． 11. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米． 12. 如图，将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点分别在上，若，则的长为________． 三、解答题（本大题共6小题，共64分．解答题应写出文字说明、计算过程或演算步骤） 13. 计算： （1） （2） 14. 先化简，再求值：，其中 15. 某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为： ③牵线放风筝的小明的身高（）为． （1）如图1是放风筝的示意图，其中点C、D、E在同一条直线上，且，，，垂足为点D，请根据题意，求出风筝的垂直高度； （2）如果小明想让风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？ 16. 已知，如图，四边形是平行四边形，点E、F在对角线所在的直线上，． （1）求证：； （2）连接、，若，，平分，求四边形的面积． 17. 青城公园摩天轮是孩子们非常喜欢的游乐项目，明珠中学的数学兴趣小组决定趁着游玩时对摩天轮进行实地调研． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度y和所用的时间x的数据，并绘制变化图如图2． 【问题研究】请根据图2中信息回答 旋转时间 0 3 6 8 12 … 高 5 5 5 … （1）根据图2补全表格 （2）如表反映的两个变量中，自变量是 ，摩天轮转一周需要 分钟； （3）摩天轮最高点距地面 （米），摩天轮最低点距地面 （米）； （4）如图3，摩天轮某个吊舱（吊舱可以看做圆周上的点）从点A旋转到点B需分钟，那么请你求出这个吊舱从A点顺时针旋转到B点所走的路径的长度（结果保留） 18. 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： （1）【课本再现】 第一步：如图①，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，如图①，连接，判断的形状并证明． （2）【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求与的数量关系是 （用数学式子表示）； （3）【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，如图③，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 赛罕区2024-2025学年度第二学期期中八年级学业质量监测 数学 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，将答题卡交回． 3．本试卷满分100分．考试时间90分钟． 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件， 根据二次根式的定义，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数非负．逐项判定即可． 【详解】解：选项A：，被开方数为（负数），不符合条件②，排除． 选项B：，根指数为2（默认省略），被开方数，满足两个条件，是二次根式． 选项C：，根指数为3，属于三次根式，不符合条件①，排除． 选项D：，，（负数），不符合条件②，排除． 综上，正确答案为B． 故选：B． 2. 下列图象不能反映y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查识别图像反映是的函数为问题，掌握函数的定义是解题关键．根据函数的定义，设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，一一排查即可． 【详解】解：A、当x取一值时，y有两个值与其对应，y不是x函数，故本选项符合题意； B、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意； D、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 如图，矩形中，，，则的长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 先求出，再由矩形性质得，则可证得是等边三角形，则，即可求得长． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 5，8，10 B. 1，2， C. 1，， D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A、∵， ∴不能构成直角三角形，故本选项错误． B、∵， ∴不能构成直角三角形，故本选项错误； C、∵， ∴能构成直角三角形，故本选项正确； D、∵， ∴不能构成直角三角形，故本选项错误． 故选：C． 5. 如图，在菱形中，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接交于O，根据菱形的性质得出，，， ，则可证是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，进而求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接交于O， ∵在菱形中，，， ∴，，， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6. 一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里， ∴OM2+ON2=MN2， ∴∠MON=90°， ∵∠EOM=20°， ∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°． 故选C． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握方位角的定义及勾股定理逆定理是本题的解题关键． 7. 下列说法正确的是（　　） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是菱形，那么原来四边形的对角线一定相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定、菱形的性质判断即可． 【详解】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法错误，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，本选项说法错误，不符合题意； D、如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是菱形，那么原来四边形的对角线一定相等，本选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及菱形的性质、三角形中位线定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． 8. 如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ） ①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE+AD＝2AC A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，则可根据“SAS”证明△ACE≌△BCD，于是可对①进行判断；利用三角形外角性质得到∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，加上∠CAB＝∠E＝45°，则可得对②进行判断；由全等三角形得性质和等边三角形得性质得出③不正确；证出△ADB是直角三角形，由勾股定理得出④正确． 【详解】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°， ∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD(SAS)，所以①正确； ∵∠DAC＝∠E+∠ACE，即∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE， 而∠CAB＝∠E＝45°， ∴∠DAB＝∠ACE，所以②正确； 在AD上截取DF=AE，连接CF，如图所示， 在△ACE和△FCD中， ∴△ACE△FCD(SAS)， ∴AC=FC， 当，△ACF是等边三角形， 则AC=AF，此时AE+AC=DF+AF=AD， 但无法求证， 故③不正确； 由①得，△ACE≌△BCD， ∴AE=BD，CEA=CDB=45°， ∴ADB=CDB+EDC=90°， ∴△ADB是直角三角形， ∴， ∴， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴， ∴，故④正确； 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形得判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理和直角三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 9. 若有意义，则x的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解一元一次不等式，根据二次根式被开方数为非负数列出不等式，解不等式即可，熟练掌握二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，是解题的关键． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为_________尺． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．设芦苇的长度为尺，则水深为尺，根据题意，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于的方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，设芦苇的长度为尺，则水深为尺， 芦苇长在水池中央， 尺， 根据勾股定理，得：， ，解得：， 答：这根芦苇长为尺． 故答案为：． 11. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米． 【答案】3 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD． 又∵AC+BD=24厘米， ∴OA+OB=12厘米． ∵△OAB的周长是18厘米， ∴AB=6厘米． ∵点E，F分别是线段AO，BO的中点， ∴EF是△OAB的中位线． ∴EF=AB=3厘米． 故答案为：3 12. 如图，将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点分别在上，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形和正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质． 连接交于点，根据菱形和正方形的性质得出，根据全等三角形的性质得出相关的边长，利用勾股定理求出、的长，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点，根据菱形对角线的性质，则， 在正方形和菱形中， ∵， ， ∴， 由勾股定理得， 在正方形和菱形中， ， ∴为等腰直角三角形， 由勾股定理得， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共64分．解答题应写出文字说明、计算过程或演算步骤） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当时，原式 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15. 某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为： ③牵线放风筝的小明的身高（）为． （1）如图1是放风筝的示意图，其中点C、D、E在同一条直线上，且，，，垂足为点D，请根据题意，求出风筝的垂直高度； （2）如果小明想让风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）风筝的垂直高度的长为 （2）他应该往回收线 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴点C、D、E在同一条直线上， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴（负值舍去）， ∴， 答：风筝的垂直高度的长为． 【小问2详解】 解：∵风筝沿方向下降， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， 答：他应该往回收线． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 16. 已知，如图，四边形是平行四边形，点E、F在对角线所在的直线上，． （1）求证：； （2）连接、，若，，平分，求四边形的面积． 【答案】（1）详见解析 （2）96 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，证明，再证明，得出即可； （2）证明四边形为平行四边形，再证明，得出平行四边形是菱形，根据菱形性质求出菱形的面积即可． 小问1详解】 证明：∵为平行四边形 ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 则． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 17. 青城公园的摩天轮是孩子们非常喜欢的游乐项目，明珠中学的数学兴趣小组决定趁着游玩时对摩天轮进行实地调研． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度y和所用的时间x的数据，并绘制变化图如图2． 【问题研究】请根据图2中信息回答 旋转时间 0 3 6 8 12 … 高 5 5 5 … （1）根据图2补全表格 （2）如表反映的两个变量中，自变量是 ，摩天轮转一周需要 分钟； （3）摩天轮最高点距地面 （米），摩天轮最低点距地面 （米）； （4）如图3，摩天轮某个吊舱（吊舱可以看做圆周上的点）从点A旋转到点B需分钟，那么请你求出这个吊舱从A点顺时针旋转到B点所走的路径的长度（结果保留） 【答案】（1）见解析 （2）旋转时间x；6 （3）70；5 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据函数图象获得信息，弧长计算，解题的关键是数形结合． （1）根据图象得出当时，，当时，，得出答案即可； （2）根据图象进行解答即可； （3）根据图象找出最高点和最低点，然后回答即可； （4）先求出摩天轮旋转，旋转的角度为：，再根据弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：根据图象可知：当时，，当时，； 填表如下： 旋转时间 0 3 6 8 12 … 高 5 70 5 54 5 … 【小问2详解】 解：如表反映的两个变量中，自变量是旋转时间，摩天轮转一周需要， 故答案：旋转时间x；6； 【小问3详解】 解：根据图象可知：摩天轮最高点距地面，摩天轮最低点距地面， 故答案为：70；5； 【小问4详解】 解：∵摩天轮转一周需要， ∴摩天轮旋转，旋转的角度为：， ∵摩天轮的直径为， ∴这个吊舱从A点顺时针旋转到B点所走的路径的长度： ． 18 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： （1）【课本再现】 第一步：如图①，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，如图①，连接，判断的形状并证明． （2）【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求与的数量关系是 （用数学式子表示）； （3）【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，如图③，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 【答案】（1）等边三角形，证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得，，从而得到是等边三角形即可求解； （2）根据正方形的性质得出，，根据折叠得出，垂直平分，，根据余角的性质证明，证明，得出，即可证明； （3）分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，分别画出图形，利用勾股定理解方程即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为， ∴垂直平分， ∴， ∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠可知：，垂直平分，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：当点Q在点F的下方时，如图所示： ∵正方形中，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 设，由折叠知， ∴，， 在中，， ∴， 解得， 即； 当点Q在点F的上方时，如图， 则， ∴， ∴， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得，即； 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查正方形折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$