精品解析：青海西宁二中教育集团2025-2026学年第二学期高二数学期中考试试卷

西宁二中教育集团2025—2026学年第二学期 高二年级数学学科期中考试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列中，＝1，＝2，则等于. A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 3. 已知函数的导函数为，满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 8 4. 在等差数列中，首项，公差，前n项和为，且满足，则的最大项为（　　　　） A. B. C. D. 5. 设等比数列的前项和为，前项积为，，且和的等差中项为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数满足，在上存在导函数，且在上，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，有错误选项得0分，若正确选项有两个，部分选对得3分，若正确选项有三个，选对一个正确选项得2分，有选错的得0分. 9. 设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝8，则（ ） A. Sn＝2n2－6n B. Sn＝n2－3n C. an＝4n－8 D. an＝2n 10. 数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（ ） A. 若为等差数列，则的公差为1 B. 若为等差数列，则的首项为1 C. D. 11. 已知是函数的极值点，则（ ） A. 有1个零点 B. 当时， C. 曲线关于点对称 D. 过点与曲线相切的直线有2条 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前n项和为，若，则________． 13. 已知函数，曲线在点处的切线方程是，则曲线在点处的切线方程是_________. 14. 已知实数，满足 ，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. （1）求a的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在上的最大值、最小值. 16. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 西樵镇举办花市，如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD摆放菊花“泥金香”，弓形CMD摆放菊花“紫龙卧雪”，扇形AOC和扇形BOD（其中）摆放菊花“朱砂红霜”.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米2，紫龙卧雪30元/米2，朱砂红霜40元/米2. （1）设，试建立日效益总量关于的函数关系式； （2）试探求为何值时，日效益总量达到最大值. 18. 已知数列中，，且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）令，为数列的前n项和，证明：． 19. 已知函数. （1）若，讨论的单调性； （2）若时，，求的取值范围； （3）若时，方程的两个不同实数根为，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁二中教育集团2025—2026学年第二学期 高二年级数学学科期中考试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【详解】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 2. 已知等比数列中，＝1，＝2，则等于. A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：，，，可见，，依旧成等比数列，所以，解得. 考点：等比数列的性质 3. 已知函数的导函数为，满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】应用导数的加减法则对函数求导得，代入求得，进而求. 【详解】由题设，可得，故， 所以，故. 故选：A 4. 在等差数列中，首项，公差，前n项和为，且满足，则的最大项为（　　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的求和公式可得，，由等差数列的性质可知，，结合已知可得，，即可判断． 【详解】解：等差数列中，且满足， ∴， 由等差数列的性质可知，， ∵首项，公差， ∴， ∴，， 则的最大项为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题． 5. 设等比数列的前项和为，前项积为，，且和的等差中项为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出和的值，可得出数列的通项公式，分析可知：当时，，当时，，当时，，即可得出的最大值. 【详解】设等比数列的公比为． 若，则，不符合题意， 所以，解得． 又因为和的等差中项为，所以，则，解得． 所以，， 当时，，当时，，当时，， 所以的最大值为． 故选：B. 6. 函数满足，在上存在导函数，且在上，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知函数为奇函数，构造函数，再根据函数的奇偶性以及单调性解不等式即可. 【详解】由函数满足，可知函数为奇函数， ， 即， 构造函数， 由题意知：在上，， 故在上单调递减， 为奇函数， ， 即为奇函数， 故在R上单调递减， 因此原不等式可化为：， 即，解得. 故选：D． 7. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用叠加法，求得，得到，结合函数的单调性，以及，即可求解. 【详解】由数列满足， 则 ， 所以， 又由函数在上单调递减，在上单调递增， 因为， 当时，可得；当时，可得， 因为，所以的最小值为. 故选：A. 8. 设函数，若，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得出同号的情况，进而得到，从而构造函数，利用导数求得的最大值. 【详解】记，易知在相同区间内均单调递增， 由知，或， 即在相同区间内均同时成立，故有相同的零点， 不妨设该零点为，则， 则，即，则，故， 记，则， 令，得；令，得； 则在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值，即的最大值为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，有错误选项得0分，若正确选项有两个，部分选对得3分，若正确选项有三个，选对一个正确选项得2分，有选错的得0分. 9. 设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝8，则（ ） A. Sn＝2n2－6n B. Sn＝n2－3n C. an＝4n－8 D. an＝2n 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件求得，由此求得，从而确定正确选项， 【详解】依题意， ， 所以. 故选：AC 10. 数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（ ） A. 若为等差数列，则的公差为1 B. 若为等差数列，则的首项为1 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】本题考查等差数列的应用，根据条件构造出，两式相减得，再根据选项中的条件进行求解来判断A，B；利用求和公式来判断C，D． 【详解】因为，所以，两式相减得． 若数列为等差数列，则的公差． 又，所以，解得，所以A正确，B错误； ， 所以，所以C错误． 因为，所以恒成立， 即成立，所以D正确， 故选：AD． 11. 已知是函数的极值点，则（ ） A. 有1个零点 B. 当时， C. 曲线关于点对称 D. 过点与曲线相切的直线有2条 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出导函数，利用极值点的性质求得，然后求出的单调区间，结合单调性及极值的符号，根据零点存在定理判断零点个数判断A；先判断，再根据单调性判断B；由判断曲线的对称性判断C；设切点，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线方程化简得，进而求出切点坐标，即可判断切线条数判断D. 【详解】由得，则， 解得，则，当时，， 当时，，所以在，上单调递增， 在上单调递减，所以的极小值为，极大值为， 满足是函数的极值点， 又，由零点存在定理得有1个零点，A正确； 由，得，，所以，又在上单调递增，所以，故B错误； 因为 ，所以曲线关于点对称，C正确； 设过点的直线与曲线相切于点， 所以切线方程， 将点代入切线方程为， 整理得，即，解得，或， 过点的直线与曲线相切于点或， 因此过点与曲线相切的直线有2条，D正确． 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前n项和为，若，则________． 【答案】768 【解析】 【分析】 先将代入已知条件化简得到数列是等比数列，再写出通项公式，计算即得结果. 【详解】由，得，即，又，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，所以，所以． 故答案为：. 13. 已知函数，曲线在点处的切线方程是，则曲线在点处的切线方程是_________. 【答案】 【解析】 【分析】 由曲线在点处的切线方程是，故，再结合 ，，得到，故得解. 【详解】由曲线在点处的切线方程是，故， 又 在点处的切线方程是： 故答案为：. 【点睛】本题考查了导数在切线问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 14. 已知实数，满足 ，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过换元简化复杂解析式，构造两个单变量辅助函数，利用导数分别判断单调性、求出最值，结合不等式约束关系，确定仅当两个函数同时取到对应最值时原不等式成立，最后联立等量关系求解未知数，从而得到所求. 【详解】设 ，则， 原不等式可改写为： ， 移项得 ， 设 ， ， 当时， ，单调递增， 当时， ，单调递减， 所以的最大值为 ，即 ， 设 ， ， 当时， ，单调递减， 当时， ，单调递增， 所以的最小值为 即 ， 由题意可知，且， ， 可知：，此时：，， 即得到方程组，解得：，， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. （1）求a的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在上的最大值、最小值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为. （3）最大值为40，最小值为. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值； （2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解； （3）求出在上的单调性，即可利用单调性求出最值. 【小问1详解】 因为，则， 则，而直线的斜率为， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，所以，定义域为，且. 令，即，化简可得，解得， 当，即时，解得或， 所以的单调递增区间为和， 当即时，解得， 所以的单调递减区间为. 综上，得单调增区间为和，单调减区间为. 【小问3详解】 由（2）知，其单调增区间为和，单调减区间为， 所以在上单调递减，在上单调递增，为其极小值点， 则 0 4 0 减函数 增函数 40 综上，函数在上的最大值为，最小值为. 16. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式进行计算即可； （2）利用错位相减法求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，所以， 又，所以 ，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 则①， 所以②， 由①②得： ， 所以. 17. 西樵镇举办花市，如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD摆放菊花“泥金香”，弓形CMD摆放菊花“紫龙卧雪”，扇形AOC和扇形BOD（其中）摆放菊花“朱砂红霜”.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米2，紫龙卧雪30元/米2，朱砂红霜40元/米2. （1）设，试建立日效益总量关于的函数关系式； （2）试探求为何值时，日效益总量达到最大值. 【答案】（1），其中， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可求得，然后根据扇形的面积公式和三角形的面积公式可表示出各个面积，从而可表示出关于的函数关系式； （2）对关于的函数关系式求导，然后根据导数的正负求出其单调区间，从而可求出其最大值. 【小问1详解】 依题意得，， 则 ， 其中，. 【小问2详解】 ，令，得， 当，，函数递增，当时，，函数递减. 所以，是函数的极大值点，且唯一； 从而当时，日效益总量可取得最大值. 18. 已知数列中，，且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）令，为数列的前n项和，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1），根据等比数列的通项公式计算即可求解； （3）由（2）可得，利用裂项相消求和法可得，结合作差法即可证明. 【小问1详解】 由题意知，所以， 由于，故， 故， 故数列是以3为首项，公比为3的等比数列； 【小问2详解】 由（1）知，数列是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以，故 【小问3详解】 由（2）知．， 所以，- 故 由于，故， 19. 已知函数. （1）若，讨论的单调性； （2）若时，，求的取值范围； （3）若时，方程的两个不同实数根为，，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分类讨论参数的取值范围，确定导数的正负区间，得到函数在不同情况下的单调区间； （2）先由得到的初步范围，再结合第（1）问的单调性，证明该范围下函数在上恒非负； （3）通过构造辅助函数和，利用函数的单调性和对称性证明方程的两个根满足. 【小问1详解】 函数定义域为 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则或，则， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当时，令，则或，则， 所以在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 当时，，所以. 下证当时，在上恒成立. 由（1）知，时，在上递增， 所以， 所以当时，在上恒成立. 【小问3详解】 因为， 令，即， 所以， 所以在上单调递增，上单调递减，且，, 当时，， 所以不妨设，且. 令，则， 因为当时，， 所以，所以在上单调递增. 所以，即，所以， 因为，，在上单调递减， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $