精品解析：2026年江苏省无锡市积余集团中考数学二模试卷

2026年九年级第二次模拟考试 数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名等个人信息填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名等个人信息是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 比－1小3的数是（ ） A. ﹣2 B. 2 C. 4 D. －4 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，这是小明家的一个挂钟，钟面的外沿是正八边形，则该正八边形的内角和的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 学校运动会开幕式上，某班级计划在走方阵时从以下四个角色中选择一个作为领队进行扮演，经班级学生投票后，决定选择哪吒作为领队角色．这样决定依据的统计量是（ ） 角色 孙悟空 哪吒 唐僧 杨戬 投票人数 10 20 12 6 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A. a=3，b=2 B. a=－3，b=2 C. a=3，b=－1 D. a=－1，b=3 7. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. “出入相补”原理是魏晋时期数学家刘徽创立．如图是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形，，均为正方形．若正方形的面积为，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 10 10. 定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．下列说法： 点是反比例函数图像的“1阶方点”； 若关于的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，则； 若关于的二次函数图像的“n阶方点”一定存在，则． 其中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第1个空1分，第2个空2分．） 11. 分解因式_______． 12. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____． 13. 2025年无锡总量达到亿元，把数字用科学记数法表示为_______． 14. 已知圆锥的母线长为4，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的底面圆的半径为__________． 15. 某小山坡的坡长为米，山坡的高度为米，则该山坡的坡度 ________． 16. 如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，点D的坐标为 ．则的值为_______． 17. 如图，A．B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于D点，垂足为C．若的面积为3，D为的中点，则k的值为__． 18. 在综合实践课上，老师让同学用边长为2的正方形纸片剪等边三角形，且要求剪出的等边三角形的顶点都在正方形边上（含顶点），则该等边三角形面积的最小值为_______；等边三角形边长的最大值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 计算： （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 如图，点在同一条直线上，点在异侧，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 无锡特产有“三白”（白鱼、白虾、银鱼）． 某超市为促销这三种特产，设计了抽奖活动：在一个不透明的盒子中装有3个分别标有“白鱼”、“白虾”、“银鱼”的球，这些球除标注外其余都相同． （1）随机摸出1个球，恰好是“白虾”的概率是 ； （2）随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，求两次摸到的球中至少有一个是“银鱼”的概率（用树状图或列表法解答）． 23. 为加强未成年人思想道德建设．某校在学生中开展了“日行一孝”活动．活动设置了四个爱心项目：A项﹣我为父母过生日，B项﹣我为父母洗洗脚，C项﹣我当一天小管家，D项﹣我与父母谈谈心，要求每个学生必须且只能选择一项参加．为了解全校参加各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是　 　，补全图1中的条形统计图． （2）在图2的扇形统计图中，B项所占的百分比为m%，则m的值为　 　，C项所在扇形的圆心角α的度数为　 　度． （3）该校参加活动的学生共1200人，请估计该校参加D项的学生有多少人？ 24. 如图，已知． （1）尺规作图：①在图中作出的角平分线交于点D； ②作直线l交于点E、F，并使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，则的长是 ． 25. 如图，已知中，以为直径的交于点D，． （1）求证：为的切线； （2）若E为中点，，，求的长． 26. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数－已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放8条安检通道，平均每条通道每分钟可安检8人． 【模型构建】若该演出前开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通4条安检通道时，安检时间时，排队人数为 人； （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值？该时刻的最大人数为多少？ 【模型应用】 （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始内（包含）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由． 27. 垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． （1）如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，则 ； （2）如图，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； （3）①如图所示，在中，，，交于点E，请画出所有以为边的垂中平行四边形，要求：点C在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）； 若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点P，连接，请直接写出的值． 28. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点． （1）当时，求点，的坐标； （2）若，求直线的函数解析式； （3）将抛物线在轴上方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数图像记为，点，在上，当，时，恒成立，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $耐学科网 丽组卷网 2026年九年级第二次模拟考试 数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上.考试时间为120分钟.试卷满 分150分： 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名等个人信息填写在答题卡的相 应位置上，并认真核对条形码上的姓名等个人信息是否与本人的相符合. 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各 题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效。 3.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚， 4.卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果， 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.比-1小3的数是() A.-2 B.2 C.4 D.-4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出算式，然后根据有理数的减法法则计算即可. 【详解】解：由题意知，比-1小3的数是-1-3=-4， 故选D 【点晴】本题考查了有理数的减法法则的应用.解题的关键在于正确的列式求解。 2.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代 表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一分析各个选项即可， 第1页/共29页 学科网丽组卷网 【详解】解：A项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形互相重合，但不能绕着某点旋转180°后与 原图形重合，所以是轴对称图形但不是中心对称图形，故A错误； B项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形互相重合，但不能绕着某点旋转180°后与原图形重合， 所以是轴对称图形但不是中心对称图形，故B错误； C项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形互相重合，但不能绕着某点旋转180°后与原图形重合， 所以是轴对称图形但不是中心对称图形，故C错误： D项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形互相重合，也能绕着某点旋转180°后与原图形重合，所 以是轴对称图形也是中心对称图形，故D正确， 3.下列计算中，结果等于a的是() A.ata B.a2÷a2 C.a2.a D.(a3 【答案】C 【解析】 【详解】解：A.a3+a3=2a3≠a6,不符合题意； B.al2÷a2=a2-2=a10≠a6,不符合题意； C.a2a4=a2+4=a6,符合题意： D.(a3）3=ax3=a'≠a6,不符合题意 4.如图，这是小明家的一个挂钟，钟面的外沿是正八边形，则该正八边形的内角和的度数为() A.900° B.1080 C.1260° D.1440° 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式(n-2)×180°求解即可. 【详解】解：该正八边形的内角和的度数为：8-2)×180°=1080°. 5.学校运动会开幕式上，某班级计划在走方阵时从以下四个角色中选择一个作为领队进行扮演，经班级学 第2页/共29页 可学科网列组卷网 w.con 生投票后，决定选择哪吒作为领队角色.这样决定依据的统计量是() 角色 孙悟空 哪吒 唐僧 杨戬 投票人数 10 20 12 6 A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要是众数的意义.反映数据集中程度的统计量有平均数、中位 数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用. 组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，根据题意直接求解即可. 【详解】解：根据表格得，选择哪吒的学生最多， 这样决定依据的统计量是众数. 故选C. 6.对于命题“若a2>b2,则a>b”,下面四组关于α，b的值中，能说明这个命题是假命题的是() A.a=3,b=2 B.a=-3,b=2 C.a=3,b=-1 D.a=-1,b=3 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：在A中，a2=9,b2=4,且3>2，满足“若a2>b2,则a>b”,故A选项中a、b的值不 能说明命题为假命题； 在B中，a2=9,b2=4,且一3<2，此时虽然满足a2>b2,但a>b不成立，故B选项中a、b的值可以说明 命题为假命题； 在C中，a2-=9,b2=1,且3>一1，满足“若a2>b2,则a>b”,故C选项中a、b的值不能说明命题为假命 题； 在D中，a2=1,b2=9,且-1<3，此时满足a2<b2,得出a<b,即意味着命题“若a2>b2,则a>b”成立， 故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 故选B. 考点：命题与定理。 7.如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成 FH,点G在射线EF上.若∠HFB=20°，∠FED=58°，则∠GFH的度数为() 第3页/共29页 学科网组卷网 zujuan.xkw.con 空气 G. A E A.32° B.38° C.42° D.58° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键. 根据两直线平行同位角相等可得∠GFB=∠FED=58°，再根据角的和差计算即可解答. 【详解】解：AB∥CD,∠FED=58°， ∴.∠GFB=∠FED=58°， ∴.∠GFH=∠GFB-∠HFB=58°-20°=38°， 故选：B. 86月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去， 这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴.目前有A,B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款 相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单 价.若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为( 1000 =2× 425 1000 425 A B. =2x x+3 -3 1000 425 =2× D 1000 x-3 =2x425 x+3 【答案】D 【解析】 【分析】设B款相册的单价为x元，则A款相册的单价为(x+3)元，根据“用1000元购买A款相册的数 量是用425元购买B款相册数量的2倍”列出分式方程即可. 【详解】解：设B款相册的单价为x元，则A款相册的单价为(x+3)元， 1000 425 由题意得： =2× x+3 故选：D 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键， 9.“出入相补”原理是魏晋时期数学家刘徽创立.如图是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入 第4页/共29页 可学科网组卷网 图”，其中四边形ABCD,BEFG,AHIG均为正方形.若正方形AHIG的面积为40，AD=2,则 △GFI的面积为( ) D朱出 R 朱方 B 青入 G C 肯入 青方 H 朱入 青出 青出 F A.6 B.8 C.2W10 D.10 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形AHIG的面积为40可得AG=GI=√40=2W10,利用勾股定理计算出BG=GF=6, 进而计算出FI=2,最后使用三角形的面积公式计算即可. 【详解】正方形AIG的面积为40 ∴.AG=GI=V40=210, 四边形ABCD是正方形， ∠ABG=90°，AB=AD=2, 在Rt△ABG中，BG=√AG2-AB2=V40-4=6, ,四边形BEFG是正方形， ∴.BG=GF=6,∠F=90°， 在RtaGF1中，FI=VG2-GF2=√40-36=2， 1 .S.cm=F1-GF--x2x6-6 2 10.定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图像的“n阶方点”.例如， 11 点33 点是函数V=图像的“3阶方点”：点(2是函数少=长图像的“2阶方点”、下列说法： ①点(-1，-)是反比例函数y=1图像的“1阶方点”； ②若y关于x的一次函数y=ax-3a+1图像的“2阶方点”有且只有一个，则a=3; 第5页/共29页 学科网丽组卷网 ③若y关于x的二次函数y=-x-川'-2n+1图像的“n阶方点”一定存在，则≤n≤1， 其中正确的是() A.①② B.①③ c.②③ D.①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】先明确“n阶方点的定义：函数图像上满足x≤n且y≤n的点，再逐个验证三个说法即可： 【详解】根据定义逐个判断： ①点(-1，-1)代入y=1,等式成立，点在函数图像上，且-1≤1，-1≤1，符合定义，故①正确： ②一次函数y=ax-3a+1=ax-3)+1,恒过定点(3,1)，2阶方点要求点满足x≤2，y≤2，若只有 一个这样的点，则直线过正方形x≤2，≤2的右边界顶点(2,2)或(2，-2)： 代入（2,2)得：2=2a-3a+1,解得a=-1;代入(2，-2)得：-2=2a-3a+1,解得a=3; 故a=3或a=-1,题目仅给出a=3,故②错误； ③二次函数y=-(x-n)2-2n+1,开口向下，对称轴为X=n,在-n≤x≤n时，y随x的增大而增大， y的取值范围是-4n2-2n+1≤y≤1-2n,要存在满足y≤n的点，只需该范围与-n≤x≤n有交集； 需要满足ymx=1-2n≥-n且ymm=-4n2-2n+1≤n, 解1-2n≥-n得n≤1， 解-4n2-2n+1≤n得4n2+3n-1≥0，因式分解得(4n-1)(n+1)≥0， .n≥0，n+1>0, 1 .n≥ 4 故m的范围是≤n≤1，故③正确： 综上，正确的是①③， 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第1个空1分，第2个 空2分.) 11.分解因式a3-4a=· 第6页/共29页 学科网丽组卷网 【答案】a(a+2)(a-2) 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可 【详解】解：a3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2), 故答案为：a(a+2)(a-2). 12.若√3x-6在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是· 【答案】x≥2 【解析】 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可知3x-6≥0，解得x≥2. 13.2025年无锡GDP总量达到16800亿元，把数字16800用科学记数法表示为 【答案】1.68×104 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10”的形式，其中1≤@<10，n为整数，确定n的值时，要看把原 数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。 【详解】16800=1.68×104. 14.已知圆锥的母线长为4，其侧面展开图的圆心角的度数为90°，则圆锥的底面圆的半径为 【答案】1 【解析】 【分析】由于圆锥的母线长为4，侧面展开图是圆心角为90°扇形，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的 扇形弧长，即可求解. 【详解】解：设圆锥底面半径为rcm, 那么圆锥底面圆周长为2πrcm, 所以侧面展开图的弧长为 90π×4 -2ncm, 180 则2πr=2m, 解得：=1， 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的 第7页/共29页 可学科网可组卷网 两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧 长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键 15.某小山坡的坡长为20米，山坡的高度为10米，则该山坡的坡度i= 【答案】1C3 【解析】 【分析】根据坡度的定义，坡度为竖直高度与水平宽度的比，先利用勾股定理求出该山坡的水平宽度，再 计算坡度即可. 【详解】解：由勾股定理得，该山坡的水平宽度为√202-102=√400-100=10√5米 10 ∴坡度i= =1:V5 10N3 16.如图，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为(1,0)，点D的坐 标为5,0).则1C 的值为 【答案】 5 【解析】 【分析】由ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，得△ABC∽△DEF,然后根据相似 三角形的相似比等于位似比可进行求解. 【详解】解：'△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴.△ABC∽△DEF, AC OA ·DF=OD :A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(5,0)， 0A1 0D5 AC1 DF5 第8页/共29页 学科网丽组卷网 17.如图，A.B是双曲线y=k上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C.若△4DO的 面积为3，D为OB的中点，则k的值为_· y B D 0 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质.过点B作BE⊥x轴于点E, 表品三角影约定性质碳新00-E,反4：，则82：)，Q0-车40-会 x 4x ,再由△ADO的面积为3，求出k的值即可得出结论. 【详解】解：过点B作BE⊥x轴于点E, D OC E :AC⊥x轴， ∴.△OCDAOEB, .CD OD BE OB ,D为OB的中点， CD_OD 1 BE OB2 CD-BE. x 4x ,△ADO的面积为3， 第9页/共29页 学科网组卷网 1(k ∴ADOC=3,即 X=3, 2 2x 4x 解得k=8, 故答案是：8. 18.在综合实践课上，老师让同学用边长为2的正方形纸片剪等边三角形，且要求剪出的等边三角形的顶点 都在正方形边上（含顶点），则该等边三角形面积的最小值为；等边三角形边长的最大值为 【答案】 ①.5 ②.2√6-2√2 【解析】 【分析】设△GEF为正方形ABCD的一个内接等边三角形，作等边△GEF的高EK,连接KA,KD, 证明△KAD是等边三角形，当FG⊥AB时，边长FG最小，面积也最小，此时等边三角形的边长等于正 方形的边长，计算面积即可；当FG过点B时，即点F'与点B重合时，边长最大，面积也最大，此时作 KH⊥BC,由等边三角形的性质可知，K为FG'的中点，求出CG,DG,证明△BAE'≌△BCG',求 出DE'=DG'=2√3-2，求解即可； 【详解】如图，设△GEF为正方形ABCD的一个内接等边三角形，作等边△GEF的高EK,连接KA, KD, B(F) .∠EKG=∠EDG=90°， E,K,D,G四点共圆， .∠KDE=∠KGE=60°， 同理∠KAE=60°， :△KAD是等边三角形，则K是一个定点， ·.当FG⊥AB时，边长FG最小，面积也最小，此时等边三角形的边长等于正方形的边长， ·等边三角形的面积的最小值为 ×2×2=V3: 4 第10页/共29页 可学科网可组卷网 当FG过点B时，即点F'与点B重合时，边长最大，面积也最大，此时作KH⊥BC,由等边三角形的性 质可知，K为FG'的中点， :KH∥CD, KH为△FCG'的中位线， .CG'=2HK=2(EH-EK)=2×(2-2sin60)=4-2V3, .DG=2-4-2W3=2√3-2， :AB=CB,BE=BG',∠BAE'=∠BCG'=90°， ∴.△BAE'≌△BCG', ∴.AE'=CG, .DE'=DG=25-2, E'G'= DE-V2x25-2=2W6-2W2, c0s45° .等边三角形边长的最大值为2√6-22 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19.先化简，再求值：÷1+ x2-1 ),其中x=√2-1. x-1 【答案】1，V2 x+1’2 【解析】 【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简，然后代×的值，进行二次根式化简. 【详解】解：原式 x -÷ (x-1)(x+1)x-1 x-1 (x-1)(x+1)x x+1 11V2 当x=及-1时，原式=2-1+1万2 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键， 第11页/共29页 可学科网可组卷网 20.计算： (1)解方程：2x2-x-2=0; 2x-4>3(x-2) (2)解不等式组： 4x≥-7 2 【答案】(1)x= 1+V17,x,=1-V17 4 (2)-1≤x<2 【解析】 【小问1详解】 解：2x2-x-2=0, .a=2,b=-1,c=-2, :b2-4ac=(-12-4×2×(-2=17>0, x=1±7 4 =*7 1-V17 4 4 【小问2详解】 2x-4>3x-2)① 解： 4≥，7② 2 解不等式①得，x<2, 解不等式②得，x≥-1， :不等式组的解集为：-1≤x<2. 21.如图，点C,E,F,B在同一条直线上，点A,D在BC异侧，AB∥CD,AE=DF,LA=∠D· 第12页/共29页 可学科网命组卷网 (1)求证：△ABE≌△DCF; (2)若AB=CF,∠B=30°，求∠D的度数 【答案】(1)见解析 (2)75° 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识 点并灵活运用是解题的关键。 (1)根据平行线的性质导角，继而用AAS证明全等： (2)根据全等三角形的性质以及AB=CF,得到BA=BE,则∠A=∠BEA,再由三角形内角和定理求 解. 【小问1详解】 证明：AB‖CD, ∴.∠B=∠C, 在AABE和△DCF中， AE=DF,∠A=∠D .△ABE≌△DCF(AAS): 【小问2详解】 解：△ABE≌△DCF, .AB=CD,BE CF, :AB=CF,∠B=30°， :AB BE, ÷.∠A=∠BEA=180°-30)=75°， .∠D=75° 22.无锡特产有“三白”（白鱼、白虾、银鱼）.某超市为促销这三种特产，设计了抽奖活动：在一个不透 第13页/共29页 学科网组卷网 明的盒子中装有3个分别标有“白鱼”、“白虾”、“银鱼”的球，这些球除标注外其余都相同. (1)随机摸出1个球，恰好是“白虾”的概率是一 (2)随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，求两次摸到的球中至少有一个是“银鱼”的概率（用树 状图或列表法解答). 【答案】1)3 (2)5 9 【解析】 1-3 【详解】解：(1) (2)设标有“白鱼”、“白虾”、“银鱼”的球分别为A球、B球、C球，列表表示如下： A B C (A,A) (A,B) (A,C) (B,A) (B,B) (B,C) (C,A) (C,B) (C,c) “共有9种等可能结果，两次摸到的球中至少有一个是“银鱼”的情况有5种， P(至少有一个是“银鱼”)=5 9 23.为加强未成年人思想道德建设，某校在学生中开展了“日行一孝”活动.活动设置了四个爱心项目：A项 -我为父母过生日，B项-我为父母洗洗脚，C项-我当一天小管家，D项-我与父母谈谈心，要求每个学 生必须且只能选择一项参加.为了解全校参加各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调 查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题： (1)这次抽样调查的样本容量是，补全图1中的条形统计图. (2)在图2的扇形统计图中，B项所占的百分比为%，则m的值为 C项所在扇形的圆心角的 度数为度， (3)该校参加活动的学生共1200人，请估计该校参加D项的学生有多少人？ 第14页/共29页 可学科网可组卷网 抽取的学生参加各项目人数条形统计图 抽取的学生参加各项目人数扇形统计图 ◆人数 90 90 80 70 B 60 60 m% 50 D 40 30 C 20 45% 10 10 0 B C D 项月 【答案】(1)200；图见解析；(2)20；162；(3)360. 【解析】 【分析】(1)根据题意可以求得调查的总人数，从而可以求得B的人数，进而可以将条形统计图补充完整； (2)根据统计图可以得到调查的总人数，也可以得到C部分所占的圆心角； (3)根据统计图可以求得1200人参加D项的学生的人数. 【详解】解：(1)这次抽样调查的样本容量是 90-200(人)，B的人数200-90-60-10=40， 45% 如图所示： 抽取的学生参加各项目人数条形统计图 抽取的学生参加各项目人数扇形统计图 本人数 90 90- 80F 70上 B A 60 60 m% 50 40 40 30 20F 45% 10 10 0 B C D 项目 40 (2)B项所占的百分比为m%,则m%的值为 ×100%=20%,C项所在扇形的圆心角c的度数为360°×45% 200 =162°： 60 (3)1200人参加D项的学生的人数为1200× ×100%=360（人)： 200 故答案为200；20；162；360. 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需 要的条件，利用数形结合的思想解答问题， 24.如图，已知ABC. 第15页/共29页 学科网丽组卷网 B B 备用图 (1)尺规作图：①在图中作出ABC的角平分线AD交BC于点D: ②作直线I交AC、AB于点E、F,并使AE=DE、AF=DF;(不写作法，保留作图痕迹) 3 (2)在I)的条件下，若AF=2,CE=3,BD=2则CD的长是 【答案】(1)见解析 (2)9 4 【解析】 【分析】(1)①根据尺规作角平分线的方法作图即可； ②根据线段垂直平分线的性质，只需作线段AD的垂直平分线即可； (2)先证明四边形AEDF是菱形，得AE=DE=AF=DF=2,再证明△BDF∽aBCA,利用相似三 角形的性质求解即可. 【小问1详解】 解：①ABC的角平分线AD如图所示： ②如图，直线1如图所示： 【小问2详解】 第16页/共29页 可学科网可组卷网 解：由题意可得：直线1是线段AD的垂直平分线， :AE=DE,AF =DF, ∠EAD=∠EDA, :AD是∠BAC的平分线， ∠EAD=∠FAD, ∴.∠EDA=∠FAD, .DE∥AF, 同理可得：AEDF, .四边形AEDF是平行四边形， AE DE, .四边形AEDF是菱形， AF=2, ∴.AE=DE=AF=DF=2, :CE=3, ..AC=AE+CE=5, .AE DF, .△BDF∽ABCA, DF BD CA BC 3 即2_2’ 5 BC 解得：BC=15 ·CD=BC-BD=153-9 424 25.如图，已知ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D,LCBD=LBED· 第17页/共29页 学科网丽组卷网 E B (1)求证：BC为⊙O的切线； 4 C2)若E为AB中点，BD=12,cos∠BED=5,求BE的长. 【答案】(1)见解析 (2)10√2 【解析】 【分析】(1)根据“直径所对的圆周角是直角”，可证∠BAD+∠ABD=90°，根据“同弧所对的圆周角 相等”，易证∠BAD=∠CBD,再证∠CBD+∠ABD=90°，利用切线的判定定理即可求证： (2)连接AE,易得∠ADB=∠AEB=90°，通过解直角三角形，可求AB=20,再根据“等弧等弦” 可得△AEB是等腰直角三角形，即可求解. 【小问1详解】 证明：·AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°， .∴.∠BAD+∠ABD=90°， .∠BAD=∠BED,LCBD=LBED, ∴.∠BAD=∠CBD, ∴.∠CBD+∠ABD=90°，即∠ABC=90°， .BC⊥OB, OB是⊙O的半径， ∴.BC为⊙O的切线； 【小问2详解】 解：连接AE, 第18页/共29页 学科网组卷网 B ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=∠AEB=90°， .'∠BAD=∠BED, Cos/BAD=cos∠BED=, 在R△ABD中，BD=12,coS∠BAD=AD B 小-即40-48 、2 由勾股定理有，A0+BD=AB,即（传4B+12=A。 .AB=20, :E为AB中点， AE EB, ∴.AE=BE，,即△AEB是等腰直角三角形， BE=48=-10N2. 2 26.综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间， 安排通道数之间的关系。 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数一己入场人数： 条件2：若该演出场地最多可开放8条安检通道，平均每条通道每分钟可安检8人· 【模型构建】若该演出前40min开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式： y=-x2+80x+100(0≤x≤40). 第19页/共29页 可学科网列组卷网 黑点表示观 ● 安检。。。。● ●● ●● 安检。。。。· 台 安检。。·。· ● ● 通道未开及 ● 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通4条安检通道时，安检时间3min时，排队人数为 (2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值？该时刻的最大人数为多少？ 【模型应用】 (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始l3min内（包含l3min)减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支. 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由. 【答案】(1)235(2)第24分钟达到最大值，最大人数为676人 (3)最少开7条安检通道，理由见解析 【解析】 【分析】(1)根据题意列出已入场人数和现场总人数，再用排队人数等于现场总人数减去已入场人数即可； (2)通过配方求出最值即可； (3)设开了m条通道，则w=y-8mx=-x2+80x+100-8mx=-x2+810-mx+100,得到 0≤410-m≤13，结合最多开通8条安检通道，得到63≤m≤8，即可解决间题， 4 【小问1详解】 解：当开通4条安检通道时，安检时间3mi时，己入场人数为：4×3×8=96（人）， 现场总人数为：-32+80×3+100=-9+340=331， 排队人数有：331-96=235（人）： 【小问2详解】 解：根据题意，得w=y-32x=-x2+48x+100=-x-24+676, :-1<0, 当x=24时，Wax=676, 故排队人数在第24分钟达到最大值，最大人数为676人； 第20页/共29页 学科网可组卷网 【小问3详解】 解：设开了m条通道， .w=y-8mx=-x2+80x+100-8mx=-x2+8(10-mx+100, ∴.对称轴为x=4(10-m】 ,排队人数13min(包括13min)内减少， .3 .0≤410-m≤13，即6二≤m≤10 4 又最多开通8条安检通道， :63≤m≤8 4 m为正整数， m最小值为7， .最少开7条安检通道. 27.垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交 平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形” 1 2 图3 各用图 (1)如图1所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，CE=4,则AE=_ (2)如图2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且CD=BD,猜想AF与AB的关系，并说明理 由； (3)①如图3所示，在ABC中，BE=3,AE=2CE=8,BE⊥AC交AC于点E,请画出所有以 AB为边的垂中平行四边形，要求：点C在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）： ②若ABC关于直线AC对称得到ABC,连接AB',作射线AB'交①中所画平行四边形的边于点P, 连接PE,请直接写出PE的值. 【答案】(1)2 (2)AF=√2AB,理由见解析 (3)①见解析，②V145或145 【解析】 第21页/共29页 可学科网可组卷网 【分析】(1)根据“垂中平行四边形”的定义求得△AEF∽△CEB,据此求解即可； (2)根据“垂中平行四边形”的定义求得△AED∽△FEB,设BE=a,则DE=2a,在Rt△ABE中， 由勾股定理求得AE=2√2a,据此求解即可； (3)①分三种情况讨论，根据“垂中平行四边形”的定义作出图形即可： ②根据“垂中平行四边形”的定义结合相似三角形的判定和性质，分三种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：四边形ABCD为“垂中平行四边形”， ∴.AD∥BC,AD=BC,AF=三AD, 2 :.AF=-BC, 2 ,AD∥BC, .△AEF∽△CEB, AE AF 1 CE BC 2 ∴.AE=CE=2; 2 【小问2详解】 解：AF=√2AB,理由如下： :四边形ABCD为“垂中平行四边形”，AF⊥BD,且点F是BC中点， .AD=BC=2BF, 又，AD∥BC, .△AED∽△FEB, .AE=DE AD EF EB BF =2, 设BE=a,则DE=2a, ,CD=BD,即AB=BD, .AB=BD=BE+ED=a+2a=3a, 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=√AB2-BE2=V3a)2-a2=2V2a,EF=√2a, AF AE+EF =22a+2a=3v2a, 又，AB=CD, 第22页/共29页 耐学科网 组卷网 :4f-4f_32a-2, CD AB 3a ∴.AF=√2AB; 【小问3详解】 解：①作法1：过点A作BC的平行线，过点C作AB的平行线，两平行线相交于点H,延长BE交CH于 点K,则四边形ABCH是垂中平行四边形， .H、 由作图知，四边形ABCH是平行四边形， .AB∥CH,AB=CH, ∴.△CEK∽△AEB, CK_CE AB AE ,AE=2CE=8, CK 1 AB 2 :CK=AB=】CH,即点K是CH的中点， 2 ∴.四边形ABCH是垂中平行四边形； 作法2：过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,过点F作AB的平行线，交BC的延长线于点G, 则四边形ABGF是垂中平行四边形， 由作图知，四边形ABGF是平行四边形， .BC∥AF,BG=AF, ∴.△BEC∽AFEA, 第23页/共29页 可学科网 丽组卷网 BC CE AF AE .AE=2CE=8, BC、1 AF 2 &BCAP专BG,即点C呢BG的中点 ∴.四边形ABGF是垂中平行四边形： 作法3：过点C作AB的平行线交BE的延长线于点M,连接AM,过点B作AM的平行线交直线MC的 延长线于点N,则四边形ABNM是垂中平行四边形， B M 由作图知，四边形ABNM是平行四边形， .CM∥AB,MN=AB, ∴.△MEC∽△BEA, .MC_CE AB AE ,AE=2CE=8, MC1 AB2 :MC=- AB=MN,即点C是MN的中点， 1 ∴.四边形ABNM是垂中平行四边形； ②对于作法1：作PQ⊥AC于点Q, 由折叠的性质知B'E=BE=3,∠BAE=∠BAE, ,AB∥CH, .∠BAE=∠ACP, 第24页/共29页 学科网丽组卷网 ∴.∠PAC=∠ACP, ∴.PA=PC, ,PQ⊥AC, 40-c0-4c-84-6 :.OE=AE-AO=2, ,PQ⊥AC,BB⊥AC, .PQ∥B'E, .△APQ∽△AB'E, :P№Ag B'E AE 9 .P0=4 在Ra05中.PE=0E+P0-2+-西。 对于作法2：作PG⊥BF于点G, B H□ 由折叠的性质知BE=BE=3,∠ABE=∠AB'E,AC⊥BB, :AC⊥BE, .点B'在BF上， ,AB∥FG, .∠ABE=∠PFB, :∠AB'E=∠PB'F, ∴.∠PFB'=∠PB'F, .PF =PB', 在ABC中，BE=3,AE=2CE=8,BE⊥AC, 第25页/共29页 可学科网可组卷网 ∴.CE=4,BC=V32+42=5, .∴.AF=BG=2BC=10, ,AE=8,BE⊥AC, ·EF=VAF2-AE2=6, .FB'=EF-B'E=3, PF=PB',PG⊥BF, 3 .B'G=FG=-FB'= 2 2 :.EG=3+22 39 ,AC⊥BF,PG⊥BF, .PG∥AE, △PGB∽△AEB' 器=船= BE 六PG=AB=4' 在Rt△PGE中，PE=VPG2+EG2=42+ 9 V145 2 对于作法3：射线AB'与垂中平行四边形ABNM的边没有交点，此情况不存在，舍去； B B 综上，PE的值为V45或45 4 2 28.在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=x2-4mx+4m2-9与x轴交于点A,B（点A在点B左侧)， 与y轴交于点C. (1)当m=1时，求点A,B的坐标； (2)若Sc4B=3S.c40,求直线BC的函数解析式； (3)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数图像记为G,点 第26页/共29页 可学科网可组卷网 M(x,乃)，N(x2,2)在G上，当1<x<2,x2=2时，<y2恒成立，直接写出m的取值范围. 【答案】(1)A-1,0),B(5,0 （2)当m=时，y=2x-8:当m=时，y=-2x+16 2 2 (3》m≥5或-≤ms 1 3 2 2 4 【解析】 【分析】1)令y=0,解方程即可求解； (2)令y=0,求得x=2m-3,x3=2m+3,AB=6,根据题意求得点A的坐标为2,0或(-2,0)， 得到m=)或m=2,据此求解即可： 2 -(x-2m)2+9,(2m-3<x<2m+3) (3)求得Gy= ,分两种情况讨论，画出图象，列得不等式组， (x-2m)2-9,(x(2m-3或x2m+3) 求解即可. 【小问1详解】 当m=1时，y=x2-4x-5, 令y=0,可得x2-4x-5=0, 解得：x=-1,x2=5, A-1,0),B5,0); 【小问2详解】 令y=0,则x2-4mx+4m2-9=0, 解得：x=21m-3,x2=2m+3, .AB=2m+3-2m-3)=6, 'Sc4B=3S.c40, 第27页/共29页 可学科网可组卷网 :A0=AB=2, ∴点A的坐标为2,0或(-2,0)， ∴.2m-3=2或2m-3=-2, m 5 1 或m= 2 2 5 ①当m=与时， 2 5 .x2=2×。+3=8,4× 9=16, 2 点B的坐标为8,0，点C的坐标为(0,16， 设直线BC的解析式为y=kx+b, 8k+b=0 则 b=16 k=-2 解得 b=16' ∴.直线BC的解析式为y=-2x+16; 1 ②当m=二时， 3=2x+3=4, 1)2 4x -9=-8, 点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为0，-8)， 设直线BC的解析式为y=kx+b, 4k+b=0 则 b=-8’ 第28页/共29页 可学科网可组卷网 k=2 解得 b=-8 .直线BC的解析数为y=2x-8; 综上，直线的解析式为y=-2x+16或y=2x-8; 【小问3详解】 由(2)得点A的坐标为2m-3,0),点B的坐标为(2m+3,0),对称轴为直线x-2m-3+2m+3=2m 2 -(x-2m)+9,(2m-3<x<2m+3) .G (x-2m)2-9,(x(2m-3或x)2m+3 当1<x1<2,x2=2时，y1<y2恒成立； 当点N在(2m-3,0的左侧， x=2m (2m-3,0) (2m+3,0) B .2m-3≥2，解得m2 当点N在(2m-3,0)的右侧，2m+3,0)的左侧， x=2m (2m-3,0)(2m+3,0) A B M 2m+3≥2 2m≤2 2-2m≥2m-1 1 3 解得： 、1 综上，m的取值范围为m≥ 第29页/共29页