2025年江苏省无锡外国语学校中考数学二模试卷

2025年江苏省无锡外国语学校中考 数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．-2025的倒数是（　　） A.2025 B． C．-2025 D． 2．下列事件是必然事件的是（　　） A．任意两个等腰三角形都相似 B．三点确定一个圆 C．对顶角相等 D．同位角相等 3．下列几何体的平面展开图中不包含三角形的是（　　） A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．四棱锥 4．点在函数的图象上，则代数式的值等于（　　） A．-1 B.1 C．-3 D.3 5．如图，的边在轴上，沿轴正方向将平移到的位置．点的坐标为（b，0），点的坐标为（a，0），则点平移的距离为（　　） A．a B．b C． D． 6．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 9．已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，则四边形的面积的最小值为（　　） A.25 B.30 C.35 D.40 10．如图，在矩形纸片ABCD中，．把沿对角线折叠，使点落在处，交于点，交于点；、分别是和上的点，线段交于点，把沿折叠，使点落在处，点恰好与点重合．下列选项中正确的是（　　） ①； ②； ③； ④AM：． A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．若代数式有意义，则的取值范围是___________． 12．一组数据：的极差为___________． 13．若，则的余角的度数是___________． 14．圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则圆柱的全面积为___________． 15．设、是方程的两个根，且，则___________． 16．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点在同一水平线上，与相交于点．测得，，，则树高___________． 17．如图，在中，，，，P是的中点．点从点出发以向点运动，点从点出发以向点运动，点是的中点，连接．点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当的长取最小值时，CM的长为___________． 18．在二次函数的图象上分别取三个点，其中，点在第四象限内，两点横坐标分别为、，且满足．则的坐标为___________；连接．当时，作，垂足为点，的最大值为___________． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．（1）计算：； （2）化简：． 20．（1）解方程：； （2）解方程：． 21．如图，在中，点、、、分别在边、、、上，，． （1）求证：； （2）若平分，求证：四边形是菱形． 22．2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：．潍坊风筝；．东明粮画；．青神竹编；．延安剪纸． A．潍坊风筝 B．东明粮画 C．青神竹编 D．延安剪纸 （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“．青神竹编”的概率是___________． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“．潍坊风筝”和“．延安剪纸”的概率． 23．中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）写出扇形图中___________%，并补全条形图； （2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是___________个、___________个． （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 24．如图，AB是圆O的直径，D、E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得 ，连接交圆于点，连接、、． （1）求证：； （2）设交于点，若，，是弧的中点，求的值． 25．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一、如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度． （参考数据：） 26．如图，四边形为菱形，，点是边的中点． （1）请在图①中用尺规作图分别在边上找一点，在上找一点，使最小．（请用圆规和直尺完成作图，并保留作图迹．） （2）若菱形边长为5，，在（1）的条件下，则___________． 27．在平面直角坐标系中，抛物线为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点（4，-5），与轴交点坐标为（0，3）． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上、两点之间的部分（含、两点）记为图象． ①当点在轴上方，图象的最高与最低点的纵坐标差为4时，求的值； ②在①的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一 点，在平面内确定一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 28．已知中，，点在边上，．将一块含的直角三角板DEF绕着点按顺时针方向旋转，旋转过程中边始终分别与的边、相交于点、． （1）在三角板DEF的旋转过程中，若，，则___________； （2）在三角板DEF的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）如图3，连接，取的中点，在旋转过程中，点在从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长． 答案和解析 1．【答案】B 【解析】解：-2025的倒数是， 故选：B． 利用倒数的定义求解即可． 本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 2．【答案】C 【解析】解：A、任意两个等腰三角形都相似，是随机事件，不符合题意； B、三点确定一个圆，是随机事件，不符合题意； C、对顶角相等，是必然事件，符合题意； D、同位角相等，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 根据事件发生的可能性大小判断． 本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．【答案】A 【解析】解：A．圆锥的表面展开图是圆形和扇形，不可能有三角形，因此选项符合题意； B．三棱锥的表面展开图是三角形，因此选项B不符合题意； C．三棱柱的底面是三角形，因此选项B不符合题意； D．四棱锥的4个侧面是三角形，因此选项D不符合题意． 故选：A． 根据圆锥，三棱锥、三棱柱、四棱锥的表面展开图的特征进行判断即可． 本题考查几何体的展开图，掌握圆锥，三棱锥、三棱柱、四棱锥的表面展开图的特征是正确判断的关键． 4．【答案】A 【解析】解：点在函数的图象上， ， ． 故选：A．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式” 是解题的关键． 5．【答案】C 【解析】解：点的坐标为（b，0），点的坐标为（a，0）， ， 点平移的距离为． 故选：C． 由平移的性质，即可得到答案． 本题考查平行四边形的性质，坐标与图形变化-平移，关键是掌握平移的性质． 6．【答案】C 【解析】解：光线平行于主光轴， ， ， ， ， ． 故选：C． 由平行线的性质推出，求出，由对顶角的性质得到，由三角形的外角性质即可求出的度数． 本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 7．【答案】C 【解析】解：由题意可得， 故选：C． 根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程． 本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 8．【答案】C 【解析】解：如图，设与交于点中点． ， ， 同理， 由勾股定理得：， 阴影部分的面积 故选：C． 根据图形得出都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再分别求出扇形COE，扇形FOB，扇形EOD和的面积即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 9．【答案】D 【解析】解：如图所示：连接PQ， 点是双曲线上点， ， ， 设， （当且仅当时，取等号）， 四边形AQBP的面积最小值为40． 故选：D． 连接，先求出反比例函数解析式，再设，根据四边形的面积的面积的面积，从而利用表示出四边形的面积，利用阅读材料中介绍的不等式的性质即可求解． 本题考查了反比例函数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确读懂已知中的不等式的性质，表示出四边形AQBP的面积是关键． 10．【答案】B 【解析】解：四边形是矩形， ， 由折叠可得，， ， 又， ，故①正确； ， ，设，则， 在Rt中，， ， 解得， ，，故②正确； 由折叠可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误； 如图，延长交于点，延长交的延长线于点， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 解得， ， ， ， ， ，故④正确； 综上，正确的是①②④， 故选：B． 利用矩形的性质和折叠的性质可得，即可证明，即可判断①； 由全等三角形的性质得，设，则， 在中，由勾股定理得，求出的值，进而根据正切的定义求出即 可判断②； 证明，可得， 可得， 又由，得， 即得， 即可得，即可判断③；延长交于点，延长交的延长线于点，由得， 可得， 即得， 再由得，即可判断④，综上即可求解，正确添加辅助线是解题的关键． 本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．【答案】 【解析】解：代数式有意义， ， ． 故答案为：． 根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 本题考查的分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 12．【答案】14 【解析】解：极差为：． 故答案为：14． 根据极差的定义即可得出答案． 本题考查了极差，解题的关键是熟练掌握极差的定义． 13．【答案】 【解析】解：， 的余角 ． 故答案为：． 根据余角定义，计算即可． 本题考查了余角，度分秒的换算，掌握余角的计算，度分秒的换算是解题的关键． 14．【答案】 【解析】解： 故答案为：． 根据进行计算即可． 本题考查几何体的表面积，掌握圆柱体底面积、侧面积、全面积的计算方法是正确解答的关键． 15．【答案】-6 【解析】解：是方程的两个根， ． ， ． 故答案为：-6． 由根与系数的关系可得，结合可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时， 16．【答案】3.75 【解析】解：和均为直角， ， ， ， ， ． 故答案为：3.75． 根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 17．【答案】2 【解析】解：以为轴，为轴，构造直角坐标系，则点的坐标为（8，0），点的坐标为（0，6），如图所示， 点是的中点， 点的坐标为（4，3）． ， 当运动时间为秒时，点的坐标为（2t，0），点的坐标为（0，6-2t），点的坐标为（t，3-t）， 是的中点， ， ， 当时，PQ有最小值， 点的坐标为（0，2）， ． 故答案为：2． 以为轴，为轴，构造直角坐标系，则点的坐标为（8，0），点的坐标为（0，6），由点是的中点，可得出点的坐标为（4，3），当运动时间为秒时，点的坐标为（t，3-t），根据，当时，有最小值，于是得到结论．本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用以及坐标与图形的性质，构造直角坐标系，利用两点间的距离公式（勾股定理）找出关于运动时间的方程是解题的关键． 18．【答案】（1，-1）；． 【解析】解：（1）将点代入 得：， 解得：（舍去）或， 的坐标为（1，-1）． 故答案为：（1，-1）； （3）如图，设点、的坐标分别为：、， 过点作直线轴，作于点，作于点， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 由点的坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 即直线过恒定点， 而点， 当点、不重合时，， 当取得最大值时，重合， 此时的最大值为． （1）将点的坐标代入函数表达式得：，即可求解； （2）设点、的坐标分别为：、，过点作直线轴，作于点，作于点，证明，得到，得到，则直线过恒定点，即可求解． 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 19．【答案】；． 【解析】（1） ； （2） ． （1）先根据数的开方法则，特殊角的三角函数值及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再算加减即可； （2）先算除法，再算减法即可． 本题考查的是分式的混合运算，实数的运算，熟知运算法则是解题的关键． 20．【答案】； 【解析】（1）， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）， ，即， ， ． （1）利用加减消元法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 本题考查了解一元二次方程-配方法，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 21．【答案】证明： （1）四边形是平行四边形， ． 在与中，， ． （2）四边形是平行四边形， ． ， ． ． ． 又， ． 四边形HEFG为平行四边形． ， ． 平分， ， ， ， 是菱形． 【解析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论； （2）欲证明四边形EFGH是菱形，只需推知四边形EFGH是平行四边形，然后证得该平行四边形的邻边相等即可． 本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．注意：本题菱形HEFG的判定是在平行四边形HEFG的基础上推知的． 22．【答案】； 【解析】（1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“．青神竹编”的概率是； 故答案为：； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两人恰好选中“．潍坊风筝”和“．延安剪纸”的结果数为2， 所以两人恰好选中“．潍坊风筝”和“．延安剪纸”的概率． （1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两人恰好选中“．潍坊风筝”和“．延安剪纸”的结果数，然后根据概率公式计算． 本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中找出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件．也考查了概率公式． 23．【答案】（1）25；补全的统计图如下： （2） （3）（名）． 答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名． 【解析】【分析】 本题为统计题，考查众数与中位数的意义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．也考查了条形统计图、扇形统计图与用样本估计总体． （1）用1减去其他个数所占的百分比即可得到a的值，根据百分比求出人数再补全条形统计图即可； （2）根据众数与中位数的定义求解即可； （3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1800即可． 【解答】 解：（1）扇形统计图中 设引体向上6个的学生有人， 由题意得，解得． 条形统计图补充如下： （2）由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5； 共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为 （3）见答案． 24．【答案】证明见解答过程； 【解析】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， 即， 又， 垂直平分， ； （2）解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ， 在Rt中，， ， ， 是弧的中点，是的直径， ， ， （负值已舍）． （1）连接，利用垂直平分，可得； （2）连接，利用三角函数求出，根据圆周角定理求出，再根据勾股定理求解即可． 本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，关键在于作辅助线，利用角相等证明相似三角形，结合相似比例计算． 25．【答案】解：（1）过点作于点， ，， ， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）过点作于点于点，过点作于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段DN的长度为． 【解析】（1）过点作于点，直接利用的余弦即可求出，从而得到的长度； （2）过点作于点于点，过点作于点，先在中求出，进而求出，利用即可解决问题． 本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 26．【答案】 【解析】（1）图形如图所示： （2）如图，连接，过点作于点，过点作于点． 在Rt中，， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． 故答案为：． （1）作点关于的对称点，过点作垂直，交于点，交于点，连接，点，即为所求； （2）如图，连接，过点作于点，过点作于点．利用面积法求出可得结论．本题考查作图-复杂作图，菱形的性质，轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题. 27．【答案】．①1；②（-3，2）或（1，-1）． 【解析】（1）由于抛物线经过点（0，3）和点（4，-5）， 则． 又抛物线顶点横坐标，即． ， 解得． 故抛物线的函数表达式为． （2）根据题意，顶点坐标为（1，4），抛物线对称轴为． 点在点的左侧，即，即． 线段中点的横坐标为， 点距离对称轴更近，则． ①当时，抛物线对称轴位于两点之间， 则图象的最高点为抛物线的顶点，最低点为点． ， 解得或5，不合题意，舍去． 当时，两点都在抛物线对称轴右侧（包含对称轴），图象的最高点为，最低点为． ，解得，符合题意． 故． ②由得到点坐标为（1，4），点坐标为（3，0）， 则． 根据平移的性质，将抛物线延射线方向平移个单位长度．相当于先向左平移（3-1）个单位长度，再向上平移（4-0）个单位长度．则平移后的抛物线解析式为：． 新抛物线对称轴为．设点的坐标为（-1，p）， 当三点构成直角三角形时，以点为顶点的四边形是能构成矩形． ，， 当为矩形对角线时，无解； 当为矩形对角线时，， 则点坐标为（-1，-2）． 根据矩形对角线互相平分，则， 代入点、、的坐标，得点坐标为（-3，2）； 当为矩形对角线时，，则点坐标为（-1，3）． 同理可求得点坐标为（1，-1）． 故点坐标为（-3，2）或（1，-1）． （1）由抛物线经过点（0，3）及（4，-5）求出抛物线表达式中的系数、和的关系式，然后结合顶点横坐标求出和的另一个关系式，从而求出各项系数即可得出抛物线的函数表达式． （2）先根据抛物线表达式求出顶点坐标，结合两点的位置关系以及线段中点的横坐标，推出则． ①分别讨论和时图象的最高点和最低点情况，再结合两点纵坐标差为4建立方程求出的值； ②根据求出两点的坐标，结合的长度得出抛物线的平移规律，进而求出平移后的函数表达式，并得出点的横坐标，然后设点的纵坐标为，再由三点构成直角三角形的限制条件，由勾股定理构建关于的方程，最后利用矩形两条对角线的中点重合的性质求出点的坐标．本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，函数图象的平移，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键. 28．【答案】2；的值为定值，理由见解析过程． 【解析】（1）如图1， 中，， ， 和都是等腰直角三角形， ， ， ． 故答案为：2； （2）的值为定值，理由如下： 如图2，作于于， 又， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， 作于，于， 则，均为等腰直角三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）连接， ，为的中点， ， 在的垂直平分线上， 当与重合时，在线段的中点处，设的中点为， 过点作于，过点作于点． 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 当点与重合时，连接． ， ， ， ， 点的运动路径的长． 故答案为：． （1）先判定和都是等腰直角三角形，然后根据和的长求出，从而得到和BN，即可求出结果； （2）先判定四边形DGCH是矩形，根据等腰直角三角形的性质求出AG，DG，BH，DH的长，推出后判定，得到， 作于于，得到均为等腰直角三角形，推出，，推出，，判定，，得到，即可求出的长． （3）连接为的中点， 推出在的垂直平分线上，当与重合时（如图4中），在线段的中点处，设的中点为，求出此时，当点与重合时（如图5中），连接．求出，可得结论． 本题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$