第19章二次根式期末复习综合测试卷 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 人教版2024版《第19章二次根式》期末复习综合测试卷，全面覆盖二次根式概念、运算及应用，注重运算能力与推理意识培养，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式概念、化简、数轴应用|结合几何直观考查概念辨析| |填空题|6/18|有意义条件、同类二次根式、新运算|通过新定义问题培养抽象能力| |解答题|8/72|混合运算、阅读理解、实际应用（矩形花圃）、规律探究|以阅读理解题发展推理意识，实际应用题体现应用意识|

（人教2024版）《第19章二次根式》 期末复习综合测试卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．给出下列式子： ； ； ； ； ，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．化简为最简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 4．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 5．如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近(　  　) A．A B．B C．C D．D 6．计算：等于（   ） A． B． C． D． 7．如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 8．已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积为（   ） A．16 B． C． D．8 9．已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 10．满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．若在实数范围内有意义，则x满足的条件为 ． 12．已知，则 ． 13．已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 14．如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 15．化简的值为____________． 16．对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法： ①； ②； ③． 以上说法中正确的是_______．（填序号） 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（每小题4分，共8分）计算： (1)． (2)． 18．（7分）先化简，再求值：已知，求的值． 19．（8分）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 20．（9分）已知，． (1)求和的值； (2)求的值； (3)若的小数部分是，的整数部分是，求的值． 21．（9分）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 22．（9分）（1）用“”、“”、“”填空： ， ， ． （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由． （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少是多少米？ 23．（10分）【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； ； （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得 ， ； 【解决问题】 （3）若，且，均为正整数，求的值； 24．（12分）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求值． ∴， ∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： (1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ； (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)利用上面的规律，比较与的大小． (4)，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ （人教2024版）《第19章二次根式》 期末复习综合测试卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．给出下列式子： ； ； ； ； ，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负．逐一分析各选项即可． 【详解】①：根指数为2，被开方数，符合二次根式定义． ②：被开方数为，无意义，不是二次根式． ③：根指数为2，且恒成立，无论取何值均成立，一定是二次根式． ④：根指数为2，但被开方数需满足，即．由于的取值未限定，无法保证恒成立，故不一定是二次根式． ⑤：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 故选B． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根、二次根式的乘法运算、完全平方公式及算术平方根的性质，掌握二次根式的相关运算方法是解题关键， 逐一计算各选项，判断其运算是否正确即可． 【详解】∵ ，而选项A中结果为，∴ A错误． ∵ ，而选项B中结果为16，∴ B错误． ∵ ，与选项C结果一致，∴ C正确． ∵ ，而选项D中结果为，∴ D错误． 故选：C． 3．化简为最简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式化简，首先计算根号内的分数，然后化简二次根式为最简形式． 【详解】解：， 故选：C． 4．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 5．如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近(　  　) A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】先估算出，再根据不等式的性质，得到，即可得到答案，此题考查了无理数的估算，实数与数轴，不等式的性质，熟练掌握方法是解题关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点C表示的数与最接近， 故选：C． 6．计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 7．如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键．由数轴可得，，再判断，，最后化简二次根式与绝对值，再合并即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ，， ， 故选：A． 8．已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积为（   ） A．16 B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法、直角三角形面积公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据直角三角形的面积公式，代入数据计算即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别为和， ∴这个直角三角形的面积为 ． 故选：B． 9．已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 【答案】B 【分析】先求出a，b的所有可能取值，再根据条件筛选出符合要求的取值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去， ∵时，和都满足， 当时，， 当时，， ∴的值为2或10． 10．满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，完全平方公式，二次根式的性质，首先利用完全平方公式得到，然后利用二次根式的性质化简得到，然后计算其近似值，确定整数m的范围． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ∵， ∴， ∴； ∴整数m的值为1或2或3，共3个． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．若在实数范围内有意义，则x满足的条件为 ． 【答案】且 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，分式有意义即分母不为0，由此解答即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 【详解】解：若在实数范围内有意义， 则， 解得且， 故答案为：且 12．已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值， 先根据二次根式有意义的条件可得，即可得出y，则此题可解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 所以． 故答案为：8． 13．已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义和最简二次根式的定义，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，因此列出方程，求解后得到或，但需验证二次根式是否为最简形式，由此排除不满足条件的值即可． 【详解】解：由于两个二次根式均为最简二次根式且是同类二次根式， 被开方数相等，即， 整理得， ， 解得或， 当时，，不是最简二次根式，不符合题意，故舍去； 当时，和，均为最简二次根式，符合题意； ． 故答案为：． 14．如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，利用完全平方公式对原式进行变形是解此题的关键． 先将被开方数用完全平方公式进行变形，再根据二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵的化简结果与无关， ∴． 故答案为：． 15．化简的值为____________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质，先根据被开方数为非负数得，再化简原式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则 ， 故答案为：． 16．对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法： ①； ②； ③． 以上说法中正确的是_______．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】利用新定义进行计算逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以①正确； 所以②正确； 当时，， 当时，， 所以③正确； 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查新定义，二次根式的混合运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（每小题4分，共8分）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式，二次根式的除法计算，再算加减法即可； （2）先根据二次根式的乘法法则、平方差公式计算，再算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．（7分）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键，根据分式的性质化简，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， ， 把代入，原式． 19．（8分）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互为相反数的两数之和为，结合二次根式有意义的条件与绝对值的非负性，得到两个非负数相加为0的等式，从而建立二元一次方程组求解． （2）将（1）中求得的的值代入代数式，进行计算求值． 【详解】（1）解：与互为相反数， ． ，， 解得 （2）解：由（1）得，， ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件与绝对值的非负性、二元一次方程组的解法以及代数式求值，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为的性质是解题的关键． 20．（9分）已知，． (1)求和的值； (2)求的值； (3)若的小数部分是，的整数部分是，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）把，代入和，分别求解即可； （2）把变形为，把（1）中数据代入求解即可； （3）先根据求出的小数部分是，的整数部分是，得出、的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ． （2）解：． （3）解：∵， ∴，， ∴的小数部分是，的整数部分是， ∵的小数部分是，的整数部分是， ∴，， ∴． 21．（9分）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）1；（3）． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质以及绝对值的化简，三角形的三边关系的应用，解题的关键在于根据二次根式的有意义的条件，利用绝对值化简二次根式． （1）根据二次根式被开方数非负的性质回答即可； （2）根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，根据二次根式的性质进行化简计算； （3）根据三角形三边关系确定和的正负性，再对二次根式进行化简计算． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）由（1）可知：， ， ， ； （3），b，c为的三边长， ，， ，， ． 22．（9分）（1）用“”、“”、“”填空： ， ， ． （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由． （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少是多少米？ 【答案】（1），，；（2）；（3）40米 【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可； （2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想；比较大小，可以作差，根据完全平方公式进行计算，问题得证； （3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a＋2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：＞，＞，＝． （2）理由如下： 当m≥0，n≥0时， ∵ ∴ ∴ ∴ （3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200， 根据（2）的结论可得：． ∴篱笆至少需要40米． 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证． 23．（10分）【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； ； （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得 ， ； 【解决问题】 （3）若，且，均为正整数，求的值； 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题主要考查二次根式的化简与应用，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给出的，与，的关系式，列式算出结果即可； （3）将所给式子两边平方求解即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：，． （2）由题意可知： ， ∵，，，均为正整数， ∴，， 故答案为：，． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（12分）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求值． ∴， ∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： (1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ； (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)利用上面的规律，比较与的大小． (4)，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简，代数式的恒等变形，解题的关键在于掌握分母有理化的计算方法，记得分子分母同时乘以相同的数，避免遗漏分子． （1）①对根据有理化因式的定义写出式子，并计算，看看是否符合条件；②将分母有理化，分子分母同乘，化简即可； （2）现将每个分式进行分母有理化，发现分母都为，分子可相加减，计算后得，再与相乘，用平方差公式计算即可； （3）将和进行分母有理化得逆运算，得到分母为二次根式相加的一个分式，方便比较大小； （4）将进行分母有理化得出，再根据需要找到，，，便于进行降次计算，代入目标多项式化简计算即可． 【详解】（1）①∵ 不含根号， ∴与互为有理化因式． 故答案为． ②将分母有理化得 故答案为． （2） （3）∵， ∴ （4）将进行分母有理化得， 两边平方得， ， ， ， 则， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $