湖北省武汉市第六中学2025级高一年级第5次月考数学试卷

**基本信息** 立足立体几何与解三角形核心知识，融合故宫建筑、《九章算术》等文化情境，通过分层设计考查空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|线面关系判断、正四面体夹角计算|基础题如第1题辨析线面垂直，提升题如第8题外接球表面积| |多选题|3/15|面面垂直性质、解三角形综合|第9题多角度考查面面垂直，第11题结合空间角比较| |填空题|3/15|斜二测画法还原、三角形面积最值|第12题直观图还原，第13题用余弦定理求面积最值| |解答题|5/80|直三棱柱与圆柱表面积、鳖臑证明与动态最值|第19题以《九章算术》鳖臑为载体，考查线面角及线段最小值探究|

湖北省武汉市第六中学2025级高一年级第5次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题 1．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，且m，，则 B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C．若，，则 D．若，，则 2．在中，内角所对的边分别为，且，则（   ） A． B．或 C．60° D．或 3．随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注．故宫不仅是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”．图1是古建筑之首的太和殿，它的重檐庑（wŭ）殿顶可近似看作图2所示的几何体，其中底面题矩形，，四边形是两个全等的等腰梯形，是两个全等的等腰三角形．若，则该几何体的体积为（    ）            （图1）                         （图2） A．90 B． C． D．135 4．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则直线和夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离等于（　　） A． B． C． D． 6．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则 A． B． C． D． 7．如图，正方体的棱长为4，， 分别为棱，的中点，过，，作正方体的截面，则截面多边形的周长是(       ) A． B． C． D． 8．如图，空间几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若，且所有顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．平面垂直于平面，且，下列命题正确的是（    ） A．平面内一定存在直线平行于平面 B．平面内已知直线必垂直于平面内无数条直线 C．平面内任一条直线必垂直于平面 D．过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 10．在中，设，则下列说法正确的是（ ） A． B．边上的高是 C．外接圆的周长是 D．内切圆的面积是 11．已知矩形，平面，分别是中点，，记直线与平面所成角为，异面直线与所成角为，二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，若是边长为2的正方形，则平面图形的周长为______． 13．在中，角，，的对边分别是，，，若，，则的面积的最大值为______. 14．在中，，，，P为边AB上的动点，沿CP将折起形成直二面角，当最短时，此时三棱锥的体积为______ ． 四、解答题 15．如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面ABC上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切． (1)求该圆柱的表面积； (2)求该直三棱柱的外接球O的体积. 16．记内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积为，的角平分线交于点，且，求的周长. 17．如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 18．和差化积公式，包括正弦、余弦和正切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式，其中有，已知锐角内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求的最小值； (2)若，，求的面积S的取值范围． 19．《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在四面体中，底面，平面平面．    (1)求证：四面体为鳖臑； (2)若，，M是的中点． （ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）已知D，E分别在线段，上移动，若平面，求线段长度的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C A B D B AB ABC 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】由线面，面面关系判断各选项即可. 【详解】对于A，注意到当m，n平行时，直线l不垂直于平面，故A错误； 对于B，当这三点有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧时，平面与平面不平行，故B错误； 对于C，若，则直线不平行于平面，故C错误； 对于D，因，则在平面内的任意直线均与直线n垂直，又， 则在平面内的任意直线均与直线m垂直，由直线与平面垂直定义可知，故D正确. 故选：D 2．A 【详解】，，， ，，， ，或， ，不符合题意，，故选项为A. 3．B 【分析】将该五面体分割为四棱锥和三棱柱，结合棱柱和棱锥的体积公式求其体积． 【详解】过点作，，又，，平面， 所以平面， 过点作，，又，，平面，    所以平面， 因为底面，平面，平面平面， 所以，同理， 所以，，，， 平面，平面，平面，平面， 所以，， 因为，与是全等的等腰三角形， 由对称性可得，， 所以， 连接点与的中点，则， 所以，又， 所以三棱柱的体积为， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，， 所以平面，又矩形的面积为， 所以四棱锥的体积为， 由对称性可得四棱锥的体积为， 所以五面体的体积为． 故选：B 4．C 【分析】由题意，根据空间向量的线性运算可得和数量积的运算律和定义计算即可求解. 【详解】，因为分别为的中点， 所以，，且， 则 ， 所以， 即直线和夹角的余弦值为，所以正弦值为. 故选：C 5．A 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线到平面的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则点、、、、， ，，则，所以，， 因为平面，平面，平面， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ，所以，直线到平面的距离为. 故选：A. 6．B 【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求的正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积. 【详解】在中，由正弦定理得， 即，解得，而为三角形内角，所以， ，， 所以。 则.故选：B. 7．D 【分析】先利用平面性质作出截面图形，然后利用勾股定理求出各个边长，即可得解. 【详解】取的中点为T，取的中点为S，取上靠近D的四等分点为M， 取上靠近的四等分点为G，取上靠近的三等分点为N， 连接. 如图 由正方体性质可知，在中，分别为的中点， 所以，所以，故四点共面， 在正方形中，且，所以为平行四边形， 所以，由正方体性质可知， 在中，分别为的三等分点，所以，所以， 故四点共面， 所以五边形为所求的截面多边形. 易知，，，，， 故，，，，. 所以截面五边形的周长为. 故选：D. 8．B 【分析】可先找出球心位置，再根据勾股定理求出球的半径，最后根据球的表面积公式求解. 【详解】设球心为，底面正方形中心为,上底面正方形中心为， 几何体上下底面平行且所有顶点在同一球面上，所以球心在直线上. 已知，则底面正方形对角线长为，所以. 上底面正方形边长为，其对角线为2，则. 设，则，又， 根据勾股定理，在直角三角形中，为球的半径）， 在直角梯形中，，，，根据勾股定理可得, 联立可得：，解得，代入可得 所以球的表面积. 故选：B. 9．AB 【分析】根据面面垂直、线面垂直、以及线线垂直的判定和性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：因为面，则平面内只要是平行于的直线，都平行于平面，故A正确； 对B：在平面内作直线的垂线，则面，则垂直于平面的任意直线； 故平面内已知直线必垂直于直线，以及与平行的无数条直线，故B正确； 对C：平面内垂直于两平面交线的直线才垂直于平面，故C错误； 对D：过平面内，且在交线外的一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面，故D错误； 故选：AB. 10．ABC 【分析】应用数量积公式结合余弦定理判断A，应用面积公式计算判断B，根据正弦定理计算判断C，应用内切圆性质列式求解D. 【详解】对于A，，解得，故A正确， 对于B，是等腰三角形，底边上的高是4，由等面积法可知边上的高是，故B正确； 对于C，由余弦定理得，所以， 外接圆的周长是，故C正确； 对于D，内切圆的面积是，故D不正确. 故选：ABC. 11．ABD 【分析】通过空间直线、平面的位置关系作出相应角，结合锐角三角函数得出对应三个角的三角函数值，根据选项所求化简一一判定即可. 【详解】由知，四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，所以就是直线与平面所成角，即， 因为，所以就是异面直线与所成角， 而，所以，即， 因为，所以二面角就是二面角， 因为平面，， 所以由三垂线定理知，， 所以就是二面角的平面角，即， 设， 则，，， 所以，，，，， 选项，，即选项正确； 选项，，即选项正确； 选项，，，所以，即选项错误； 选项，，， 所以，即选项正确． 故选：ABD． 12． 【分析】将直观图还原为原来的图形，然后根据斜二测画法横等纵半计算即可. 【详解】将直观图还原为原来的图形，则四边形如下图： 所以，，则， 所以平面图形的周长为. 13． 【解析】化简得到，，根据余弦定理和均值不等式得到，根据面积公式计算得到答案. 【详解】，即，，故. 根据余弦定理：，即. 当时等号成立，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，面积公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 14．/ 【分析】作于点，连接，结合余弦定理表示出，即可得到当最短时的度数，再结合锥体的体积公式即可得到结果. 【详解】作于点，连接，设，则， 所以，在中，由余弦定理可得， ， 因为为直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 则， 当最短时，，所以， 即此时为的角平分线，， 且由角平分线定理可得，，即， 所以， 所以. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）由三角形的内切圆半径及圆柱表面积公式即可求解； （2）由球的体积公式即可求解． 【详解】（1）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，， 所以， 的内切圆半径， 圆柱的高， 所以圆柱的表面积 ． （2）直三棱柱的外接球球心位于上下底面外心连线的中点， 设外接圆的圆心为， 底面直角三角形外心是斜边的中点，则， ，所以， 外接球半径， 体积． 16．(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和的正弦公式计算得出，最后应用角的范围求解； （2）应用角平分线结合面积公式计算得出且，最后应用余弦定理计算求解. 【详解】（1）由正弦定理得， 得， ， ，，， 又，. （2）由题知是的角平分线，则， ，. ， ，即，， 由余弦定理和，得， 即. 的周长. 17．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）取的中点，连接，，证明，原题即得证； （Ⅱ）作交的延长线于点，连接，则，所以即为二面角的平面角，再解三角形得解. 【详解】（Ⅰ）证明：取的中点，连接，， 则，且， 又为的中点， 在矩形中，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； （Ⅱ）解：作交的延长线于点，连接，则， 所以即为二面角的平面角， 由，则， 所以， 故二面角的正切值为． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据降幂公式，题干条件化简，通过两角和差的余弦公式代入解方程，得内角三角函数关系式，代入求得最值； （2）根据正弦面积公式，和正弦定理，将面积公式转化为函数问题，利用对勾函数单调性,求出面积范围. 【详解】（1）因为 ， 又根据题意， 则，， ，则（舍）或， 由，有，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）在中，由正弦定理有，则，， 则 ， 由函数在上单调递减，，则， 有，∴， 综上，的面积的取值范围是. 19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）在平面内过点作于点，根据面面垂直得到平面，再利用线面垂直证明即可； （2）（ⅰ）取的中点，证明平面即可求解；（ⅱ）过点作，利用线面平行证明面面平行，再利用面面平行的性质定理得，设，利用相似三角形分别用表示，再利用勾股定理转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）如图，在平面内过点作于点，    因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为底面，平面， 所以，所以为直角三角形， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为直角三角形， 所以四面体为鳖臑； （2）（ⅰ）如图，取的中点，连接，    因为底面，底面，所以， 因为，所以， 又，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角， 因为，，M是的中点， 所以，，所以， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为； （ⅱ）如图，过点作，垂足为，连接，    由（1）知，，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 设，则，， 易知，所以，即，得， 所以， 则当时有最小值 所以线段长度的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $