湖北襄阳市第四中学2025-2026学年高一卓越班新起点考试数学试题

**基本信息** 高一新起点数学试卷，聚焦初高中知识衔接与卓越班能力梯度，解答题融合实际购物策略比较与集合和集创新定义，凸显数学思维的逻辑性与应用意识的实践性。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合运算、充分必要条件、函数概念|基础巩固，考查数学抽象与逻辑推理| |多选题|3/18|函数性质、不等式应用|能力提升，体现批判性思维| |填空题|3/15|分式不等式、函数最值|简洁灵活，强化运算能力| |解答题|5/77|集合运算、函数单调性证明、实际应用（购物策略）、创新集合定义|综合应用，如第17题通过策略比较渗透优化思想，第19题新定义和集培养创新意识|

襄阳四中2026级高一卓越班新起点考试 数学试题 命题人：高江涛 审题人：陈祥丽 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知a，b为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．设函数，则（　　 ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 6．设，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．8 D．4 7．函数的定义域为A，值域为B，若区域表示一个正方形区域，则该区域的面积为（   ） A．3 B．6 C．9 D．不确定 8．函数满足，且，则这样的函数个数有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．10个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 10．已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 11．对于集合.给出如下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B. 如果，那么 C．如果，那么 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．不等式的解集为____________． 13．已知函数的最小值为，则的取值范围为______． 14．若非零实数a，b满足，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．已知集合，，全集． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 16．已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 17．两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额. (2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由； (3)请根据(2)的讨论，从两种策略的平均价格入手得出一个一般性的数学结论.并用此结论解决下面问题“设，且，求的最小值．” 18．已知函数 (1)若关于的不等式的解集是或，求实数的值； (2)解关于的不等式； (3)设函数，，对于，都有成立；同时也，使成立，求满足条件的实数的取值范围. 19．对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集．记符号表示集合中的元素个数．当时，设是集合中按从小到大排列的所有元素，记集合. (1)已知集合，若，求集合，并求出的值 (2)已知，记集合或． （i）当时，证明的充要条件是； （ii）若，求的所有可能取值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《襄阳四中2026级高一卓越班新起点考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B B B B C AD ACD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】通过列举法确定集合，再由交集运算即可求解. 【详解】由题意可得， 则. 2．A 【详解】因为等价于，即， 则或， 所以当时，成立， 当时，不一定成立， 如，满足，但不满足， 故“”是“”的充分不必要条件. 3．C 【分析】根据全称命题的否定判断即可. 【详解】命题“，”的否定是，. 4．B 【详解】因为函数， . 5．B 【分析】利用换元法，令，，代入化简即可求解. 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 6．B 【分析】通过换“1”法，再通过基本不等式求解即可. 【详解】由题得，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为9. 7．B 【分析】由题可先得函数的值域，并求出定义域，利用对应集合的长度相等求出的值，进而求得对应区域的面积. 【详解】由区域表示一个正方形区域，知. 由，得 令，则 记的解集为,， 则 所以，解得. 所以该区域的面积为. 故选：B. 8．C 【详解】因为，所以值域中必有元素， 当值域中仅有一个元素，则值域为，此时，仅有个函数满足； 当值域中有两个元素，只能其中一个为，另一个为或， 若值域中的两个元素是时，则或， 若值域中的两个元素是时，则或， 此时有个函数满足； 当值域中有三个元素，即值域为， 只能，此时有个函数满足， 综上所述，共有个函数满足要求， 故选：C. 9．AD 【分析】根据抽象函数的定义域可判断A选项，根据具体函数的定义域可判断B选项，直接法可得函数的值域，可判断C选项，消元法求函数解析式可判断D选项. 【详解】A选项，对于，令，则，则， 所以，即的定义域为，A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为， 所以和不是同一个函数，B选项不正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，故C选项不正确； 对于D，由，可得， 所以由，可得，D选项正确. 故选：AD. 10．ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可. 【详解】对于A，时，不等式为， 化简得，令， 解得，即或， 所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误； 对于C，令，因为不等式对恒成立， 且是关于的一次函数，所以只需满足且即可. 由恒成立，由，解得，C正确； 对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为， 所以使不等式成立的整数. 设对应的两个根为，则. 所以，解得，D正确. 故选：ACD. 11．ACD 【详解】对于A：因为，所以，故，故A正确； 对于B：如果，，不妨设，，则，B选项错误 对于C：因为，， 所以存在使得， 所以， 因为，所以，故C正确. 对于D： 因为，当，至少有一个为0时，； 当，均为非零整数时，若均为奇数，则，均为偶数，为4的倍数； 若一个为奇数，一个为偶数时，则，均为奇数，为奇数； 若均为偶数时，则，均为偶数，为4的倍数； 又，， 所以， 所以.D选项正确； 故选：ACD. 12． 【分析】根据条件，利用分式不等式的解法即可求出结果. 【详解】由，得到， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 13． 【分析】根据分段函数两段函数的单调性和最值，即可列式求解. 【详解】由题意可知，若，则时，单调递减，此时，函数无最小值； 故需满足，得， 若函数的最小值为， 对于，，其最小值为，当且仅当对称轴， 对于，恒成立， 又知，故时，， 所以需，解得， 由和可得， 综上可知，. 故答案为： 14． 【分析】变形给定等式可得，令并换元，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，， 则，即， 令，则，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）根据集合的交并补运算即可. （2）根据得到是的子集，分和两种情况计算，取并集即可. 【详解】（1）当时，，又或， 所以. （2）因为，所以是的子集. 当时，，解得. 当时，，解得，所以， 综上，. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 17．(1)策略①购得120件产品，共用180元；策略②购得135件产品，共用180元 (2)答案见解析 (3)答案见解析. 【分析】（1）由采用策略①和②，结合题意，得出策略①和②中购买的产品总量和总金额； （2）根据题意，分别求得策略①和②中购买的平均价格，比较大小，即可得答案； （3）由（2）的结论，由得到，即，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为， 采用策略①，两次购买物品的数量均为，且第一次、第二次购买的价格分别为， 则采用策略①购买的产品总量为，总金额为； 采用策略②，两次购买的金额均为，其中第一次、第二次购买的价格分别为， 则策略②购买的产品总量，总金额为. （2）采用策略①，两次购买物品的数量均为，则两次的平均价格为； 采用策略②，两次购买的金额均为，购买物品的数量， 则两次平均价格为， 因为，于是 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当 时，，采用策略②比采用策略①更经济. （3）由（1）知，，且，当且仅当时取等号， 当时，由，得，即， 因此，当且仅当时取等号，则， 所以的最小值为2. 18．(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由解集确定，再结合一元二次方程韦达定理即可求解； （2）将不等式转换成，根据的取值分类讨论即可； （3）通过分离参数得到，，和，，进而求解即可. 【详解】（1）由的解集为或， 可知，且方程的两根为和， 所以， 解得： （2）由， 得 当时，不等式为，解得； 当时，， 当时，若，即，不等式解集为或； 若，即，不等式的解集为； 若，即，不等式的解集为或； 当时，则，不等式的解集为， 综上所述：时，不等式解集为， 时，不等式解集为， 时，不等式解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式解集为 （3）由条件可得：， ，使成立， 即，， 分离参数得到， 令， 当时，， 当时，令，则， 则， 当且仅当时，取等号， 所以在时，最小值为， 所以 由条件可得：， 因为，都有成立， 即，恒成立， 又，当时取得最小值， 所以， 综上可知： 19．(1)，； (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）先根据求出的值，可确定集合，进而求. （2）（i）先证充分性，再证必要性. （ii）根据和，分析中元素的特征，求出，进而确定的值. 【详解】（1）因为，由， 所以， 所以且， 所以必有，所以，所以，所以. （2）（i）因为，可设，. 先证充分性：因为，所以且， 从而可以设，其中， 此时中的元素为，故， 再证必要性，设，，其中， 注意到和集中的最小元素为，最大元素为， 因为，所以中间三个元素可以是， 也可以是，它们是对应相等的， 所以有，， 即，故，得证， （ii）①若，由第（i）小问的分析知， 可以设，，其中， 此时中的元素为， 这与条件矛盾， ②取，其中， 容易验证此时中的元素为，符合条件， 所以可以取2， ③若，设， 其中， 结合知至少存在两个不同的正整数，使得， 不妨设是符合这一条件最小的正整数，是符合这一条件最大的正整数， 注意到， 这是中的个不同的元素， 根据的定义我们有，即， 当时，由的最小性知，即， 此时我们有， 当时，也有， 因此是中的元素，但与(*)式中的个元素均不相等， 同理，根据的定义有是中的元素，但与(*)式中的个元素均不相等， 因为，所以，此时，矛盾， 综上，的取值只能为2； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $