精品解析：湖北武汉市武钢三中2025-2026学年高一下学期三月学科素养检测数学试卷

武汉市武钢三中2025–2026学年度下学期三月数学学科素养检测 考试时间：2026年3月26日下午14:00–16:00 满分：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用单位向量的定义求解即可. 【详解】单位向量的模长相等，则，故D正确； 且两者并不一定是相同或相反向量，故A错误；两者不一定共线，故B错误；两者不一定垂直，故C错误. 故选：D. 2. 设是非零向量，则是成立的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合共线向量，单位向量，以及充分，必要条件的概念判断即可. 【详解】对于非零向量， 由可知向量共线，但不一定是，所以充分性不成立； 由，可知向量共线同向，则，所以必要性成立， 所以设是非零向量，则是成立的必要不充分条件， 故选：C. 3. 如图在梯形中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果. 【详解】因为，， 所以， 又，， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型. 4. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. 5 C. 3或5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设角所对的边分别为，利用余弦定理得到关于的方程，解方程求得的值，从而得到的长度. 【详解】设角所对的边分别为， 根据余弦定理可得：， 即， 解得，或（舍去）， 所以. 5. 已知向量满足，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 6. 在中，角所对的边为，若，则BD长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理结合条件可得，结合图形推得，再利用向量数量积的运算律求模长即可. 【详解】由，可得，由余弦定理，， 由， 因，则， 所以. 故选：C. 7. 已知函数，图像上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义可得，从而可得，进而得出，即，求出. 【详解】根据 ， 可得，故， 所以，故的周期为24，所以，， 故选：A． 8. 如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点分别是上的两动点，且，点在圆弧上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点建立的直角坐标系，设，设，可得，，可得，利用辅助角公式可得答案. 【详解】以为原点建立如图所示的直角坐标系，设， 设，又，所以，可得， ， 所以 ，其中， 又，所以，所以， ，所以， 的最小值为． 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，则不可以作为平面内所有向量的一个基底 B. 已知向量，若的夹角为钝角，则 C. 已知，则向量在向量上的投影向量为 D. 平面直角坐标系中，，则为锐角三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用向量基底、向量夹角、向量投影向量以及三角形形状判断的相关知识逐项判断各选项. 【详解】对A选项，因为，所以与不可以作为平面内所有向量的一个基底，故正确， 对B选项，若夹角为钝角，则且向量不共线（反向）， 由于，得，若共线， 则，解得，所以且，故B错误， 对C选项，因为，所以向量在向量上的投影向量为： ，故正确， 对选项，因为，所以， 所以，所以， 所以不是锐角三角形，故D错误. 10. 将函数()的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于点成中心对称 D. 函数的一个单调递减区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】先由三角函数的图象变换求出的值并判断选项A，再求出的解析式，然后根据三角函数的性质逐项判断B，C，D即可得解. 【详解】的图象向右平移个单位长度后得到， 而，则，即，A不正确； 此时，其周期，B正确； 由，得，即的对称中心为()，C不正确； 由，解得，即的单调减区间为， 当时，是函数的一个递减区间，D正确. 故选：BD 11. 对任意两个非零向量，定义新运算：.已知非零向量满足且向量的夹角，若和都是整数，则的值可能是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可得 、 ，利用的范围，可得从而定点答案. 【详解】由题意可得，因为所以， 因为，所以，所以， 即，解得，因为，所以， 所以 ，则，故， 因为，所以，因为0 ， 所以，所以，所以，则 即. 故选：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为实数，向量，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 先利用向量垂直的坐标运算求得，然后求得. 【详解】由于，所以，解得， 所以， 所以. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，考查向量模的坐标运算. 13. 在中，，为边上的动点，则___________． 【答案】32 【解析】 【分析】取的中点，计算可得，可得结论. 【详解】作出示意图如图所示： 取的中点，因为，所以， 又，所以， 因为的中点，所以 . 故答案为：. 14. 已知函数在上单调，且，则的最大值为______． 【答案】##1.8 【解析】 【分析】根据单调性分析可得，根据题意可得为的对称中心，若求的最大值，即的最小值，根据图像结合三角函数性质分析求解即可. 【详解】设的最小正周期为，且， 因为在上单调，则，可得， 又因为，且，可知为的对称中心， 不妨设，如图所示： 依次讨论对应为点，A，，种情况，且， 若对应为点（或点之后），则，即，不合题意； 若求的最大值，即的最小值，即与之间包含的周期最多， 若对应为点，则为的对称轴， 且，则，，满足， 且此时为最小值，所以取值的最大值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于三角函数问题的处理，常常与周期性相结合，本题根据对称性可得，并分析与之间包含的周期最多，即可得解. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知中，. （1）如果，求的值； （2）若，求边的长度. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据余弦定理求出边长，再用余弦定理求. （2）利用三角形中线长公式，结合已知条件求出边长. 【小问1详解】 已知，由余弦定理和可得： ，即， 所以， 【小问2详解】 由题意可得： ， 又因为，所以是的中点，是边上的中线， 所以由三角形中线长公式可得：  ，化简得​，解得， 因为边长为正，故. 16. 设向量，，． （1）若，求的值； （2）设函数，求的值域． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）首先根据得到，再解方程即可. （2）首先求得，再利用三角函数的性质求解值域即可. 【详解】（1）由，， 得，． 又因为，所以．又，所以，． （2）函数 因为，所以，故， ，即的值域为. 17. 已知函数的图象的相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右平移个单位，所得函数为奇函数. （1）求的解析式； （2）若函数的零点为，求； （3）若对有解，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由条件可求出和，根据函数为奇函数的条件可求得，继而可得到的解析式. （2）由条件可求得，利用诱导公式即可求出结果. （3）令，把命题转化为在上有解的问题，继而可求出结果. 【小问1详解】 因为相邻对称轴之间的距离是，设的最小正周期为， 所以 ， 解得，将的图像向右平移个单位， 可得函数， 因为函数为奇函数，所以 因为，所以， 【小问2详解】 因为函数的零点为，所以， 因为 ， 所以， 【小问3详解】 有解即有解， 因为，所以 ， 因为， 所以当时，， 因为有解，所以的取值范围为. 18. 已知平行四边形中，，，AE和BF交于点P. （1）试用，表示向量. （2）若的面积为，的面积为，求的值. （3）若，，求的余弦值. 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线定理的推论得到，再由且，即可得到方程，求出，即可得解； （2）由（1）得到线段的比，即可得到面积之比； （3）依题意可得平行四边形是正方形，建立平面直角坐标系，利用坐标法求出两向量夹角的余弦值，即可得解； 【小问1详解】 解：∵点在上，∴ 又∵，， ∴，解得，∴. 【小问2详解】 解：由（1）可得，∴，即 ∵， ∴，，∴. 【小问3详解】 解：由，所以， 即，所以，即， 又，所以平行四边形是正方形，如图所示的建系 则是向量和的夹角，不妨设，， ∴，∴的余弦值是. 19. 如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数 （1）若到弦的距离是， （i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值； （ii）求的取值范围； （2）若，记向量和向量的夹角为，求的最小值. 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，又直线与圆的位置关系，得，（i）可由圆的几何性质得，从而按照数量积的定义求得结果；（ii）以为基底向量，所求向量用基底表示，进而转换为夹角余弦值求范围； （2）以为基底向量，平方处理基底向量线性运算的模问题，根据已知不等式求得夹角余弦值的范围，则所求两个线性运算向量的夹角可转换成基底向量夹角余弦值的函数关系，利用复合函数关系求得最值即可. 【小问1详解】 解：由到弦的距离是，可得，故 （i）由圆的几何性质得， 故 （ii）记劣弧的中点为，且 ① ② ①+②得 进一步得： ， 其中 故的取值范围为： 【小问2详解】 解：记，由两边平方，得 ，又，∴ ∴ 故 又和向量的夹角为， 记， 显然关于单调递增， 所以当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市武钢三中2025–2026学年度下学期三月数学学科素养检测 考试时间：2026年3月26日下午14:00–16:00 满分：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设是非零向量，则是成立的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图在梯形中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. 5 C. 3或5 D. 3 5. 已知向量满足，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角所对的边为，若，则BD长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，图像上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点分别是上的两动点，且，点在圆弧上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，则不可以作为平面内所有向量的一个基底 B. 已知向量，若的夹角为钝角，则 C. 已知，则向量在向量上的投影向量为 D. 平面直角坐标系中，，则为锐角三角形 10. 将函数()的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于点成中心对称 D. 函数的一个单调递减区间为 11. 对任意两个非零向量，定义新运算：.已知非零向量满足且向量的夹角，若和都是整数，则的值可能是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为实数，向量，，且，则______． 13. 在中，，为边上的动点，则___________． 14. 已知函数在上单调，且，则的最大值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知中，. （1）如果，求的值； （2）若，求边的长度. 16. 设向量，，． （1）若，求的值； （2）设函数，求的值域． 17. 已知函数的图象的相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右平移个单位，所得函数为奇函数. （1）求的解析式； （2）若函数的零点为，求； （3）若对有解，求的取值范围. 18. 已知平行四边形中，，，AE和BF交于点P. （1）试用，表示向量. （2）若的面积为，的面积为，求的值. （3）若，，求的余弦值. 19. 如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数 （1）若到弦的距离是， （i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值； （ii）求的取值范围； （2）若，记向量和向量的夹角为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $