条件概率全概率及马尔科夫链微专题测试-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册第七章

**基本信息** 聚焦条件概率与马尔科夫链，以主播直播、区块链等真实情境设计问题，实现从基础计算到递推模型的能力进阶，培养抽象能力与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|条件概率（如连续两天空气质量问题）|基础巩固，贴近生活实例| |多选|3/18|全概率（如甲罐取球入乙罐）|综合辨析，考查互斥与独立| |填空|3/15|贝叶斯公式（如笔记本合格率）|实际应用，强化数据意识| |解答|5/77|马尔科夫链（如主播流量推送、区块链广播）|递进设计，15题构建递推模型培养推理能力，19题结合科技情境发展创新意识|

2025-2026学年度高2027届高二下微专题测试 条件概率全概率及马尔科夫链 测试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔把答题考号对应数字标号涂黑 2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时，必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡指定区域内作答。在试题卷上作答答案无效。如需作图，先用铅笔作图，然后用黑色签字笔描边。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率(　 ) A． B． C． D． 3．从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则 A． B． C． D． 4．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件为4名同学所报项目各不相同”,事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则（   ） A． B． C． D． 5．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（    ） A． B． C． D． 6．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（    ） A． B． C． D． 7．箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则错误的是（    ） A． B．数列为等比数列 C． D．第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种 二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分 9．（多选）甲罐中有个红球、个白球和个黑球，乙罐中有个红球、个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以事件、、表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一个球，以事件表示由乙罐取出的球是红球，下列结论正确的是（    ） A．事件与事件不相互独立 B．、、是两两互斥的事件 C． D． 10．设事件A、B满足，，则（    ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若与独立，则 D．若，则与独立 11．在年杭高樱花文会答题抽奖活动中，有一道题四个选项，只有一个选项正确，甲同学回答失败，剩下的三个选项编号为，乙同学继续答题，乙同学选择号选项，主持人未加评判.主持人知道哪个选项正确，从号中删去一个错误选项后，给乙同学一次换号机会.记表示第号选项正确，表示主持人删去的选项是第号选项.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．换号后答对概率增大 D．换号后答对概率不变 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.12．现有8道四选一的单选题，学生李华对其中6道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对的概率为．现从这8道题中随机选择1题，则他做对该题的概率为____________． 13．假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为________． 14．一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分） （改编）甲、乙、丙三位主播进行连麦直播。流量从甲主播开始。每次流量更新时，当前持有流量的主播会随机（等可能）将流量推送给另外两位主播中的一位。 (1) 求3次推送后，流量在乙主播手中的概率； (2) 设 次推送后流量在甲手中的概率为 。 (i) 证明： 是等比数列，并求 ； (ii) 求 次推送后，流量在乙主播手中的概率 的表达式。 16.（15分） （原创）某APP设计了“签到领红包”活动。已知用户第一天签到领到红包的概率为 ；从第二天开始，系统策略调整：若前一天用户领到了红包，则当天领到红包的概率变为 （防止薅羊毛）；若前一天未领到，则当天领到红包的概率变为 （激励活跃）。记第 天用户领到红包的概率为 。 (1) 求 的值； (2) 探究数列 的通项公式； 17.（15分） （原创）有一位美食爱好者，名叫小明，他要挑战一家传奇餐厅的“美食三关”挑战。规则如下： 挑战必须从第一关开始，只有成功通过当前关卡，才能进入下一关。每一关的挑战次数不限，失败了可以无限次重试，直到成功为止。挑战的目标是连续成功通过全部三关。一旦第三关也成功通过，挑战即告结束，小明将获得“终极美食家”的称号。 小明在各关卡的挑战成功率如下： 第一关（辣味挑战）：吃下一份“地狱辣”火锅，成功概率为 1/2。 第二关（甜味挑战）：吃完一个“巨无霸”冰淇淋蛋糕，成功概率为 1/2。 第三关（酸味挑战）：喝下一杯“柠檬之王”特饮，成功概率为 1/3。 每次挑战都是独立的，互不影响。我们将“小明在第 n 次挑战后获得‘终极美食家’称号”这一事件记为 (1)求，； (2)求的表达式； 18.（17分） （改编）AI机器人与异常数据包的网络安全博弈，在一个简化的网络安全系统中，有两个独立的服务器节点，分别标记为“节点0”和“节点1”。一个AI安全机器人（以下简称“机器人”）正在追踪一个异常数据包（以下简称“数据包”）。系统以1分钟为一个时间单位进行状态更新。 机器人的行为模式： 机器人的移动策略是随机的。在任何一个时间点，它有0.6的概率从当前所在的服务器节点切换到另一个节点，有0.4的概率留在当前节点继续扫描。 数据包的行为模式： 如果在上一分钟，机器人和数据包恰好在同一个服务器节点上，那么数据包会判定为“已暴露”，并在下一分钟必定转移到另一个服务器节点以规避追踪。如果在上一分钟，机器人和数据包不在同一个节点，那么数据包在下一分钟有0.5的概率留在当前节点，有0.5的概率转移到另一个节点。 已知在初始时刻（第0分钟），机器人位于“节点0”，而数据包位于“节点1”。 我们定义：为在第 n 分钟时，机器人位于“节点0”的概率；为在第 n 分钟时，数据包位于“节点0”的概率。 (1)求第1分钟时，机器人和数据包所在房间号之和为1的概率； (2)求证：，均为等比数列并求它们的通项公式. 19.（17分） （改编）在一个由 个节点（编号为1, 2, ..., n）组成的区块链网络中，信息广播规则如下：若信息由“节点1”（矿工甲）发出，则它第一次必须广播给“节点2”（乙）；然后，持有信息的节点会等可能地将信息扩散给网络中其他 个节点中的任意一个。第 次广播后，信息回到“节点1”手中的概率记为 。 (1) 求 （用 表示）； (2) 求 的通项公式（用 表示）； (3) 当 时，求第几次广播后信息首次回到节点1的概率最大。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数(预估) 1 单选题 5 条件概率性质的应用 0.85 2 单选题 5 计算条件概率 0.85 3 单选题 5 计算条件概率 0.65 4 单选题 5 计算条件概率；计算古典概型问题的概率 0.65 5 单选题 5 计算条件概率；独立事件的乘法公式；利用互斥事件的概率公式求概率 0.65 6 单选题 5 利用全概率公式求概率 0.65 7 单选题 5 计算条件概率；计算古典概型问题的概率；利用全概率公式求概率 0.65 8 单选题 5 由定义判定等比数列；由递推关系式求通项公式；利用全概率公式求概率 0.65 9 多选题 5 计算条件概率；独立事件的判断；判断所给事件是否是互斥关系；利用全概率公式求概率 0.65 10 多选题 5 计算条件概率；独立事件的判断；互斥事件的概率加法公式；利用对立事件的概率公式求概率 0.65 11 多选题 5 计算条件概率；计算古典概型问题的概率；利用全概率公式求概率 0.45 12 填空题 6 利用全概率公式求概率 0.78 13 填空题 6 计算条件概率；利用贝叶斯公式求概率 0.76 14 填空题 6 利用全概率公式求概率 0.69 15 解答题 13 条件概率、全概率、贝叶斯公式之马尔科夫链之传球模型 0.65 16 解答题 15 条件概率、全概率、贝叶斯公式之马尔科夫链之接力模型 0.65 17 解答题 15 计算条件概率；独立事件的乘法公式；利用全概率公式求概率；错位相减法求和 0.65 18 解答题 17 条件概率、全概率、贝叶斯公式之马尔科夫链之游走模型 0.56 19 解答题 17 条件概率、全概率、贝叶斯公式之马尔科夫链之传球模型 0.5 Sheet2 Sheet3 $ 2025-2026学年度高2027届高二下微专题测试 条件概率全概率及马尔科夫链(答案及解析） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 A B C A B B D C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 选项 ABD BC BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 客观题详解 1．A 【详解】试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A. 考点：条件概率． 2．B 【详解】事件A：“第一次拿到白球”，B：“第二拿到红球”，则P(A)＝＝，P(AB)＝·＝，故P(B|A)＝＝. 3．C 【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】依题意,,故 .故选C. 【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 4．A 【分析】确定事件，利用古典概型的概率公式计算出和，再利用条件概型的概率公式可计算出的值. 【详解】事件为“名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”， 则，，，故选A. 【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题． 5．B 【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛进行了3局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率. 【详解】由题意，甲获得冠军的概率为， 其中甲获得冠军且比赛进行了3局的概率为， ∴所求概率为. 故选：B. 6．B 【分析】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，由全概率公式可求得结果. 【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”， ，，， 由全概率公式可得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键就是弄清第球与第球投进与否之间的关系，结合全概率公式进行计算. 7．D 【分析】根据古典概型、条件概率概念、全概率公式分别计算即可判断各选项. 【详解】对于，表示“第一次摸到红球且第二次摸到红球”，因事件表示“第1次摸球，摸到红球”，易得， 事件表示“第2次摸球，摸到红球” ，因摸出的球不放回，此时箱子里还剩3个红球，2个白球， 所以在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得，故错误. 对于，第1次摸球，摸到白球的概率. 同理在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得， 由全概率公式可得，故错误. 对于，由A项分析，已得，故错误. 对于，由B项分析，已得，故正确. 故选：. 8．C 【分析】根据题意，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，即可判断ABC，然后逐一列举，即可判断D. 【详解】由题意可知，要使得次传球后球在甲手中，则第次球必定不在甲手中， 所以，，即， 因为，则，所以，， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故B正确； 则，即， 对于A，，故A正确； 对于C，由，可得，故C错误； 对于D，若第4次传球后球在甲手中，则第3次传球后球必不在甲手中，设甲，乙，丙对应于， 则不同的传球方式有：①，②， ③，④，⑤， ⑥，故共有6种情况，故D正确. 9．ABD 【分析】利用事件独立性的定义可判断A选项的正误；利用互斥事件的定义可判断B选项的正误；利用全概率公式可判断C选项的正误；利用条件概率公式可判断D选项的正误. 【详解】对于A，由题意可知，事件发生与否影响事件的发生，故事件与事件不相互独立，故A正确; 对于B，、、两两不可能同时发生，故B正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，已知从甲罐中取出一个红球放入乙罐，这时乙罐中有个球，其中红球有个， 因此，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，故D正确. 故选：ABD. 10．BC 【详解】对于A选项，若，则，则，故A选项错误； 对于B选项，若与互斥，则，故B选项正确； 对于C选项，， 若与独立，则与独立， 故，故C选项正确； 对于D选项，若，则，得出， 因为，所以与不独立，故D选项错误. 11．BC 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合条件概率和全概率公式及逐项判断即可. 【详解】对于A，乙选择号选项，答案是号选项，主持人选择号选项的概率为，即，故A错误； 对于B，，， 则， 因此，故B正确； 对于CD，若不换号，乙继续选择号选项，获得奖品的概率为，主持人选择了错误的选项， 若换号，选择剩下的那个选项，获得奖品的概率为，乙换号后中奖概率增大，故C正确，D错误. 12． 【分析】将题目划分为有思路、无思路两类，结合对应条件概率，利用全概率公式求解随机抽取一题做对的总概率. 【详解】随机抽取1道题，抽到有思路题的概率为，抽到无思路题的概率为. 抽到有思路题时做对的条件概率为，抽到无思路题时做对的条件概率为. 由全概率公式可得. 13． 【详解】用表示买到的电脑是甲厂生产的，表示买到的电脑是合格品. 则，，，. 由贝叶斯公式可知． ． 14． 【分析】根据题意两次利用全概率公式依次求出、. 【详解】由题意知，， 所以， 因为，， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．答案： （1）3次推送后流量在乙手中的概率为 ； （2）（i） 是公比为 的等比数列，且 ； （ii）乙主播手中的概率 。 详解： （1）设分别表示第次推送后流量在甲、乙、丙手中的事件。 初始状态：第0次，流量在甲手中，即 。 第 1 次推送： 甲将流量推送给乙或丙，概率各为 。 在甲手中： 在乙手中： 在丙手中： 1分 第 2 次推送： 如果第 1 次在乙手中（概率），乙传给甲或丙（概率各 ）。 如果第 1 次在丙手中（概率 ），丙传给甲或乙（概率各 ）。 计算第2次后各主播持有流量的概率： 在甲手中： 在乙手中： 在丙手中： 3分 第 3 次推送： 我们需要求 。 如果第 2 次在甲手中（概率 ），甲传给乙或丙（概率各 ）。 如果第 2 次在乙手中（概率 ），乙传给甲或丙（概率各 ）。 如果第 2 次在丙手中（概率 ），丙传给甲或乙（概率各 ）。 计算第 3 次后流量在乙手中的概率： 5分 （2）第次推送后流量在甲手中的概率为 。 第次推送后流量在甲手中的情况，只能发生在第次流量不在甲手中（即在乙或丙手中），且该主播将流量传给了甲。 已知第次在甲手中的概率为 ，则第次不在甲手中的概率为 。 当流量不在甲手中时（即在乙或丙手中），当前持有者传给甲的概率是 。 因此，第次流量在甲手中的概率为： 将递推式变形： 8分 这说明数列 是一个公比 的等比数列。 我们需要确定首项。初始状态为第 0 次，流量在甲手中，所以 。 首项为 。根据递推式 。 所以首项为 。 等比数列的通项公式为： 10分 (3)由题意可知，每次推送后流量必定在甲、乙、丙三人之一手中。 因此，对于任意 ，有 。 由于乙和丙在规则中是对称的（初始状态流量在甲手中，甲传给乙和丙的概率相等，且乙、丙传给其他人的概率规则相同），所以在次推送后，流量在乙手中的概率与在丙手中的概率相等，即 。 因此，。我们可以解出： ， 12分 将前面求得的表达式代入： 13分 16. 答案： （1） ； （2）数列通项公式为 。 详解： （1）求 的值 求解目的：利用全概率公式，结合＂前一天是否领到红包＂的条件概率，计算第二天、第三天的领红包概率。 计算 ：第二天领到红包的概率由＂第一天领到且第二天领到＂或＂第一天未领到且第二天领到＂两部分组成。根据全概率公式： 3分 代入已知条件 ，条件概率 （前一天领到则当天概率）和 （前一天未领到则当天概率）： 5分 计算 ： 同理，第三天领到红包的概率由＂第二天领到且第三天领到＂或＂第二天未领到且第三天领到＂组成： ，代入 ： 6分 因此， 。 7分 （2）数列 的通项公式，第 天领到红包的概率由＂第 天领到且第 天领到＂或＂第 天未领到且第 天领到＂组成，因此： 11分 整理递推式： 12分 ），（≥2) 因此，数列 的通项公式为： 15分 17． 答案： (1)， (2) (3)答案见解析 【详解】 （1）依题意，， ． 4分 （2）事件发生分两步： 第一步，第次考试后恰好通过第2级考试，概率为， 6分 第二步，第次至次参加第3级考试没有通过，第次通过， 概率为； 8分 由全概率公式得，， 9分 设， 则， 两式相减得， 11分 ， 13分 所以，所以． 15分 18.答案： (1)0.5; (2)证明见解析，，. 详解： 【分析】（1）求出机器人和数据包分别在0与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计算得解； （2）根据给定条件，求出、的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证. 【详解】（1）在第0分钟时，机器人在0号房间，数据包在1号房间， 设为第1分钟时，机器人在号房间，数据包在号房间， 则 2分 设第1分钟时，机器人和数据包所在房间号之和为，则， 所以第1分钟时，机器人和数据包所在房间号之和为1的概率0.5. 3分 （2）由题意，， 当时，机器人在第分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为； 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为， 所以，则， 5分 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 满足上式也满足题意，则. 7分 数据包第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟机器人和数据包都在1号房间，数据包转移到0号房间的概率为； 上一分钟机器人在0号房间，数据包在1号房间，数据包转移到0号房间的概率为； 上一分钟机器人在1号房间，数据包在0号房间，数据包仍在0号房间的概率为. 所以， 整理可得， 9分 因为，所以， 即， 12分 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则，满足上式也满足题意， 则， 15分 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， ∴通项公式为. 17分 19.答案 （1） ； （2） 的通项公式为 ； （3）当 时，第 2 次广播后信息首次回到节点1的概率最大。 详解： （1）分析过程：区块链网络中，信息由节点1发出时，第1次必须广播给节点2。因此，第1次广播后，信息一定在节点2（非1节点）。设 为＂第 次广播后信息回到节点 1 ＂的概率， 为＂第 次广播后信息在非 1 节点＂的概率。 求 ：第2次广播时，信息从节点2发出，需等可能扩散到其他 个节点（包括节点1）。因此，信息回到节点1的概率为： 3分 求 ：第3次广播后回到节点1的前提是第2次广播后信息不在节点1（否则第3次会从节点1发往节点2，无法回到自身）。 第2次广播后信息不在节点1的概率为 （信息在非1节点，共 个非1节点，节点2发了 个目标，其中 1 个是节点 1 ，剩余 个是非 1 节点）。 第3次广播时，从任意非1节点发信息，回到节点1的概率为 （等可能发给 个节点，其中1个是节点1）。因此， 是＂第 2 次不在 1 且第 3 次回到 1 ＂的概率 ： 7分 （2）求 的通项公式（用 表示） 分析过程：通过状态转移分析递推关系：若第 次广播后信息在节点 1 （概率 ），则第 次必须发往非 1 节点（概率为 1 ），即 增加 。若第 次广播后信息在非 1 节点（概率 ），则第 次发往节点1的概率为 （即 增加 ），发往其他非 1 节点的概率为 （即 增加 ）。 由此得递推式： 11分 结合初始条件 （第1次广播后信息在节点2，不在1），消去 可得递推： 13分 求解递推式：代入初始条件 得通项公式为： 15分 （3）当 时，求第几次广播后信息首次回到节点 1 的概率最大 分析过程：＂首次回到节点 1 ＂指前 次广播后信息都不在节点 1 ，第 次回到节点 1 。设该概率为 ，则： （第1次不在1，第2次回到1）。 对 是＂前 次在非 1 节点，第 次回到 1 ＂的概率。由于每次从非 1 节点发往 1 的概率为 ，且非 1 节点间转移对称， 构成首项为 、公比为 的等比数列（因从非1到非1的概率为 ）： 比较 大小： 计算 时各 ： 可见 最大。 17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $