广东深圳市南方科技大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

南科大附中2026年春季学期高二年级期中考试 数学 命题人：裴大新 审题人：谷任听 (本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上。将条形 码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回。 一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出 的四个选项中，只有一个选项是正确的。) 1.已知函数f(x)=3nx+2,则f"'(1)=() A.3 B.5 C.8 D.10 2.己知{4}是等差数列，且4+4，=4a,a=-4,则首项4，等于() A.0 B.-2 C.-6 D.-8 3.若 x、Va 展开式中的常数项为90，则常数a的值为() A.4 B.2 C.8 D.6 4.某数学学习小组有10名同学，其中有4名女生，6名男生，现从中随机抽取3名同 学去听院士讲座，设抽到的女生人数为X,则P(X=2)=() B. D.为 5.某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义 千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须 且只能选择1种模型.若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为 () A.600 B.264 C.207 D.114 6.下列说法中错误的有() ①数据12,3,5,7,8,9的60%分位数是6： ②根据2×2列联表中的数据计算得出x2≥6.635，而P(x≥6.635)≈0.01，则两个 分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01： ③回归分析时，可用决定系数R刻画模型的拟合效果，R越大，则拟合效果越好： ④若随机变量5服从正态分布5~N(1,o),若P(5<@)≥P(5>1-2ad),则实数 a≤-1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 高二数学第1页共4页 7.设A,B是两个随机事件，若P(@)号，P(aB)=},则P(4B)=（) A.月 B子 c D.} 8.方程xe=a(nx+x)有两实数根x1x2（x1≠x2）),则实数a的取值范围是（) A.(0,+∞） B.（e,+） C.(0,e)】 D.（-w,e) 二、多项选择题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分。在每小题 列出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分。) 9.定义在[-1,3]上的函数∫(x)的导函数'(x)的图象如图所示，则下列结论正确的 是() A.函数f(x)在[-1,1]上单调递减 B.函数f(x)的单调递减区间为0,3 C.函数f(x)在x=0处取得极大值 D.函数f(x)在x=2处取得极大值 10.已知3张奖券中只有2张有奖奖券，甲、乙2名同学依次随机抽取1张奖券.记事件 A为甲中奖”，事件B为“乙中奖”，则下列说法正确的有() A.若抽取后放回，则P(A)=P(B) B.若抽取后不放回，则P(A)=P(B) C.若抽取后放回，则P(B)=P(A) D.若抽取后不放回，则P(B)=P(A) 1,已知数列a}满足2ae+a:-a=0,分-子是a的前u项和 则() A.{an+1+an}是等比数列 B.a 是等比数列 C.{Sn}是等比数列 D.{sin an}的前n项和小于1 高二数学第2页共4页 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.若根据样本数据(1，)，（x2,y2),,(15,15)得到的回归直线方程为 15 - 5=3x+a,且2*=60, y=150,则a= 13.甲、乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分.设每局甲胜的概率为2 乙胜的概率为}且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率 为 (结果用数字作答) 14.已知直线y=x是函数f(x)=(x+a)e和函数g(x)=lnx+b图象的公切线， 则2+3b= 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、 证明过程及验算步骤。) 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 2b cosC 2a-c. (I)求角B的大小： (2)若b=23,且△ABC的面积为25，求△ABC的周长. 16.(15分)如图，直三棱柱ABC-AB,C中，AB=AC=2,AB⊥AC,D, E分别为AB,AC1的中点 A (1)证明：AD1/平面EBC; (2)若三棱锥A-BBC的体积为；，求平面BBC与平面4ABB夹角的余弦值 高二数学第3页共4页 17.(15分)甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道题目，甲答对每道题 目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是片，每位面试省最多有两次答题机会。 若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面 试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的， 且两人答题互不影响， (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为X,求X的分布列与期望. 18.(17分)己知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2a(n≥2)，a3=2. (1)求4： (2)求{an}的通项公式： 1 (3)设数列 的前n项和为T,证明：Tn<2. nlog,a. 19.(17分)已知函数f()=1-x+ahnx,a∈R (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若f(x)在区间(3，+∞)上单调递减，求a的取值范围； (3)若a>0,且了x)存在两个极值点x,x,证明：)f）<a-2 X1-X2 高二数学第4页共4页 南科大附中2026年春季学期高二年级期中考试数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D C D A C B 题号 9 10 11 答案 BC ABC AD 1．A【详解】由，得，所以.故选：A. 2．C【详解】设等差数列的公差为， 由，即，解得. 3．D【详解】展开式的通项为， 令，则，故常数项为，则. 4．C【详解】由于表示抽到的3名同学中女生2人，男生1人，所以 5．D【详解】先将5位同学分成三组有“2人组+2人组+1人组”和“3人组+1人组+1人组”两种情况，共有种方法， 其中小李和小赵同一组的情况有种方法，所以小李和小赵不同组的情况有种； 再将这三组分给DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型，有种排列方式， 所以共有种方法. 6．A【详解】对于①，将数据按从小到大排列：共有 7 个数据， 故分位数是第 5 个数，即不是 6.故①错误； 对于②，根据列联表中的数据计算得出，而， 则有的把握认为两个分类变量有关系，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01，故②正确； 对于③，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好，故③正确； 对于④，由随机变量，其正态曲线关于直线对称， 由，若，则，即得，所以，故④正确. 综上，错误的只有①. 7．C【详解】因为，所以， 而， 由条件概率公式得，故C正确. 8．B【详解】由题可知：， 原方程可化为：令，， 故在单调递增，即每个不同对应唯一不同的，原方程有两个不同实根等价于方程有两个不同解， 变形得：，令，求导得：，令， 当且时，，单调递减；当时，，单调递增； 故在处取得极小值。由原方程可知与同号， 若，则，此时方程仅有一解，不符题意， 故，则。因此只需考虑在上的情况，其在此区间上的最小值为， 当时，有两个不同解，对应原方程有两个不同实根，因此的取值范围是. 9．BC【详解】由导函数的图象可知， 当时，，单调递增；当时，，单调递减.故A错误B正确； 所以，函数在处取得极大值，不是极大值点，故C正确D错误. 故选：BC. 10．ABC【详解】选项A：因每次抽取后放回，故抽取条件相同，，故A正确； 选项B：不放回时，，下面计算：事件发生有两种情况： ①甲中且乙中（）；②甲不中且乙中（）， 故，所以成立，故B正确. 选项C：放回时，；因事件相互独立， 则，即成立，故C正确. 选项D：不放回时，；求：已知甲中奖，剩2张奖券中有1张有奖， 所以，，故D错误. 11．AD【详解】 对于A，由题可得，且， 故是首项为，公比为的等比数列，故A正确； 对于B，由A易得，于是， 又因为，所以，所以不是等比数列，故B错误； 对于C，由B知，所以，不是等比数列，故C错误； 对于D，易知当时，，所以， 设，则，故D正确. 12． ，则样本中心点为，将其代入到， 即，解得. 13． 【详解】事件：甲胜5局，得5分，乙得0分，则， 事件：甲胜4局，负1局，得4分，乙得1分，则， 所以五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为.故答案为： 14．4 【详解】由，得由，得. 直线的斜率为. 令，得，将代入，得， 所以直线与函数的图象的切点为，所以，. 设直线与函数的图象的切点为，则，得. 因为函数单调递增，且，所以，.所以. 15．(1) (2) 【详解】（1）由及正弦定理，得.…………………………….1分 因为， 所以， 整理得.………………………………………………………………………………3分 因为，所以，即.……………………………………………………….....5分 又，所以…………………………………………………………………………………..….7分 （2）由，且，得.…………………………………………….…….9分 由余弦定理，及， 得.………………………………………………………………………….11分 所以（负值舍去）. ……………………………………………………………………………….12分 故的周长为.………………………………………………………………………………….13分 16．(1)证明过程见解析. (2) 【详解】（1） 设的中点为，连接. 因为分别为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且，所以， 所以四边形为平行四边形，则.…………………………..………………………….2分 又平面，平面，……..……………………………………………………..….4分 所以平面..…………….……………………………………………………………….……….5分 （2）我们以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，.…………………….6分 设直三棱柱的侧棱长，可得 三棱锥，到底面的距离为，， 因此，解得.…………………………..………….8分 则向量，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即；…………………………………………………………….11分 平面的一个法向量为；…………………………………………………..………….13分 设两个平面夹角为，则. 即两个平面的夹角余弦值为.……………………………………………………………………..…….15分 17．(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， （或）.…………………………………………………….2分 （或）.…………………………………………………….4分 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率 ..……………………………….7分 （2）随机变量的可能取值为2，3，4. .……………………………………….………………….8分 ，，，.………….……….11分 随机变量的分布列为 2 3 4 .……………………………………………………………………………………………..……….12分 所以随机变量的期望为..…………………………………….15分 18．【详解】（1）方法一:由， 得；...………………………………………………………………………………..…….4分 方法二:由，得， 得；...……………………………………………………………………………………….….4分 （2）因为，所以， 则，得，..………………………………………………….6分 又，所以，..……………………………………………….…………….8分 所以；..………………………………………………………………………………….10分 （3）设，则时，，..…………………………………………..…….12分 当时，，..…………………………………….…………….14分 所以，...……………….16分 综上：...…………………………………………………………………………………….…….17分 19．(1) (2) (3)证明见解析 （1）由题意得，，.……………………………………….1分 而，则，.…………………………………………………………….2分 故曲线在点处的切线方程为..……………………….……………….3分 （2），.…………………………………………..……….4分 又在区间上单调递减，等价于在上恒成立，.….……….…….6分 即在上恒成立，即在上恒成立，………………………….8分 因为函数在上单调递增，所以， 所以，故的取值范围是.………………………………….……………………….10分 （3）证明：， 因为存在两个极值点，所以 满足，即，………………………………………………..…………..……….12分 不妨设，则. 又 则要证，即证， 又，则， 即证，即证.……………………………………………………….15分 设函数， 则， 所以在上单调递减，又，则， 所以，即得证. …………………………………………….17分 答案第8页，共11页 答案第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $