专题28 导数（压轴）(选择题篇)专项训练 -2026届高考数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦导数压轴题型，以6大核心题型构建知识逻辑链，覆盖函数性质、比较大小、切线、零点等高频考点，通过典型例题强化数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数性质应用|15题|结合奇偶、周期等性质综合考查|导数应用基础，构建函数性质与导数关系| |函数比较大小|9题|利用单调性、构造函数比大小|导数判断单调性的直接应用| |切线相关问题|13题|公切线、切线方程及应用|导数几何意义的延伸拓展| |零点问题|11题|零点个数、参数范围探究|函数图像与方程根的转化| |恒成立与有解|17题|不等式恒成立、存在性问题|导数研究函数最值的综合应用| |最值与取值范围|15题|函数最值、参数取值范围|导数工具解决最值问题的核心目标|

专题28 导数（压轴） 题型1：函数单调、奇偶、对称、周期的应用 题型2：函数比较大小 题型3：切线相关问题 题型4：零点问题 题型5：恒成立与有解问题 题型6：最值与取值范围的问题 题型1：函数单调、奇偶、对称、周期的应用 1．（2026·山西大同·三模）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（    ） A． B． C．2 D．4 2．（2026·云南·模拟预测）已知函数在上的导函数为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽淮北·模拟预测）已知函数的定义域为，，为奇函数，，则（　　） A． B．2025 C．1 D． 5．（2026·四川眉山·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（ ） A．1 B．0 C． D． 8．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知定义在上的函数满足：，为偶函数，且，若，则正整数的最小值为（    ） A．21 B．25 C．29 D．33 9．（2026·陕西西安·三模）（多选）已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递减 10．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（    ） A． B．是的充分不必要条件 C． D．任意， 11．（2026·江西南昌·三模）（多选）设是定义在上的偶函数，且当时，函数，则（     ） A． B．当时， C．恰有个零点 D．当时， 12．（2026·甘肃兰州·模拟预测）（多选）若函数在区间上的导函数为增函数，则称在区间上为“凹函数”.已知函数的定义域为，，且，则（   ） A． B．为奇函数 C．函数在区间上为“凹函数” D．若函数为上的“凹函数”，则的取值范围为 13．（2026·广东中山·三模）（多选）已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 14．（2026·贵州安顺·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，其导函数为，且，恒有，，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数的图象关于轴对称 C． D． 15．（2026·陕西渭南·模拟预测）（多选）已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 题型2：函数比较大小 16．（2026·河北沧州·三模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 17．（2026·河南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 18．（2026·广西崇左·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 19．（2026·江西·三模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，，，且，，，则（   ） A． B． C． D． 21．（2026·山东临沂·一模）（多选）已知函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 22．（2026·广东佛山·一模）（多选）已知函数的定义域为，对任意正实数，函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．若，则 D． 23．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 24．（2026·天津滨海新区·一模）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，设，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型3：切线相关问题 25．（2026·湖南岳阳·三模）已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 27．（2026·河南·二模）已知点是曲线上的动点，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 28．（2026·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，圆，平面内一点满足，设圆上一点到直线的距离为，为实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 29．（2026·重庆·二模）若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则（ ） A． B．1 C．2 D． 30．（2026·安徽安庆·三模）过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（   ） A． B． C． D． 31．（2026·陕西榆林·三模）已知函数，，若存在唯一的，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．（2026·河南许昌·三模）（多选）已知函数．下列结论正确的是（） A．存在全不为0的实数a，b，使得是奇函数 B．当，时，在区间上单调递增 C．当，时，过点作曲线的切线，只能作一条 D．若，，则 33．（2026·河北雄安·三模）过点可向曲线作三条切线，则实数的取值范围为________． 34．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若曲线和圆存在4条公切线，则的取值范围是_____. 35．（2026·湖南湘西·三模）若直线与函数和的图象均相切，则实数的最大值为___________． 36．（2026·贵州黔西南·二模）若函数图象上任意一点处的切线为，函数图象上总存在一点处的切线，使得与的斜率相等，则实数的取值范围是__________. 37．（2026·安徽淮南·二模）已知定义在上的函数，其导函数为，对，满足，，点，分别为曲线和直线上的动点，则的最小值等于________. 题型4：零点问题 38．（2026·北京朝阳·二模）设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 39．（2026·浙江衢州·期中）已知函数，若方程有三个根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数在上有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（2026·河南开封·模拟预测）若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 42．（2026·甘肃金昌·三模）已知函数（），则下列命题错误的是（    ） A．若，则有1个零点 B．若，则没有零点 C．若有2个零点，则 D．若，则有2个零点 43．（2026·四川遂宁·二模）（多选）已知函数，下列选项正确的是（    ） A．函数在区间单调递增 B．函数在上有两个零点 C．若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为 D．关于的不等式在上恰有两个整数解，则实数的取值范围为 44．（2026·江苏镇江·模拟预测）（多选）已知函数，若，则下列说法中正确的是（   ） A．函数的极小值点为 B． C．的最小值为 D．若方程有三个不等根，则范围是 45．（2026·山东泰安·三模）（多选）已知函数则下列选项正确的是（   ） A．是偶函数 B．在上单调递减 C．的极值点为 D．在上有且仅有4个零点 46．（2026·北京顺义·二模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，对任意负实数，方程恰有一个实数解； ②存在，有负实数，使得方程无实数解； ③存在，有正实数，使得方程恰有2个实数解； ④存在，有实数，使得方程恰有3个实数解. 其中所有正确结论的序号是__________. 47．（2026·天津和平·三模）若，，使得关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围为__________． 48．（2026·全国·模拟预测）已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是__________． 题型5：恒成立与有解问题 49．（2026·四川成都·三模）不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 50．（2026·浙江宁波·三模）已知函数，在定义域上恒有，求的取值范围（        ） A． B． C． D． 51．（2026·陕西西安·三模）已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 52．（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 53．（2026·山东济南·一模）若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 54．（2026·安徽黄山·模拟预测）已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 55．（2026·河北沧州·模拟预测）若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 56．（2026·河北·模拟预测）已知函数，若不等式的整数解有且仅有两个，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 57．（2026·江苏·二模）（多选）设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 58．（2026·山西吕梁·三模）（多选）设关于实数x，y的解析式为，则（   ） A．当时，方程有唯一解 B．若成立，则 C．若成立，则存在，使得 D．若成立，则存在，使得 59．（2026·江西南昌·二模）（多选）已知时，关于的不等式恒成立，则下列判断正确的是（   ） A．， B． C． D．的最大值为 60．（2026·山西太原·二模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，的最小值为 B．若有两个极值点，则实数的取值范围为 C．当时，的值域为 D．若存在，使得成立，则实数的最大值为 61．（2026·云南昆明·模拟预测）已知关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________． 62．（2026·陕西安康·三模）若，则的取值范围为___________． 63．（2026·山东枣庄·三模）若，，则实数的最大值为____________. 64．（2026·湖北恩施·模拟预测）已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 65．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，若关于x的不等式有解，则m的取值范围是___________． 题型6：最值与取值范围的问题 66．（2026·山东青岛·模拟预测）设函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 67．（2026·陕西咸阳·三模）方程有两实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 若，则，此时方程仅有一解，不符题意， 68．（2026·河北保定·二模）若，，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 69．（2026·湖南长沙·二模）已知函数，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．-1 D． 70．（2026·江西·二模）若函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 71．（2026·河南·模拟预测）已知，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 72．（2026·山东德州·一模）已知函数，若，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 73．（2026·重庆北碚·模拟预测）（多选）已知函数，其中．则下列说法正确的是（   ） A．的图象为中心对称图形 B．时，函数在上单调递减 C．对任意的实数，，既没有最大值，也没有最小值 D．若有两个不同的极值点，则的取值范围为 74．（2026·辽宁沈阳·三模）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．和的图象不存在公切线 B．在上是增函数 C．若恒成立，则整数的最大值为2 D．若，且，则的最小值为 75．（2026·云南·模拟预测）（多选）设函数，则（   ） A．是奇函数 B．当时，的最小值为 C．当时，在区间上单调递增 D．当时， 76．（2026·河南·模拟预测）（多选）已知函数，，方程的根为，方程的根为.下列说法正确的是（    ） A．函数与的图像关于直线对称 B．当时， C．若函数在上的极小值为，则 D．若，则的最小值为 77．（2026·山东济宁·三模）已知实数，满足，则的取值范围是______． 78．（2026·吉林延边·三模）已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______． 79．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数有两个极值点，且满足：，则的最小值为__________． 80．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知分别为曲线且，上的点，且都位于第一象限，O为坐标原点，若是正三角形，则的最大值为______. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28 导数（压轴） 题型1：函数单调、奇偶、对称、周期的应用 题型2：函数比较大小 题型3：切线相关问题 题型4：零点问题 题型5：恒成立与有解问题 题型6：最值与取值范围的问题 题型1：函数单调、奇偶、对称、周期的应用 1．（2026·山西大同·三模）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】先根据的对称性得出，结合奇偶性得出4是的一个周期，再结合周期性可得，即可得结果. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 则，即， 当时，则， 且，可知对任意恒成立， 又因为是定义在上的奇函数，则，， 可得，即， 则，得，可知4是的一个周期， ，， 所以， 所以， 又因为，即，可得， 所以． 2．（2026·云南·模拟预测）已知函数在上的导函数为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导函数的中心对称性可得原函数的轴对称性，再结合指对数运算，进行估值可得，最后利用单调性即可作出判断. 【详解】由指数式化对数得：， ， ， 所以可得大小关系：， 已知：在上单调递增，且是奇函数， 由奇函数性质可得：， 即关于中心对称，则， 又因为单调递增：所以当时，，则在区间单调递减； 当时，，在区间单调递增； 即在处取得最小值， 再由导函数关于中心对称，可得原函数关于直线对称， 所以自变量距离越远，越大， 因为，， 所以，即 因此函数值大小为：. 3．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助导数可研究函数在上的单调性及其最小值，结合时，，可得，解出即可得. 【详解】当时，， 令，则恒成立， 故在上单调递增，则， 则在上单调递减，则， 又当时，， 则有，解得， 故满足的实数的取值范围是. 4．（2026·安徽淮北·模拟预测）已知函数的定义域为，，为奇函数，，则（　　） A． B．2026 C．1 D． 【答案】B 【详解】因为①， 所以，所以， 所以函数是周期函数，且周期为4. 所以. 在①中，令得：. 因为为奇函数，所以② 在②中，令可得：. 结合①可得③. 在②中，令，可得； 在③中，令，可得； 在②中，令，可得. 由函数的周期性可知，的值呈周期变化， 故. 5．（2026·四川眉山·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】先根据是偶函数得出的一个等式关系，再对其求导得到的一个等式关系，然后结合推出的周期，最后根据周期求出的值. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，即. 两边求导，可得：，可得. 因为，所以的图象关于直线对称，则. 用代替可得. 将代入中，可得 ①. 用代替可得 ②. 由②①可得：. 所以是周期为的周期函数. 所以. 因为的图象关于直线对称，所以. 在中，令，可得，解得， 所以，即. 6．（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 【答案】A 【分析】由条件结合对称性的性质可得，，结合关系可得，由此可得，再求，结合可得结论. 【详解】因为关于对称，所以， 用替换可得①， 因为关于对称，所以， 又，用替换可得， 用替换可得， 两式相加可得， 用替换可得②， 由①②可得， 用替换可得 因为， 在中令，得，故， ， 因此. 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（ ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件，可求得函数关于轴对称，关于中心对称，周期为4，再根据函数的对称性和周期性，即可求解. 【详解】因为为偶函数，为奇函数， 所以，， 所以函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 所以，令，则，即， 所以，令，则，所以的周期为4， 又，，所以，所以， 又函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 又的周期为4，所以，，， 所以函数一个周期内的函数值为，，，， 所以， 所以 ，所以. 8．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知定义在上的函数满足：，为偶函数，且，若，则正整数的最小值为（    ） A．21 B．25 C．29 D．33 【答案】C 【详解】由得，的周期为8， 由为偶函数知：， 故的图象关于对称， ，，， ， ， 欲使，必有， 而， ， ， ，故的最小值为29． 9．（2026·陕西西安·三模）（多选）已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递减 【答案】ACD 【分析】利用赋值法判断AB，利用赋值法，以及不等式，判断C，根据函数单调性的定义，再结合赋值法和不等式判断D. 【详解】A选项，令，得，所以，A正确； B选项，令，得，，不恒为0，故B错误； C选项，令，得，当时，，，所以，所以，C正确； D选项，设任意，，且，令，， 则有，即， 由于，故有，，， 所以，即，故在上单调递减，D正确． 10．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（    ） A． B．是的充分不必要条件 C． D．任意， 【答案】ACD 【分析】令可判断A；设，利用，结合单调性定义得的单调性，再利用单调性解得可判断B；令得，代入已知得，根据求出的范围可判断C；结合选项C，分别求出与可判断D. 【详解】对于A，令，得， 因为时，有，所以，所以，故A正确； 对于B，设，则，所以， ， 因为，且，所以， 所以，所以在上是单调递增函数， 由，得，解得， 因为是的真子集， 所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，令，得，所以， 代入得 ， 可得， ， 因为，所以， 则，，即，故C正确； 对于D，任意， ， ， ， ， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11．（2026·江西南昌·三模）（多选）设是定义在上的偶函数，且当时，函数，则（     ） A． B．当时， C．恰有个零点 D．当时， 【答案】AC 【分析】求导，可判断A的真假，分析函数在上的单调性，确定函数的零点，再结合函数的奇偶性，可判断C的真假；利用偶函数的定义，求函数在上的解析式，可判断B的真假；利用函数在上的单调性可判断D的真假. 【详解】当时，， 所以. 所以，故A正确； 由可得；由可得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，所以函数在上只有一个零点. 根据是定义在上的偶函数，图象关于轴对称，可作出函数草图如下： 由图可知，函数有和两个零点，故C正确； 设，则， 因为函数为偶函数，所以，故B错误； 当时，，所以， 因为函数在上单调递减，所以，故D错误. 12．（2026·甘肃兰州·模拟预测）（多选）若函数在区间上的导函数为增函数，则称在区间上为“凹函数”.已知函数的定义域为，，且，则（   ） A． B．为奇函数 C．函数在区间上为“凹函数” D．若函数为上的“凹函数”，则的取值范围为 【答案】AD 【分析】先通过赋值法求解抽象函数的解析式，再结合题目给出的“凹函数”定义，利用导数逐一分析各选项即可. 【详解】∵ 函数的定义域为，满足，且， 令，得，即， ∵ ，∴ . 令，得，即， 代入原式验证：左边，右边，等式成立， 故. 对选项A：∵ ，∴ A正确. 对选项B：∵ ，，故，故不是奇函数，B错误. 对选项C：， 则，设函数的导函数为 则， 当时，，， 故，即在上为减函数，不符合凹函数定义，C错误. 对选项D：，故， 则，设函数的导函数为， 若为上的凹函数，则为上的增函数，即对任意恒成立， 故恒成立， 即对任意恒成立. 令，则， 令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故， ∴ ，即，故D正确. 【点睛】方法归纳：求解抽象函数解析式常用赋值法，处理新定义问题需准确转化定义为已有知识，恒成立问题优先分离参数转化为函数最值问题求解. 易错归纳：判断凹函数时需注意是一阶导数单调递增，即二阶导数非负，避免混淆导数阶数出错；求解函数最值时需准确判断单调性，不要弄错极值点的函数值符号. 13．（2026·广东中山·三模）（多选）已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】通过条件推导函数的性质，逐个分析选项即可. 【详解】由关于对称，得， 已知，将第二个式子换元，代入化简得， 因为，则，将用替换，可得， 将用替换，得， 即，故周期为. 又因为，则，即是偶函数. 由和，得， 且，故是偶函数. 选项A，，，由， 得，A正确； 选项B，对任意，，故，B正确； 选项C，推导得，是偶函数不是奇函数，C错误； 选项D，求和分组方式为为一组，为下一组，以此类推，直至，每组和为，共组，总和为，即，D正确. 14．（2026·贵州安顺·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，其导函数为，且，恒有，，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数的图象关于轴对称 C． D． 【答案】ACD 【分析】采用赋值法研究函数的奇偶性，周期性和对称性，可判断AB的真假；根据的奇偶性，周期性和对称性，可探究的性质，进而判断C的真假；利用换元法得到，分别令和，再结合函数的性质，可求的值，判断D的真假. 【详解】在中， 令，可得，因为，所以. 令，可得. 令，可得， 用代替，可得. 所以，因为不恒为0，所以恒成立. 所以函数为奇函数. 令，可得，即. 用代替，可得，所以函数的图象关于直线对称. 所以， 所以，故函数是以4为周期的周期函数. 对A：，故A正确； 对B：因为函数为奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称，不关于轴对称，故错误； 对C：由，两边求导，得，所以为偶函数； 由，两边求导，得，所以的图象关于点中心对称. 所以，所以，所以也是以4为周期的周期函数. 由，所以，， 所以. 在中，令，可得. 所以.故C正确； 对D：令， 所以转化为， 因为函数的图象关于对称，所以， 所以. 令，可得①， 令，可得. 因为是周期为4的奇函数，所以， 所以②. ①②得：.故D正确. 15．（2026·陕西渭南·模拟预测）（多选）已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】结合奇偶性和对称性性质、求导运算依次求出是奇函数、、函数和是周期为6的函数即可依次分析判断ABC，由题设求出，由，得到，依次求出，即可判断D． 【详解】因为为偶函数，所以，所以，即， 所以为奇函数，故. 又，所以，即， 所以，所以，即函数是周期为6的函数. 所以函数也是周期为6的函数，即. 由求导得，，即. 对于A：由，，令，得， 令，得，令，得 又，所以. 又，即，故无法确定的值. 而，故无法确定，A错误. 对于B：由，得，故B正确. 对于C：由，，无法确定的值，C错误. 对于D：由，得，，， 所以. 又， 所以，D正确. 题型2：函数比较大小 16．（2026·河北沧州·三模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求导可得，可得，令，利用导数可得，进而判断. 【详解】令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 当，，即函数在上为增函数， 所以，所以，当且仅当时取到等号， 令，所以，所以， 因为，所以，所以， 令，求导得， 令，求导得， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以在上单调递增，所以， 令，则可得， 所以，所以， 所以. 17．（2026·河南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别构造函数，，利用导数分析两个函数的单调性，即可得及关系，从而得到答案. 【详解】令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，所以 所以，即. 令，则， 令，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以恒成立，即恒成立，所以是减函数， 所以，即，即． 综上所述，. 18．（2026·广西崇左·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整理可得，令，，结合的单调性可得.举反例判断ABC；结合对数函数单调性判断D. 【详解】因为，则， 即，且，， 令，，则， 因为函数在定义域内单调递增，则. 例如，，满足，但，且均无意义，故AC错误； 例如，，满足，但，故B错误； 由可得，即， 所以，故D正确. 19．（2026·江西·三模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，所以， 同理，由，可得， 由，可得. 令，得，所以在上单调递减， 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 在同一平面直角坐标系中画出的图象，如图所示： 从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为. 20．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，，，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，，，构造函数，利用导数判断函数的单调性，借助函数单调性比较的大小，由此确定的大小，再推出的大小. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 同理，. 令，则，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，函数在上单调递增， 所以， 又， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，， 所以. 21．（2026·山东临沂·一模）（多选）已知函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A：利用赋值法进行运算判断即可； B：利用反证法进行判断即可； C：运用对数的运算性质，结合已知不等式进行运算判断即可； D：利用函数单调性的定义、题中不等式判断函数的单调性，根据函数值对应自变量的值的特点构造新函数，结合导数的性质、判断新函数的单调性，再结合已知原函数的单调性进行判断即可. 【详解】A：在中，令， 得， 令，得 ，故本选项说法正确； B：假设，由上可知， 所以有，这与已知当时，矛盾，所以假设不成立， 故本选项说法不正确； C：因为， 所以， ，即， 因为当时，， 所以，所以本选项说法正确； D：设，则有， 所以有， 由上可知，所以， 所以，所以当时，单调递增. 设，则有， 因为，所以单调递减， 因为，所以， 即， 因为当时，函数单调递增，且， 所以，因此本选项说法正确. 22．（2026·广东佛山·一模）（多选）已知函数的定义域为，对任意正实数，函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】用特值法判断A,B；用赋值法，结合函数单调性的定义，判断C；根据单调性列不等式，判断D. 【详解】对于A，令，， 则在上单调递增， 此时，所以不一定成立，所以A错误； 对于B，令，因为函数在上单调递增， 所以， 即，所以B正确； 对于C，令，因为是增函数， 所以， 所以 ， 所以，所以， 所以C正确； 对于D，令，因为是增函数， 所以， 所以； 令，因为是增函数， 所以， 所以； 令，因为是增函数， 所以， 所以； …… 令，因为是增函数， 所以， 所以， 所以， 所以D正确. 故选：BCD 23．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将，，通过构造函数看成两函数交点的横坐标，数形结合比较大小即可. 【详解】因为，且，所以， 同理，由，可得， 由，可得． 令，得，所以在上单调递减， 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 在同一平面直角坐标系中画出的图象，如图所示：从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为． 24．（2026·天津滨海新区·一模）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，设，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到在为单调递减函数，且，利用对数函数的单调性，求得，结合的单调性，即可求解. 【详解】由题意知，函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增， 可得函数在上为单调递减函数，且， 所以，， 因为，所以，，， 可得，所以， 即，所以. 题型3：切线相关问题 25．（2026·湖南岳阳·三模）已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设公切线方程为，分别与的图象切于点，与的图象切于点，根据导数的几何意义得出，消去得关于的方程，两边取自然对数后令，定义函数，其定义域为（当）或（当）．利用导数求出的极小值，再根据极小值的正负讨论的解的个数得出参数范围. 【详解】，， 设公切线方程为，直线与的图象切于点，与的图象切于点， 则，，， 所以． 即，由， 得，代入，得关于的方程． 等式两边取对数得， 令，定义函数， 其定义域为（当）或（当）． 则， 当时，在单调递减，在上单调递增，此时在处取极小值； 当时，同理可得在处取极小值， 故有唯一极小值点，极小值为． 的解的个数对应公切线的条数： 若，则有两个解，即有两条公切线； 若，则有一个解，即一条公切线； 若，则无解，即无公切线． 当时，则，分子（因恒成立），故； 当时，可得，令可得，即，解得． 此外，时无公切线，时仅一条． 因此，恰好有两条公切线时的取值范围是． 26．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据距离新定义，将问题化为求上的点到曲线上点的距离最小时对应参数值，即可得. 【详解】由函数得，即， 的反函数为. 由点在曲线上，知点在其反函数上， 相当于上的点到曲线上点的距离，即， 利用反函数性质可得与关于对称， 当与垂直时，取得最小值为2， 因此A，两点到的距离都为1. 过点作切线平行于直线，斜率为1， 由，得，可得， 所以，即， 点到的距离，解得. 当时，与相交，不合题意； 当时，与不相交，符合题意. 综上，. 27．（2026·河南·二模）已知点是曲线上的动点，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据已知条件将问题转化为曲线上的点到直线的距离的最小值的倍，求出与平行的切线相对应的切点，即可求得的最小值；或由，构造函数，利用导数分析函数的单调性，求得的最小值，从而得到的最小值. 【详解】点在曲线上，且点到直线，即的距离， 因此可先求点到距离的最小值. 当函数在处的切线与平行，即斜率为1时，点到的距离最小． 由，得， 令，解得，. 点到直线的距离，所以点到距离的最小值为. 所以的最小值为． 方法二：点是曲线上的动点，得，所以. 设，则， 设，则恒成立， 故在区间单调递增. 又，所以当时，，所以； 当时，，所以. 在区间单调递减，在区间单调递增． 又，所以，即，则的最小值为1． 28．（2026·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，圆，平面内一点满足，设圆上一点到直线的距离为，为实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析的几何意义，根据圆上的点到直线的距离的最小值求得的最小值，结合导数的几何意义、两点间的距离公式及点到直线的距离公式，求得的最小值，即可得的最小值. 【详解】由题已知圆，圆心，半径． 则直线到圆心的距离， 故圆上点到直线的最小值为圆心到直线的距离减去半径，故， 点满足，即， 因此点在函数的图象上， 表达式表示点到点的距离的平方， 又因为点在直线上，所以表达式的最小值为函数上的点到直线的最小距离的平方. 设函数上与直线平行的切线与其相切于点， 由题易得， 令，即，解得. 即切点为，由点到直线的距离有， 故的最小值为． 29．（2026·重庆·二模）若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】设曲线的切点为，曲线的切点为，利用导数的几何意义，分别求得在切点处的切线方程，结合切线过，得出关系式，即可求解. 【详解】设曲线的切点为，则由， 可得切线方程为， 因为切线过点，所以，解得，所以切线方程为； 设曲线的切点为，由，所以切线的斜率为， 因为直线的方程为，可得，解得，即切点 所以切线方程为，即， 所以，解得. 30．（2026·安徽安庆·三模）过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出函数的切线方程，代入点，整理得，令，利用导数确定函数的单调区间及极值，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】设切点为， 据题意：这样的切点有两个， 即关于的方程有且仅有两根. 因为， 所以切线方程为， 即为过切点的切线， 又在此切线上， 所以， 即， 所以， 令， 所以， 所以，则或， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为， 当趋于时，趋于，当趋于时，趋于， 作出函数的图象，如图所示： 又不在曲线C上，所以， 由的图象可知. 31．（2026·陕西榆林·三模）已知函数，，若存在唯一的，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑是的切线，并且切点为，所以满足条件的整数只能是，从而得到两个函数在与的大小关系. 【详解】 因为存在唯一的，使得，即， 所以的图象在图象下方的部分有且只有一个横坐标为整数的点， 先考虑过点的切线， 设切点为，且，所以斜率， 所以直线为，代入，，解得. 所以为的切线，切点为， 那么当时，始终满足上述不等式， 所以时，的图象在图象的上方， 所以解得， 所以实数a的取值范围是． 32．（2026·河南许昌·三模）（多选）已知函数．下列结论正确的是（） A．存在全不为0的实数a，b，使得是奇函数 B．当，时，在区间上单调递增 C．当，时，过点作曲线的切线，只能作一条 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】由,A选项取验证满足奇函数条件；B选项代入求导,由时导函数恒正得单调递增；C选项代入设切点列切线方程,代入定点解得两个切点对应两条切线；D选项换元令构造函数,利用导数判断单调性证不等式恒成立. 【详解】已知函数，逐一分析选项： 选项A: 若为奇函数，则满足. 奇函数无常数项，因此，得，此时. 令，，均不为0，，满足奇函数定义,A正确. 选项B: 当时，,求导得. 当时，，，即. 在上单调递增，B正确. 选项C: 当时，，. 设切点为，切线方程为. 切线过点，代入化简得， 解得或，有两条切线,C错误. 选项D: 令，，由，得，. 原不等式等价于. 构造函数，求导得. 因为，，所以，， 在上单调递增，故，不等式恒成立,D正确. 33．（2026·河北雄安·三模）过点可向曲线作三条切线，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】设切点坐标为，借助导数的几何意义计算可得切线方程为，将点代入，可得，构造相应函数，则可得该函数的图象与直线有三个不同交点，借助导数研究单调性后计算即可得解. 【详解】设曲线的切点坐标为，， 则切线方程为， 点在该直线上，有， 整理得， 由题意可得函数的图象与直线有三个不同交点， ， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， ，， 又当时，，时，， 故当时，函数的图象与直线有三个不同交点， 即实数的取值范围为. 34．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若曲线和圆存在4条公切线，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】借助导数的几何意义表示出曲线在处的切线方程，则该切线也是圆的切线，即可用圆的切线的性质得到与有关方程，再利用存在4条公切线，计算即可得. 【详解】对，有， 则曲线在处的切线方程为， 整理得， 由该切线也是的切线，则， 整理得， 由曲线和圆存在4条公切线， 故关于的方程有四个不同根， 故关于的方程有两个不同正根，设为、， 则，解得， 由，则，， 故时，该方程有两个不同正根， 即此时曲线和圆存在4条公切线， 故的取值范围是. 35．（2026·湖南湘西·三模）若直线与函数和的图象均相切，则实数的最大值为___________． 【答案】1 【分析】分别设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，由公切线得到，令，得到，进而构造函数，通过求导，确定零点，进而可求解. 【详解】设直线与的图象相切于点，直线与的图象相切于点， 则，得 得，令， 则， 得， 所以，整理可得． 设，显然为的一个零点，， 当时，单调递增， 当时，单调递减，故， 而， 所以的两根位于两侧， 已知一根为，当时，， 所以另一根位于区间内，由对勾函数单调性可知在单调递增， 此时， 所以当时，取得最大值，该值为1． 36．（2026·贵州黔西南·二模）若函数图象上任意一点处的切线为，函数图象上总存在一点处的切线，使得与的斜率相等，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】设函数在点处的切线为，函数在点处的切线为, 则， 由于与的斜率相等，故对任意的，存在使得， 由于故， 而， 因此，故 37．（2026·安徽淮南·二模）已知定义在上的函数，其导函数为，对，满足，，点，分别为曲线和直线上的动点，则的最小值等于________. 【答案】 【分析】根据已知条件及导数的运算法则得到，对其求导并研究导函数的性质求出对应自变量，从而确定切线，将问题化为求与的距离问题，即可得. 【详解】由题设，即，故且为常数， 而，则，故， 所以，令， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 且时恒成立，， 若是的一条切线，且，而， 所以切线对应为，即， 令，显然，， 所以，在R上恒成立，即在R上恒成立，则， 所以图象恒在和图象的上方，又与平行， 要使最小，等价于求与的最小距离，即为. 题型4：零点问题 38．（2026·北京朝阳·二模）设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，当时，分且，，，四种情况；当时，分，，三种情况，当时，设，利用导数求出，对最大值的符号进行讨论分，，三种情况. 【详解】（i）当时，，代入方程整理得： ，两根为和， 因此，当且时，则有2个不同根； 当时，则有1个根；当时，仅存在根； 当时，，故恒有1个根. （ii）当时，，代入方程整理得： ， 设， 求导得， 当时，，得，有1个根， 若，，在单调递增， 时，时，故恒有1个根； 当时，，，单调递增；，单调递减， 时，时，故恒有1个根； 故在取最大值， 令，单调递减且. 当时，，方程有2个根； 当时，，方程有1个根； 当时，，方程无实根； 综上所述： ，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 其余均不满足条件，共3个符合的. 39．（2026·浙江衢州·模拟预测）已知函数，若方程有三个根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据导数作出函数的图象，数形结合求解参数范围即可. 【详解】当时，，可以看作函数向上平移个单位， 当时，，则， 因为当，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，，， 作出函数图象如下图， 令，则过定点， 当过原点时，即时，图象与图象有4个交点， 时，，当图象与图象相切时，设切点为， 此时， 将代入得， 整理得，因为在上单调递增， 又，所以， 当时，，图象与图象相切，有两个交点. 所以方程有三个根，的取值范围为． 40．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数在上有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造新函数，求导，判断单调性，作出图象，即可根据零点个数求得结果. 【详解】函数在上有三个零点，即方程有三个根， 不妨设．设，则函数的图象与直线有三个交点． 函数 当时， 在上单调递增，且； 当时，，当时，，当时， 在上单调递减，在上单调递增． 又，当时，，当时，，当时，，作出函数的大致图象，如图所示． 由图可知，当时，函数的图象与直线有三个交点，即实数的取值范围是． 41．（2026·河南开封·模拟预测）若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得到，令，则，原函数等价于，分离参数，设，则当时，单调递减；当时，单调递增；根据最小值和单调区间，作出函数的图象，利用数形结合，即可求出结果. 【详解】令，得到， 即，令，则， 设，则， 令，得到， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此在处取得最小值，故方程仅有唯一解， 因此，原函数等价于， 变形得到，设，则 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此，在处取得极小值（也是最小值），， 因为时，，当时，， 函数在上有两个不同的零点， 转化为直线与的图像有两个不同交点，则. 故实数的取值范围为. 42．（2026·甘肃金昌·三模）已知函数（），则下列命题错误的是（    ） A．若，则有1个零点 B．若，则没有零点 C．若有2个零点，则 D．若，则有2个零点 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域然后根据a的符号分三类情况进行讨论，当时由函数值的符号知其没有零点；当时求导找单调性及端点值确定零点个数；当时，根据单调性及极值点、端点值确定零点个数及范围. 【详解】的定义域为， 当时，在上单调递减，且； 当时，，在上单调递减， 因为，，，所以在内有1个零点，A正确； 当时，由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 由得，由得，所以时，没有零点，B正确； 根据已有分析可知当时，极大值，且，， 所以在内有1个零点，在有1个零点，所以有2个零点，C正确，D错误． 故选：D 43．（2026·四川遂宁·二模）（多选）已知函数，下列选项正确的是（    ） A．函数在区间单调递增 B．函数在上有两个零点 C．若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为 D．关于的不等式在上恰有两个整数解，则实数的取值范围为 【答案】AD 【分析】对A，对分段函数分区间求导，根据导数在内的符号判断的单调性，验证是否符合单调递增的结论；对B，令求解方程，验证结论是否正确；对C，先对原方程因式分解得到和，画出的大致图像，结合图像统计总实根个数，推导得到的取值范围验证结论；对D，在的条件下将不等式变形为，分析函数在上的单调性与取值，结合恰有两个整数解的要求推导的取值范围验证结论. 【详解】对于A：当时，， 恒成立，在单调递增； 当时，， 恒成立，当且仅当时取等号， 所以在单调递增， 综上，在区间单调递增，A正确； 对于B：由可得，即在上只有一个零点，B错误； 对于C：因式分解得，即或， 因为当时，，恒成立，单调递增， 又时，，时，， 所以时，且单调递减； 当时，，若，，单调递增， 若，，单调递减，又，时，， 所以时，先增后减，当时取得极大值， 综上，的图象如图所示， 显然与函数有3个交点，则若方程有6个不相等的实数根， 则与函数有3个交点，所以或，C错误； 对于D：时，，不等式即，化简得， 令，则整数解为， 时，，时，，时，， 要使不等式恰好有两个整数解，即满足，不满足，则， 解得，即实数的取值范围是，D正确. 44．（2026·江苏镇江·模拟预测）（多选）已知函数，若，则下列说法中正确的是（   ） A．函数的极小值点为 B． C．的最小值为 D．若方程有三个不等根，则范围是 【答案】AC 【分析】对A，求导判断的单调性，结合极值点的定义判断；对B，由结合的单调性可得，运算得解；对C，利用基本不等式结合选项B求解；对D，问题转化为与的图象有3个不同的交点，求出，与的切线斜率，数形结合求解. 【详解】， 对于A，当时，，则，故在上单调递增； 当时，，则，故在上单调递减， 所以是函数的极小值点，故A正确； 对于B，由且，又在上单调递减，在上单调递增； ，且，，即，得，故B错误； 对于C，由B的解析，且， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，方程有三个不等根，即与有3个不同的交点，如图， 当时，，则， 设与的切点为，则切线的斜率， 解得，所以， 要使得与有3个不同的交点，则，即的取值范围为，故D错误. 故选：AC. 45．（2026·山东泰安·三模）（多选）已知函数则下列选项正确的是（   ） A．是偶函数 B．在上单调递减 C．的极值点为 D．在上有且仅有4个零点 【答案】ABD 【分析】对于A，求出定义域，利用偶函数的定义即可判断； 对于B，利用导数即可求解； 对于C，利用导数与极值点的关系求解即可； 对于D，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理判断即可. 【详解】由,解得：， 所以的定义域为，定义域关于原点对称， 由于 ，所以是偶函数，故A正确； 对于B，当时，，则， 当时，，所以在上单调递减,故B正确； 对于C，当时，令，解得：， 当时，令，解得：， 综上，的极值点为或,故C错误； 对于D，当时，，则不是的零点， 当时，由B可知，在上单调递减，则在上单调递增， 由于， ，当时，， 由于，，故在上有唯一零点， 由于，当时，，所以在上有唯一零点， 所以在上有两个零点，根据偶函数的对称性可得在也有两个零点， 综上在上有且仅有4个零点,故D正确. 46．（2026·北京顺义·二模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，对任意负实数，方程恰有一个实数解； ②存在，有负实数，使得方程无实数解； ③存在，有正实数，使得方程恰有2个实数解； ④存在，有实数，使得方程恰有3个实数解. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④ 【分析】将方程有无实数根的问题，转化为函数零点问题，进而转化为两个基本初等函数图象交点的问题，结合函数的单调性及数形结合的方法，对参数和分别取满足条件的不同值，即可对四个命题作出判断. 【详解】令，得，易知恒过点. ①当，则，恒过，图象如下， 对任意负实数，；两个函数图象都有一个交点，即方程恰有一个实数解，①正确； ②易知时，与轴的交点位于轴正半轴，因此， 当时，与在上一定有交点，如图所示， 即方程一定有实数解，所以②错误； ③当，时，当时，方程为，即， 令，则，令，则， 所以当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增， 又因为，，， 所以函数在内必有一个零点，在上也必有一个零点， 所以与，在内必有一个交点，在上也必有一个交点， 又因为当时，在上，与无交点， 与的图象如下， 所以，当，时，与有两个交点， 即方程恰有2个实数解，所以③正确； ④方程时，有，此时恒过点， 当，时，与有个不同交点， 即方程恰有3个实数解，所以④正确. 47．（2026·天津和平·三模）若，，使得关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】令，且，化简函数的解析式，分析可知直线与函数的图象有个交点，结合导数法可得出的取值范围. 【详解】令，且， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 即， 函数在区间上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，，，如下图所示： 因为， 当时，，即， 要使得直线与函数的图象有个交点， 则，则， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以函数在上单调递减，， 令，其中，则， 故函数在上单调递增，所以， 此时； 当时，，则，， 要使得直线与函数的图象有个交点，则，解得； 当时，，要使得直线与函数的图象有个交点， 则，可得， 令，其中，则， 所以函数在上单调递增，则， 令，其中，则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，，， 所以，且，此时， 此时. 综上所述，实数的取值范围是. 48．（2026·全国·模拟预测）已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 题型5：恒成立与有解问题 49．（2026·四川成都·三模）不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，根据，结合的单调性，可得，进而得在上恒成立，求得的最小值即可. 【详解】由题意可得，. 令，则在上单调递增， 又，， 所以，所以，即在上恒成立. 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，所以. 50．（2026·浙江宁波·三模）已知函数，在定义域上恒有，求的取值范围（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作差得，又，可得，作差得，再分，，结合参变分离求范围即可． 【详解】， 令，，解得， 在上单调递增，在上单调递减， ，即，则， ， 又时，，，即，， 时，，即， 令，，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ，则， 综上，． 51．（2026·陕西西安·三模）已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，结合题设可得，进而得到函数在上单调递增，再结合求解不等式即可. 【详解】令，则， 因为，，所以， 则函数在上单调递增， 因为，所以， 则的解集为， 即的解集为． 52．（2026·贵州贵阳·二模）已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将题设不等式转化为在上恒成立，构造函数，利用其单调性可得，从而只需使，利用导数求出最值即得参数a的最小值. 【详解】因对任意恒成立，即在上恒成立 变形得在上恒成立，即在上恒成立， 设，则有 ，由，可知函数在上单调递增， 故得，即在上恒成立， 设，则，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故在时取得极大值，也是最大值为， 故得，即实数a的最小值为. 53．（2026·山东济南·一模）若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出，则存在，使，令，利用导数求出的最大值即可得到的最大值. 【详解】任意的，都有， 则有在上恒成立， 令，函数定义域为， ，令，解得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， ， 因此存在，使， 令，，令，解得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减， 有， 所以时，的最大值为. 故选：C 54．（25-26高三上·安徽黄山·模拟预测）已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，即有解，对式子进行等价变形，运用同构函数转化为，构造，利用导数求解最值即可. 【详解】存在实数，使得，即不等式在上有解. 由 设函数（），则不等式可化为（*）. 易得函数在上单调递增， 故（*）式等价于. 又，所以有解，只需即可. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以，又，所以. 故选：B 55．（2026·河北沧州·模拟预测）若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程整理成，利用同构思想，设，求导判断其单调性，推得，设，判断其单调性确定其最小值，即得参数的范围. 【详解】由得，即， 即. 设，则， 因为，所以在上单调递增，所以，即， 设，则， 当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增， 所以，所以. 故选：C. 56．（2026·河北·模拟预测）已知函数，若不等式的整数解有且仅有两个，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意当等价于，设函数，利用导数求出的最小值，再结合的图象可知当仅有两个整数解，则可求得，从而可求解. 【详解】由得：，令，则， 令，则在R上恒成立， 所以在R上单调递增，由，， 所以，使得， 当时，，即，所以单调递减， 当时，，即，所以单调递增， 所以，如图所示，因为不等式的整数解有且仅有两个，    即的整数解有且仅有两个，，，， 所以有：，解得．故B正确. 故选：B． 57．（2026·江苏·二模）（多选）设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】采用构造函数法，设，，则原问题转化为存在唯一的整数，使得，对求导可判断函数在处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式组，即可求解. 【详解】设，， 由题设可知存在唯一的整数，使得， 因为，故当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，且，， 由图可知，即，解得，BC选项符合题意. 58．（2026·山西吕梁·三模）（多选）设关于实数x，y的解析式为，则（   ） A．当时，方程有唯一解 B．若成立，则 C．若成立，则存在，使得 D．若成立，则存在，使得 【答案】ACD 【分析】对A，作出函数的图象即可判断；对B，根据函数的单调性即可判断；对C，根据不等式即可判断；对D，利用导数判断的单调性即可判断. 【详解】对于A选项，当时，由，得， 在同一坐标系中作出函数， 由图知方程有1解，故A正确； 对于B选项，由，得，即， 令，则，又， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为不单调，故不一定等于，即不一定成立，故B错误； 对于C选项，设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，则， 由B选项知，存在，使得， 所以，即； 对于D选项，由B选项知，当时，由，知或， 当时，，要证，即证， 又，即证， 令， 则， 当时，，则，所以， 即在上单调递增，所以，即，所以得证，故D正确． 59．（2026·江西南昌·二模）（多选）已知时，关于的不等式恒成立，则下列判断正确的是（   ） A．， B． C． D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】首先利用导数分析 的符号，然后结合不等式恒成立条件分析二次式 可判断AB；根据​ 是 的根结合韦达定理可判断C；由可得，令 ，利用导数求其最大值可判断D. 【详解】已知 ，设 ，，令 ，解得 ， 在 上递减， 上递增，最小值 ， 又 时， ，故 ，， ， 时 ，因此 有两个不同的正零点 ， 要使 恒成立，开口向上的二次式必须和 同号， 因此二次式的零点恰好就是 ，即 . 由韦达定理：，​，因为 都是正数， 故 ， ，A正确； 二次式有两个不同零点，判别式 ，即 ，B正确； 因为 ​ 是 的根，故 ​，， 两式相乘得： ，即 ，C错误； 由 得 ，代入目标式化简： ， 令 ，求导得 , 当 时， ，递增； 当 时， ，递减. 因此 的最大值为 ，D正确. 60．（2026·山西太原·二模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，的最小值为 B．若有两个极值点，则实数的取值范围为 C．当时，的值域为 D．若存在，使得成立，则实数的最大值为 【答案】BCD 【分析】A选项，求导后求单调区间，进而求最小值即可； B选项，将问题转化成有两个不同的解，构造新的函数，使和有两个交点即可； C选项，直接利用导数分析的值域即可； D选项，令，设出的根，保证即可. 【详解】 ，求导得 A选项，当时，，， 令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，则， 即的最小值为，所以A选项错误； B选项，有两个极值点，等价于有两个不同的实数根，即有两个不同的解， 令，则，在上单调递减，在上单调递增，则， 且当时，；当时，；且时，，， 所以当时，有两个不同的解，即有两个极值点，所以B选项正确； C选项，若，则， ，所以在定义域内单调递增， 当时，；当时，；则的值域为，所以C选项正确； D选项，存在，使得，即存在，使得， 令，则 ，由B选项解析可知，当时，若，则， 不妨设为的根，即 ， 当，单调递减，当，单调递增， 则在处取得最小值， ， 需要满足存在，使得成立， 令，则，其中， 令，解得，所以在上单调递减，在单调递增， 则，此时 满足题意，所以，所以D选项正确. 【点睛】本题需要构造不同的函数，利用新函数的导数去研究原函数的单调性和取值范围，构造函数的时候需要注意自变量的取值范围. 61．（2026·云南昆明·模拟预测）已知关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】先利用导数分析函数单调性，由不等式恒成立条件推导出参数的约束关系，再通过指数与对数的互化，将目标表达式转化为单变量二次函数，最后利用二次函数的性质求出最小值. 【详解】设 ，，原不等式恒成立，等价于 ， 则， 若 ，则 ， 在 上单调递减， 当 时，，不满足 ，舍去； 若 ，令 ，得 ， 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增， 因此， 在 处取得最小值： ， 所以 ，即 ，则， 当时，，; 当 时，两边同乘 ，可得，此时 ，无最小值； 当 时，两边同乘 ，可得， 设 ，，则， 当 时，，， 综上可得， 的最小值为. 62．（2026·陕西安康·三模）若，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】令，将问题转化为，进而构造函数，再结合导数研究函数，的性质得，进而求得答案. 【详解】由题可得，， 由不等式可知，令，则， 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以，又时，，时，，所以． 因为，所以， 所以原不等式等价于， 令，则， 当时，单调递减；当时，单调递增， 又，所以要使对成立， 所以，解得，又，所以，即的取值范围为． 63．（2026·山东枣庄·三模）若，，则实数的最大值为____________. 【答案】/ 【分析】根据题意整理得，令，可知，构建，利用导数分析可得，进一步整理得对任意的恒成立，构建，利用导数求其最值结合恒成立问题分析求解. 【详解】因为，则， 整理得， 令，可得，即， 令，则， 令，解得；令，解得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则，且， 可知有且仅有两个零点， 若，则或， 对于可知，当x趋近于时，趋近于0，故不合题意； 所以，即，整理得对任意的恒成立， 令，则， 且，令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减， 可得，结合解得， 所以实数m的最大值为. 【点睛】关键点睛：第一步同构将原式整理得，把看成整体处理求其取值范围； 第二步根据题意分析可得，整理得对任意的恒成立，结合恒成立问题分析求解. 64．（2026·湖北恩施·模拟预测）已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 【答案】4 【详解】当时，由，得， 即存在使不等式成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 所以函数在上单调递增， 又，， 则存在，使得，即， 当时，，即； 当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 则，于是， 所以的最小整数解为4. 65．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，若关于x的不等式有解，则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】转化问题为有解，令，，设，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】由，得，显然， 所以在有解， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的取值范围为. 题型6：最值与取值范围的问题 66．（2026·山东青岛·模拟预测）设函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，按分类讨论，确定函数的最小值并建立的关系，再构造函数并利用导数求出最大值. 【详解】当时，的定义域为，值域为，不恒成立，不合题意； 当时，函数的定义域为， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 当时，，不合题意； 当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，解得，则， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， ，所以的最大值为. 67．（2026·陕西咸阳·三模）方程有两实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形构造函数，利用该函数的单调性和值域，将原方程的根的问题转化为函数值相等的问题，所以结合构造函数的性质，分析参数需满足的条件，确定其取值范围. 【详解】由题可知：， 原方程可化为： 令，，故在单调递增， 即每个不同对应唯一不同的，易得的值域为R， 原方程有两个不同实根等价于方程有两个不同解， 变形得：，令，求导得：， 令， 当且时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取得极小值，作出的图象如下： 若，则，此时方程仅有一解，不符题意， 故，则，因此只需考虑在上的情况，其在此区间上的最小值为， 当时，有两个不同解，对应原方程有两个不同实根， 因此的取值范围是. 68．（2026·河北保定·二模）若，，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将式子进行化简构造函数，利用构造的函数得到的关系，将化为关于的函数解析式，利用求导研究函数的单调性和最值，从而求出的取值范围． 【详解】由变形可得：，即， 故； 令，则 由得： 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 因为，，故，故在上， 可得：，故； 令，，； 则，令，解得：； 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 故，综上； 故． 69．（2026·湖南长沙·二模）已知函数，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．-1 D． 【答案】A 【分析】利用导数分析的单调性及最值，根据指对互化，利用函数同构得，结合的单调性及取值情况，得到的关系，从而可得，结合的最小值，求得的最小值. 【详解】函数的定义域为，. 当时，；当时，. 在上单调递减，在上单调递增.在处取得最小值. 又当时，，且， 若，，则， 所以，即. 所以. 所以当，即时，取得最小值，最小值为. 70．（2026·江西·二模）若函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入函数利用同构进行化简，得到关于的不等式，利用恒成立转化成最值问题，构造新函数，求解最值. 【详解】， 两边同乘，得 令，，求导得，所以在单调递增， 又因为，且，所以； 所以， ，即， 令 求导得 当，，单调递减， 当，，单调递增 又，且 所以，. 71．（2026·河南·模拟预测）已知，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过等式得出与的关系，然后构造新函数，利用函数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以， 令，所以，因为恒成立， 所以在上单调递增，所以，即， 所以，令， 所以，令， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，取得最大值为， 即的最大值是，故C正确. 72．（2026·山东德州·一模）已知函数，若，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题目条件，求出之间的等量关系，进而通过换元法构造函数，根据函数导数与函数单调性和极值之间的关系，求出函数单调区间和极值，判断函数最大值，进而求出结果. 【详解】由题意可得，则， 由，则， 令，则， 令，可知函数在上单调递增， 所以当有唯一解，即，即，可得， 所以， 令，则，所以， 令，则， 令，即，解得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也是最大值，为， 所以的最大值为. 故选：B. 73．（2026·重庆北碚·模拟预测）（多选）已知函数，其中．则下列说法正确的是（   ） A．的图象为中心对称图形 B．时，函数在上单调递减 C．对任意的实数，，既没有最大值，也没有最小值 D．若有两个不同的极值点，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对A：计算可得，即的图象关于点中心对称；对B：求导后计算即可得；对C：分及进行讨论，计算值域即可得；对D：求导后结合极值点定义计算即可得. 【详解】对A：， 故的图象关于点中心对称，故A正确； 对B：， 当时，， 故函数在上单调递增，故B错误； 对C：由， 则当时，，无最大、最小值； 当时，，则，无最大、最小值； 综上可得，对任意的实数，，既没有最大值，也没有最小值，故C正确； 对D：，令，则， 若有两个不同的极值点，则有两个不同根， 当时，，，无实数根，不符； 当时，若，则，不符，则， 令，， 有，则为偶函数， 当时，，则由对勾函数性质可知单调递增， 又单调递增，故单调递减，且， 故，则； 故有两个不同的极值点的充要条件为，故D正确. 74．（2026·辽宁沈阳·三模）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．和的图象不存在公切线 B．在上是增函数 C．若恒成立，则整数的最大值为2 D．若，且，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据已知分别写出、在、处的切线方程判断A，应用导数分析、的单调性，结合复合函数的单调性判断B，问题化为恒成立，应用导数研究左侧的最小值判断C，根据已知得、，进而化简目标式得，再应用导数求其最小值判断D. 【详解】由，则，且，则在处的切线为， 由，则，且，则在处的切线为， 综上，和的图象存在公切线，A错； 在上，则单调递增，且， 在上，则单调递增， 综上，结合复合函数的单调性知，在上是增函数，B对； 由，令且， 显然在上单调递增，且， 所以，使，即， 在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又在上单调递减， 所以，而恒成立，则整数的最大值为2，C对； 由，则，故， 由，则， 又及在上单调递增，则，即， 所以，则， 综上，， 令且，则， 所以在上单调递增，则，D对. 75．（2026·云南·模拟预测）（多选）设函数，则（   ） A．是奇函数 B．当时，的最小值为 C．当时，在区间上单调递增 D．当时， 【答案】BCD 【分析】对于A，利用奇函数的定义判断即可；对于B，求导，分析函数的单调性，进而求解判断即可；对于C，求导，利用导数的正负即可判断；对于D，分、结合导数分析判断即可. 【详解】对于A，函数，， 则，故不是奇函数，故A错误； 对于B，当时，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故B正确； 对于C，当时，，则， 当时，， 则在区间上单调递增，故C正确； 对于D，由，， 当时，由，得，，则； 当时，由， 设，，则， 由，得，， 所以，则函数在上单调递增， 所以，则函数在上单调递增， 所以. 综上所述，当时，，故D正确. 76．（2026·河南·模拟预测）（多选）已知函数，，方程的根为，方程的根为.下列说法正确的是（    ） A．函数与的图像关于直线对称 B．当时， C．若函数在上的极小值为，则 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，在函数的图象上任取一点，设点关于直线对称的点为， 则，，因为，所以，所以，所以点在函数的图象上， 所以函数与的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，当时，设函数，所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 又，所以函数的零点有且只有一个，为，即方程的根为； 设函数，所以在上恒成立，所以函数在上单调递增， 又，所以函数的零点有且只有一个，为，即方程的根为，所以，故B正确； 对于C，令，所以，显然函数在上单调递增， 又，，所以存在唯一的，使得，此时，则， 当时，，当时，，所以当时，函数取得极小值， 所以， 令，所以在上恒成立， 所以函数在上单调递减， 所以，即，故C不正确； 对于D，令，得，所以在上单调递增， 令，得，且， 所以在上单调递增，因此对任意，和都是唯一的， 由题意，，即，则， 故，故， 根据的是唯一的，得，即， 故，， 令，，则， 由得，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，取得最小值，故D正确. 77．（2026·山东济宁·三模）已知实数，满足，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】令，得到，构造函数 ，通过单调性得到，再构造函数，求导，确定值域，即可求解. 【详解】由对数定义域得，设， 原等式改写为： ， 整理得：， 设 ，其导数 ，故是R上的单调递增函数， 由 ，得，即 ， 设，求导得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故的最大值为​， 且当时，，当时，， 即， 又，结合指数函数单调性， 可得的取值范围是. 78．（2026·吉林延边·三模）已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】求出函数在上的最大值，分类讨论求出的最大值，再根据给定条件建立不等式，借助单调性求出范围. 【详解】由对任意，总存在，使得，得函数最大值不大于在上的最大值， 由函数，求导得， 函数在上单调递增，； 函数的定义域为， 求导得，当时，， 函数在上单调递增，当时，，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，令，函数在上单调递增， 不等式，解得， 所以实数a的取值范围是. 79．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数有两个极值点，且满足：，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】求导，可得是方程的两不等正根，进而可得，令，则，利用导数可求得的最小值. 【详解】函数的定义域为， 求导得， 因为是函数的极值点，所以是方程的两不等正根， 则有，，， 所以，，即，且有，， 令，则，则， 求导得， 当，，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增. 所以的最小值为. 80．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知分别为曲线且，上的点，且都位于第一象限，O为坐标原点，若是正三角形，则的最大值为______. 【答案】 【分析】利用反函数的对称性，结合对称点坐标关系，再通过等边三角形得到相等关系，再构造函数求导分析最大值即可. 【详解】由与互为反函数，图像关于直线对称， 若为正三角形，则必关于对称， 设，则，满足在上，且都在第一象限，， 由中点在上， 正三角形的高，代入长度公式： ， 两边平方整理得：，两边除以得，， 解得，即， 对两边取自然对数得，， 整理得： ， 设（为常数），求导得：， 由， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即的最大值在处取得，， 即 ，取（大于）， 可得的最大值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $