专题23 指对幂与导数(选择题篇)专项训练-2026年高考数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦指对幂函数概念与导数应用，构建从基础函数性质到导数工具的递进训练体系，通过典型模拟题培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数函数|15题（含奇偶性、单调性）|结合定义域、图像与性质综合考查|从函数概念到性质应用，为导数学习奠基| |对数函数|15题（含反函数、比较大小）|侧重运算性质与图像变换|与指数函数互逆，强化函数体系认知| |幂函数|13题（含奇偶性、单调性）|考查幂指数对图像的影响|完善基本初等函数知识网络| |导数几何意义|10题（切线方程）|直接应用导数求切线斜率与方程|导数概念的几何直观体现| |导数单调性|12题（含参数范围）|通过导数符号判断函数增减|导数工具的核心应用，连接概念与性质| |导数极值最值|16题（含恒成立）|综合导数与函数性质求参数、最值|导数应用的深化，培养逻辑推理能力|

专题23 指对幂与导数 题型1：指数函数相关问题 题型2：对数函数相关问题 题型3：幂函数相关问题 题型4：导数几何意义（切线） 题型5：利用导数解决函数单调性问题 题型6：利用导数解决函数极值和最值问题 题型1：指数函数相关问题 1．（2026·河北承德·模拟预测）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， ， 则. 2．（2026·安徽安庆·三模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性确定函数的单调性，进而确定的大小关系. 【详解】当时，函数在上都单调递增，而函数在上单调递增， 因此函数是上的增函数，，所以. 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，解得，故. 对于集合，根据指数函数和二次函数图象解不等式得， 故. 所以. 4．（2026·天津和平·三模）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，所以，所以. 5．（2026·河南开封·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用换元法求得的值域，再根据高斯函数定义求出结论． 【详解】, 设，因为，则， 所以， 因为，则，即， 所以当时，，当时，，当时，， 所以的值域是 6．（2026·河北保定·三模）已知函数为指数函数，且满足以下条件：①且x≠y，都有 ；②函数的图象关于直线对称，且方程有且仅有两个实数解.则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据指数函数定义、单调性条件排除错误选项A、B，再结合反函数性质，将原问题转化为有且仅有两个实数解的问题，继而构造函数，利用导数解决函数的零点个数问题，即可判断出答案. 【详解】选项A：且，都有， 则可说明为R上的单调递增函数，由于在R上单调递减，不符合题意，排除； 选项B：不是指数函数（指数函数要求指数为自变量、定义域为），且时函数单调递减，不满足条件①，排除； 选项CD中函数均为R上的单调递增函数， 由于互为反函数，它们的图象关于直线对称， 故若的图象有交点，则交点必在直线上， 选项C：对于，令，则，该函数在R上单调递增， 由，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则， 则无零点，即无实数解，不符合题意，C错误； 选项D：对于，令，则，该函数在R上单调递增， 由，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则， 当时，，当时，， 则有两个零点，即有且仅有两个实数解，符合题意，D正确. 7．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 8．（2026·重庆·三模）若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，再结合不等式的运算求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由是奇函数即， 所以，解得， 则， 因为且，所以，，则， 即，可得， 所以函数的值域为． 9．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得. 【详解】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 10．（2026·河南濮阳·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（   ） ①；②；③函数有最小值；④函数有最大值． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】运用赋值法判断①②，通过特殊函数判断③④即可. 【详解】①：在中，令， 得， 因为对任意恒成立，所以， 所以由，因此本序号结论正确； ②：在中，令， 得，因此本序号结论正确； 令，满足条件（1）对任意恒成立，且； ，， 满足（2），都有， 但是函数没有最大值也没有最小值，故③④序号结论都不正确， 所以表述中正确的个数为. 11．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂运算和对数的计算公式逐一判断即可. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 12．（2026·河南洛阳·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则a的取值范围为 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；利用基本不等式求解D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，令，由，得到， 当且仅当，即时取等号，所以D正确， 13．（2026·上海浦东新·三模）若函数为偶函数，则正实数的值为___________． 【答案】4 【分析】根据偶函数满足对定义域内任意恒成立的性质，列等式求解正实数的值. 【详解】由偶函数定义可知，对任意，均有成立， 因为正实数，整理得： 该式对任意恒成立，故 ，解得. 14．（2026·河南·模拟预测）若定义在上的增函数满足，请写出一个满足条件的函数______. 【答案】（答案不唯一） 【详解】根据是定义在上的增函数，再结合题意， 可以令，则，满足题意 （答案不唯一，可以是）. 15．（2026·重庆·二模）已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可） 【答案】（任意满足条件的即可） 【分析】利用函数的函数方程、奇偶性、单调性三个条件，找出满足条件的具体函数. 【详解】，则在上满足指数函数性质， 又时，，则在上是增函数，可取， 因为是偶函数，所以可取．（任意满足条件的即可） 题型2：对数函数相关问题 16．（2026·天津武清·模拟预测）已知则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质，让这3个数和临界值比较，判断大小. 【详解】，且，所以， ，，即， 所以. 17．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知是奇函数，当时，，则（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性以及对数运算求得正确答案. 【详解】依题意，是奇函数， . 18．（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法，结合对数运算性质，基本不等式可比较两者大小， 再比较三者大小关系可得答案. 【详解】， 注意到，， 则，从而. 又注意到，从而. 19．（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据两个函数图象关于直线对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为的解析式，最后根据题意得到关于的方程，求解. 【详解】因为两个函数图象关于直线对称， 所以是的反函数， 对整理得：，， 交换可得反函数：， 又因为，所以 ， 化简可得：，即， 两边取以3为底的对数，则. 20．（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，．由 ，得 ， 函数 在 上单调递增， 单调递减， 故方程有唯一解，且 ． 由 ，代入 得，故 ． 令 ，该函数在 上单调递增， 因为 ，，所以 ． 综上，． 21．（2026·安徽·三模）已知定义域为的函数满足为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为是偶函数，， 所以，即①，因为 是奇函数，所以， 所以，即②， ①+②，并整理得． 22．（2026·山东泰安·模拟预测）已知，，则__________． 【答案】1 【详解】由可得，又， 则. 23．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知，则__________． 【答案】 【详解】由，得，所以，所以． 24．（2026·江西·二模）已知函数，则_____． 【答案】 【详解】因为， 所以 25．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，则______． 【答案】16 【详解】由题意得，解得. ， 即， 则， 则， 则，即，即， 即，则，解得. 26．（2026·山东东营·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____． 【答案】 【详解】由的周期为2，可得， 由是奇函数，可得， 再由的周期为2，可得， 因为当时，，所以， 即. 27．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数为偶函数，则______________． 【答案】9 【分析】由幂函数和偶函数的性质求得，结合对数的运算法则即可求解. 【详解】由题意得，解得或， 又为偶函数，所以，所以． 28．（2026·北京西城·二模）设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为__________. 【答案】 140 【分析】将方程根的个数转换成函数图象的交点个数，再结合指对数转换和二次函数性质即可求解. 【详解】方程根的个数，可转换成函数图象的交点个数， 如下图： 由函数图象可知，当时，函数图象共有3个交点， 故若集合M中共有3个元素，则的取值范围是， 若集合M中共有4个元素，由图象可知的取值范围是， 设4个元素由小到大为， 则，即，得， ，即，得， ，即，得， ，即，得， 所以， 故当时，取得最小值140. 29．（2026·山东威海·二模）已知函数为偶函数，则________． 【答案】1 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，先确定参数，再验证该参数下． 【详解】因为函数有意义，则． 若，则，此时定义域为，不关于原点对称，不符合偶函数定义，故． 当时，临界点为和，定义域为或． 因为为偶函数，所以定义域关于原点对称，故两个临界点互为相反数，即，解得． 当时，定义域为． 对任意，有. 所以． 30．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据分式和对数函数定义域的基本要求可求得的定义域，采用换元法可构造偶函数，将所求不等式化为，根据对数型复合函数和一次函数单调性可确定当时不等式的解，结合奇偶性可求得最终结果. 【详解】由得：或，的定义域为； 设，则，其中， ，为定义在的偶函数， 当时，由得：， 在上单调递减，在上单调递增， 又当时，， 当时，，即， 又为定义在上的偶函数，当时，； 当或，即时，， 不等式的解集为. 题型3：幂函数相关问题 31．（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，函数图象关于原点对称且在单调递减，A错误； B选项，函数图象不关于原点对称，在单调递增，B错误； C选项，函数图象不关于原点对称，在单调递增，C错误； D选项，函数图象关于原点对称，在单调递增，D正确. 32．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性及在上的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数的定义域为，不具有奇偶性，B不是； 对于C，函数的定义域为R，是偶函数，在上单调递增，C是； 对于D，函数是R上的奇函数，不是偶函数，D不是. 故选：C 33．（2026·天津模拟预测）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例结合对数函数性质即可判断A；由题设结合对数函数、幂函数和指数函数单调性即可逐项判断BCD. 【详解】因为， 所以函数、均为上的减函数，在上为增函数， 又， 所以，故B正确、CD错误. 若，则，此时，故A错误； 故选：B 34．（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断. 【详解】若函数为幂函数，则，解得， 所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 35．（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可. 【详解】的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图， 由图可知：,    36．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 37．（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， 因为函数在上单调递增， 则，则，则，则B正确. 38．（2026·山西临汾·一模）（多选）下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指、对数函数单调性结合单调性性质判断AD；根据偶函数定义结合幂函数单调性或一次函数单调性判断BC. 【详解】对于选项AD：当时，则在上单调递增，故D错误； 且在定义域内单调递增，可知在上单调递增，故A错误； 对于B：因为的定义域为，且，可知为偶函数， 由幂函数性质可知在上单调递减，故B正确； 对于C：因为的定义域为，且，可知为偶函数， 当时，则在上单调递减，故C正确. 39．（2026·河南洛阳·模拟预测）（多选）下列选项中说法正确的是（    ） A．函数的单调减区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对A，先求函数的定义域，再根据“同增异减”法则，判断单调减区间；对B，先确定的值，再将已知点代入函数求出，进而计算；对C，列不等式，求解得到的定义域；对D，因为函数的值域为，所以需保证能取到所有正实数，分和两种情况讨论 【详解】对A，函数，，解得或 因为复合函数同增异减，外层是增函数，内层减区间为， 结合定义域得的单调减区间为，不是，因此A错误； 对B，根据幂函数定义，形如的函数是幂函数，因此系数， 因为函数过，所以，解得； 因此​，B正确； 对C，因为的定义域为，所以对，满足，解得，即的定义域为，C正确； 对D，因为值域为R，所以需能取到所有正实数， 当时，真数为，是一次函数，可取所有正实数，符合条件； 当时，真数为二次函数，需满足开口向上，且判别式，解得， 综上的取值范围是，D正确. 40．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）下列叙述正确的是（    ） A．已知幂函数是奇函数，则实数 B．先将曲线向右平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的，所得曲线的解析式为 C．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 D．函数在区间内有零点 【答案】AD 【分析】根据幂函数的定义，可得m值，根据奇偶性的定义，即可得判断A的正误；根据平移伸缩变换的原则，可得变化后的解析式，即可判断B的正误；分析可得当时，符合题意，即可判断C的正误；根据零点存在性定理，可判断D的正误. 【详解】选项A：由为幂函数，得，解得或， 当时，，，为偶函数，故舍去， 当时，，，为奇函数，符合题意，故A正确； 选项B：将曲线向右平移个单位长度，得， 再将曲线上各点的横坐标变为原来的，得，故B错误； 选项C： 当时，恒成立，此时符合题意，故C错误； 选项D：因为与在均为单调递增函数， 所以在上单调递增， 又，， 所以，则在区间内有零点，故D正确. 41．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. 42．（2026·安徽合肥·模拟预测）“”是“函数为幂函数，且在上单调递减”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【详解】当为幂函数时，解得或， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减. 所以 “”是“为幂函数，且在上单调递减”的充分不必要条件． 43．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 【答案】（答案不唯一） 【分析】抓住第四个条件对应的函数解析式运算特征，分析学过的基本初等函数模型中，幂函数能与之对应，随即可解. 【详解】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减； 条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征， 在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合； 在中，取为负偶数即可. 题型4：导数几何意义（切线） 44．（2026·广东茂名·二模）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以 ， 又，，则所求切线方程为. 45．（2026·福建莆田·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线的导数，则在的切线斜率为， 由点斜式求得切线方程为， 化成一般式为. 46．（2026·浙江·三模）下列函数所表示的曲线中，存在切线与轴平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求定义域，求导，设出切点，根据导函数几何意义得到方程，解方程，可得结论 【详解】A选项，的定义域为R，，设切点为， 假设在处的切线与轴平行， 则，则，， 所以曲线的图象上存在与轴平行的切线，A正确； B选项，的定义域为R，，设切点为， 假设在处的切线与轴平行， 则，无解，故的图象上不存在与轴平行的切线，B错误； C选项，的定义域为，，设切点为， 假设在处的切线与轴平行， 则，无解，的图象上不存在与轴平行的切线，C错误； D选项，的定义域为R，，设切点为， 假设在处的切线与轴平行， 则，无解，故的图象上不存在与轴平行的切线，D错误； 47．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线的斜率，再利用对称性求得答案. 【详解】由函数的定义域为，，得函数的图象关于直线对称， 因此曲线在点处的切线与曲线在点处切线关于直线对称， 其斜率互为相反数，当时，，求导得，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 48．（2026·江西宜春·模拟预测）已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的导数为奇函数求解即可 【详解】当时，， 因为为偶函数，所以，当时两边求导得， 所以，， 所以的图象在处的切线方程为，即 49．（2026·广东深圳·二模）若直线是曲线的一条切线，则___________． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解. 【详解】设切点为， 由于，则，解得， 于是切点为，则，解得． 50．（2026·重庆·模拟预测）已知函数在处的切线方程为，则的值为______． 【答案】 【分析】先求出函数的导数，再根据导数的几何意义以及切点同时在函数和切线上这两个条件，列出关于的方程，进而求解的值，最后计算. 【详解】根据题意，，则， 又函数在处的切线方程为， 所以切线斜率为，即，解得， 又切点在切线上，所以当时，，即切点坐标为， 又切点在函数上，所以，解得， 所以. 51．（2026·四川眉山·模拟预测）若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______. 【答案】 【分析】先设切点为，根据切线方程可得，进而可得，再构造函数，用导数求得函数的最大值可得. 【详解】设切点为，对曲线求导得：. 因为切线斜率为，因此：且， 所以，即，得. 再将代入得：，即， 两边取对数整理得： . 所以， 令，求导： ， 令，得，即， 因为在上单调递减， 所以当时，；当时，. 因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以是函数的极大值点也是最大值点， 因此. 故的最大值为. 52．（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____． 【答案】2 【分析】根据导数的几何意义以及极值点的性质求，并结合单调性检验即可. 【详解】因为，则， 由题意可得，解得， 则函数，， 令，解得或；令，解得， 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取到极大值，即，符合题意， 所以. 53．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 【答案】/0.5 【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可. 【详解】由直线与曲线相切， 设切点为，由，且切线的斜率为， 所以， 代入曲线方程中得：， 所以切点为，代入直线方程中得：， 因为，所以. 当时取等号，所以的最大值为.则的最大值为. 题型5：利用导数解决函数单调性问题 54．（2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 所以的大小关系为. 55．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数为增函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，利用给定单调性建立不等式，分离参数并构造函数，再利用导数求出最小值即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数是增函数，得，恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在R上单调递增，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 56．（2026·贵州毕节·三模）已知函数（且），若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据导数判断单调性，先利用基本不等式求的最小值，再估算的范围，以及确定的数值范围，得到三个自变量的大小关系，进而结合单调性判断的大小关系. 【详解】， 因此是偶函数，故. 当时， 对任意，，， 因此对恒成立，在上单调递增. ， 而，因此 ， 即， 结合在上单调递增可得. 57．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设函数，结合条件判断函数的单调性，结合单调性解不等式可得结论. 【详解】设函数， 则． 由对任意，，得，则函数在上单调递减． 因为，所以，即． 由，得，所以，解得， 所以不等式的解集为，选项A正确. 58．（2026·四川成都·三模）（多选）已知函数，则（    ） A．当时，函数有最大值 B．若函数图象的对称中心为，则 C．函数在上一定存在减区间 D．函数可能有2个零点 【答案】BC 【分析】对于A，求导根据函数的单调性判断即可；对于B，二阶导数求对称中心横坐标或利用对称中心定义判断即可；对于C，求导，结合判别式大于零解出减区间即可判断；对于D，因式分解，结合判别式大于零进行判断即可. 【详解】对于A，当时，， 当时，在上单调递增， 当无限趋于正无穷大时，也无限趋于正无穷大，所以没有最大值，故A错误； 对于B，法一：，令，则， 结合三次函数对称性可知，，所以，故B正确； 法二：若函数图象的对称中心为，则对任意实数，恒有， 代入化简得，解得，故B正确； 对于C，，令， 解得或， 当时，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，， 令，又， 所以有两个不为0的根，所以有3个零点，故D错误. 59．（2026·湖北宜昌·二模）（多选）设函数，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数是奇函数 C．直线与曲线有3个公共点 D．斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 【答案】ABD 【分析】利用导数求解单调性判断A，利用函数奇偶性的定义判断B，求出公共点来判断C，分离参数并结合导数得到，，进而判断D即可. 【详解】对于A，因为， 所以， 当时，恒成立，则在区间上单调递减，故A正确； 对于B，由题意得 ， 令，则， 可得，得到函数是奇函数，故B正确； 对于C，联立方程组，解得或， 则直线与曲线的公共点为和，共2个，故C错误； 对于D，设直线方程为，联立方程组， 化简可得，若曲线和直线有且仅有一个公共点， 则有且仅有一个解， 即与有且仅有一个公共点， 而，得到在上单调递增， 当时，，当时，， 则，，得到与有且仅有一个公共点成立，故D正确. 60．（2026·江苏苏州·模拟预测）函数的零点个数为______. 【答案】1 【分析】先判断函数在上单调递增，再根据零点存在定理，可得函数在上的零点只有1个. 【详解】设，则， 所以在上单调递增， ， 所以在上单调递减，则在上单调递增， 因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为，，根据零点存在定理，可得函数在上的零点只有1个. 61．（2026·吉林长春·三模）已知函数及其导数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是__________. 【答案】 【分析】根据函数奇偶性以及导函数性质可得，再求导并利用基本不等式可判断的单调性，解不等式可得结果. 【详解】由题意知，两边同时求导，即是奇函数， 又是偶函数， 则， 可得， 令， 可得， 易知，当且仅当时等号成立； 即函数在上单调递减，又是奇函数，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为函数是偶函数，则， 可知不等式等价于，即， 即，即可得，解得， 则不等式的解集是. 62．（2026·宁夏银川·模拟预测）函数的最小值为______. 【答案】0 【分析】利用函数导数与函数单调性求最值，结合换元法与二次函数性质求解即可. 【详解】. 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 令，，则， 因为函数开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，且最小值为， 即函数的最小值为0. 63．（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为__________． 【答案】 【分析】根据函数单调性得出导数正负，结合函数图象得出函数值计算求解不等式. 【详解】不等式，由图象可知，所以 单调递增，，所以； 单调递增，，所以； 因为，，所以； 单调递减，，所以； 单调递减，，所以； 所以的解集为. 64．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据函数的单调性与导数的关系，将问题转化为不等式恒成立的问题，再通过参数分离即可求出. 【详解】函数的定义域为，， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以，令，则， 因为，所以，则， 故在上单调递减， 故，故的取值范围为. 65．（2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为______． 【答案】/ 【分析】利用函数单调性与导数的关系可得出函数的单调递减区间. 【详解】函数的定义域为， ， 当时，，由可得， 故函数的单调递减区间为. 题型6：利用导数解决函数极值和最值问题 66．（2026·陕西渭南·三模）已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对函数求导得，找到临界点和，再按、、三种情况判断极小值点，代入极小值求解，验证后得到. 【详解】. 令，得临界点，. ①当时，，，函数单调递增，无极小值，舍去. ②当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，即，符合. ③当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，不在选项中，舍去. 67．（2026·河北张家口·三模）若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数可得，利用导数求得极大值点即可求解. 【详解】易知，则，等价于，，则. 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以. 68．（2026·河北邯郸·三模）已知函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】法一：根据对称性，有，代入计算即可得；法二：借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，利用正弦型函数性质计算即可得；法三：根据三角函数在对称轴处取极值，求导后代入计算即可得. 【详解】法一：根据对称性，有， 即，解得. 法二：，其中， 由题意，为函数的最值，所以， 即，即， 两边平方得，解得. 法三：根据三角函数在对称轴处取极值， 由， 则，解得. 69．（2026·重庆·三模）已知函数若，且不是的极值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由题意且为导函数（二次函数）的唯一零点 所以，联立解得，则. 70．（2026·广东佛山·模拟预测）若恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在进行两边取对数和换元法化简后，再通过求导求出函数极值来判断的范围. 【详解】因为，当时，能够得出. 设，，那么得到，. 设，. 因为，， ， 所以在上单调递增，上单调递减，最大值为. 因此. 若，对于任意恒成立. 若，，所以对于任意恒成立. 综上所述，. 71．（2026·四川雅安·二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过将函数单调递增转化为恒成立问题，从而分离参数，构造新函数求最值即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在恒成立，即， 令，所以只需即可. 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取到最小值为，即， 所以实数的取值范围是. 72．（2026·重庆·模拟预测）函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数判断函数的单调性，再根据单调性和临界值，求参数的取值范围. 【详解】，令，得或. 当时，，递增，当时，，递减， 当时，，递增. 因此， 是极大值点， 是极小值点.要使上存在最大值，需，又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 73．（2026·福建泉州·模拟预测）“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求出的单调性和极值点，结合题意，分析可得a的范围，根据充分、必要条件的定义，结合选项，分析即可得答案. 【详解】由题意，令，解得或， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极小值为， 因为区间内存在最小值，所以极小值点0在区间内， 则，解得， 令，解得，或， 所以，解得， 综上，函数在区间内存在最小值时， 要满足“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件， 即所求为的真子集， 分析选项可得，只有符合题意. 74．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若函数有两个极值点，设这两个极值点为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先对函数求导，将两个极值点转化为导函数对应的二次方程的两个正根，利用韦达定理直接判断选项A，B；再根据根的范围确定，分析函数单调性，结合处的函数值，判断，与的大小关系，验证选项C，D． 【详解】，， 因为有两个极值点， 所以在上有两个不同的根， 所以方程有两个不同的正根， 根据韦达定理得，，A正确，B错误； 因为且，所以， 当或时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以，，C正确，D正确． 75．（2026·河南开封·模拟预测）（多选）(多选)已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的零点为 B．有两个极值点 C．在处取得极小值 D．在上单调递增 【答案】ABC 【分析】函数求导后根据极值点判定条件和单调性判定条件逐一分析选项即可 【详解】选项A，令，即，因为，所以，解得，所以的零点只有，A正确； 选项B，， 则，在上单调递增(因为)， 且，，所以在上先减后增. 当，；时，；时，；时，， 由零点存在定理，在有一个零点，在有一个零点，因此有两个极值点，B正确； 选项C，由B选项分析可知，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，即在处取得极小值，C正确； 选项D，由选项C分析可知，在区间先增后减，D错误. 76．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数在内恰好有一个极值点，则正实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】利用辅助角公式：得， 极值点出现在的对称轴处， 令， 解得：， 当时，， 当时，， 当时，，更大， 当时，，不在区间内， 要使在区间内恰好有一个极值点， 必须满足：，解得：. 77．（2026·重庆渝中·二模）已知是函数（）的极值点，则______． 【答案】2 【分析】对函数求导并结合求参数值，注意验证是否为极值点. 【详解】由题设，且，即， 此时且，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以是的极小值点，满足题设，故. 78．（2026·山东滨州·二模）已知函数，，则函数的最大值为__________. 【答案】 【分析】先求函数的导数，再列表判断可得函数的最大值. 【详解】由函数，得， 令，解得或者， 列表： 所以是函数在上唯一极大值点，也是最大值点， 因此函数的最大值为. 79．（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数在上有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的差为______. 【答案】9 【分析】求出函数的导数，按和分类讨论确定零点情况，进而求出值，再求出函数在上的最值即可. 【详解】函数，求导得， 而，当时，，函数在上单调递增， 则，函数在上没有零点； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而，又在上有且只有一个零点， 则必有，即，解得， 所以，， 当时，由，得或；由，得， 因此在和上单调递增，在上单调递减， 又，则，， 所以函数在上的最大值与最小值的差为. 80．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知函数．若对任意恒成立，则实数的值为_____ 【答案】1 【分析】先将不等式整理，构造函数，通过导数分析其单调性，分和讨论；再构造，求导分析其最值，得到. 【详解】函数，所以对任意恒成立， 所以恒成立，所以恒成立， 令，所以， 当时，，单调递增，且， 所以，，不满足题意； 当时，，单调递增，，单调递减， 所以当时，成立， 令，， 当单调递减，当，单调递增， 所以， 所以当时，满足成立，则实数的值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23 指对幂与导数 题型1：指数函数相关问题 题型2：对数函数相关问题 题型3：幂函数相关问题 题型4：导数几何意义（切线） 题型5：利用导数解决函数单调性问题 题型6：利用导数解决函数极值和最值问题 题型1：指数函数相关问题 1．（2026·河北承德·模拟预测）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．（2026·安徽安庆·三模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·天津和平·三模）已知，，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河南开封·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北保定·三模）已知函数为指数函数，且满足以下条件：①且x≠y，都有 ；②函数的图象关于直线对称，且方程有且仅有两个实数解.则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆·三模）若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·河南濮阳·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（   ） ①；②；③函数有最小值；④函数有最大值． A．4 B．3 C．2 D．1 11．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·河南洛阳·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则a的取值范围为 D．若，则的最小值为 13．（2026·上海浦东新·三模）若函数为偶函数，则正实数的值为___________． 14．（2026·河南·模拟预测）若定义在上的增函数满足，请写出一个满足条件的函数______. 15．（2026·重庆·二模）已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可） 题型2：对数函数相关问题 16．（2026·天津武清·模拟预测）已知则（   ） A． B． C． D． 17．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知是奇函数，当时，，则（     ） A． B．2 C． D． 18．（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 20．（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z满足，则（   ） A． B． C． D． 21．（2026·安徽·三模）已知定义域为的函数满足为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B．1 C． D． 22．（2026·山东泰安·模拟预测）已知，，则__________． 23．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知，则__________． 24．（2026·江西·二模）已知函数，则_____． 25．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，则______． 26．（2026·山东东营·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____． 27．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数为偶函数，则______________． 28．（2026·北京西城·二模）设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为__________. 29．（2026·山东威海·二模）已知函数为偶函数，则________． 30．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为__________. 题型3：幂函数相关问题 31．（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 32．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 33．（2026·天津模拟预测）若，，则（   ） A． B． C． D． 34．（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 35．（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 36．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 37．（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 38．（2026·山西临汾·一模）（多选）下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 39．（2026·河南洛阳·模拟预测）（多选）下列选项中说法正确的是（    ） A．函数的单调减区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 40．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）下列叙述正确的是（    ） A．已知幂函数是奇函数，则实数 B．先将曲线向右平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的，所得曲线的解析式为 C．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 D．函数在区间内有零点 41．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 42．（2026·安徽合肥·模拟预测）“”是“函数为幂函数，且在上单调递减”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 43．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 题型4：导数几何意义（切线） 44．（2026·广东茂名·二模）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 45．（2026·福建莆田·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 46．（2026·浙江·三模）下列函数所表示的曲线中，存在切线与轴平行的是（    ） A． B． C． D． 47．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．2 B．1 C． D． 48．（2026·江西宜春·模拟预测）已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 49．（2026·广东深圳·二模）若直线是曲线的一条切线，则___________． 50．（2026·重庆·模拟预测）已知函数在处的切线方程为，则的值为______． 51．（2026·四川眉山·模拟预测）若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______. 52．（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____． 53．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 题型5：利用导数解决函数单调性问题 54．（2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 55．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数为增函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 56．（2026·贵州毕节·三模）已知函数（且），若，，，则（    ） A． B． C． D． 57．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 58．（2026·四川成都·三模）（多选）已知函数，则（    ） A．当时，函数有最大值 B．若函数图象的对称中心为，则 C．函数在上一定存在减区间 D．函数可能有2个零点 59．（2026·湖北宜昌·二模）（多选）设函数，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数是奇函数 C．直线与曲线有3个公共点 D．斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 60．（2026·江苏苏州·模拟预测）函数的零点个数为______. 61．（2026·吉林长春·三模）已知函数及其导数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是__________. 62．（2026·宁夏银川·模拟预测）函数的最小值为______. 63．（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为__________． 64．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______． 65．（2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为______． 题型6：利用导数解决函数极值和最值问题 66．（2026·陕西渭南·三模）已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 67．（2026·河北张家口·三模）若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 68．（2026·河北邯郸·三模）已知函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．2 C．1 D． 69．（2026·重庆·三模）已知函数若，且不是的极值，则（    ） A． B． C． D． 70．（2026·广东佛山·模拟预测）若恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 71．（2026·四川雅安·二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 72．（2026·重庆·模拟预测）函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 73．（2026·福建泉州·模拟预测）“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 74．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若函数有两个极值点，设这两个极值点为，且，则（   ） A． B． C． D． 75．（2026·河南开封·模拟预测）（多选）(多选)已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的零点为 B．有两个极值点 C．在处取得极小值 D．在上单调递增 76．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数在内恰好有一个极值点，则正实数的取值范围是_____. 77．（2026·重庆渝中·二模）已知是函数（）的极值点，则______． 78．（2026·山东滨州·二模）已知函数，，则函数的最大值为__________. 79．（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数在上有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的差为______. 80．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知函数．若对任意恒成立，则实数的值为_____ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $