微专题09 一次函数规律探究、新定义、最值问题（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 以“题型-方法-典例”三维架构系统整合一次函数规律探究、新定义、最值问题，提炼四步解题法与模型化策略，强化知识迁移与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |规律探究|10题|“写前几组-设函数式-求k/b-算结果”四步法|结合一次函数表达式与待定系数法，推导坐标/线段规律| |新定义|10题|“译定义-联性质-列方程-验结果”四步法|融合一次函数斜率、截距等性质，构建数学模型解决新情境问题| |几何最值|10题|“对称找点（将军饮马）/设点表长（线段最值）”策略|链接对称性质与距离公式，实现代数表达与几何直观的转化|

微专题09 一次函数规律探究、新定义、最值问题 题型一 一次函数与规律探究问题 1.先写出前几组（点、坐标、线段长、面积等），找数量关系。 2.用一次函数形式 y=kx+b 设规律式。 3.代入两组数据，列方程组求 k、b，得到通项。 4、 代入所求项的序号，算出结果。 1．（2026·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、、的坐标，同理可得出、、、…的坐标，进而得到、、、、……的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有， 解得， ． 同理，可得出：，，，……， 的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为16，…， 的横坐标为（为正整数）， ∴点的横坐标是． 2．（2026·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，点P从出发，按“上1、右1、下2、右1、上3、右1、下4、右1……”的规律移动（即：第1次向上移动1个单位，第2次向右移动1个单位，第3次向下移动2个单位，第4次向右移动1个单位，以此类推，如图），若第n次移动后，点P恰好落在直线上，则满足条件的所有n的和（   ） A．5 B．8 C．13 D．21 【答案】C 【分析】根据已知条件和图形可以发现：对于点P，在移动方向上“每移动4次为一个周期”，同时两个相邻周期内同一个位置上两点的坐标有关联．然后结合坐标系表示出这些点的坐标，再代入直线即可确定满足条件的点． 【详解】解：点P第n次移动后记为，结合图形可以发现，点P“每移动4次为一个周期”，按着“上、右、下、右……”的规律移动，这四个位置的点分别用表示，其中k取自然数． 如图，观察的坐标可以发现，后一个点的横坐标总比前一个点的横坐标多2，纵坐标多1，因为，所以的坐标为．若点在直线，则有，解得，此时． 根据同一个周期内四个点的坐标关系，易知的坐标为、的坐标为，的坐标为． 若，，点在直线，则有 ①，解得，此时不是整数，不满足题意； ②，解得，此时不是整数，不满足题意； ③，解得，此时； 综上可知，满足条件的n的值为5和8， 所以满足条件的所有n的和为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标规律、一次函数．掌握图形规律题的常见类型，如差不变、比不变、周期等；能够结合图形，最终把几何问题转化为代数问题是解题的关键． 3．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据题意，先找到点，，横纵坐标的规律，然后由求解即可． 【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 同理可得，，，… ∵，， ∴ ∵ ∴点的坐标为，即． 4．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，则的长度为__________． 【答案】 【详解】解：由直线与x轴交于点，设直线与轴交于点， 可得， ∴，，， 取的中点，连接， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵等边三角形， ∴， 由题可得， ∴， ∴； 同理可得，， ， ∴， ∴． 5．（2026·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得到线段长度，再结合点在直线上的坐标关系，归纳出等腰直角三角形的面积规律，进而求出面积． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为点，，， ∵且是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， 将的坐标代入得：， 解得：， ∴，， 同理可得：，， ∴，，， ， ∴． 6．（25-26九年级下·江西南昌·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的斜边长是______． 【答案】 【分析】利用一次函数的解析式求出直线与轴的交点坐标，进而可得第个等腰直角三角形直角边的长为，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：当时，， ∴直线与轴交于点， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， ， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， ∴第个等腰直角三角形的斜边长是． 7．（2026·山东聊城·一模）如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数与之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，坐标为，根据这个规律，的坐标是__________． 【答案】 【分析】找到a的下标与层数n的变化规律即可． 【详解】解：设为第1层，为第2层，为第3层，……， 由图知，每一层末尾的点都在直线或直线上， 则第1层：的坐标为，， 第2层：的坐标为，， 第3层：的坐标为，， 第4层：的坐标为，， 第5层：的坐标为，， ……， 第n层：n为奇数时，的坐标为，n为偶数时，的坐标为， ∴即的坐标为，即， ∵， ∴由点的分布规律可知，和都在直线上， ∴的坐标为． 8．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，……如此运动下去，则点的纵坐标为________． 【答案】2 【分析】此题主要考查坐标的规律探索，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质，找到坐标规律进行求解．根据题意作出点，连接，易知四边形，，都是平行四边形，然后根据一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形，可以发现点与点重合，由此可知动点每运动次为一个循环，由此可以求出点的纵坐标． 【详解】解：对于， 令，得， ， 如图，根据题意作出点，连接，易知四边形，，都是平行四边形， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴点与点重合，由此可知动点每运动次为一个循环， 又， ∴点与点重合，即点的纵坐标为． 9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点．过点作轴，交直线于点，以为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，按照如此规律进行下去，点的坐标为 _____． 【答案】 【分析】先由点计算出，再结合在直线上且，求出坐标；接着根据的横坐标与相同、在上的条件，依次求出的坐标并归纳出的坐标规律为，最后代入，得到的坐标为． 【详解】解：，则， ∵在， ∴设，且， ∴，即， 解得（第一象限取正），，得， ∵横坐标和相同为，在上，得， ∴， 同理，解得，，得， 同理可得， ∴可得规律：点的坐标为， ∴代入，得的坐标为． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·月考）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 题型二 一次函数与新定义问题 1.读懂新定义：把题目给的规则翻译成数学式子。 2.结合一次函数性质（斜率、截距、交点、平行 / 垂直）。 3.按定义列式、化简、求解（方程 / 不等式）。 4.检验结果是否符合新定义条件。 1．（24-25八年级下·湖南怀化·月考）阅读理解与一题多变问题：探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 探究过程：小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组得出：无论k取何值，一次函数的图象一定经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数的图象是“点旋转直线”．那么它的图象一定经过定点P（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先将整理提取参数，使得经过定点，即与无关，则，即可求解． 【详解】解：， ∵一次函数的图象是“点旋转直线”， ∴， ∴， ∴， ∴经过定点， 故选：D． 2．（23-24八年级下·广东广州·月考）一次函数）中，当时，可以消去a，得．结合一次函数图象可知，无论a取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”，若一次函数的图象为“点旋转直线”那么它的图象一定经过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把一次函数 整理为，再令，求出y的值即可． 【详解】解：一次函数整理得 ， ∴令，则， ∴， ∴它的图象一定经过点． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 3．（2024·山东济宁·二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了新定义、一次函数的性质等知识点，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，最大，据此即可解答． 【详解】解：由题意知，一次函数的“特征值”为， ∵， ∴随x的增大而减小， ∴当时，， ∴一次函数的“特征值”为9． 故答案为：9． 4．（25-26八年级上·江西抚州·月考）当、为两个不相等的常数，且时，定义一次函数与互为“友好函数”．如：与互为“友好函数”． (1)点在的“友好函数”的图象上，求的值； (2)若点既是一次函数图象上的点，又是它的“友好函数”图象上的点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式： （1）把代入，即可求解； （2）根据题意，可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，的“友好函数”为， 将点代入中，得， 解得. （2）因为的“友好函数”为， 将点分别代入和中， 得， 解得， 所以点的坐标为. 5．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）阅读理解与一题多变问题：探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 探究过程：小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组得出：无论k取何值，一次函数的图象一定经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数的图象是“点旋转直线”． (1)一次函数的图象经过的定点P的坐标是______． (2)已知一次函数的图象与x轴．y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把化为，再进一步求解即可； （2）求解，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， 由，得， 当时，， ； （2）解：一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B， 当，则， ∴， 的面积为3， ， 解得或， 因为函数是一次函数， 所以，即， 解得的和均满足该条件， 故k的值为7或． 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”． (1)点在的“逆反函数”图象上，则 ； (2) 图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标； (3)若和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据定义得到“逆反函数”为，把代入即可求得； （2）根据题意得到关于、的方程组，解方程组即可求得； （3）求得两函数与轴的交点以及两函数的交点，根据题意得到，解得或． 【详解】（1）解：∵， ∴的“逆反函数”为， ∵点在的“逆反函数”图象上， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴的“逆反函数”为， ∵图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ∴， 解得： ∴； （3）∵， ∴它的“逆反函数”为， ∴两函数与轴的交点分别为，， 由，解得：， ∴两函数的交点为， ∵和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数图象和性质的关系，一次函数图象上点的坐标特征，明确新定义，求得“逆反函数”是解题的关键． 7．（2025·山东泰安·一模）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查的是一次函数新定义，熟练掌握新定义，一次函数的图象和性质，三角形面积计算公式，是解题的关键． （1）由新定义求出函数表达式，代入即可求解； （2）①一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，联立的，解析式即可求解；②求出A，C的坐标，可得线段的长，由，即可． 【详解】（1）解： 由新定义知，的解析式 ， 把点C的坐标代入上式， 得， 解得， 故答案为：，； （2）解：①∵一次函数图像上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ∴点D是两个函数的交点， 联立解析式， 得， 解得， 即点； ②由， 得； 由， 得； ∴、， ∴， ∴． 8．（23-24八年级下·江苏南通·期中）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”例如，为一次函数的“阶和点”． (1)若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ______ ， ______ ； (2)若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，求的值； (3)若关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，求的取值范围． 【答案】(1)1，2 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法和“阶和点”的都有即点即可； （2）利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义求得“阶和点”，再利用待定系数法解答即可； （3）利用一次函数的性质确定关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义，求得的值，进而得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，再利用已知条件即可得出结论． 【详解】（1）解：点是关于的正比例函数的点， ， ， 点到两坐标轴的距离之和等于， 点是关于的正比例函数的“阶和点”， ． 故答案为：；； （2）设一次函数图象的“阶和点”为，则，， 一次函数图象经过第一、二、三象限， 当在第一象限时，， ，， 一次函数图象的“阶和点”为， ， ； 当在第二象限时，，由于，此种情形不存在； 当在第三象限时，， ，， 一次函数图象的“阶和点”为， ， ． 综上，关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，的值为或； （3）由题意得：， ， 关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限， 设为关于的一次函数的图象的“阶和点”， ， 当在第一象限时，， ， ， ， ，， ，符合题意， 当在第一象限时，； 当在第三象限时，， ， ， ， ， ， ； 当在第三象限时，； 当在第四象限时，， ， ， ． 当在第四象限时，． 关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”， 以上三个条件中同时满足其中两个即可， 当满足不满足时，； 当满足不满足时，； 当满足不满足时，的值不存在， 综上，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题的关键． 9．（24-25八年级下·河南南阳·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“闪光点”．例如求：的“闪光点”：联立方程，解得，则的“闪光点”为． (1)由定义可知，一次函数的“闪光点”为______； (2)若一次函数的“闪光点”为，求m、n的值； (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“闪光点”，若点P为平面内一个动点，使得以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，联立方程，求解即可； （2）根据题意，一次函数的“闪光点”为，先求出n的值，得到“闪光点”的坐标，再将坐标代入一次函数求解即可； （3）先根据直线与正比例函数无交点，得出k的值，分别求出A，B的坐标，设，分别讨论、、为对角线，再根据 平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：联立方程，解得， 则的“闪光点”为， 故答案为：； （2）解：∵一次函数的“闪光点”为， ∴， 解得， ∴一次函数的“闪光点”为， ∴， 解得； （3）解：∵直线上没有“闪光点”， ∴直线与正比例函数无交点， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 如图所示，点P为平面内一个动点，使得以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形， 设， ①当为对角线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ②当为对角线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ③当为对角线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 综上，或或． 10．（2024八年级下·北京·专题练习）定义：对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数（，、为常数）的衍生函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)点在一次函数的衍生函数图象上，则　 　； (2)如图，一次函数（，、为常数）的衍生函数图象与平行四边形交于四点，其中点坐标是，并且，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，、为常数），其中满足．若一次函数（，为常数）的衍生函数图象与平行四边形恰好有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或且 【分析】（1）将点E的坐标代入衍生函数求值即可； （2）根据点的坐标得出；根据衍生函数分别求出M，N，Q三点的坐标，再根据面积的关系求出k的值，然后求出一次函数的解析式即可； （3）根据k和b的关系得出，即可得出定点坐标，根据题意得出当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点，求出此时的b和k的值，然后分情况讨论符合条件的b的取值范围即可． 【详解】（1）解：当，把点在一次函数得： 解得：； 当，把点在一次函数得： 解得：； （2）解：连接， ∵过， ∴，则， ∴， 设，，， ∵，，，， ∴，，， 把代入得：， 整理得：， 把，代入得： ， 整理得：， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴ （3）解：∵，满足， ∴，则 ∴当时，，即过定点， ∴一次函数的衍生函数过点和， ∴且点在内， 设衍生函数图象与y轴的交点为G， 点G沿y轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点， 将代入得：， 解得，， ∴时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意． 点G沿y轴轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点时，与有三个交点，∴且时，图象与有两个交点，符合题意． 综上：或且时，图象恰好与有两个交点． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合题型，熟练掌握一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，平移的性质，以及正确理解题目所给“衍生函数”的定义是解题的关键． 题型三 一次函数与几何最值问题 一一、最短路径（将军饮马） 1.找对称点（x 轴或 y 轴对称）； 2.连对称点与目标点，线段长 = 最短距离； 3.求直线解析式，算交点坐标。 二．线段 / 周长最值（动点在直线上） 1.设动点坐标（在一次函数上）； 2.用距离公式 / 勾股定理表示线段长； 3.化简成一次函数y=kx+b； 4.看 k 的正负： 1．（23-24八年级下湖北武汉期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，为线段（端点除外）上一动点，点与点关于轴对称，过点作轴的平行线交的延长线于点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数与几何，对称最短路径的综合，掌握对称最短路径的计算方法，一次函数图像的性质是解题的关键． 根据的最小值就是的最小值，根据点到直线的垂线段最短，可知当时，的值最小，即有最小值，由此可知有最小值，根据等面积法即可求出的长，由此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴，点关于轴的对称点是点， ，即， 在中，，即是等腰三角形， 即， ， ， ， ， 直线交轴于点，交轴于点， 当时，；当时，，解得， ，，即，， 在中， ， 根据点到直线的垂线段最短，可知:当时，最小， ， ， 的最小值为， 点与点关于轴对称， 的最小值就是的最小值， 最小值为： 故选：B 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________． 【答案】6 【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴点A（3，0），点， ∴AO＝3，， ∴， 作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵CH⊥AB， ∴， ∴， ∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值， 此时，，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴2BC＋AC的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键． 3．（24-24八年级下四川内江月考）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，，点C、D分别是、的中点，P是上一动点．当周长最小时，点P的坐标为_____． 【答案】 【分析】连接，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，当点在点位置时，周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出其与轴的交点即可． 【详解】解：如图，连接，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 由轴对称的性质可知，，， ， 当点在点位置时，周长最小， 点，，点C、D分别是、的中点， ，， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点P的坐标为． 4．（23-24八年级下北京密云期中）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点A与原点重合，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，正方形边长为2，点E是的中点，点P是上一个动点，当取得最小值时，此时最小值是 _____；P点的坐标是 _____． 【答案】 【分析】如图，连接交于，连接．因为，推出，此时的值最小，求出直线， 的解析式，构建方程组确定交点坐标即可． 【详解】解：如图，连接交于，连接． ∵， ∴，此时的值最小， 四边形为正方形，点E是的中点， ，，，， ， 设直线解析式为， ， ， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则有， 解得， ∴直线的解析式为， 由， 解得， ， 故答案为，． 【点睛】本题考查轴对称，坐标与图形的性质，最短问题，正方形的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 5．（2024秋•嵩明县期中）如图，一次函数的图象经过点A（2，3），交y轴于点B，交x轴于点C． （1）求点B、C的坐标； （2）在x轴上一动点P，使PA+PB最小时，求点P的坐标； （3）在条件（2）下，求△ABP的面积． 【分析】（1）将点A（2，3）代入一次函数，求出b的值，再分别令x＝0和y＝0求点B和点C坐标即可； （2）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P′，当点P与点P′重合时，此时PA+PB最小，先求出点D坐标，再利用待定系法求出直线AD的解析式，令y＝0，求出点P′坐标，即PA+PB最小时点P坐标； （3）根据S△ABP＝S△ACP﹣S△BCP求解即可． 【详解】解：（1）将点A（2，3）代入一次函数， 得1+b＝3， ∴b＝2， ∴yx+2， 当x＝0时，y＝2， ∴点B坐标为（0，2）， 当yx+2＝0时，x＝﹣4， ∴点C坐标为（﹣4，0）； （2）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P′，当点P与点P′重合时， 此时PA+PB最小， ∵点B坐标为（0，2）， ∴点D坐标为（0，﹣2）， 设直线AD的解析式为y＝mx+n（m≠0，m，n为常数）， 代入A（2，3），D（0，﹣2）， 得， 解得， ∴直线AD的解析式为， 当0时，x， ∴点P′坐标为（，0）， ∴PA+PB最小时，点P坐标为（，0）； （3）∵点C坐标为（﹣4，0）， ∴CP， ∴S△ABP＝S△ACP﹣S△BCP ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣求最短路线问题，涉及待定系法求解析式，三角形面积等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是解题的关键． 6．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD． （1）求边AB的长； （2）求点C，D的坐标； （3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）AB=；（2）C（﹣1，3），D（﹣3，2）；（3）M（﹣1，0）． 【分析】（1）分别求出点A、B坐标，根据勾股定理即可求出AB； （2）作CE⊥y轴，DF⊥x轴，垂足分别为E、F，证明△BCE≌△DAF≌ABO，得到BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，进而得到OE=3，OF= 3，即可求出点C、D坐标； （3）连接BD，作点B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，此时△BMD周长最小，求出直线B′D的解析式为y=﹣x﹣1，令y=0，即可求出点M坐标． 【详解】解：（1）由一次函数y=x+1得，令x=0，得到y=1；令y=0，得到x=﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，1）， 在Rt△AOB中，OA=2，OB=1， 根据勾股定理得：；    （2）如图，作CE⊥y轴，DF⊥x轴，垂足分别为E、F， ∴∠CEB=∠AFD=∠AOB=90°， ∴∠DAF+∠ADF=90°，∠BAO+∠ABO=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°， ∴∠DAF+∠BAO=90°，∠ABO+∠CBE=90°， ∴∠BAO=∠ADF=∠CBE， ∴△BCE≌△DAF≌ABO， ∴BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1， ∴OE=OB+BE=2+1=3，OF=OA+AF=2+1=3， ∴C（﹣1，3），D（﹣3，2）； （3）如图，连接BD，∵BD为定值， ∴作点B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，此时△BMD周长最小， ∵B坐标为（0，1）， ∴B′坐标为（0，﹣1）， 设直线B′D的解析式为y=kx+b， 把B′与D坐标代入得：， 解得：， 即直线B′D的解析式为y=﹣x﹣1， 令y=0，得到x=﹣1， ∴点M坐标为（﹣1，0）． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式，将军饮马求最短距离问题，综合性较强，根据题意添加辅助线，求出点C、D坐标是解题关键． 7．（2024秋•镇海区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数yx+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段AB的中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D． （1）求A、B两点的坐标； （2）若点E为y轴负半轴上一点，连接CE交x轴于点F，且CF＝FE，在直线CD上有一点P，使得AP+EP最小，求P点坐标； （3）如图2，直线CD上是否存在点Q使得∠ABQ＝45°，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）对于yx+4，令yx+4＝0，解得：x＝6，令x＝0，则y＝4，即可求解； （2）作点A关于直线CD的对称点A′（6，4），连接A′E交CD于点P，则点P为所求点，进而求解； （3）当点Q在AB上方时，证明△AHM≌△BOA（AAS），得到M的坐标为（4，10），进而求解；当点Q（Q′）在AB下方时，同理可解． 【详解】解：（1）对于yx+4， 令yx+4＝0，解得：x＝6，令x＝0，则y＝4， 故点A、B的坐标分别为（0，4）、（6，0）； （2）∵点C为线段AB的中点，则点C（3，2）， 如图1，过点C作CH⊥y轴于点H， ∵CF＝FE，故OF是△EHC的中位线， 即点O是HE的中点，则点E（0，﹣2）， 作点A关于直线CD的对称点A′（6，4），连接A′E交CD于点P，则点P为所求点， 理由：AP+EP＝A′P+EP＝A′E为最小， 设直线A′E的表达式为：y＝kx+b，则，解得， 故直线A′E的表达式为：y＝x﹣2， 当x＝3时，y＝x﹣2＝1， 故点P的坐标为（3，1）； （3）存在，理由： 当点Q在AB上方时，如图2， 过点A作AM⊥BQ交BQ于点M，过点M作MH⊥y轴于点H， ∵∠ABQ＝45°， ∴AM＝AB， ∵∠HMA+∠HAM＝90°，∠HAM+∠OAB＝90°， ∴∠HMA＝∠AOB， 在Rt△AHM和Rt△AOB中， ， ∴△AHM≌△BOA（AAS）， ∴AH＝OB＝6，HM＝AO＝4， 故点M的坐标为（4，10）， 由点M、B的坐标得，直线BM的表达式为：y＝﹣5x+30， 当x＝3时，y＝﹣5x+30＝15， 故点Q的坐标为（3，15）； 当点Q（Q′）在AB下方时， 过点A作AN⊥AB交BQ′于点N，则点M、N关于点A对称， 由中点坐标公式得，点N（4，2）， 由点A、N得坐标得：直线AN得表达式为：yx， 当x＝3时，yx， 故点Q′的坐标为（3，）． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、点的对称性，全等三角形的判定和性质等，其中（3），需要分类求解，避免遗漏． 8．（2024秋•渠县校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（6，0）．直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E． （1）求直线AB的解析式和点D的坐标． （2）设点Q是x轴上一动点，是否存在点Q使AQ+DQ的值最小？若存在，请求出AQ+DQ的最小值； （3）如图2，点P（2，﹣4）是直线x＝2上一点，且在点D的下方． ①求△ABP的面积； ②以PB为边在第四象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标． 【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数的关系式，再将x＝2代入关系式，求出y，即可得出点D的坐标； （2）确定点A（0，3）关于x轴的对称点A′（0，﹣3），再根据轴对称说明AQ+DQ的值最小，然后根据勾股定理求出答案； （3）①，先求出DP，OE，BE，再根据S△ABP＝S△ADP+S△BDP得出答案．对于②，先以PB为直角边作等腰直角三角形，可得出三个符合条件的三角形，分别求出坐标即可． 【详解】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，分别把（0，3），B（6，0）代入得， 解得 所以yx+3． 当x＝2时，y2+3＝2． 所以点D 的坐标为（2，2）． （2）作点A（0，3）关于x轴的对称点A′（0，﹣3）． 当点D，A′，Q三点共线，即连接DA′交x轴于点Q，此时存在点Q使AQ+DQ的值最小． AQ+DQ的值最小为DA′． （3）①根据题意可知DP＝6，OE＝2，BE＝4， S△ABP＝S△ADP+S△BDP2×64×6＝18； ②以PB为直角边作等腰直角△BPC1，△BPC2，则△BPC3为等腰直角三角形． ∵BE＝PE＝4， ∴∠EBP＝∠EPB＝45°，BP＝4， ∴BC1⊥x轴， ∴BC1＝8， 则点C1（6，﹣8），C3（6，﹣4）． ∵∠BPE＝∠BPC2＝45°， ∴PC2∥x轴，PC2＝8， 则点C2（10，﹣4）． 综上所述：C1（6，﹣8），C2（10，﹣4），C3（6，﹣4）． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，掌握求函数解析式方法，求坐标点的方法是解题的关键． 9．（25-26八年级上陕西咸阳期末）【问题探究】 （1）如图1，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，点在直线上，其纵坐标为5．在轴上找一点，连接，使的值最小，求出的最小值． 【问题解决】 （2）如图2，某科学小组研制出一种激光设备，设备外围由线段组成，，，一条线路从点发出，经过线段上的点最终到达点（点是上的动点），其中点在边上，且，点为的中点．以所在直线为轴，以平行于且经过点的所在直线为轴建立平面直角坐标系，请问线段是否存在最小值？若存在，求出当线段最小时点的坐标；若不存在，请说明理由．（坐标系中一个单位长度表示1cm） 【答案】（1）的最小值为；（2）存在，点的坐标为． 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点、利用轴对称处理线段之和最小的问题，能够识别这种问题实际上就是“将军饮马”问题是解题的关键． （1）在中，分别令和即可求出点B、C的坐标；将B点关于x轴对称为，将转化为，数形结合即可求出最值时P的位置，利用勾股定理求解即可； （2）根据已知条件得到,，作D关于直线的对称点E，连接交于P，则此时，最小，，且的最小值为的长，求得直线和的解析式，解方程组即可得到结论． 【详解】解：（1）对于， 令，得， 故点B的坐标为； 令，得， 故点C的坐标为； 作点B关于x轴的对称点，连接， ∴，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴的最小值为，此时P是与x轴的交点． ∴， ∴的最小值为； （2）∵，， ∴， ∴， ∵，点D为的中点， ∴，， ∴,， 作D关于直线的对称点E，连接交于P， 则此时，最小，，且的最小值为的长， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 联立得， 解得，， ∴点的坐标为． 10．（24-25八年级下重庆月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． (1)求证：； (2)求点D的坐标； (3)如图，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是的中点，D、E分别是直线，y轴上的动点，请直接写出周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据可证明； （2）先求出，根据可得，设，则点D的坐标为，再由点D在直线上，可得，即可求解； （3）求出点，点，作点关于轴的对称点为，作点关于直线轴的对称点为，交于点H，连接交直线于点，交轴于点，则周长最小值，设点N的坐标为，则点H的坐标为，点H在直线上得到，则点N的坐标为，求出点N的坐标，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴， ， ，， ， 在与中， ， ； （2）解：直线， 令，； 令，， 此时， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则点D的坐标为， ∵点D在直线上， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； （3）解：对于直线， 当时， 当时，，解得， ∴点， ∵点C是的中点， ∴点； 作点关于轴的对称点为，作点关于直线轴的对称点为，连接交于点H， 连接交直线于点，交轴于点， 则此时周长最小值， 过点N作轴于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 设点N的坐标为，则点H的坐标为， ∵点H在直线上， ∴， 整理得到， ， ∴点N的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴点N的坐标为， ∴， ∴的最小值为， 即周长的最小值为． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征、三角形全等的判定与性质，勾股定理、轴对称求最值等知识，熟练掌握一次函数的性质和勾股定理是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题09 一次函数规律探究、新定义、最值问题 题型一 一次函数与规律探究问题 1.先写出前几组（点、坐标、线段长、面积等），找数量关系。 2.用一次函数形式 y=kx+b 设规律式。 3.代入两组数据，列方程组求 k、b，得到通项。 4、 代入所求项的序号，算出结果。 1．（2026·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，点P从出发，按“上1、右1、下2、右1、上3、右1、下4、右1……”的规律移动（即：第1次向上移动1个单位，第2次向右移动1个单位，第3次向下移动2个单位，第4次向右移动1个单位，以此类推，如图），若第n次移动后，点P恰好落在直线上，则满足条件的所有n的和（   ） A．5 B．8 C．13 D．21 3．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 4．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，则的长度为__________． 5．（2026·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 6．（25-26九年级下·江西南昌·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的斜边长是______． 7．（2026·山东聊城·一模）如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数与之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，坐标为，根据这个规律，的坐标是__________． 8．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，……如此运动下去，则点的纵坐标为________． 9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点．过点作轴，交直线于点，以为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，按照如此规律进行下去，点的坐标为 _____． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·月考）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 题型二 一次函数与新定义问题 1.读懂新定义：把题目给的规则翻译成数学式子。 2.结合一次函数性质（斜率、截距、交点、平行 / 垂直）。 3.按定义列式、化简、求解（方程 / 不等式）。 4.检验结果是否符合新定义条件。 1．（24-25八年级下·湖南怀化·月考）阅读理解与一题多变问题：探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 探究过程：小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组得出：无论k取何值，一次函数的图象一定经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数的图象是“点旋转直线”．那么它的图象一定经过定点P（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东广州·月考）一次函数）中，当时，可以消去a，得．结合一次函数图象可知，无论a取何值，一次函数的图象一定过定点，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”，若一次函数的图象为“点旋转直线”那么它的图象一定经过定点（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东济宁·二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是______． 4．（25-26八年级上·江西抚州·月考）当、为两个不相等的常数，且时，定义一次函数与互为“友好函数”．如：与互为“友好函数”． (1)点在的“友好函数”的图象上，求的值； (2)若点既是一次函数图象上的点，又是它的“友好函数”图象上的点，求点的坐标． 5．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）阅读理解与一题多变问题：探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 探究过程：小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组得出：无论k取何值，一次函数的图象一定经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数的图象是“点旋转直线”． (1)一次函数的图象经过的定点P的坐标是______． (2)已知一次函数的图象与x轴．y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值． 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”． (1)点在的“逆反函数”图象上，则 ； (2) 图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标； (3)若和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值． 7．（2025·山东泰安·一模）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． 8．（23-24八年级下·江苏南通·期中）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”例如，为一次函数的“阶和点”． (1)若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ______ ， ______ ； (2)若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，求的值； (3)若关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，求的取值范围． 9．（24-25八年级下·河南南阳·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“闪光点”．例如求：的“闪光点”：联立方程，解得，则的“闪光点”为． (1)由定义可知，一次函数的“闪光点”为______； (2)若一次函数的“闪光点”为，求m、n的值； (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“闪光点”，若点P为平面内一个动点，使得以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 10．（2024八年级下·北京·专题练习）定义：对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数（，、为常数）的衍生函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)点在一次函数的衍生函数图象上，则　 　； (2)如图，一次函数（，、为常数）的衍生函数图象与平行四边形交于四点，其中点坐标是，并且，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，、为常数），其中满足．若一次函数（，为常数）的衍生函数图象与平行四边形恰好有两个交点，求的取值范围． 题型三 一次函数与几何最值问题 一一、最短路径（将军饮马） 1.找对称点（x 轴或 y 轴对称）； 2.连对称点与目标点，线段长 = 最短距离； 3.求直线解析式，算交点坐标。 二．线段 / 周长最值（动点在直线上） 1.设动点坐标（在一次函数上）； 2.用距离公式 / 勾股定理表示线段长； 3.化简成一次函数y=kx+b； 4.看 k 的正负： 1．（23-24八年级下湖北武汉期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，为线段（端点除外）上一动点，点与点关于轴对称，过点作轴的平行线交的延长线于点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________． 3．（24-24八年级下四川内江月考）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，，点C、D分别是、的中点，P是上一动点．当周长最小时，点P的坐标为_____． 4．（23-24八年级下北京密云期中）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点A与原点重合，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，正方形边长为2，点E是的中点，点P是上一个动点，当取得最小值时，此时最小值是 _____；P点的坐标是 _____． 5．（2024秋•嵩明县期中）如图，一次函数的图象经过点A（2，3），交y轴于点B，交x轴于点C． （1）求点B、C的坐标； （2）在x轴上一动点P，使PA+PB最小时，求点P的坐标； （3）在条件（2）下，求△ABP的面积． 6．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD． （1）求边AB的长； （2）求点C，D的坐标； （3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024秋•镇海区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数yx+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段AB的中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D． （1）求A、B两点的坐标； （2）若点E为y轴负半轴上一点，连接CE交x轴于点F，且CF＝FE，在直线CD上有一点P，使得AP+EP最小，求P点坐标； （3）如图2，直线CD上是否存在点Q使得∠ABQ＝45°，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 8．（2024秋•渠县校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（6，0）．直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E． （1）求直线AB的解析式和点D的坐标． （2）设点Q是x轴上一动点，是否存在点Q使AQ+DQ的值最小？若存在，请求出AQ+DQ的最小值； （3）如图2，点P（2，﹣4）是直线x＝2上一点，且在点D的下方． ①求△ABP的面积； ②以PB为边在第四象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标． 9．（25-26八年级上陕西咸阳期末）【问题探究】 （1）如图1，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，点在直线上，其纵坐标为5．在轴上找一点，连接，使的值最小，求出的最小值． 【问题解决】 （2）如图2，某科学小组研制出一种激光设备，设备外围由线段组成，，，一条线路从点发出，经过线段上的点最终到达点（点是上的动点），其中点在边上，且，点为的中点．以所在直线为轴，以平行于且经过点的所在直线为轴建立平面直角坐标系，请问线段是否存在最小值？若存在，求出当线段最小时点的坐标；若不存在，请说明理由．（坐标系中一个单位长度表示1cm） 10．（24-25八年级下重庆月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E． (1)求证：； (2)求点D的坐标； (3)如图，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是的中点，D、E分别是直线，y轴上的动点，请直接写出周长的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $