专题09 一次函数的概念、图象和性质专项训练(16大核心题型精讲+分层训练突破)-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

**基本信息** 以16类核心题型构建“概念辨析-图象性质-综合应用”三阶训练体系，系统提炼定义理解、参数求解、图象变换等方法，强化一次函数知识逻辑链与中考高频考点突破，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|4类/12题|定义条件辨析、参数方程思想|从正比例函数到一次函数定义，构建概念内涵| |图象性质|8类/24题|象限判断、增减性分析、面积计算|从图象特征到性质应用，形成逻辑链条| |综合应用|4类/12题|平移/对称/旋转规律、规律探究模型|从变换到规律探究，实现知识综合迁移|

专题09 一次函数的概念、图象和性质专项训练 题型梳理归纳 题型1.正比例函数定义辨析 题型2.一次函数识别辨析 题型3.根据一次函数定义求参数 题型4.列一次函数解析式并求值 题型5.正比例函数的图象、性质 题型6.由一次函数解析式判断图象经过的象限 题型7.已知函数经过的象限求参数范围 题型8.一次函数图象与坐标轴交点及面积 题型9.判断一次函数的增减性 题型10.根据一次函数增减性求参数 题型11.根据一次函数增减性判断自变量变化情况 题型12.比较一次函数值的大小 题型13.一次函数图象平移问题 题型14.一次函数图象对称问题 题型15：一次函数图象旋转问题 题型16.一次函数的规律探究问题 题型17.分层练习15道题 核心题型精讲 题型1.正比例函数定义辨析 1．在平面直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图像上的是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．若正比例函数的图象经过点，则的值为____________． 3．已知正比例函数 的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)画出这个函数图象； (3)判断点，是否在这个函数图象上． 题型2：一次函数识别辨析 1．下列函数：①：②；③：④，其中是一次函数的是（    ） A．只有④ B．①② C．①④ D．②④ 2．定义：一次函数（，，为实数）的“关联数”为．某个正比例函数“关联数”为，则的值为___． 3．（1）写出下题中与之间的关系式，并判断是否是的一次函数：在速度为的匀速运动中，路程与时间的关系． （2）已知一个长方形的长为，宽为，周长为，求与之间的关系式，并判断是否为的一次函数． 题型3.根据一次函数定义求参数 1．已知函数是一次函数．则的值为（    ） A． B． C．或 D． 2．定义：对于函数（），将的值叫做该函数的特征值．若函数的特征值为，则______． 3．已知直线，当为何值时： (1)此直线与直线平行． (2)此直线与直线交于点． (3)函数值随的增大而减小且与轴的交点在轴下方． 题型4：列一次函数解析式并求值 1．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 2．拖拉机开始工作时，油箱中有油升，如果每小时耗油升，那么油箱中的剩余油量（升）和工作时间（时）之间的函数关系式是_____，自变量x必须满足_____． 3．已知等腰三角形的周长是28． (1)直接写出底边长y关于腰长x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)当底边长为10时，求腰长． 题型5.正比例函数的图象、性质 1．正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 2．如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 3．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 题型6.由一次函数解析式判断图象经过的象限 1．已知一次函数的图象经过不同的两点和，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．直线的图象不经过第__________象限． 3．已知函数，其中是自变量． (1)若此函数的图象平行于直线，求的值； (2)若此函数值随值的增大而增大，则的取值范围是______；该函数不经过第_______象限． 题型7.已知函数经过的象限求参数范围 1．已知一次函数的图象经过第二、三、四象限，则下列各点不可能位于该函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 2．直线不经过第二象限，则的取值范围是____________. 3．若两个一次函数（），（），则称函数为这两个函数的组合函数． (1)一次函数与的组合函数为_____； (2)若一次函数，的组合函数为，则_____，_____； (3)若一次函数与的组合函数的图象经过第一、二、四象限，求k、b的取值范围． 题型8.一次函数图象与坐标轴交点及面积 1．已知一次函数（为常数，且）的图象是由一次函数的图象平移得到的，若点在一次函数的图象上，则一次函数的图象与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则k的值为_______． 3．如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 题型9.判断一次函数的增减性 1．对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时， C．函数的图象与y轴交于点 D．直线与第二、四象限角平分线所在直线平行 2．若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是______（填，或） 3．在如图所示的平面直角坐标系中，画函数的图象 (1)①列表，②描点，③连线 x … 0 1 2 … y … … (2)观察图象可知，当x由小变大时，y随x的增大而________；（填“增大”或“减小”） (3)点在这个函数的图象上，则________． 题型10.根据一次函数增减性求参数 1．若一次函数，若y随x增大而减小，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于，的二元一次方程．当时，的负整数值恰好有2个，则的取值范围为___． 3．已知一次函数，回答下列问题： (1)若函数图像经过点，求的值； (2)若函数随的增大而减小，求的取值范围． 题型11.根据一次函数增减性判断自变量变化情况 1．点都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 2．若点，在一次函数（为常数）的图像上，则和的大小关系是___________．（填“”，“”或“”） 3．已知一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，求该一次函数的函数值y的取值范围． 题型12.比较一次函数值的大小 1．一次函数的图象过点，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．当时，一次函数的最大值是________． 3．已知一次函数，并完成下列问题 (1)画出这个函数的图象； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ． 题型13.一次函数图象平移问题 1．将一次函数的图象向左平移2个单位，平移后，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．直线是由直线（，是常数）向下平移2个单位得到的，那么直线的表达式是________． 3．如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 题型14.一次函数图象对称问题 1．在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为________． 3．如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出直线． (2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． 题型15.一次函数图象旋转问题 1．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ） A． B． C．1 D．2 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为____． 3．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (2)已知下列变换：①向上平移4个单位；②沿x轴翻折；③绕原点按顺时针方向旋转．能使该函数图象经过一种变换后过点的有 （ 填写所有符合要求的序号）． 题型16.一次函数的规律探究问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形，，，…的顶点，，，…在直线上，顶点，，，…在轴上，已知，，那么点的坐标为________，点的坐标为________． 3．如图，点在x轴上，且，过点作轴交直线于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线交x轴于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线于点，……，按照此方法一直作下去． (1)写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　； (2)按照上述规律，点的坐标是 　 　． 分层精练 一、单选题 1．下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 2．一次函数 与 的图象位置关系是（   ） A．重合 B．平行 C．相交 D．无法判断 3．如图，一次函数与的图象交于点P，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．所有正确结论的序号为（     ） A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 4．将一次函数的图象向上平移m个单位长度，若平移后的直线不经过第三象限，则m的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．对于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象不经过第二象限 B．随的增大而减小 C．当时， D．函数图象与轴交点坐标为 6．在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图象与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，随的增大而增大； ③点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．②④ B．②③ C．①② D．③④ 二、填空题 7．体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为________．（不用写出自变量x的取值范围） 8．点在直线上，则代数式的值是______． 9．若函数是一次函数，则的值为_______． 10．如果点，都在一次函数的图象上，那么______．（填“＞”或“＜”） 11．已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则的取值范围是________． 三、解答题 12．为保障城市居民夏季用电稳定，甲、乙两个电力工程队同时对某段老旧输电线路进行改造升级，两队每天改造的线路长度均保持不变，合作一段时间后，乙队因设备检修停工，由甲队单独完成了剩余任务，甲、乙两队改造的线路总长度（）与甲队施工时间（天）之间的关系如图所示． (1)甲队比乙队多施工了________天； (2)求乙队停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲队改造的总长度比乙队改造总长度多时，求乙队已经停工的天数． 13．阅读理解与一题多变问题：探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 探究过程：小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组得出：无论k取何值，一次函数的图象一定经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数的图象是“点旋转直线”． (1)一次函数的图象经过的定点P的坐标是______． (2)已知一次函数的图象与x轴．y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值． 14．已知一次函数与． (1)填空：一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为 和 ；一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为 和 ． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象． (3)请问一次函数的图象经过怎样的运动变化可得到一次函数的图象． 15．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积； (3)在直线上是否存在一点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一次函数的概念、图象和性质专项训练 题型梳理归纳 题型1.正比例函数定义辨析 题型2.一次函数识别辨析 题型3.根据一次函数定义求参数 题型4.列一次函数解析式并求值 题型5.正比例函数的图象、性质 题型6.由一次函数解析式判断图象经过的象限 题型7.已知函数经过的象限求参数范围 题型8.一次函数图象与坐标轴交点及面积 题型9.判断一次函数的增减性 题型10.根据一次函数增减性求参数 题型11.根据一次函数增减性判断自变量变化情况 题型12.比较一次函数值的大小 题型13.一次函数图象平移问题 题型14.一次函数图象对称问题 题型15：一次函数图象旋转问题 题型16.一次函数的规律探究问题 题型17.分层练习15道题 核心题型精讲 题型1.正比例函数定义辨析 1．在平面直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图像上的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的性质，同一正比例函数图像上的点满足比例系数相等，先根据点求出正比例函数的，再验证点是否满足正比例函数的解析式即可． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， 对选项A验证如下： ∵点在该函数图像上， ∴，解得， ∴该正比例函数解析式为， 将中横坐标 代入解析式，得，与点的纵坐标一致， ∴，两点在同一个正比例函数图像上，故选项A符合题意； 对选项B验证如下： ∵点在该函数图像上， ∴，解得， ∴该正比例函数解析式为， 将中横坐标 代入解析式，得，与点的纵坐标不一致， ∴，两点不在同一个正比例函数图像上，故选项B不符合题意； 对选项C验证如下： ∵点在该函数图像上， ∴，解得， ∴该正比例函数解析式为， 将中横坐标 代入解析式，得，与点的纵坐标不一致， ∴，两点不在同一个正比例函数图像上，故选项C不符合题意； 对选项D验证如下： ∵点在该函数图像上， ∴，解得， ∴该正比例函数解析式为， 将中横坐标 代入解析式，得，与点的纵坐标不一致， ∴，两点不在同一个正比例函数图像上，故选项D不符合题意． 2．若正比例函数的图象经过点，则的值为____________． 【答案】 【分析】将点的坐标代入函数解析式，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得到的值. 【详解】解：正比例函数的图象经过点， 将，代入，得， 解得. 3．已知正比例函数 的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)画出这个函数图象； (3)判断点，是否在这个函数图象上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点不在函数图象上；点在函数图象上 【分析】（1）将代入解析式，即可求解； （2）过原点和画出函数图象即可求解； （3）分别将，，代入解析式，求得函数值，即可求解． 【详解】（1）解：正比例函数()的图象经过点， ， 解得：， 这个函数的解析式为：． （2）当时， 如图： （3）将，代入中，得 ， 点不在函数图象上； 将 ，代入中，得， 点在函数图象上 题型2：一次函数识别辨析 1．下列函数：①：②；③：④，其中是一次函数的是（    ） A．只有④ B．①② C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义，逐一判断各函数是否符合要求，即可得到答案，一次函数定义为形如（，为常数，）的整式函数． 【详解】解：① 中，自变量的次数为，不符合一次函数定义，不是一次函数； ② 可整理为 ，其中 ，，符合一次函数定义，是一次函数； ③ ，分母含自变量，不是整式，不符合一次函数定义，不是一次函数； ④ 中，，，符合一次函数定义，是一次函数． 综上，一次函数为②④． 2．定义：一次函数（，，为实数）的“关联数”为．某个正比例函数“关联数”为，则的值为___． 【答案】6 【分析】根据题中新定义得到一次函数表达式，再利用正比例函数的定义，得到常数项为，列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，该正比例函数为， ， 解得． 3．（1）写出下题中与之间的关系式，并判断是否是的一次函数：在速度为的匀速运动中，路程与时间的关系． （2）已知一个长方形的长为，宽为，周长为，求与之间的关系式，并判断是否为的一次函数． 【答案】（1），是的一次函数；（2），是的一次函数 【分析】本题考查了列函数关系式、一次函数的识别，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据公式：路程速度时间，列出关系式，再判断是否为的一次函数即可； （2）根据长方形的周长公式列出关系式，再判断是否为的一次函数即可． 【详解】解：（1）由题意得，， ∴是的一次函数； （2）∵一个长方形的长为，宽为，周长为， ∴与之间的函数关系式为； ∴是的一次函数． 题型3.根据一次函数定义求参数 1．已知函数是一次函数．则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】一次函数需满足两个条件：自变量的次数为，且的系数不为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解，得或，即或， ∵，即， ∴． 2．定义：对于函数（），将的值叫做该函数的特征值．若函数的特征值为，则______． 【答案】 【分析】根据题目给出的函数特征值的定义，列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：对于函数，可得， ∵其特征值为， ∴由题意得，，解得． 3．已知直线，当为何值时： (1)此直线与直线平行． (2)此直线与直线交于点． (3)函数值随的增大而减小且与轴的交点在轴下方． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）根据两直线平行可知，求解即可； （2）将点代入直线求出交点坐标，再将交点坐标代入求解即可； （3）根据一次函数的性质列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， （2）解：将点代入直线，得， 解得， 即交点坐标为， 将点代入， 得， 解得． （3）解：依题意，得 解得 解得 ∴． 题型4：列一次函数解析式并求值 1．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设点坐标为， 点在第一象限，围成的四边形为矩形， ， ， ， 该直线的函数表达式是． 2．拖拉机开始工作时，油箱中有油升，如果每小时耗油升，那么油箱中的剩余油量（升）和工作时间（时）之间的函数关系式是_____，自变量x必须满足_____． 【答案】 ； ． 【分析】本题主要是考查根据实际问题列一次函数关系式，根据余油量原有油量用油量，时间应≥0，用油量不能超过原有油量得出，读懂题意，找到所求量的等量关系是解题的关键． 【详解】解：依题意得， 时间应，用油量不能超过原有油量， ∴，解得， ∴， 故答案为：，． 3．已知等腰三角形的周长是28． (1)直接写出底边长y关于腰长x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)当底边长为10时，求腰长． 【答案】(1) (2)腰长为9 【分析】（1）直接利用底边长等于周长减去两腰长即可得到解析式； （2）把代入解析式进行计算即可. 【详解】（1）解：， ∵， 解得：. （2）解：当时， ∴， ∴， ∴， ∴，即腰长为9． 题型5.正比例函数的图象、性质 1．正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】根据正比例函数比例系数的符号，即可判断图象经过的象限． 【详解】解：∵对于正比例函数，， ∴的图象经过第二、四象限． 2．如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 【答案】 【详解】解：∵是正比例函数，且图像在第二、四象限内， ∴且， ∴． 3．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不在 【分析】（1）直接把点代入正比例函数，求出k的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）把点的横坐标代入正比例函数的解析式求出y的值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式； （2）解：当时，， 当时，， ∴经过点，，描点画出图象如下： （3）解：∵正比例函数的解析式为， ∴当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 题型6.由一次函数解析式判断图象经过的象限 1．已知一次函数的图象经过不同的两点和，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求得，根据题意得到，求得，据此求解即可判断． 【详解】解：∵一次函数的图象经过不同的两点和， ∴，且， ∴得， ∵， ∴， ∴随的增大而增大，观察四个选项，选项A符合题意． 2．直线的图象不经过第__________象限． 【答案】三 【分析】根据一次函数的性质，通过k和b的符号判断直线经过的象限，即可得到直线不经过的象限. 【详解】解：∵ 一次函数中，，， ∴ 直线的图象经过第一、二、四象限， ∴ 直线的图象不经过第三象限. 3．已知函数，其中是自变量． (1)若此函数的图象平行于直线，求的值； (2)若此函数值随值的增大而增大，则的取值范围是______；该函数不经过第_______象限． 【答案】(1) (2)；四 【分析】（1）根据两直线平行，值相等，列出方程进行求解即可； （2）根据一次函数的增减性，求出的范围，根据的符号，判断函数经过的象限即可. 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）解：∵此函数值随值的增大而增大， ∴， ∴； ∵，， ∴函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限. 题型7.已知函数经过的象限求参数范围 1．已知一次函数的图象经过第二、三、四象限，则下列各点不可能位于该函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象经过的象限确定的取值范围，再将各选项点代入解析式求出，判断是否符合取值范围，不符合的即为不可能在图象上的点． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴． A．代入得，解得，符合要求，该点可能在图象上； B．代入得，解得，符合要求，该点可能在图象上； C．代入得，解得，符合要求，该点可能在图象上； D．代入得，解得，不符合的要求，因此该点不可能在函数图象上． 2．直线不经过第二象限，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线不经过第二象限，可得函数表达式当中一次项系数大于等于零，常数项小于等于零，进而得到m取值范围． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ， 解得：． 3．若两个一次函数（），（），则称函数为这两个函数的组合函数． (1)一次函数与的组合函数为_____； (2)若一次函数，的组合函数为，则_____，_____； (3)若一次函数与的组合函数的图象经过第一、二、四象限，求k、b的取值范围． 【答案】(1) (2)4， (3)且， 【详解】（1）解：由组合函数定义可得，一次函数与的组合函数为； （2）解：由组合函数定义可得，一次函数，的组合函数为， ∴， 解得； （3）解：∵一次函数， ∴， 由组合函数定义可得，一次函数，的组合函数为， ∵组合函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得，， 综上所述，且，． 题型8.一次函数图象与坐标轴交点及面积 1．已知一次函数（为常数，且）的图象是由一次函数的图象平移得到的，若点在一次函数的图象上，则一次函数的图象与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一次函数平移的性质可确定的值，再代入已知点求出常数项，进而得到一次函数的解析式，再把代入求出的值即可求解． 【详解】解：∵一次函数由一次函数平移得到， ∴， 将点代入，得， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为． 2．已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则k的值为_______． 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式求出图象与x轴、y轴的交点坐标，再根据三角形面积为3列出含绝对值的方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：在中，当时，；当时，， 的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为， 由题意可得：， 整理得， 解得， 经检验，均是原分式方程的解， ∴k的值为． 3．如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先根据直线的解析式求出点A的坐标，再根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：令， 解得， ， ， ， ． 题型9.判断一次函数的增减性 1．对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时， C．函数的图象与y轴交于点 D．直线与第二、四象限角平分线所在直线平行 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：已知一次函数为，可得，． A、，∴随的增大而减小，结论正确，不符合题意； B、令，即，解得，∵随的增大而减小，∴当时，，结论正确，不符合题意； C、求函数与轴交点，令，得，∴函数图象与轴交于点，原结论错误，符合题意； D、第二、四象限角平分线所在直线为，与的k相同b不同，∴两直线平行，结论正确，不符合题意． 2．若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是______（填，或） 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：在一次函数中， ， 随的增大而减小. 的横坐标为，的横坐标为，且， . 3．在如图所示的平面直角坐标系中，画函数的图象 (1)①列表，②描点，③连线 x … 0 1 2 … y … … (2)观察图象可知，当x由小变大时，y随x的增大而________；（填“增大”或“减小”） (3)点在这个函数的图象上，则________． 【答案】(1)填表见解析，画图见解析 (2)增大 (3) 【分析】（1）根据表格信息描点，再画图即可； （2）根据图象可得答案； （3）把点代入函数解析式，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 … y … … 画图如下： （2）解：观察图象可知，当x由小变大时，y随x的增大而增大； （3）解：∵点在这个函数的图象上， ∴， 解得：． 题型10.根据一次函数增减性求参数 1．若一次函数，若y随x增大而减小，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是一次函数，且y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故选：B． 2．已知关于，的二元一次方程．当时，的负整数值恰好有2个，则的取值范围为___． 【答案】或 【分析】先将原方程整理为关于的一次函数，分和两种情况，结合一次函数增减性，根据负整数值恰好为个列不等式组求解即可. 【详解】解：∵， ∴①， 当时，随的增大而增大， 由得：， 解不等式得， 的负整数值恰好有个，可知负整数值为， ， 解得， ②当时，随的增大而减小， 由得， 解不等式得， 的负整数值恰好有个，可知负整数值为， ， 解得， 综上，的取值范围是或. 3．已知一次函数，回答下列问题： (1)若函数图像经过点，求的值； (2)若函数随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数解析式，求出m的值即可； （2）根据一次函数y随x的增大而减小，列出关于m的不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵函数的图像经过点， ∴ ， 解得； （2）解：∵函数随的增大而减小， ∴， 解得． 题型11.根据一次函数增减性判断自变量变化情况 1．点都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】A 【详解】解：∵， ∴随的增大而增大， ∵点都在直线上，且，即， ∴． 2．若点，在一次函数（为常数）的图像上，则和的大小关系是___________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图像和性质．熟悉根据一次函数的斜率判断函数图像的变化情况，是解题的关键． 根据一次函数的性质，由于斜率 ，函数值 随自变量 的增大而减小．点 的纵坐标 大于点 的纵坐标 ，因此 小于 ． 【详解】解：∵ 一次函数 的系数 ， ∴ 随 的增大而减小， ∵ 点 和点 在函数图象上，且 ， ∴ ． 故答案为：． 3．已知一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，求该一次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)该一次函数的解析式为 (2)当时，该一次函数的函数值y的取值范围是 【分析】（1）使用待定系数法，将A、B两点坐标代入一次函数解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组即可得到函数解析式； （2）根据一次函数的增减性，由k的正负判断y随x的变化规律，代入x的端点值计算得到y的取值范围． 【详解】（1）解：∵点A，B在该一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：∵， ∴该一次函数的函数值y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，该一次函数的函数值y的取值范围是． 题型12.比较一次函数值的大小 1．一次函数的图象过点，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据一次项系数判断函数增减性，再比较两点横坐标大小，即可推出纵坐标的大小关系． 【详解】∵一次函数中，一次项系数， ∴y随x的增大而减小， ∵两点横坐标满足， ∴． 2．当时，一次函数的最大值是________． 【答案】/ 【分析】根据可知一次函数中，随的增大而减小，因此取最小值时，取得最大值，代入计算即可得到结果. 【详解】解：, 一次函数中，随的增大而减小. , 当时，取得最大值. 此时. 3．已知一次函数，并完成下列问题 (1)画出这个函数的图象； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出直线与轴，轴的交点坐标，画出函数图象即可； （2）根据图象，写出y的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴直线与坐标轴的交点坐标为， 画出函数图象如下： （2） 解：由图象可知，当时，y的取值范围是． 题型13.一次函数图象平移问题 1．将一次函数的图象向左平移2个单位，平移后，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“左加右减”的平移规律得到平移后的解析式，再代入条件解不等式即可． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移2个单位，得到一次函数， ∵平移后，， ∴， 解得． 2．直线是由直线（，是常数）向下平移2个单位得到的，那么直线的表达式是________． 【答案】 【分析】根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：∵直线是由直线（，是常数）向下平移2个单位得到的， ∴直线向上平移2个单位得到直线． ∴直线：． 3．如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 【答案】(1)、 (2)①；② 【分析】（1）分别将，代入中，分别求出，即可求得点的坐标． （2）①根据平移的性质可得，结合，可得面积为． ②由题意可得，轴，，结合，即可求得点坐标． 【详解】（1）解：将代入中，可得， 将代入中，可得， 解得：， ∴点的坐标为、， （2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线， ∴ ∵ ∴ ∴面积为． ②由题意可得，轴，， ∴， ∴点坐标为． 题型14.一次函数图象对称问题 1．在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用关于轴对称的点的坐标特征，先求出已知直线与坐标轴的交点，再得到对应对称点坐标，代入求出的值，即可计算出的结果. 【详解】解： 对于直线， 令得，得交点； 令得，得交点， ，关于轴对称的点分别为，， 直线经过上述两个对称点， ∴将代入得， 将和代入得： ，解得， . 2．已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与几何变换问题，求一次函数表达式，首先求出直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后根据题意求出一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：，当时，， 当时，， ∴直线与y轴的交点为，与x轴的交点为， 一次函数的图像与直线关于x轴对称， 一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为， 设一次函数的解析式为， 把，代入得，， 解得：， 所以，一次函数的解析式为：． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出直线． (2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， (3)作图见解析， (4)，作图见解析， 【分析】（1）利用描点法作图即可； （2）根据一次函数的平移即可解答； （3）先求得直线与轴，轴的交点，利用轴对称的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答； （4）先利用旋转的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，可得， 解得， ∴直线经过，， 作图如下： ； （2）解：将直线向下平移4个单位得到直线，作图如下： 可得直线所对应的函数表达式为； （3）解：当时，可得， 解得， 当时，， 是直线上的点， 直线与直线关于轴成轴对称， 是直线上的点， 设直线的表达式为， 把代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 作图如下： ； （4）解：根据（3）中可得，且直线经过点， 将直线绕点逆时针旋转得到直线， 点绕点逆时针旋转的对应点为点 直线经过，， 设直线的表达式为， 把，代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 作图如下： . 题型15.一次函数图象旋转问题 1．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再求出绕x轴上一点 旋转后的新坐标，即可由待定系数法求解函数表达式，最后代入求解即可． 【详解】解：对于一次函数，当时，；当时，，解得 ∴一次函数的图象与坐标轴的交点坐标为，， 故图象绕x轴上一点旋转后的新坐标，， 设新解析式为， 根据题意，得， 解得， 故函数的解析式为 ， 又图象经过， ∴ 解得． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为____． 【答案】/ 【分析】设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，先求得点和点坐标，然后证明，得到，，从而得出点的坐标，然后利用待定系数法，求得和，最后算得旋转后的直线与轴的交点坐标． 【详解】解：设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，如图所示： 直线与坐标轴分别交于，两点， 时，；时，； ，， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 将，代入，得， ， ， 时，， 旋转后的直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点并构造出等腰直角三角形是解题的关键． 3．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (2)已知下列变换：①向上平移4个单位；②沿x轴翻折；③绕原点按顺时针方向旋转．能使该函数图象经过一种变换后过点的有 （ 填写所有符合要求的序号）． 【答案】(1)见解析 (2)①②③ 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数的平移和轴对称、点的旋转变换等知识，熟练掌握各种变换是解题的关键． （1）求出一次函数与y轴的交点和与x轴的交点，画直线即可得到答案； （2）把函数变换后验证是否过点即可． 【详解】（1）解：当时，，得到直线与y轴的交点为， 当时，，，得到直线与x轴的交点为， 在直角坐标系中描出点和，过这两点画直线，即为的图象，如图所示： ； （2）①向上平移4个单位，平移后解析式：， 代入得到， ∴函数图象经过变换后过点． ②沿x轴翻折 翻折后解析式：，即 代入得到， ∴函数图象经过变换后过点． ③绕原点按顺时针方向旋转， 设原函数上任意一点旋转后对应点为，旋转的坐标变换为，即， 代入原函数，得，整理得， 代入：， ∴函数图象经过变换后过点． 综上，能使函数图象经过变换后过点是①②③． 故答案为：①②③． 题型16.一次函数的规律探究问题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、、的坐标，同理可得出、、、…的坐标，进而得到、、、、……的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有， 解得， ． 同理，可得出：，，，……， 的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为16，…， 的横坐标为（为正整数）， ∴点的横坐标是． 2．如图，正方形，，，…的顶点，，，…在直线上，顶点，，，…在轴上，已知，，那么点的坐标为________，点的坐标为________． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求得直线的解析式，然后分别求得．．．的坐标，可以得到规律：，据此即可求解 【详解】解：∵，， ∴正方形的边长为1，正方形的边长为2， ∴， 设直线解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∴． ∵，点的坐标为， ∴的纵坐标为，的横坐标为， 的纵坐标为，的横坐标为， 的纵坐标为，的横坐标为， ∴， ∴，即． 3．如图，点在x轴上，且，过点作轴交直线于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线交x轴于点；过点作直线交x轴于点；过点作轴交直线于点，……，按照此方法一直作下去． (1)写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　；写出点的坐标 　 　； (2)按照上述规律，点的坐标是 　 　． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先由得到点的坐标，然后求得点的坐标，再结合等腰直角三角形的性质得到点、点的坐标； （2）根据点、、的坐标得出点的规律，从而得到点的坐标． 【详解】（1）解：， 点的坐标为， 轴交直线于点，当时，， 点的坐标为， ， 为等腰直角三角形， ， 直线交轴于点， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 轴交直线交轴于点，当时，， 点的坐标为， 同理可得，点的坐标为， 故答案为：，，． （2）解：由，，可得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质得到系列点的坐标得出规律． 分层精练 一、单选题 1．下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数的自变量可以取任意实数，图象是过原点的一条直线， ∴A选项自变量取值范围是的说法错误；B选项图象是经过原点的射线的说法错误； ∵该函数的比例系数， ∴函数图象经过第一，三象限，且随的增大而增大，因此C选项图象不经过第三象限的说法错误，D选项说法正确． 2．一次函数 与 的图象位置关系是（   ） A．重合 B．平行 C．相交 D．无法判断 【答案】B 【详解】解：两个函数的一次项系数均为，即相等，常数项分别为和，常数项不相等， 两图象位置关系为平行． 3．如图，一次函数与的图象交于点P，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．所有正确结论的序号为（     ） A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象并结合一次函数的性质逐项分析即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：一次函数与轴交于正半轴，则，故①说法错误； 一次函数的图象经过第一、二、四象限，则；一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，故，②说法正确； 当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方，即，故③说法错误； 当时，，故④说法正确； 一次函数的图象与轴交于负半轴，即，故，⑤说法正确； 综上所述，说法正确的有②④⑤． 4．将一次函数的图象向上平移m个单位长度，若平移后的直线不经过第三象限，则m的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象的不经过第三象限，得到，，进行求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移m个单位长度，得到， 由题意知一次函数的图象不经过第三象限， ∴， ∴， 故m的值可以为4，选项D符合条件． 5．对于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象不经过第二象限 B．随的增大而减小 C．当时， D．函数图象与轴交点坐标为 【答案】A 【分析】根据一次函数的系数k，b判断图象位置与增减性，再计算交点坐标和函数取值范围，逐一判断选项即可． 【详解】解：一次函数为，可得，． 选项A：∵，，∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故A正确； 选项B：∵，∴y随x的增大而增大，故B错误； 选项C：当时，， 又∵y随x的增大而增大， ∴当时，，故C错误； 选项D：令，得，∴函数图象与y轴交点坐标为，故D错误． 6．在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图象与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，随的增大而增大； ③点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．②④ B．②③ C．①② D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的图象与性质，函数图象的平移，根据函数图象逐一分析判断即可. 【详解】解：由图象可得： 当时，或；故①不符合题意； 当时，随的增大而增大；故②符合题意； ∵在直线上，如图， ∴点在此函数图象上，则符合要求的点有3个；故③不符合题意； 由函数图象过， ∴将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点．故④符合题意， 故选：A． 二、填空题 7．体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为________．（不用写出自变量x的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，找准等量关系是解题关键．先求出钢笔为支，再根据总费用跳绳的单价跳绳的个数钢笔的单价钢笔的个数，由此即可得． 【详解】解：由题意得：购买钢笔的支数为支， 则， 故答案为：． 8．点在直线上，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】将点的坐标代入直线解析式得到与的关系式． 再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴． 9．若函数是一次函数，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义得到，，进而可知的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得：且， ∴． 10．如果点，都在一次函数的图象上，那么______．（填“＞”或“＜”） 【答案】 ＜ 【详解】解：在一次函数中， ， 随的增大而减小， 点，都在该一次函数的图象上，且， . 11．已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数图像的性质等知识点，灵活运用一次函数的性质是解题的关键． 由函数过点易得，由直线经过第一、二、三象限可得且，即，解得：；再说明，最后根据一次函数的增减性即可求得的范围． 【详解】解：∵点在直线上， ∴，即 又∵直线经过第一、二、三象限， ∴且，即，解得： ∴， ∵， ∴n随k的增大而增大， ∵当时，，当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题 12．为保障城市居民夏季用电稳定，甲、乙两个电力工程队同时对某段老旧输电线路进行改造升级，两队每天改造的线路长度均保持不变，合作一段时间后，乙队因设备检修停工，由甲队单独完成了剩余任务，甲、乙两队改造的线路总长度（）与甲队施工时间（天）之间的关系如图所示． (1)甲队比乙队多施工了________天； (2)求乙队停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲队改造的总长度比乙队改造总长度多时，求乙队已经停工的天数． 【答案】(1)30； (2)； (3)乙队已停工的天数是天． 【分析】（1）根据图象获取信息即可找到甲乙工作时间的关系； （2）由题意得到已知点坐标：，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意分析得到甲队每天的改造长度，得到在乙队停工时，甲乙各自完成长度，得到甲队比乙队改造总长度多时实际的改造长度，则可知乙队停工的时间． 【详解】（1）解：根据函数图象，甲队工作55天，乙队工作25天， 甲队比乙队多施工了天； （2）解：设乙队停工后关于的函数解析式为：， 点在图象上， ， 解得， ∴函数解析式为． （3）解：由（1）可知，甲队单独改造30天，改造的长度是，甲队每天改造． 前25天是甲乙合作改造完成， 则乙单独改造的长度是， 当甲改造的长度是时， 工作天数是（天）， 所以乙队已停工的天数是（天）． 13．阅读理解与一题多变问题：探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 探究过程：小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组得出：无论k取何值，一次函数的图象一定经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数的图象是“点旋转直线”． (1)一次函数的图象经过的定点P的坐标是______． (2)已知一次函数的图象与x轴．y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把化为，再进一步求解即可； （2）求解，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， 由，得， 当时，， ； （2）解：一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B， 当，则， ∴， 的面积为3， ， 解得或， 因为函数是一次函数， 所以，即， 解得的和均满足该条件， 故k的值为7或． 14．已知一次函数与． (1)填空：一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为 和 ；一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为 和 ． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象． (3)请问一次函数的图象经过怎样的运动变化可得到一次函数的图象． 【答案】(1)；；； (2)图见解析 (3)一次函数的图象向下平移6个单位长度可得到一次函数的图象 【分析】（1）分别令，，求出两个函数与坐标轴的交点即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据图象进行作答即可. 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， 故一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为和； 同法可知：一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为和； （2）解：由题意，作图如下： （3）解：由图象可知一次函数的图象向下平移6个单位长度可得到一次函数的图象. 15．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积； (3)在直线上是否存在一点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）先利用求出A，B两点的坐标，然后根据点B的坐标求出的函数解析式，最后求出点C的坐标即可求解； （2）先利用函数图象平移的规律，求出平移后直线的解析式以及点M的坐标，根据求解即可； （3）由于是定值，只要满足最小即可．先作点A关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为点Q，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得，所以点B的坐标为． 把代入，得，所以点A的坐标为． 把代入，得，即． 把代入，得，所以点C的坐标为． 所以线段； （2）解： 设平移后的直线与y轴交于点D，则由题意可知 直线的解析式为． 把，联立，得    解得 所以点M的坐标为． 如图1，连接，过点M作，垂足为H，则 ； （3）解：存在，，理由： 如图2，作点A关于直线的对称点，连接，与直线交于点Q， 由对称性知，周长，即此时周长最小． 故点Q满足使周长最小． 由题意可知点的坐标为． 设直线的解析式为， 把点，代入，得   解得 所以直线的解析式为． 把代入，得 ． 所以点Q的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、用待定系数法求函数的解析式、平移、轴对称等．熟练掌握在坐标系中如何求线段的长度以及图形的面积的方法；熟悉常见的最值模型是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $