安徽省太和中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试卷

太和中学2025-2026学年高二年级期中考试 数学试卷参考答案 1．B 2．B 3．C 4．D 5．D 6．D 7．A 8．C 9．BC 10．ACD 11．BC 12． 13．4.2 14． 15．【解析】（1）选出的3个人中有相同编号，则其中两人的编号相同，首先从1，2，3，4这四组双编号组中选出一组，有种选法，再从选过后的7人中选1个人，有种选法，所以选出的3个人中有相同编号的情况有种； 5分 （2）依题意的可能取值为2，3，4，5， 6分 所以，，，． 10分 所以的分布列为： 2 3 4 5 所以的数学期望． 13分 16．【解析】（1）证明：如图，设线段的中点为，连接，，在中，为的中点， 为的中点，所以．又在矩形中，且，所以四边形是平行四边形，所以．因为，为的中点，所以为的中点，又为的中点，在中有．所以可得，又平面，平面，所以平面． 6分 （2）由题意如图建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， 7分 设，且，则，所以，设平面的法向量为，因为，，由，得， 10分 令，则，，所以为平面的一个法向量， 所以； 12分 令，则，所以，即，时，有最大值． 15分 17．【解析】（1）当时，，，求导得，则切线斜率，∴切线方程为：． 3分 （2），求导得，恒成立，当时，，，在上单调递减； 5分 当时，令，解得，时，，单调递减；时，，单调递增；综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；在上单调递减． 8分 （3）当时，在上单调递减，至多有1个零点，不符合题意； 9分 若，由（2）知，当时，取得最小值为． 10分 设，则，故在上单调递增，又． （ⅰ）当时，，故此时没有两个零点； 12分 （ⅱ）当时，，又，故在上有一个零点；当，由可得即，得，则，故，即，又易知，则，即，因此在上也有一个零点． 综上，若有两个零点，实数的取值范围为． 15分 18．【解析】（1）设，动点满足直线和直线的斜率乘积为，所以，即，即，（）．所以曲线的方程为，（）． 4分 （2）①由题意，直线的斜率不为0，设直线：（），，， 联立直线与椭圆的方程消去整理得， 由，即，可得或，则，， 6分 所以，所以 ．综上，． 10分 ②因为点在线段上，且，所以，由题意，在轴的上方或下方，根据对称性不妨取，在轴的上方，如图，所以存在实数，使得，，设，所以，化简得，由①知，所以，所以，即，所以轴． 17分 19．解析：（1）因为，，， 所以，，， 所以的泰勒公式为：， 所以 5分 （2）记，，因为，所以在上单调递增，又，所以时，有，所以． 10分 （3）解：由（2）知，，即，， 所以，即． 令，，则，所以在上单调递减，所以，故，所以， 则，即． 综上，时，． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 太和中学2025-2026学年高二年级期中考试 数学试卷 （满分：150分：考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数的导函数为，若，则的值为（ ） A． B． C．2 D．4 2．若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A． B． C． D． 3．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（ ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.3 4．今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（ ） A．50种 B．60种 C．90种 D．150种 5．已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 6．幼儿园有三个不同的汽车玩具和三个不同的恐龙玩具，以下说法不正确的是（ ） A．将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具排在一起有144种不同的排法 B．将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具都不相邻的有144种不同的排法 C．将这6个玩具排成一排，其中三个汽车玩具的先后顺序一定的有120种不同的排法 D．将这6个玩具分给甲、乙两个小朋友，每人3个，一共有40种不同的分配方案 7．已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，，（）是抛物线上的点，直线的斜率为1，若，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 8．已知实数，满足且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．被16除的余数是15 10．已知数列的前项和为，且，则（ ） A． B．是等差数列 C． D．数列的前项和小于 11．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品（，2，3，4），用表示主持人打开号箱子（，3，4），下列结论正确的是（ ）． A． B．主持人打开3号箱的概率 C．若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D．若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，的系数为12，则的值为__________． 13．射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是__________． 14．椭圆（）的左、右焦点分别为，，以右焦点为焦点的抛物线（）与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）一个小组九人，其中，编号分别为1，2，3，4，5的男生五人；编号分别为1，2，3，4的女生四人，现从该小组中任意选取3人． （1）求选出的3个人中有相同编号的情况有多少种； （2）若选出的3个人中编号的最大值为，求出的分布列和数学期望． 16．（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为上的一点，且，为线段上不包括端点的动点． （1）若为的中点，证明：平面； （2）若，设直线与平面所成的角为，求的最大值． 17．（本小题满分15分）已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围． 18．（本小题满分17分）已知，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是． （1）求点的轨迹的方程； （2）已知点，设过点的直线与交于，两点． ①若，的斜率分别为，，证明：； ②若点在线段上，且．证明：轴． 19．（本小题满分17分）泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的（）阶导数都存在时，它的公式表达式如下： ．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和（）表示在原点处的阶导数． （1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）； （2）当时，比较与的大小，并证明； （3）设，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $