重庆市第一中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

重庆一中高2027届高二下期期中考试 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一可 目要求的， 1已知集合A={-1<x≤}，B={x0<x<2},则AUB=（ A.{x0<x≤1} B.{-1<x<2} C.{x0<x<1} D.{d-1<x<0} 2.已知a、b∈R,则“na>lnb是“ea-b>1”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.某校对学生记忆力X和判断力Y进行统计分析，所得数据如表： 记忆力X 2 6 8 9 判断力Y 7 8 10 12 18 则Y关于X的线性回归方程为（) A.Y=-1.4X+19.4 B.Y=1.4X-2.6 C.Y=1.4x+2.6 D.Y=-1.4x-19.4 4.设X~N12,o2),直P(X≥16)-P(8<X<12)=0.1,则P(X≤8)=（) A.0.3 B.0.35 C.0.4 D.0.45 5.2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bo》，惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的当 的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在 情况： ①平稳落地（概率为0.8）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.1）：重心略偏，90%能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，50%能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（) A.0.91 B.0.92 C.0.93 D.0.94 第1页共4页 6.△ABC三边AB,BC,CA的中点分别为D,E,F,将1,2.3,4,5,6六个数字全部标注在A,B, C,D,E,F六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小， 则不同的标注方法有（) A.72种 B.48种 C.60种 D.36种 7.已知R、乃为椭圆方程C二 5+。=1的左右焦点，点P在椭圆C上，动点MV始终满足远·远=0 N区·N亚=0，则MW的最大值为( A.6 B.7 C.8 D.9 8.已知函数f(x)=血(2x+1)+血(2x-1),在点(6，f()(i∈N)处作曲线y=f(x)的切线，其在上轴 截距记为么，若立f(间≤b+m对meN恒成立，则实数a的取值范围为（） A.1≥2 BA2号 c.等 D.1≥3 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9.盒子中有10.张奖券，其中3张有奖.甲，乙两位同学依次随机抽取一张奖券，记他们中奖的概率分别为 P(4),P(B)则下列说法正确的是 A.若抽取后放回，则P(A)=P(B) B.若抽取后不放回，则P(A)=P(B)A C.若抽取后放回，则P(B)=P(BA) D.若抽取后不放回，则P(B)=P(B1A 10.下列结论正确的是 A.已知事件A和B满足P(A)=名，P(B)=号，P(4B)=7,则P(A)=号 B.E知事件A和B满足P(A)=2P(=子，P(a)=子，则P(B)=? C.若2x-） 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项内160 D.已知(2x-1)1°=a+ax+a2x2++aox°，则a+4+2a2+3a+…+10ao=21 11. 已知函数g()=e-m有三个极值点，西(<名<为)，则 Aa>号 B.若x,2,3成等差数列，则，x,成等比数列 C.若x,为2，为成等差数列，则数列，x,的公差为2血(2- D.若，x子，成等比数列，则数列x,,号的公比为3+22 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知随机事件A,B相互独立，且P(4)=P(B)=0.4,则P(A+B)= 13.已知曲线C:(x2-y2）3=81,则曲线C上的点到(0，)距离的嘬小值为 14:甲、乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8.的8张卡片的背面朝上并搅匀 甲先从中随机抽取2张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取1张卡片.记α为甲抽取的2张卡片中较大编” 者的编号，b为乙抽取的卡片的编号，当a<b<2a时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局i- 的概率为 ;游戏规定：出现“默契局”时，乙得2分，甲得0分，否则乙得0分，甲得1分， 三局游戏后甲、乙两人得分之和X的数学期望E(X)= 四、解答题：共7刀分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15、(本小题满分13分)某高校组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题 意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件4=“学生愿意报名参加答题活动”，B=“学生为男生”， 据统计代团-号P@®1团-号 (1)根据已知条件，依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别 有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 (2)假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 若答题活动设置4道题，且答题规 则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完：已知甲同学报名参加答 题活动，用X表示在本次答题的题目数量，求X的分布列和期望、 参考公式与数据：x2= n(ad-be)? 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+.d) 0:10 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第3页共4页 16.(本小题满分15分)为响应2026年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生， 开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研学营活动。 (1)若数学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，5表示选取的人中来自该 中学的人数，求5的分布列和数学期望； (2)在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动.规则如下：两人一组，每人答2题，答 对不少于3题则获胜，假设每轮答题结果互不影响.已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的 概率都为 ，如果甲、乙两位同学想在此次亮答活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 17.(本小题满分15分)已知椭圆兰 +卡-a>b>0精圆的离心半e=片左顶点为4，下顶点为BC是 2 线段OB的中点，其中S△Bc= 3V5 2 (1)求椭圆方程 的动直线（斜率存在)与椭圆有两个交点P,2.在y轴上是否存在点T使得∠PT2为 锐角？若存在求出这个T点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由. 18.(本小题满分17分)定义：如果函数f(x)在定义域内既有极大值点，也有极小值点x2,且 ()-s）=k(k为常数)，则称函数f)为极值可差比函数，常数k称为该函数的极值差比系数. 为-x2 已知函数fx)=x-1-ahx. (1)当a=2时，判断f(x)是否为极值可差比函数，并说明理由； (2)是否存在a,使f(x)的极值差比系数为2-a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由； （③)若5≤a9,求f(的极值差比系数的取值范国. 3 19.（(本小题满分17分)猫和老鼠在两个房间内游走，每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动， 猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4，若猫和老鼠都在一个房间，那么下 一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率相同，已 知刚开始猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为P.，9n. (1)求第1分钟时，猫和老鼠在同一个房间的概率； (2)求证： a+ 为等比数列 (3)求9n，并分析在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？ 第4页共4页重庆一中高2027届高二下期期中考试 数学答案 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 B A c D B D 8由超蜜0，了创-n(x-小.x>分 图%r四)-二，就点6r0eN地发方程为-1刊=-小. 购=0高h-少0-2+品 2 含0-2+客品-2a+品 结合短意可得2[/0-]=2+1-中5加， 所≥2+1、1 片6a可-2+2品eN,可g号tE唱+树） 二、多项选择题 9 10 11 ABC ABD ABD 11.设函数的导数为f(x)=e*-ax2,则f(x)=e-ax2有三个零点 当a≤0时，f(x)=e-ax2>0,不合题意 当a>0时，分别画出y=e*与y=ax的图象，如图： 所以x<0<-片<龙2<为， eee西 Bc题照安gn”” 即“ 若无，，为成等差数列，则2x=,+为，所以好=分， 所以号，5成等t数列，由5<0<与为，则-巧=发-（色当 即-6x=+号，所以 由字<-1，解特字=-3-25，因为亭-e, mu5-=-2n(}-2血6+22）26-2)-4h(5- 则名-3=-2n(5-1),即数列，，六的公差为-2h（2-1), 故B正确、C错误， 对D:由，之=一，若x,号成等比数列，则号=， 则e物=e2一，即有2x=x+名，故，，名成等差数列，又立=-3-2反，则 菩-(3-2=+25.散差=6+2可-3+25，即数别，5的 公比为3+2√互，故D正确 三、填空题 12 13 14 115 0.64 4 44 14【详解]①甲先从8张卡片中随机抽取2张，有C= 8×7 =28种组合，乙从剩下的6张 1×2 中随机抽取1张，有C6=6种组合， 因此一局游戏中甲乙抽卡的所有可能结果总数为28×6=168种， 甲抽取2张卡片中较大编号为a,乙抽取1张卡片编号为b,“默契局的条件是a<b<2a, 2 由题意可知，a的可能取值是2,3,4,5,6,7,8， 当a=2时，甲抽到的卡片只能是{么，2}，此时需满足2<b<4,则乙只能抽到3，情况数 为1×1=1种， 当a=3时，甲抽到的卡片可以是，3}或2,3}，此时衙满足3<b<6,则乙可以抽到4或 5,情况数为2×2=4种， 当a=4时，甲抽到的卡片可以是在，4}或2,4}或3,4}，此时需满足4<b<8,则乙可 以抽到5或6或7，情况数为3×3=9种， 当a=5时，甲抽到的卡片可以是，5}或2,5}或包，5}或4,5}，此时需满足5<b<10, 则乙可以抽到6或7或8，情况数为4×3=12种， 当a=6时，甲抽到的卡片可以是L,6}或2,6}或3,6}或4,6}或5,6}，此时需满足 6<b<12,则乙可以抽到7或8，情况数为5×2=10种， 当a=7时，甲抽到的卡片可以是包，7}或2,7}或包，7}或4,7}或5,7}或6,7}，此时 需满足7<b<14,则乙只能抽到8，情况数为6×1=6种， 当a=8时，甲抽到的卡片可以是，8}或2,8}或3,8}或4,8}或5,8}或6,8}或亿，8}， 此时需满足8<b<16,没有满足条件的b,情况数为7×0=0种， 因此，“默契局”的总情况数为1+4+9+12+10+6+0=42种，一局游戏成为“默契局”的 版率为P一品-号 ②设单局游戏中甲乙得分之和为Y,则 如果是数契局，乙得2分，甲得0分，此时7=2+0=2，概率为p= 如果不是"默契局”乙得0分，甲得1分，此时7=0+1=1，概*为1-p-子 明弹局同分之和的期这为E们）=2×1径 由于三局游戏是相互独立的，总得分之和X是三局得分之和的累加，根据数学期望的线性 性质，有E(X)=3xEy)=3x三=15 44 3 四、解答题 5()因为P④=号，所以愿意报名参加答愿活动人数为200x120, 又因为Pe0-号， 所以愿意报名参加答题活动的男生人数为120×名=80，愿意报名参加 答题活动的女生人数为120-80=40，则可得到2×2列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 名 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 零假设为H。:学生报名参加答题活动与性别无关， 则X2=200x(20x40-80x602100 100×100×80×120 3 10.828=6.001 5分 依据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001，…6分 (2)X的所有可能取值为：1,2,3,4， Px=-子 心x-2-号-号x=-周)号x=利-周分 .…10分 所以X的分布列为： 1 2 3 2 P 2-3 2-9 1 27 27 放幻-1号+2号x号+4 40 9 .13分 16.(1)由题意可知5的可能取值有0、1、2、3， e0是名nG0-管-器 C441 C 1 ΓC22 4分 所以，随机变量5的分布列如下表所示： 5 3 7 21 7 44 44 22 22 所以E(⑤=0x2 +2x ,21 +3x5 7 224 7分 (2)他们在每轮答题中取得胜利的概率为 e=c-c+cc-引cc)- 9分 设他们小组在轮答题中取得胜利的饮数为x,则X-》,(幻-=片，…1分 由5026，即2片026，解得n≥10125 …14分 而n∈N,则”=11，所以理论上至少要进行1轮答题. 15分 1五()：椭圆的离心率为e=克，故a=2c,b=5c,其中c为半焦距， 4(2sa6i)c-9),故e-2x马-49 2 故c=5,a=25,b=3,故椭圆方程为： x2,y2 12*9 =1 5分 ②)过点(0-引的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y=:, 3x2+4y2=36 设P(,y),2(s,当)T(0,),由 -号可得6+42-12a-27=0 故△=14+1086+4W2）上324+576>0且+5=3+4g45=3+ 12k 27 而丽=(6y-)苑=(（-， 故示而=5+6-0小-瑞+（包2小-8分 td -+-侵+r侵-+}得小侵* -7-2-184-1+j+e+2y 3+4k [e+2f--45]+2+八-2” 11分 3+4k3 [3+2r-12t-45≥0 :∠PT0为锐角，：币.T0>0恒成立， 得时可-m0 解得1<·号或1≥3· 综上，存在T(0,)(<.号或23)，使得∠PT2为锐角。 15分 服0当0-2f四-2咖x0以r间-14空子--s0, f(x)在(0，+o∞)上单调递增，所以f(x)无极值点，f(x)不为极值可差比函数……3分. 因定义城为o.f-1时兰二 假设存在a使f(x)的极值差比系数为2-a, 则x,,是方程x2-ax+1=0的两个不相等的正实数根， [4=a2-4>0 则五+为=a,解得a>2,不妨设x<x,则名2>1，…。 5分 x52=1 r6e号咖-f咖经 所2-2学从通毫1，得5安油0一8分 令8=x士-2nx(x>1.g)=-2红1.->0， 2 所以g(x)在(1，+∞)上是严格增函数，所以g(x)>g)=0, 因此无解，所以不存在a使f(x)的极值差比系数为2-a,… 10分 6 )由回)如极值诺比系数为2一身即-学如受 不动设0<<名，令一安，eQ,极值卷此系数可化为2-告r G=t-点+2=+2，又45as号，解得号1,2分 x2x2 3 令p0=2-r兮p0=- (2int+1-t 陵0)-2+片(g1.0-子-14-0， 所以40)在号剖]上单送减，当[周引时，A0):4得)>0-0,15分 从而p(0>0,m以p肉在号上单调递增，所以p产p)=P), 即2-h9sp)s2-2h3， 17分 所心内的版值美比系数的取值范为2-子和9,2-2山 19.(1)设为第1分钟时， 猫在i号房间，老鼠在j号房间，则 P(60)=0.4x0.5=0.2,P6%)=0.4x0.5=02,P6o）=0.6x0.5=0.3,P6)=0.6x0.5=0.3, 记事件A为“猫和老鼠在同-个房间”，则P(4)=P(0)+P()上0.5， 所以第1分钟时，猫和老鼠在同一个房间的概率为0.5… 3分 2)依题意，A=4w=0a-号g月 当n21时，猫在第n分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继线保持在0号房间的概率为子， 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为0-)， 金疑率公试得n号+号0-p小卢号则分{引 而A方品，因此数列引是首项为品，公比为-兮的管比数列， 方气周，A1满是上式则=分6分 老鼠第n分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为1-P,)1-9), 上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为P（-9小分， 上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为91-P)片， 由全概率公式。得g,=-P0-g+p1-g+9（-p分， 即gn=1-a-9u 8分 22 1坠婴得}-学-+号+引 而9.+5P3 5.4-_1 又因为9+3P36’ 所以{+号弘，司}以-名为首项，号为公比的等比数列 10分 由a1-引学-学， 即a八-新门名 因此数列口-名{兮门}是首项为言公比为-号的等比做列， 12分 而。=0也满足上式， 则，-)+引，显然=0不是共大位， l4分 设a(-(周”，当为商时.4-（周（月o, 当且仅当m=1时取等号，a,最大值为0，当n为偶数且n≥2时，42亏0， 113 当时，们4,值为4， 11311 则9，的最大值为9,2十石×020，所以在第2分钟时，老鼠在0号房间的概率最大 17分 8