精品解析：四川省南充市南部县振兴初级中学2025--2026学年八年级下学期期中学情监测数学试卷

振兴初级中学2026春八年级下学期期中学情监测 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任何实数 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式化简后，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ） A. 3、4、5 B. 5、12、13 C. 9、14、15 D. 12、16、20 5. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图1是两个小朋友玩跷跷板的实物图，图2是其示意图，支柱垂直于地面，点，分别是，的中点，，那么小朋友在游戏中，点离地面的最大高度是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线和相交于点，于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，、是菱形的顶点，点从点出发，按顺时针方向绕四边形的边运动，点从点是出发，按逆时针方向绕四边形的边运动，若点的速度是点的速度的2倍，则点和点第2026次相遇时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，点E是的中点，作交于F，若，，下列结论中：①，②，③，④，正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 12. 如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，；记的面积为，的面积为，则的值为________． 13. 如图，小泉设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成黄色，然后缠绕红色油纸．已知圆筒高，其圆筒底面周长为，如果在表面缠绕油纸4圈，最短需裁剪油纸________m． 14. 若，则________． 15. 对于任意的正数a、b定义运算“★”为：a★b＝，则（3★2）×（8★12）的运算结果为___． 16. 如图，在中，，，，点D是平面内到点A的距离等于4的任意一点，点M是的中点，则的取值范围是 ___________ ． 三、解答题（共86分） 17. 计算 （1） （2） 18. 已知，， （1）直接写答案：________；________；________． （2）根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算下列式子的值： 19. 实数，在数轴上的位置如图所示： （1）比较大小：________0，________0，________0； （2）化简． 20. 如图，在中，，，，．求： （1）的周长； （2）判断是否是直角三角形？为什么？ 21. 已知点、分别是平行四边形的边、的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求平行四边形的周长． 22. 如图，中，，分别为，的中点，，，垂足分别为，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 23. 已知，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： （1）直接写答案：________ （2）计算：； （3）若，求的值． 24. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点，运动的时间是秒，过点作于点，连接，． （1）________，________，________，________（用含t的代数式表示） （2）连接，与能垂直吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； （3）当为直角三角形时，求值． 25. 如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有________________； （2）如图2，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，与交于点，已知，，求的中线的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 振兴初级中学2026春八年级下学期期中学情监测 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任何实数 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A． ，故不是最简二次根式，不符合题意； B．，故不是最简二次根式，不符合题意； C．，故不是最简二次根式，不符合题意； D．是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不能含有开得尽方的因数或因式；熟练掌握最简二次根式必须满足的两个条件是解题的关键． 3. 下列各式化简后，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，二次根式的性质及化简，解题的关键是用二次根式的性质分别对选项进行化简，再判断是否可以合并． 【详解】A．与不能合并，不符合题意； B．与不能合并，不符合题意； C．与能合并，符合题意； D．与不能合并，不符合题意； 故选：C． 4. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ） A. 3、4、5 B. 5、12、13 C. 9、14、15 D. 12、16、20 【答案】C 【解析】 【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、32+42=52，故能组成直角三角形，正确； B、52+122=132，故能组成直角三角形，正确； C、92+142≠152，故不能组成直角三角形，错误； D、92+122=152，故能组成直角三角形，正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 5. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，注意：平行四边形的判定定理有：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：如图， 、∵， 四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意； B、， 四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意； C、，， 四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意； D、根据可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形是平行四边形，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 如图1是两个小朋友玩跷跷板的实物图，图2是其示意图，支柱垂直于地面，点，分别是，的中点，，那么小朋友在游戏中，点离地面的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为垂直于地面，B点到地面的垂线也垂直于地面，所以，因为点，分别是，的中点，所以是的三角形中位线，即可建立与所求高度的数量关系． 【详解】解：由题意得，地面，地面，点A、C重合， ∴； 又点，分别是，的中点， ∴是的三角形中位线； ∴ ． 因此点离地面的最大高度是 ． 7. 如图，在菱形中，对角线和相交于点，于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出的度数及，利用等腰三角形性质求出，在 中利用直角三角形两锐角互余求出，最后根据直角三角形斜边中线性质得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 在 中，∵， ∴ ， ∴． 8. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况：当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长；当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短；结合勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长， 最大值为， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最小，最小值为； 由垂线段最短可知，当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短，最小值等于圆柱形饮料罐的高， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最大，最大值为； 综上，的范围是． 9. 如图，、是菱形的顶点，点从点出发，按顺时针方向绕四边形的边运动，点从点是出发，按逆时针方向绕四边形的边运动，若点的速度是点的速度的2倍，则点和点第2026次相遇时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质，坐标系的特点，勾股定理得到，结合点的运用，找到第一次相遇时，点M在点D处，坐标为；第二次相遇，点M在线段的处，即点的位置；第三次相遇，在点处；第四次相遇，此时坐标为；点的坐标每3次相遇循环一次，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的周长， 已知点从点出发，按顺时针方向绕四边形的边运动，点从点是出发，按逆时针方向绕四边形的边运动，点的速度是点的速度的2倍， ∴设点的速度为，则点的速度为，设时间为， 第一次相遇时，两点路程和为， ∴，则， ∴，此时点M在点D处，坐标为； 第二次相遇，两点路程和为，则，此时点M在线段的处，即点的位置，如图所示， 第三次相遇，两点路程和为，则，即，即从运动到的处，如图所示的点处， 第四次相遇，两点路程和为，则，此时点M在点D处，此时坐标为； ， ∴点的坐标每3次相遇循环一次， ∵， ∴第2026次相遇时点的坐标与第1次相同，为． 10. 如图，在平行四边形中，点E是的中点，作交于F，若，，下列结论中：①，②，③，④，正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】延长、交于点M，结合平行线的性质和中点利用可证，得到，，再结合根据垂直平分线的性质可得，进一步可得，，即可判断①②④正确；③缺少条件证明． 【详解】解：如图，延长、交于点M， 在中，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故④正确； 由现有条件无法证明，故③不一定正确， 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 【答案】7##七 【解析】 【分析】根据题意设多边形边数为，结合多边形内角和定理与多边形外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 解得：， 即这个多边形的边数为7． 12. 如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，；记的面积为，的面积为，则的值为________． 【答案】66 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的面积． 根据勾股定理求出，进而推出，再根据题意推出，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：66． 13. 如图，小泉设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成黄色，然后缠绕红色油纸．已知圆筒高，其圆筒底面周长为，如果在表面缠绕油纸4圈，最短需裁剪油纸________m． 【答案】1 【解析】 【分析】将圆筒侧面展开为矩形，把缠绕油纸的问题转化为求直角三角形斜边长度，再乘以圈数得到油纸最短长度． 【详解】解：如图，将圆筒展开后成为一个矩形，整个油纸也随之分成相等4段只需求出长即可， 在中， ，， ， ， ． 最短需裁剪油纸． 故答案为：1． 14. 若，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，则可得，再代入计算可得的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， ∵， ∴， ∴． 15. 对于任意的正数a、b定义运算“★”为：a★b＝，则（3★2）×（8★12）的运算结果为___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意选择合适的对应法则．因为3＞2，所以选择第二种对应法则；8＜12，选第一种对应法则． 【详解】解：∵3★2＝，8★12＝ ∴（3★2）×（8★12）＝（）（） ＝2（）（） ＝2． 故答案为2． 【点睛】主要考查二次根式的乘法运算及化简．定义新运算题型能很好的考查学生对新情景知识的学习能力．读懂题意，按照定义是关键． 16. 如图，在中，，，，点D是平面内到点A的距离等于4的任意一点，点M是的中点，则的取值范围是 ___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，三角形三边关系，勾股定理，关键是由三角形三边关系定理得到． 取中点，连接，，由三角形中位线定理得到，由勾股定理求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，然后由三角形三边关系定理得，解之即可． 【详解】解：如图，取中点，连接，， 是中点， 是的中位线， ， ，，， ， 是中点， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共86分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂、乘方、立方根，再计算加减法即可得； （2）先利用乘法公式计算二次根式的乘法，再计算加减法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知，， （1）直接写答案：________；________；________． （2）根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算下列式子的值： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的加减法计算和的值，利用平方差公式计算的值； （2）先因式分解得出，然后再利用整体代入法计算． 【小问1详解】 解：，， ， ， ； 【小问2详解】 解： 把代入得， 原式 ． 19. 实数，在数轴上的位置如图所示： （1）比较大小：________0，________0，________0； （2）化简． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）由图可知，，，再逐个比较大小即可； （2）结合（1）的结论，根据二次根式和绝对值的性质化简即可． 【小问1详解】 解：由图可知，，， ∴，，； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ∴ ． 20. 如图，在中，，，，．求： （1）的周长； （2）判断是否是直角三角形？为什么？ 【答案】（1） （2）直角三角形，原因见详解 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理分别求出长度，再求的周长即可； （2）由（1）中求出的的三边长度，由勾股定理的逆定理判定即可． 【小问1详解】 解：， ， 在中，，，，则由勾股定理可得； 在中，，，，则由勾股定理可得； 的周长为； 【小问2详解】 解：是直角三角形， 原因如下： 由（1）知，， ， 即， 是直角三角形． 21. 已知点、分别是平行四边形的边、的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求平行四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）16 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线性质得到，再证平行四边形是菱形，于是得到结论． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， 点、分别是的边、的中点， ，， ， 又， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：，，是的中点． ， 平行四边形是菱形， 的周长． 22. 如图，中，，分别为，的中点，，，垂足分别为，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得是的中位线，则，再由，，得，根据对边互相平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，再由两个内角为直角即可得出结论； （2）先根据中位线的性质得，由中点的定义得，由矩形的性质得，，即可由勾股定理求出，再根据即可求解． 【小问1详解】 证明：∵中，，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：由（1）知，是的中位线， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴． 23. 已知，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： （1）直接写答案：________ （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）44 （3）3 【解析】 【分析】（1）分子分母同乘以即可； （2）将每一项都进行分母有理化，再计算加减法即可； （3）先将的值进行分母有理化，再利用完全平方公式变形，代入计算即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：∵， ∴ ． 24. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点，运动的时间是秒，过点作于点，连接，． （1）________，________，________，________（用含t的代数式表示） （2）连接，与能垂直吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； （3）当为直角三角形时，求值． 【答案】（1），，， （2）与能垂直，此时的值为 （3）2或 【解析】 【分析】（1）先求出的长，再根据含30度的直角三角形的性质可得的长，然后根据即可得； （2）先证出四边形是平行四边形，则要使得与垂直，需平行四边形是菱形，再根据菱形的性质可得，建立方程，解方程即可； （3）先求出的长，以及，再分两种情况：①，②，利用含30度的直角三角形的性质建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， 由题意得：，， ∴ ， ∵， ∴在中，． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴四边形是平行四边形， 要使得与垂直，则需平行四边形是菱形， ∴， ∴，即， 解得， ∴与能垂直，此时的值为． 【小问3详解】 解：由上已得：，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ①如图，当时，为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，，即， 解得，符合题意； ②如图，当时，为直角三角形， ∴， ∴在中，，即， 解得，符合题意； 综上，当为直角三角形时，的值为2或． 25. 如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有________________； （2）如图2，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，与交于点，已知，，求的中线的长． 【答案】（1）菱形、正方形 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查四边形综合题、正方形的性质、勾股定理、垂美四边形的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据垂美四边形的定义即可判断； （2）结论：，利用勾股定理即可证明； （3）连接、，只要证明四边形是垂美四边形，利用（2）中结论即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵菱形、正方形的对角线互相垂直，而平行四边形、矩形的对角线不一定互相垂直， ∴菱形、正方形一定是垂美四边形． 【小问2详解】 解：猜想：．理由如下： ∵， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴． 【小问3详解】 解：连接、， ∵， ∴，即， ∵四边形和是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴ ， ∴，又， ∴， ∴ ， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵，， ∴， ，， ∴ ， ∴，∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $