精品解析：四川省南充市南部县南部中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

初2023级2024－2025学年度下期期中质量检测 数学试题 一、选择题 1. 下列式子中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，假命题是( ) A. 两组对边平行的四边形是平行四边形 B. 三个角是直角的四边形是矩形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 3. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（     　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知a，b，c为△ABC的三边，下列条件中，不能构成直角三角形的是（ ） A. a＝8，b＝15，c＝17 B. ∠A：∠B：∠C＝2：2：1 C. a＝1.5，b＝2，c＝2.5 D. ∠A＝∠B＝∠C 6. 使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，丝带重叠的部分一定是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 都有可能 8. 如图，平行四边形中，，垂足分别为E、F；，平行四边形的周长为．下列说法错误的是（ ） A. B. C. 平行四边形的面积是 D. 9. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ） A. 75° B. 60° C. 55° D. 45° 10. 如图，的对角线与相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤平分，正确的结论有（ ）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 11. 顺次连接菱形的四边中点所得的图形为_______． 12. 比较大小：_______（填“”、“”或“”） 13. 若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的面积为__cm2 14. 如图，，，，为中点，则______． 15. 如图，在中，，、分别是与的角平分线，交点为点O，，则___________． 16. 如图，在边长为的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接．则的最小值为________． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2） ． 18. 化简求值： （1）．已知，，求的值： （2）．当时，求的值． 19. 如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）． （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 20. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求平行四边形的面积． 21. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 22. 如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E． （1）求证：△DCE≌△BFE； （2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长． 23. 观察下面的变形规律： ， ， ， … 解答下面的问题： （1）计算： ； （2）若n为正整数，请你猜想 ； （3）计算：． 24. 如图，正方形，点、分别在、上． （1）如图1，当时． ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； （2）如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2023级2024－2025学年度下期期中质量检测 数学试题 一、选择题 1. 下列式子中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，符合题意； B、C、D均为最简二次根式 故选：A 【点睛】本题考查最简二次根式．掌握二次根式的性质是关键． 2. 下列命题中，假命题是( ) A. 两组对边平行的四边形是平行四边形 B. 三个角是直角的四边形是矩形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项判断即可. 【详解】解：A、两组对边平行的四边形是平行四边形，本选项正确； B、三个角是直角的四边形是矩形，本选项正确； C、四条边相等的四边形是菱形，本选项正确； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，本选项为假命题； 故选D. 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，掌握判定定理是解题的关键. 3. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（     　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得 ，根据 、 的值，求出 的值． 【详解】解：， 平分 ． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除混合运算法则判断即可． 【详解】A.，选项错误，不符合题意； B.，选项错误，不符合题意； C.，选项错误，不符合题意； D.，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，熟练运算是本题的关键． 5. 已知a，b，c为△ABC的三边，下列条件中，不能构成直角三角形的是（ ） A. a＝8，b＝15，c＝17 B. ∠A：∠B：∠C＝2：2：1 C. a＝1.5，b＝2，c＝2.5 D. ∠A＝∠B＝∠C 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理和三角形内角和进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴A选项能构成直角三角形，不符合题意； ∵∠A：∠B：∠C＝2：2：1， ∴∠A＝72°，∠B＝72°，∠C＝36°，B选项不能构成直角三角形，符合题意； ∵， ∴C选项能构成直角三角形，不符合题意； ∵∠A＝∠B＝∠C， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，D选项能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，解题关键是能熟练运用勾股定理逆定理和三角形内角和进行判断求解． 6. 使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，再解一元一次不等式组即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故选：C． 7. 如图，丝带重叠的部分一定是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形． 【详解】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同， 所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF． ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF． ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及菱形的判定和性质，利用平行四边形的面积公式得到一组邻边相等是解题关键． 8. 如图，平行四边形中，，垂足分别为E、F；，平行四边形的周长为．下列说法错误的是（ ） A. B. C. 平行四边形的面积是 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为20，设为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得长，乘以4即为平行四边形的面积；再利用勾股定理通过计算求得的长，即可判断． 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴， 设为x， ∵， ∴，解得， 即，，故选项A、B正确，不符合题意； ∴平行四边形的面积是，故选项C正确，不符合题意； 在中，， ∴， 在中，， ∴，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，主要利用了平行四边形的对边相等． 9. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ） A. 75° B. 60° C. 55° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB＝（180°−150°）＝15°， ∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 10. 如图，的对角线与相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤平分，正确的结论有（ ）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算，利用上述性质，逐项判断即可解答，熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系． 【详解】解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 是等边三角形， , ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ，， ，， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中， ，故②正确； 由②知：， ， 故③正确； ， ，故④错误； ， 为等腰三角形的角平分线， 平分，故⑤正确， 故正确的为：①②③⑤， 故选：B． 二、填空题 11. 顺次连接菱形的四边中点所得的图形为_______． 【答案】矩形 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，掌握三角形的中位线定理，菱形的性质，矩形的判定，是解题的关键．结合顺次连结菱形各边中点所得的新四边形的两组对边分别平行于菱形的两条对角线，菱形的两条对角线是互相垂直的，则新四边形的两组对边分别平行，邻边垂直，即可作答． 【详解】解：依题意，顺次连结菱形各边中点所得的新四边形的两组对边分别平行于菱形的两条对角线，菱形的两条对角线是互相垂直的， 则新四边形的两组对边分别平行，邻边垂直， ∴顺次连接菱形的四边中点所得的图形为为矩形； 故答案为：矩形 12. 比较大小：_______（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较的方法，首先求出、的平方，比较出它们平方的大小关系，然后根据两个负实数，平方大的反而小，即可得出答案，熟练掌握正实数负实数，两个负实数，平方大的反而小． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 13. 若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的面积为__cm2 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的判定，勾股定理和矩形的性质可求得答案. 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC，OD=OB， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=OB=AB=AC=4， ∵矩形ABCD， ∴AB=CD=4，∠ABC=90°， 在△ABC中，由勾股定理得：BC=4 ∴矩形的面积=4×4=16． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，等边三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 14. 如图，，，，为中点，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半及等腰三角形的性质，掌握相关性质正确推理计算是解题关键．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半及等腰三角形等边对等角的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：，，，为中点， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，、分别是与的角平分线，交点为点O，，则___________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，，，，证明，得出，同理得出，求出，根据平行线的性质得出，求出，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵、分别是与的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，数形结合． 16. 如图，在边长为的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接．则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得、、三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 取的中点，连接，， 则， ， ， 当、、三点共线时，取最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点到的中点的距离是定值是解题的关键． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2） ． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算： （1）先把各二次根式化简，然后再进行合并即可； （2）原式根据二次根式的除法以及完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 化简求值： （1）．已知，，求的值： （2）．当时，求的值． 【答案】（1）； （2）25 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，二次根式的混合运算， （1）先求出，，再利用平方差公式求解即可； （2）把化为，再代入求解即可 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴ 19. 如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）． （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； 【小问2详解】 解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 20. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明四边形是平行四边形，再由可得出结论； （2）先由菱形的性质得出，，，再由勾股定理求出，从而得，即可求得，则，设与之间的距离为h，则可求解菱形的面积平行四边形的面积，而菱形的面积，代入即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形 ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设与之间的距离为h， ∵菱形的面积，平行四边形的面积， ∴菱形的面积平行四边形的面积， ∵菱形的面积， ∴四边形的面积． 21. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，延长交于，由（1）可知，，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，证明，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 延长交于， 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，， 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即：椅子最高点到地面的距离为． 22. 如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E． （1）求证：△DCE≌△BFE； （2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由AD∥BC，知∠ADB=∠DBC，根据折叠的性质∠ADB=∠BDF，所以∠DBC=∠BDF，得BE=DE，即可用AAS证△DCE≌△BFE； （2）在Rt△BCD中，CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，知BC=2，在Rt△BCD中，CD=2，∠EDC=30°，知CE=，所以BE=BC﹣EC=． 解：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， 根据折叠的性质∠ADB=∠BDF，∠F=∠A=∠C=90°， ∴∠DBC=∠BDF， ∴BE=DE， 在△DCE和△BFE中， ， ∴△DCE≌△BFE； （2）在Rt△BCD中， ∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°， ∴BC=2， 在Rt△BCD中， ∵CD=2，∠EDC=30°， ∴DE=2EC， ∴（2EC）2﹣EC2=CD2， ∴CE=， ∴BE=BC﹣EC=． 考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质． 23. 观察下面的变形规律： ， ， ， … 解答下面的问题： （1）计算： ； （2）若n为正整数，请你猜想 ； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； （2）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； （3）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解：； 故答案为： 【小问3详解】 解： 24. 如图，正方形，点、分别在、上． （1）如图1，当时． ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； （2）如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①如图1，可证得四边形是平行四边形，进而可证，即可证得结论； ②在上截取，如图2，则是等腰直角三角形，，由，利用全等三角形性质和正方形性质即可得出结论； （2）如图3，过点作交于点，则四边形是平行四边形，作，交延长线于，利用证明，设，则，运用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：①过点作，交的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②在上截取，如图2， 则是等腰直角三角形，， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， ， 即； 【小问2详解】 解：如图3，过点作交于点， 则四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， 作，交延长线于， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $