专题二：平面向量基本定理与坐标运算（3考点7考法）期末专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以平面向量基本定理为核心，通过坐标运算实现几何问题代数化，构建“概念-运算-应用”三阶训练体系，强化数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量基本定理|8题（含三点共线参数求解）|向量分解法则、共线定理应用|从基底概念生成到参数问题推导，奠定向量表示基础| |坐标表示与运算|12题（含平行垂直判定）|坐标运算法则、向量关系转化|实现向量运算代数化，连接几何条件与代数表达| |几何应用|4题（含长度角度计算）|向量法解决几何问题|综合运用前两模块知识，体现数学语言表达几何关系|

专题二：平面向量基本定理与坐标运算 考点1：平面向量基本定理 1 考法1：利用基本定理进行向量分解 1 考法2：利用三点共线定理求解参数 3 考点2：向量的坐标表示与坐标运算 6 考法3：向量的坐标运算 6 考法4：利用坐标判定平行与垂直 10 考法5：已知平行或垂直条件求参数 11 考点3：平面向量在几何中的应用 13 考法6：用向量法求几何图形中的长度 13 考法7：用向量法求几何图形中的角度 14 注意事项 1. 本专题主要考查平面向量基本定理、坐标运算及其在几何中的应用，题型涵盖选择、填空和解答题，难度适中. 2. 重点掌握向量的线性运算、坐标表示、数量积以及利用向量法解决几何问题（如长度、角度）. 3. 注意向量运算的几何意义，解答题需写出详细的推导过程. 1 2 3 4 5 A D 见解析 C 6 7 8 9 10 B 见解析 ACD 11 12 13 14 15 3 B 4 ABD 16 17 18 19 20 B 见解析 见解析 21 22 23 24 C 考点1：平面向量基本定理 考法1：利用基本定理进行向量分解 1.（单选）在中，点在边上，.记，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据题意，在中，， 故， 又在中，， 【点拨】利用向量的加减法法则和数乘运算，将未知向量用已知基底表示. 2.（单选）如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由已知为线段上一点，设，， 则， 又，则， 所以， 则，解得， 【点拨】利用三点共线定理或向量的线性运算，将向量用同一组基底表示，根据平面向量基本定理对应系数相等求解. 3.（解答）如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接.试用和表示. 【答案】 【解析】在四边形中，. 在四边形中，. 又因为，分别是，的中点，所以，. 所以，即， 又因为，，所以，. 所以. 【点拨】利用向量的加法法则，构造封闭图形，结合中点性质将未知向量转化为已知基底向量. 考法2：利用三点共线定理求解参数 4.（填空）在中，为直角，的平分线交于，且有.若，则＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【解析】如图，过点作交于点，交于点， 则，所以，即，. 又因平分，且，则，解得， 则，因此，又， 则 .解得. 【点拨】利用角平分线定理求出边长关系，再利用向量的平方求模长. 5.（单选）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设，则 ， 所以，解得， ，则， ，当且仅当时，等号成立， ∴的最小值为. 【点拨】利用三点共线定理求出参数，再利用基本不等式求模长的最小值. 6.（解答）已知中，角，，所对的边分别为，，，点在线段上，，，线段，交于点.（注：，分别表示，的面积）求的值. 【答案】 【解析】已知中，角所对的边分别为，点在线段上，， ，线段交于点. 设，则， 因为三点共线，所以，解得， 所以为中点； ，即； 【点拨】利用三点共线定理求出点的位置比例关系，再利用面积比等于底边比求解. 7.（单选）如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因，，则有，，， 代入（*）可得：，即， 因三点共线，故，因， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为3. 【点拨】利用重心性质和三点共线定理得到参数关系式，再利用基本不等式“1”的代换求最值. 8.（解答）在中，若，，其中，过作直线，与线段，分别交于，两点，求证：. 【答案】见解析 【解析】证明：由 因为三点共线，所以， 即. 【点拨】利用三点共线定理，将向量用共线点的基底表示，系数和为1. 考点2：向量的坐标表示与坐标运算 考法3：向量的坐标运算 9.（填空）在矩形中，，，点满足，则＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则， ， 所以， ，， . 【点拨】建系法是解决矩形中向量数量积问题的有效方法. 10.（单选）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，.记在方向上的投影向量为，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】对于 A，，， ，故 A 正确； 对于 B，， 因为，所以与不平行，故 B 错误； 对于 C，，，， ， 因为，所以，故 C 正确； 对于 D，，故 D 正确. 【点拨】利用向量的坐标运算求出点坐标，再利用投影向量公式求解. 11.（解答）如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.已知向量，的“完美坐标”分别为，，求. 【答案】 【解析】已知向量的“完美坐标”分别为， 所以，， 又分别为正方向上的单位向量，且夹角为， 所以， 所以. 【点拨】理解新定义坐标的含义，将其转化为基底表示，再利用向量数量积求模长. 12.（填空）如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【解析】设等边三角形边长为，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 直线的斜率为：，方程为：， 设，因为在上，所以， 且，依题意， ， 所以，解得（负的舍去），即等边三角形的边长为. 【点拨】建系法是解决多个向量数量积求和问题的有效方法，利用直线方程消元. 13.（单选）设点是单位圆内接正六边形的边上任一点，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】不妨设点在上，则以为轴，线段的中点为原点， 如图，建立平面直角坐标系， 则， 设， 则， ， 故， ， ， 可得， ，则， . 【点拨】利用坐标法，将几何问题代数化，通过二次函数求最值. 考法4：利用坐标判定平行与垂直 14.（填空）已知平面向量，，若，则＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【解析】因为，则，解得. 【点拨】利用向量平行的坐标表示公式求解. 15.（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（ 　　） A. 若，，对任意的非零实数和，则 B. 若，，则向量，的夹角为钝角 C. 若，，且和的夹角为，则 D. 若点在同一平面内，且，则三点共线 【答案】ABD 【解析】对于 A，因，则，故，即 A 正确； 对于 B，由，且与不共线， 则向量，的夹角为钝角，故 B 正确； 对于 C，因， 则，故 C 错误； 对于 D，由，可得， ，即与共线，故三点共线，即 D 正确. 【点拨】判断向量夹角为钝角时，除了数量积小于0，还需注意两向量不能反向共线. 16.（解答）已知，，.若，求的值. 【答案】 【解析】因为，所以， 即，所以， 所以. 【点拨】利用向量垂直的坐标表示得到三角函数关系式，再利用二倍角公式求解. 考法5：已知平行或垂直条件求参数 17.（单选）已知平面向量，，若与垂直，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】已知平面向量，，若与垂直， 则，解得， 所以. 【点拨】利用向量垂直的坐标表示求出参数，再利用模长公式求解. 18.（解答）已知向量，.若，求的坐标以及与的夹角. 【答案】见解析 【解析】设，则，① 故， 由，得，即， 化简得， 将①式代入，得，解得. 将代入①式，得， 即或， 设与的夹角为，则， 所以，即与的夹角为. 【点拨】利用向量垂直的数量积为0列方程，结合模长公式求解坐标，再利用夹角公式求夹角. 19.（解答）已知，，.若，求的值. 【答案】 【解析】因为，，则， 若，则，解得. 【点拨】利用向量平行的坐标表示列方程求解. 20.（解答）已知，，.若，，求. 【答案】见解析 【解析】因为，所以， 又，所以，即， 所以或， 解得或. 【点拨】利用向量平行的坐标表示得到三角函数方程，再利用二倍角公式求解. 考点3：平面向量在几何中的应用 考法6：用向量法求几何图形中的长度 21.（解答）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，.若为线段上一点，且，求的长度. 【答案】 【解析】由正弦定理得：，即， ，由余弦定理得， 因为为锐角三角形的内角，所以. 为边上一点，，， ， 故，所以的长度为. 【点拨】利用正弦定理化简已知条件求出角，再利用向量的平方求线段长度. 22.（填空）在中，，，，所在平面内的点满足：，，则＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【解析】由，则， 如图，建立平面直角坐标系，则，，， 设，则，， 由，则，即，（） 又，，（结合式化简） 在中，由余弦定理，， 所以， 所以，， 两边平方可得，结合， 得，因为， 所以，即， 联立，消去得，， 解得或， 当时，因为，得，即， 当时，得，即，此时，， 而，所以，不合题意. 所以点的坐标为. 所以. 【点拨】建系法是解决平面几何中角度和长度问题的有效方法，通过坐标运算简化几何推理. 考法7：用向量法求几何图形中的角度 23.（单选）如图，在中，，，，是的中点，，与交于点.则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】， 设， 又三点共线，所以， 所以，解得， 所以， ， ， ， ， ， . 【点拨】利用三点共线定理求出向量的基底表示，再利用数量积求夹角余弦值. 24.（解答）如图， 中，，，，， 为 的中点， 与 相交于点 ．已知 ，（其中 ，），求 ． 【答案】 【解析】∵ ，，， ∴ ，，． ∵ ，， ∴ ∴ ． 【点拨】将几何夹角转化为向量夹角时，需结合图形先判定向量的方向与所求角是否一致。在本题的基底化运算中，充分利用直角三角形中两基底向量垂直（即 ）的性质，可使向量的数量积与模长计算大大简化。 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题二：平面向量基本定理与坐标运算 考点1：平面向量基本定理… 考法1：利用基本定理进行向量分解. 考法2：利用三点共线定理求解参数 2 考点2：向量的坐标表示与坐标运算… 考法3：向量的坐标运算… .4 考法4：利用坐标判定平行与垂直… …5 考法5：己知平行或垂直条件求参数 .6 考点3：平面向量在几何中的应用… n7 考法6：用向量法求几何图形中的长度…7 考法7：用向量法求儿何图形中的角度…7 注意事项 1.本专题主要考查平面向量基本定理、坐标运算及其在几何中的应用，题型涵盖选择、填 空和解答题，难度适中 2.重点掌握向量的线性运算、坐标表示、数量积以及利用向量法解决几何问题（如长度、 角度). 3.注意向量运算的几何意义，解答题需写出详细的推导过程. 第1页，共9页 考点1：平面向量基本定理 考法1：利用基本定理进行向量分解 1.(单选)在△ABC中，点D在BC边上，BD=2DC.记AB=a,AD=b,则AC= () A-1a+3 2a+2 B. 3a-6 1a-36 C.d- 22 2”2 2.(单选)如图，在△ABC中，P在线段BC上，满足2BP=PC,O为线段AP上一点， 且B0=BA+元8C,则元的值为（） B 3 D.2 9 3.(解答)如图，在△ABC中，AD=2DB,AE=EC,点F,G分别是DE,BC的中点， 连接FG.试用AB和AC表示FG. B 第2页，共9页 考法2：利用三点共线定理求解参数 4.(填空)在△ABC中，∠BAC为直角，∠BAC的平分线AD交BC于D,且有 AD=AC+tAB.若AB=4,则AD= 5(单选)如图，在aMC中，∠BAC=胥，D=D8,P为CD上一点，且满足 P=m4C+;AB,若S4c=25,则的最小值为（） D B A.2 B.4 C,36 D.8 3 6.(解答)已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,点M在线段BC上， AM=aB+AC,N-AC,线段4M,BN交于点P.(注：So,S分别表示 ABMP,△ABC的面积)求SE的值， S。ABC 第3页，共9页 7.(单选)如图，G为△OAB的重心，过点G的直线分别与OA,OB交于点P,Q,且 0P=m0A,00=n0B，其中m,n∈(0,1，则m+4n的最小值为() G A B B.3 3 C14 D.S 3 8.(解答)在△ABC中，若BF=mBC,A0=nAF,其中m,n∈(0,1)，过O作直线1，与 段AB,AC分别交于D,，E两点，求证：1-m4B+m≥ +m AE n 考点2：向量的坐标表示与坐标运算 考法3：向量的坐标运算 9(填空)在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,点M满足AM=AB+AC,则 MB.MD= 10.(单选)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，0A=（-7,-6),OB=（-1,2), AB=2BP.记OP在OB方向上的投影向量为a,则() A.0P=2,6 B.OP //(OA-20B)C.BOP= D.a=（-2,4) 4 第4页，共9页 11.(解答)如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Qx,Oy构成的坐标系称为“完 美坐标系”.设名，e,分别为Qx,O正方向上的单位向量，若向量OM=x,+y吧2，则把 实数对[x,y叫做向量0M的“完美坐标”.已知向量ā，万的“完美坐标”分别为[-2,1， [5,3],求a+ 12.(填空)如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B,C4上有 10个不同的点，P,D…,P。,记m,=AB2·AP（i=1,2,3,…,10,若m+m2+…+m0=540, 则等边三角形的边长为 B B B4 13.(单选)设点P是单位圆内接正六边形AA,…A。的边上任一点，则 P4+PA++PA的取值范围是() [o C.[10,12] D. 2125 22 第5页，共9页 考法4：利用坐标判定平行与垂直 14.(填空)已知平面向量a=(t-1,2-t,b=(3,-2),若a11b,则t= 15.(多选)关于平面向量，下列说法正确的是() A.若ā=(1,0)，b=(0,1,对任意的非零实数2和μ，则元ā⊥ub B.若ā=(1，-1)，b=(2,4,则向量a,b的夹角为钝角 c.若a=2,=1,且a和6的夹角为120°，则a-2b=2 D若点P,4B,C在同一平面内，且P所-P丽PC,则4B,C三点共线 16.(解答)已知a=(1,1,b=(COSX--sinx,2cosx),c=(cosx+sinx,sinx).若a⊥万，求 tan2x的值. 考法5：已知平行或垂直条件求参数 17.(单选)已知平面向量a=(1,n),万=（-13,1，若a与6垂直，则d=() A.6 B.V14 C.9 D.14 18.(解答)已知向量ā=(2,0)，=4.若(3ā-)1(a+2b),求五的坐标以及a与6的夹 角. 第6页，共9页 19《解答)已知a=(m,6-(),c=(eos0,imc0)0<0<若a1/25-d, 求m的值. 20.(解答)已知a=,sin01,6=cos8,小，0,1eR若1=-5，a/6,求0. 4 考点3：平面向量在几何中的应用 考法6：用向量法求几何图形中的长度 21.(解答)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=1,c=3, (b-c(sinB+sinC)=(sinA-sinC)a.若D为线段AC上一点，且AD=3DC,求BD的长度. 第7页，共9页 22.(填空)在△ABC中，AB=1,AC=V13,AB⊥BC,△ABC所在平面内的点M满足： AM⊥BM,∠AMC=5π，则sin∠MBC= 6 考法7：用向量法求几何图形中的角度 23.(单选)如图，在△ABC中，AB=4,AC=3,∠BAC=60°，D是BC的中点， CE⊥AB,AD与CE交于点F.则cos∠CFD=() E F B 4.257 &⑤ C.17 D.311 19 19 74 74 24.(解答)如图，Rt△ABC中，∠C=90,AC=6,BC=9,BM=青BA,N为AC的 中点，BN与CM相交于点P.已知B=a-b,CM=a+B(其中CA=a, CB=b),求COSLMPN. B P 第8页，共9页 第9页，共9页