重难点02 立体几何截面与轨迹问题（高效培优期末专项训练）数学人教A版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦立体几何截面与轨迹问题，通过4大考点系统覆盖形状判断、度量计算及轨迹分析，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断截面形状|10题（正方体/圆锥/棱锥截面）|选择（含多选）为主，考查几何体截面可能性|从基本几何体截面定性判断，建立空间图形认知基础| |截面周长与面积|10题（四面体/圆台/正方体）|计算型选择/填空，涉及动态截面最值|在形状判断基础上，定量分析截面度量，提升运算能力| |立体几何轨迹形状|10题（玉琮/方斗/勒洛四面体）|结合实际模型，判断轨迹几何特征|从静态截面到动态轨迹，发展空间动态想象| |轨迹长度与面积|10题（正方体/正三棱柱动点轨迹）|含动点轨迹长度计算，综合几何与代数|深化轨迹定量分析，体现数学思维的逻辑性与严谨性|

重难点02 立体几何截面与轨迹问题 4大高频考点概览 考点01判断截面形状 考点02截面的周长与面积问题 考点03立体几何的轨迹形状 考点04立体几何的轨迹长度与面积 ( 地 城 考点01 判断截面形状 ) 1．下列说法中，正确的是（   ） A．有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台 C．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 2．（多选）下列命题中不正确的是（    ） A．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥 B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 3．一个正方体被一个平面所截，其截面图形不可能为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．梯形 D．邻边不垂直的菱形 4．下列命题中为真命题的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台 C．棱台的侧面都是等腰梯形 D．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 5．（多选）用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 6．下面几何体的截面一定不是圆面的是（   ） A．正四面体 B．圆柱 C．圆锥 D．圆台 7．（多选）（多选题）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是（    ） A． B． C． D． 8．下列说法中，正确的是（ ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 B．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 9．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 10．（多选）下列说法正确的是（   ） A．有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱 B．棱台的各侧棱所在直线交于一点 C．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 D．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 ( 地 城 考点02 截面的周长与面积问题 ) 11．四面体ABCD的所有棱长都是3，点M，N，P分别在棱AB，AD，CD上，，，，过M，N，P三点作四面体ABCD的截面，则截面面积_______. 12．已知等腰直角三角形底边长是，该三角形绕其底边旋转一周得到一个旋转体，用垂直于底边的平面去截此旋转体，则所得截面面积最大值为（    ） A． B． C． D． 13．（多选）已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆O的直径AB长为，若C为底面圆周上不同于A，B的任意一点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆锥SO的侧面积为 B．过顶点S作圆锥的截面，截面面积的最大值为 C．若P为SB的中点，过P作平面与底面圆周交于M、N，且，则△PMN的周长的最大值为 D．若，E为线段AC上的动点，则的最小值为 14．如图，AB、CD是圆台的两条母线，若圆台的高为，上底面半径为3，下底面半径为6，则截面ABDC面积的最大值为（   ） A． B． C．18 D．24 15．（多选）如图，在棱长为1的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放置两个小球，两球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为，则下列结论正确的是（    ）      A．平面截正方体所得截面不可能为五边形 B．平面截正方体所得截面面积的最大值是 C．两球半径之和为定值 D．两球体积之和的最大值是 16．（多选）已知一个圆锥的底面半径为1，高为2，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．侧面积为 B．过两条母线的截面面积的最大值为2 C．圆锥的内切球半径为 D．设是圆锥的底面圆直径，是底面圆周上一点，若，则与所成角的余弦值为 17．（多选）已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（    ） A．该正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等 B．平面截该正方体所得截面面积的最大值为 C．直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值为 D．当平面与该正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值 18．（多选）如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（      ） A．平面 B．点到平面的距离为1 C．过作与该正方体所有棱都相切的球的截面，所得截面的面积的最小值为 D．若为直线上的动点，则为定值 19．如图，正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是棱上的动点（含端点），过点，，的平面截正方体所得截面记为，给出下面四个结论：    ①存在，使得为菱形，的面积为； ②当是的中点时，为等腰梯形，的面积是； ③过直线，有且只有一个平面与任意垂直； ④存在，使得直线与所成的角为. 其中所有正确结论的序号是__________. 20．如图，正方体的棱长为2，分别为棱的中点，为棱上的动点，有下列说法：    ①平面截正方体表面所得的交线形成的图形可能为三角形； ②平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形且此时截面面积最大； ③存在点使所有棱和平面所成角都相等； ④点到平面的距离不超过； 则下列说法中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ( 地 城 考点0 3 立体几何的轨迹形状 ) 21．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________. 22．“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（   ） A． B．48kg C．57kg D． 23．正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 24．（多选）如图，在边长为1的正方体中，点P在线段上运动，下列命题中正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与直线所成角为定值 C．在点P运动过程中，平面BPD截该正方体的截面形状为三角形或矩形 D．直线与平面所成角的余弦值的范围是 25．（多选）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是分别以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，则下列结论正确的是（   ） A．记勒洛四面体表面上以，为球心的两球球面交线为弧，其长度为 B．平面截勒洛四面体所得截面的面积为 C．过棱的中点和的平面截勒洛四面体所得的截面的周长小于 D．勒洛四面体的内切球半径是 26．（多选）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是矩形，那么这个几何体可能是（   ） A．圆锥 B．圆柱 C．正四棱锥 D．正方体 27．粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为4cm的正四棱锥，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为________． 28．端午节又名端阳节、粽子节等，它是中国首个入选世界非遗的节日．从形状来分，端午节吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等．其中，四角粽的形状可以近似看成一个四面体，如图所示．设棱的长为，其余的棱长均为，则该四角粽的表面积为________，内含食物的体积为________．（粽叶的厚度忽略不计） 29．（多选）在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，则（    ） A．与为异面直线 B．与所成的角为90° C．平面截该正方体所得的截面形状为矩形 D．三棱锥的外接球体积为 30．锤是中国古代的十八般兵器之一，《说唐演义全传》中天下第一好汉李元霸，宋代名将岳飞的儿子岳云手中的武器都是大锤，还有著名的故事“八大锤大闹朱仙镇”等.大锤有各种形状，其中就有半正多面体形状的.图（1）是著名京剧《八大锤》中的一个场景，图中的大锤共有14个面，其中6个面为正方形，8个面为等边三角形，因此有时也叫做十四面体.图（2）是一个棱数为24的十四面体，它的棱长为1，则该多面体的体积是（   ）                    图（1）                                     图（2） A． B． C． D． ( 地 城 考点0 4 立体几何的轨迹长度与面积 ) 31．在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（   ）    A．4 B． C． D． 32．（多选）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 33．如图，在长方体中，，点E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 34．（多选）如图，在正方体中，，点是正方形内的动点（包含边界），点为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．若点在线段上，则 B．若点在线段上，则的最小值为 C．若点是线段的中点，则点到平面的距离为 D．若，则点的轨迹长度为 35．（多选）如图，在棱长均为2 的正三棱柱中，D 为 的中点，则（    ） A． B．异面直线 与 所成角的余弦值为 C．若分别为 上的点，则的最小值为1 D．若点P 在底面上，且平面，则点P的轨迹长度为 36．（多选）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别为棱，的中点，为侧面（含边界）上一动点（点除外），，则下列结论正确的是（    ） A．若，则平面 B．平面平面 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．若直线与所成的角为，则点的轨迹长度为 37．（多选）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．的最小值为 D．点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 38．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 39．（多选）在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 40．（多选）已知正方体的棱长为1，，其中，且，则下列选项正确的是（ ） A．平面 B．三棱锥的体积为定值 C．的轨迹长度为 D．当时，取最小值 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点02 立体几何截面与轨迹问题 4大高频考点概览 考点01判断截面形状 考点02截面的周长与面积问题 考点03立体几何的轨迹形状 考点04立体几何的轨迹长度与面积 ( 地 城 考点01 判断截面形状 ) 1．下列说法中，正确的是（   ） A．有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台 C．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【答案】A 【详解】对于A，由棱锥的定义判断A正确； 对于B，只有当平面与底面平行时，所截部分才是圆台，故B错误； 对于C，上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱才是正四棱柱，故C错误； 对于D，斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，故D错误． 2．（多选）下列命题中不正确的是（    ） A．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥 B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 【答案】ABD 【详解】只有以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体才叫圆锥，故A错误； 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台， 故B错误； 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，故C正确； 如下几何体不是棱柱，    故D错误. 3．一个正方体被一个平面所截，其截面图形不可能为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．梯形 D．邻边不垂直的菱形 【答案】B 【分析】根据正方体的几何特征，可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项． 【详解】如图，其截面可能为梯形、邻边不垂直的菱形、等边三角形，不可能为直角三角形．        4．下列命题中为真命题的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台 C．棱台的侧面都是等腰梯形 D．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 【答案】A 【分析】根据圆柱、圆台、棱台的定义可判断B，C，D错误，A正确 【详解】对于A选项，圆柱的侧面展开图是一个矩形，正确； 对于B选项，用一个平行于底面的平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台，错误； 对于C选项,只有正棱台的侧面才是等腰梯形，错误； 对于D选项, 以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，错误. 5．（多选）用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 【答案】ABC 【分析】举出符合题意的截面图形的例子即可得. 【详解】对A：如下图：截面与三条侧棱相交，其中， 为线段上任意一点（不与端点重合）， 此时有，即截面是等腰三角形； 对B：如下图：截面中，、，且与不平行， 此时，且与不平行，即截面四边形是等腰梯形； 对C：如下图：截面中，， 此时、，截面四边形是平行四边形； 对D：由正三棱锥只有四个面，不可能交出五边形. 故A、B、C正确，D错误. 6．下面几何体的截面一定不是圆面的是（   ） A．正四面体 B．圆柱 C．圆锥 D．圆台 【答案】A 【分析】根据几何体的性质，分析即可得答案. 【详解】由题意得，圆柱的截面有可能为圆面，圆锥的截面有可能为圆面，圆台的截面有可能为圆面， 正四面体的截面一定不是圆面. 7．（多选）（多选题）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正方体及外接球的特征判断即可. 【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时得C， 当截面过正方体的体对角线时得B， 当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A， 但无论如何都不能截出D． 8．下列说法中，正确的是（ ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 B．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 【答案】D 【分析】根据棱台、棱锥、棱柱的定义和性质对各选项逐一进行判断即可. 【详解】对于A，用一个平面去截棱锥，当平面与底面平行时，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故A错误； 对于B，棱柱的侧面都是平行四边形，棱柱的底面可为任意平面多边形，故B错误； 对于C，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形但不一定全等，如斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，故C错误. 对于D，由棱锥的定义可判断D正确. 9．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状. 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. 10．（多选）下列说法正确的是（   ） A．有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱 B．棱台的各侧棱所在直线交于一点 C．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 D．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 【答案】ABD 【详解】对于A，若两个相邻侧面为矩形，则这两个侧面的公共侧棱一定与底面垂直， 从而所有侧棱垂直于底面，所以该棱柱是直棱柱，故A正确； 对于B，因为棱台是用平行于棱锥底面的平面截得的，故各侧棱延长后必交于一点，故B正确； 对于C，底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心的四棱锥是正四棱锥，故C错误； 对于D，圆锥过轴的截面是由两条母线以及底面直径构成的三角形，故为等腰三角形，故D正确. ( 地 城 考点02 截面的周长与面积问题 ) 11．四面体ABCD的所有棱长都是3，点M，N，P分别在棱AB，AD，CD上，，，，过M，N，P三点作四面体ABCD的截面，则截面面积_______. 【答案】 【分析】对棱长为3的正四面体，由分点比例得各分段边长，延长连线确定截面顶点、、、；作平行线构造等边三角形与全等、相似三角形，推导线段长度与比例，求出边长，再用面积比例作差，求得截面面积. 【详解】因为四面体ABCD的所有棱长都是3，，，. 所以. 延长交于，交于点，连接QM过作交于. 因为为边长为的等边三角形，为的中点， 所以≌，所以. 所以，过作交于点. 所以为边长为1的等边三角形. 所以，，因为，所以. 由余弦定理有 ，则 . ，即 ，即 所以. 所以 设三角形三边：    所以. 所以截面的面积. 12．已知等腰直角三角形底边长是，该三角形绕其底边旋转一周得到一个旋转体，用垂直于底边的平面去截此旋转体，则所得截面面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】得到旋转体后，可得截面为以为直径的圆时，截面面积最大，计算即可得. 【详解】该三角形绕底边旋转一周，得到的旋转体是两个底面重合的全等圆锥， 如下图，易得截面为以为直径的圆时，截面面积最大， 即截面面积最大值为. 13．（多选）已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆O的直径AB长为，若C为底面圆周上不同于A，B的任意一点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆锥SO的侧面积为 B．过顶点S作圆锥的截面，截面面积的最大值为 C．若P为SB的中点，过P作平面与底面圆周交于M、N，且，则△PMN的周长的最大值为 D．若，E为线段AC上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，直接代公式即可求解；对于B，截面为等腰三角形且腰长确定，由基本不等式即可求解；对于C，利用向量法表示出中线长，结合余弦定理，即可求解；对于D，将三角形展开，即可求解. 【详解】对于A，由勾股定理得，由侧面积公式得，故A正确； 对于B，如图截面为，， 设，的高为，则， 可得，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，如图，设， 而， 即，即， 又，所以可化为， 而 ，当且仅当时取得等号. 故的周长为， 即的周长的最大值为，故C正确， 对于D，将翻折到平面上，如图，的最小值即为， 如图，另作出平面图形如下， 易得，， 且， 由两角和的余弦公式得， 在中， . 可得的最小值即为，故D正确. 14．如图，AB、CD是圆台的两条母线，若圆台的高为，上底面半径为3，下底面半径为6，则截面ABDC面积的最大值为（   ） A． B． C．18 D．24 【答案】C 【分析】首先求母线长，再求截面梯形的高，并表示截面的面积，根据基本不等式求最值. 【详解】因为上下底面半径之比为，所以， 所以设，，为母线长，高为， 设上底面圆的圆心为点，下底面圆心为点，所以，，， 所以， 四边形为等腰梯形，，， 则梯形的高为， 所以截面的面积， 当时，即时等号成立. 15．（多选）如图，在棱长为1的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放置两个小球，两球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为，则下列结论正确的是（    ）      A．平面截正方体所得截面不可能为五边形 B．平面截正方体所得截面面积的最大值是 C．两球半径之和为定值 D．两球体积之和的最大值是 【答案】ACD 【分析】根据正方体及球的对称性，结合题意，可知两球的球心在正方体的体对角线上，两球的公切点在体对角线上，公切平面与体对角线垂直，由此可判断A；利用特殊截面，求其面积，可判断B；根据A的判断，结合正方体的性质，求出两球半径之和，判断C；用较大球的半径表示两球的体积之和，根据二次函数在给定区间上的最值，求得体积之和的最大值，判断D. 【详解】由题意知，两球球心到各自相切的三个面的距离相等，所以球心到三个面的距离分别等于对应球的半径， 因此两球的球心在正方体的体对角线上，两球的公切点在体对角线上. 因此公切平面与体对角线垂直，根据正方体的对称性可得， 平面截正方体所得截面不可能为五边形，所以A正确.    如图，当截面为时，因为为正三角形，所以其面积为， 所以B错误. 设两个球的半径为，且，则. 因为每个球都与一个顶点出发的三个面相切，此时可看作两个球分别棱长为的正方体的内切球， 所以两球球心到相应顶点的距离为对应正方体的体对角线的一半，即. 所以，所以，故C正确. 由，，得. 两球体积之和， 在上单调递增，所以当时，取得最大值，最大值为， 所以D正确. 16．（多选）已知一个圆锥的底面半径为1，高为2，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．侧面积为 B．过两条母线的截面面积的最大值为2 C．圆锥的内切球半径为 D．设是圆锥的底面圆直径，是底面圆周上一点，若，则与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】由扇形的面积公式计算判断A；根据圆锥的性质计算判断B；设内切球球心为，半径为，过作，根据相似三角形计算判断C；根据异面直线所成角的求法计算判断D. 【详解】对于A，设圆锥的母线长为，由题意可知， 所以圆锥的侧面积为，故A错误； 对于B，因为过两条母线的截面为等腰三角形， 且， 所以顶角为锐角，故过两条母线的截面面积的最大值为轴截面面积， 其面积为，故B正确； 对于C，设内切球球心为，半径为，过作， 则，，则与相似， 则，即，故C正确； 对于D，过点作交底面圆于，如图所示： 则即为与所成角或其补角， 因为，所以为等腰直角三角形， 所以为弧的中点，为弧的中点， 故， 所以， 所以则与所成角的余弦值为，故D正确. 17．（多选）已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（    ） A．该正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等 B．平面截该正方体所得截面面积的最大值为 C．直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值为 D．当平面与该正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值 【答案】ACD 【分析】本题需要利用正方体的性质，且当平面位置变化时，平面始终与对角线垂直入手去考虑. 【详解】对于A，因为平面与对角线垂直，又平面， 所以平面与平面平行或重合，而正方体各棱与平面所成角，即为体对角线与正方体各棱所成角的余角， 由正方体的对称性易得体对角线与正方体各棱所成角均相等， 故直线与平面所成角也相等，故A正确； 对于B，当平面沿对角线平行移动时， 只有当平面移动到平面（分别为所在棱的中点）时，面积最大. 又由题易知，六边形为正六边形，可求得， 则平面截此正方体所得截面面积的最大值为，故B错误； 对于C，直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值， 即为直线与平面所成角的正弦值，不妨取平面为平面，又， 故等价于求与平面所成角，设与平面交于点， 因为平面，所以为所求角， ，则，故C正确； 对于D，当平面与正方体各面都有公共点时，截图为六边形，如图阴影部分， ， 同理可得 当平面与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值，故D正确. 18．（多选）如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（      ） A．平面 B．点到平面的距离为1 C．过作与该正方体所有棱都相切的球的截面，所得截面的面积的最小值为 D．若为直线上的动点，则为定值 【答案】ABD 【分析】对A，证明，利用线面平行的判定定理得证；对B，利用三棱锥等体积求解；对C，连接交于点，则是的中点，由对称性可得截面的面积最小的圆是以所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为，求出截面圆的半径得解；对D，由，结合向量数量积运算得解. 【详解】对于A，连接，，在正方体中，，而M，N分别为棱，的中点，则， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，设点到平面的距离为， 由，得，又， 则，所以，故B正确； 对于C，连接交于点，则是的中点． 正方体的棱切球的球心是正方体对角线的中点，半径． 由对称性知过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积最小的圆是以所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为. 易得，∴． 故截面圆半径， 此时截面圆面积为，故C错误； 对于D，易得 ，所以，故D正确. 故选：ABD. 19．如图，正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是棱上的动点（含端点），过点，，的平面截正方体所得截面记为，给出下面四个结论：    ①存在，使得为菱形，的面积为； ②当是的中点时，为等腰梯形，的面积是； ③过直线，有且只有一个平面与任意垂直； ④存在，使得直线与所成的角为. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④ 【分析】点与点重合时可判断①，是的中点时作出截面，判断形状后求面积即可判断②，找出一个平面证明与截面垂直且唯一可判断③，求出直线与所成的角的范围即可判断④. 【详解】对命题①，如图，取点与点重合时，由平行平面性质及勾股定理可知    所得截面为菱形，其中，点为的中点，因正方体的棱长为1， 故此菱形对角线，，故此菱形面积，故命题①正确； 对命题②，当是的中点时，连结并延长，与的延长线交于点.    由平行截比易得，因点为中点，易得，，三点共线， 故在三角形中由中位线性质可知，且，故截面为上下底分别为，，腰为的等腰梯形， 故此等腰梯形的高，故此梯形面积为，故命题②错误； 对命题③，设截面（面）法向量，过点作以法向量为方向向量的动直线.    则动直线，因空间中过一点作已知直线的垂线有无数条，且这些直线共面， 故点，动直线共面，设此平面为平面，故平面为过点的直线的唯一垂面，因面， 即在截面内，故平面为过点的截面的垂面，当点与点重合，则动直线即为 故面，故平面即为满足本题要求的唯一平面，取的中点，的中点， 可证四边形为平行四边形，因点为中点，故在正方形内由全等三角形方法可知 ，因面，且面，故. 因，，且和为面内的相交直线，故面，因面，即在截面内， 故截面面，故面为满足要求的过的唯一垂面，故命题③正确； 对命题④，因正方体的棱底面，故当点与重合时，截面即为底面， 此时直线与所成的角为，当点在棱上与点重合时，此时直线与所成的角为， 因点为中点，故，，故在直角三角形中，.    根据最小角定理，直线与平面所成的角是直线与平面内所有直线所成角中的最小角， 故，因，故， 由直线与所成的角的取值范围为，故存在，使得直线与所成的角为，故命题④正确. 故答案为：①③④ 20．如图，正方体的棱长为2，分别为棱的中点，为棱上的动点，有下列说法：    ①平面截正方体表面所得的交线形成的图形可能为三角形； ②平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形且此时截面面积最大； ③存在点使所有棱和平面所成角都相等； ④点到平面的距离不超过； 则下列说法中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①由正方体三组对面互相平行，结合面面平行性质定理可分析截面至少为四边形；②当截面为矩形时面积取值大于所取截面为菱形时的面积；③条棱分为三组直线，由正三棱锥性质易知；④由平面过定直线，则点线距离即为点面距离的最大值可知. 【详解】①正方体有三组对面互相平行，若截面为三角形， 则每组对面上有且仅有一条截面与正方体的交线， 由题意，平面平面， 因为平面平面， 设平面平面，则. 由平面且平面，则. 取中点，过点作，垂足为， 则，且，所以四边形为平行四边形， 所以，则， 不论点在棱如何运动，过点均可作，交棱于，又， 则直线即为交线.(经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行) 故截面图形至少为四边形，不可能为三角形.    故①错误； ②当与重合时，平面即为平面， 此时截面图形为矩形，且面积为. 如图，当与重合，依次连接， 取中点，连接， 由且，则四边形为平行四边形， 则，且， 又由且，则四边形为平行四边形， 则，则，又， 所以四边形为平行四边形，又， 故此时四边形为菱形，其面积为 ， 因此，此时截面虽为菱形，但不是最大截面面积， 故②错误；    ③存在点使所有棱和平面成角都相等. 当点为中点时，分别取的中点， 顺次连接， 易证，则四点共面， 同理，由，则四点共面， 又三点不共线，故五点共面， 由，则平面，即六点共面， 即平面即为平面， 由，平面，则平面， 同理，平面，平面，且， 所以平面平面， 则所有棱和平面所成角即为与平面所成角， 又正方体中条棱所在直线中， 由，且，且， 则只需考虑与平面所成角是否相等即可. 由三棱锥为正三棱锥可知， 与平面所成角相等. 即存在点为中点时，使所有棱和平面所成角都相等， 故③正确；    ④由平面过定直线， 故点到直线的距离，即为点到过的平面距离的最大值. 连接，由上证明同理可证得四边形也为菱形， 故，且点到直线的距离为， 则在过的所有平面中，点到平面的距离的最大值为， 当且仅当与平面垂直时，取到最大值. 故点到平面的距离不超过， 故④正确；    故选：B. ( 地 城 考点0 3 立体几何的轨迹形状 ) 21．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________. 【答案】 【分析】玉琮体积可以分为两部分计算:上下圆筒部分和中部正方体挖去圆柱部分，最后减去空心部分的体积. 【详解】因为圆筒内径长为，所以内圆半径. 外径长为，所以外圆半径 上下两段圆筒总高为，加上中部正方体挖去外圆柱后剩余部分: 上下外圆柱体积+中部正方体体积        = 空心是贯通整个玉琮的内圆柱，总高为， 所以玉琮的体积为. 22．“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（   ） A． B．48kg C．57kg D． 【答案】A 【分析】假设从“方斗”中取出米后，米的高度下降一半至平面处.分析出取出米的质量与剩余的米的质量之比为正四棱台和的体积之比，再根据棱台的体积公式分别求出两个棱台的体积即可得解. 【详解】 假设从“方斗”中取出米后，米的高度下降一半至平面处， 由题意可知正四棱台和的高相等，设为. 因为，所以. 则， . 设剩余的米的质量为， 则，解得， 所以剩余的米的质量为. 故选：A 23．正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 【答案】C 【详解】解析  连结并延长交的延长线于H，连结DH， 因为M是的中点，所以直线DH经过点M， 连接MN，则，则等腰梯形， 即为过、M、N三点的正方体的截面， 故选：C. 24．（多选）如图，在边长为1的正方体中，点P在线段上运动，下列命题中正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与直线所成角为定值 C．在点P运动过程中，平面BPD截该正方体的截面形状为三角形或矩形 D．直线与平面所成角的余弦值的范围是 【答案】AB 【分析】根据三棱锥的体积，可判断A；根据线面垂直的性质，可判断B；举特例判断C；易得为直线与平面所成角，进而求解判断D. 【详解】对于A，由，其中的面积为定值， 在正方体中，， 因为平面，平面，所以直线平面， 所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，连接，在正方体中，平面， 因为平面，所以， 又由，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 所以异面直线与直线所成的角为，故B正确； 对于C，设分别为的中点， 连接，，，则， 设为与的交点， 在正方体中，，则，且， 则此时平面BPD截该正方体的截面为梯形，故C错误； 对于D，在正方体中，平面， 则为直线与平面所成角， 当与重合时，最大，此时平面，则， 当与重合时，最小，而， 此时， 所以直线与平面所成角的余弦值的范围是，故D错误. 故选：AB. 25．（多选）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是分别以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，则下列结论正确的是（   ） A．记勒洛四面体表面上以，为球心的两球球面交线为弧，其长度为 B．平面截勒洛四面体所得截面的面积为 C．过棱的中点和的平面截勒洛四面体所得的截面的周长小于 D．勒洛四面体的内切球半径是 【答案】BCD 【分析】根据勒洛四面体的结构特征，结合余弦定理、扇形面积、空间几何体的截面与内切球相关知识，依次分析各选项即可. 【详解】在正四面体中，为的中心， 是正四面体外接球的球心， 连接、、，由正四面体的性质可知在上. 因为，所以， 则. 因为， 即，解得， 对A选项，如图，取中点， 在中，，， 记该“勒洛四面体”上以，为球心的两球交线为弧， 设为弧上任意一点，根据“勒洛四面体”的对称性，弧在平面上，且平面. 所以. 所以该弧是以的中点为圆心，以为半径的圆弧， 设圆心角为，则，可知， 所以弧长不等于，故A错误； 对B选项，勒洛四面体被平面截得的截面如图所示， 其面积为，则B正确； 对C选项，由A选项可知，过棱的中点和的平面截勒洛四面体所得的截面为平面， 且平面截勒洛四面体所得的截面周长为弧长的3倍，弧长为，故截面周长为. 又，所以，所以所得的截面的周长小于，故C正确； 对D选项，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心， 连接并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径. 因为，所以， 所以勒洛四面体内切球的半径是，故D正确. 故选：BCD 26．（多选）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是矩形，那么这个几何体可能是（   ） A．圆锥 B．圆柱 C．正四棱锥 D．正方体 【答案】BCD 【分析】根据物体特征分析截面可能的情况即可得解. 【详解】用一个平面去截圆锥得到的截面可能为三角形、圆等，不可能出现矩形， 用一个平行于底面的平面去截正四棱锥得到的截面为正方形（也是矩形），故C正确， 用一个平面去截圆柱，正方体，截面的形状都有可能是矩形. 故选：BCD 27．粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为4cm的正四棱锥，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为________． 【答案】 【分析】根据正四棱锥的边长直接计算出正四棱锥的表面积，利用等体积法计算出正四棱锥的内切球的半径，并计算出正四棱锥的高，由此可得出结果. 【详解】正四棱锥的表面积为， 如下图所示： 设正四棱锥底面的中心为点，则平面， , 设正四棱锥的内切球球心为O，球的半径为r， 又由 ， 所以， 所以， 故答案为： 28．端午节又名端阳节、粽子节等，它是中国首个入选世界非遗的节日．从形状来分，端午节吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等．其中，四角粽的形状可以近似看成一个四面体，如图所示．设棱的长为，其余的棱长均为，则该四角粽的表面积为________，内含食物的体积为________．（粽叶的厚度忽略不计） 【答案】 【分析】根据棱锥的表面积公式和体积公式，结合线面垂直的判定定理、三角形的余弦定理，面积公式求解. 【详解】, 所以为锐角，所以， 该四角粽的表面积 ， 取中点为，连接， 则, 所以,即， 且，平面， 所以平面， 内含食物的体积为. 故答案为：；. 29．（多选）在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，则（    ） A．与为异面直线 B．与所成的角为90° C．平面截该正方体所得的截面形状为矩形 D．三棱锥的外接球体积为 【答案】ABD 【分析】对于A利用异面直线的定义即可判断，对于B取的中点为，连接，由正方体性质可知，又，得，则与所成的角即为与所成的角，即或其补角，在计算即可判断，对于C分别取，的中点为，，连接各中点，即平面截该正方体所得截面即为六边形，即可判断，对于D将三棱锥放入长方体中即可计算，进而判断. 【详解】对于A，由异面直线定义可知与不同在任何一个平面内，它们是异面直线，即A正确； 对于B，取的中点为，连接，如下图所示：    由正方体性质可知，又，所以， 因此与所成的角即为与所成的角，即或其补角， 易知，，，满足，即， 所以，因此与所成的角为90°，即B正确； 对于C，分别取，的中点为，，连接各中点，如下图所示：    易知，，，即可知， ，，，，在同一平面内， 所以平面截该正方体所得截面即为六边形， 又，所以截面形状为正六边形，即C错误； 对于D，将三棱锥放入长方体中，如图所示，， 所以，三棱锥的外接球体积为，D正确. 故选：ABD.    30．锤是中国古代的十八般兵器之一，《说唐演义全传》中天下第一好汉李元霸，宋代名将岳飞的儿子岳云手中的武器都是大锤，还有著名的故事“八大锤大闹朱仙镇”等.大锤有各种形状，其中就有半正多面体形状的.图（1）是著名京剧《八大锤》中的一个场景，图中的大锤共有14个面，其中6个面为正方形，8个面为等边三角形，因此有时也叫做十四面体.图（2）是一个棱数为24的十四面体，它的棱长为1，则该多面体的体积是（   ）                    图（1）                                     图（2） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先算出正方体的体积，再算出截去的8个相同三棱锥的总体积，最后用正方体体积减去8个三棱锥的总体积，从而得到十四面体的体积. 【详解】如图，该十四面体是由棱长为的正方体截去8个相同的三棱锥得到的，所以该多面体的体积. 故选：D.    ( 地 城 考点0 4 立体几何的轨迹长度与面积 ) 31．在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（   ）    A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质确定轨迹，进而求出其长度. 【详解】在棱长为4的正方体中，分别取的中点，连接， 连接，由，得四边形是平行四边形， 则，又，平面，平面， 因此平面，平面，又平面，， 则平面平面，而侧面，平面，于是平面， 则点在侧面上的轨迹为线段，又， 所以点在侧面上的轨迹长度为.    32．（多选）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 33．如图，在长方体中，，点E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用面面平行得到轨迹的长度求解即可. 【详解】取的中点，的中点，连接，，， 根据长方体的结构特征，易得，， 因为平面，平面， 故平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面，又平面，且面， 所以平面，即点在平面与平面的交线上， 因为，所以， 所以，所以动点的轨迹长度为.    34．（多选）如图，在正方体中，，点是正方形内的动点（包含边界），点为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．若点在线段上，则 B．若点在线段上，则的最小值为 C．若点是线段的中点，则点到平面的距离为 D．若，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】对A：通过证明平面，可得；对B：将平面沿直线翻折，使得四点共面，则由和均是边长为的等边三角形，可得；对C：借助等体积法可得，再利用余弦定理及面积公式求出即可得解；对D：可得点的轨迹为平面中，以中点为圆心、为半径的圆的圆弧上，即可得其轨迹长度. 【详解】选项A，当点在线段上时，连接， 在正方形中，对角线， 又平面，平面，所以， 于是垂直于平面内的两条相交直线和， 故平面，而平面，因，A正确； 选项B，当点在线段上时，将平面沿直线翻折， 使得四点共面，由和均是边长为的等边三角形， 故，B错误； 选项C，当点是线段中点时，设点到平面的距离为， 则， 又，则， 又， 由余弦定理得， 所以，所以，故，C正确； 选项D，取的中点， 连接，易知，则， 由得点在以为圆心、为半径的圆上，点的轨迹为圆弧， 易知，所以点的轨迹长为，D正确. 35．（多选）如图，在棱长均为2 的正三棱柱中，D 为 的中点，则（    ） A． B．异面直线 与 所成角的余弦值为 C．若分别为 上的点，则的最小值为1 D．若点P 在底面上，且平面，则点P的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】先证平面，即可判断A；先证为异面直线与所成的角或其补角，再解三角形即可判断B，取，分别为，的中点，取，，即可判断C，先证平面 平面，得出点的轨迹为线段，即可判断D. 【详解】对于A，如下图，连接，易得， 因为平面，平面,所以， 又 平面，所以平面， 因为平面，所以 ，A正确； 对于B，如下图，连接， 由题可得，所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，如下图，若,，分别为,，的中点，连接和， 所以，，所以四边形是平行四边形， 又因平面，平面，则，同理可得， 因,则，又因，平面, 则平面,又平面,则， 因,故，即是异面直线 的公垂线段， 故此时的最小值为，C错误； 对于D，如图，取的中点，连接，，， 易得 ， ，由线面平行的判定定理可得平面，平面， 又，平面，平面， 所以平面平面， 因为点在底面上运动，且平面， 所以点的轨迹为线段，所以点的轨迹长度为，D正确. 36．（多选）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别为棱，的中点，为侧面（含边界）上一动点（点除外），，则下列结论正确的是（    ） A．若，则平面 B．平面平面 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．若直线与所成的角为，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【详解】对选项A，连接交于点，连接，则，由题意知， 所以，所以，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 因为平面，平面，所以， 因为，分别为正方形的边和的中点，易证， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故B正确； 分别取，的中点，，过，分别作平面和平面的垂线， 两垂线交于点，则为三棱锥外接球的球心，连接， 易求，，所以，即外接球的半径为， 故其表面积为，故C错误； 由题意知为直线与所成的角， 所以，连接，则，则， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在侧面内的部分， 所以其长度为，故D正确. 37．（多选）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．的最小值为 D．点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】根据体积桥可确定A正确；作出异面直线所成角，结合余弦定理可求得B正确；将与沿直线展开到同一平面内，根据可求得C错误；过作出平面的平行平面截正方体所得的截面，根据线面垂直关系可确定点轨迹即为正六边形，知D正确. 【详解】对于A，连接， 四边形为正方形，， 平面，平面，， 平面，，平面， 点到平面的距离， 又， ，即三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，延长至点，使得，连接， ，，又， 四边形为平行四边形，， 异面直线与所成角即为（或其补角）， ，，， ， 直线与直线所成角的余弦值为，B正确； 对于C，将与沿直线展开到同一平面内，如下图所示， （当且仅当为线段与交点时取等号），； ，，； ，为等边三角形，， ， ， 的最小值为，C错误； 对于D，，，，平面， 平面，又平面，； 同理可证得：， ，平面，平面； 取中点，连接， ，平面，平面，平面， ，平面，平面，平面， ，平面，平面平面， 作出平面截正方体所得的截面，其中分别为的中点，则截面平面； 平面，平面， 则当平面时，， 点的轨迹即为正六边形，点的轨迹长度为，D正确. 38．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 【答案】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上， 又正方体的棱长为2，所以，则， 故点轨迹长度为. 39．（多选）在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先确定球的半径的范围，从而确定球面与正方体各面的交线，再用弧长公式计算总长度，逐一验证选项即可. 【详解】A选项：，则动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧， 则轨迹长度，故A正确； B选项：，则动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧， 则轨迹长度，故B正确； C选项：，则动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹长度相等，当在内运动时， 则，即，则， 所以在内的运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧， 则轨迹长度，故C错误； D选项：，且，动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹长度相等，当在内运动时，则，即，则， 如图所示，设轨迹与，分别交于点，，所以， ，则，同理，则， 所以在内的运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧， 则轨迹长度，故D正确. 40．（多选）已知正方体的棱长为1，，其中，且，则下列选项正确的是（ ） A．平面 B．三棱锥的体积为定值 C．的轨迹长度为 D．当时，取最小值 【答案】AC 【分析】根据题意，得到点在线段上，证得平面平面，可判定A正确；由，结合锥体的体积公式，可判定B错误；由点的轨迹为线段，可判定C正确；当时，得到为线段的中点，求得，将等边和矩形展开在一个平面上，结合余弦定理，求得的最小值，可判定D错误. 【详解】由其中，且， 可得三点共线，即在线段上， 对于A，连接， 在正方体，可得， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面，所以A正确； 对于B，因为在线段上，且平面， 所以，所以B错误； 对于C，因为在线段上，即点的轨迹为线段， 在直角中，可得，所以C正确； 对于D，当时，可得为线段的中点， 此时，， 所以， 又因为在线段上，将等边和矩形展开在一个平面上， 如图所示，设点展开后为点，连接， 在中，可得， 由余弦定理得， 因为，可得，即取最小值为，所以D错误. 1 / 8 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