专题06 三角形中的9倒角几何模型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 聚焦三角形倒角9大几何模型，以模型归类为框架，通过问题情境构建"模型识别-推理应用-拓展迁移"的三阶解题体系，培养逻辑推理与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础模型（8字/燕尾）|16题|构造辅助线转化角关系，利用内角和与外角性质建立等式|从基本图形到复合模型，形成"角的转化-等量代换-公式推导"逻辑链| |角平分线模型（双内/一内一外/叠加）|23题|角平分线性质与整体思想结合，推导角度数量关系通式|从单一平分线到多线叠加，体现"特殊到一般"的归纳推理| |动态操作模型（三角板/折叠）|11题|静态图形动态化处理，运用翻折不变性与运动轨迹分析|融合空间观念与几何直观，构建"静态性质-动态变化-规律提炼"认知路径|

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06三角形中的9倒角几何模型 题型归纳·内容导航 题型18字模型 题型6双角平分线叠加模型 题型2燕尾（飞镖）模型 题型7A字+双角平分线叠加模型 题型38字+燕尾模型 题型8三角板叠放模型 题型4双内角平分线模型 题型9折叠倒角模型 题型5一内一外平分线模型 题型通关·靶向提分 题型18字模型（共7小题） 1.(2023七年级下.上海.专题练习)如图所示，己知AB与CD相交于点F,BE平分LCBF,DE平分 ∠ADC,试说明∠A、∠E、∠C三者之间的数量关系， B 【答案】∠A+∠C=2∠E 【详解】解：如图，连接EF并延长到G, 由三角形的外角性质得，∠1+∠BEG=∠BFG,∠2+∠DEG=∠DFG, ∠A+∠ADF=∠BFD,LC+∠CBF=∠BFD, .∠1+∠2+∠BED=∠BFD, ∴.∠A+∠ADF+∠C+LCBF=2LBFD=2∠I+2∠2+2LBED, :BE平分∠CBF,DE平分∠ADC, 1/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠CBF=2∠1，∠ADF=2∠2， ∴.∠A+LC=2∠BED, .∠A+∠C=2LE. 2.(23-24七年级下.上海杨浦期中)(1)【问题情境】如图1，已知三角形ABC,试说明 ∠BAC+∠B+∠C=180°的理由 D 、、 D M E 图1 图2 图3 解：过A点作DE∥BC(过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行)》 (请按照上述思路继续完成说理过程) (2)【尝试运用】如图2，若∠BAC=80°，DE∥BC且经过A点，∠EAC=nZEAF,∠ABC=n∠FBC,求 ∠AFB的度数（用含n的代数式表示）， (3)【拓展探索】如图3，在三角形ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC,DG平 分∠ADE,BG平分LABC,DG与BG交于点G.若∠A=40°，求∠G的度数 【详解】(1)证明：过A点作DE∥BC(过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行)， ∠DAB=∠B,∠EAC=LC, :∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°， .∠BAC+LB+∠C=180°： (2)解：如图2，过F作FH∥BC, D A E H-- ----->F :∠BAC=80°， B C 图2 :∠ABC+∠C=180°-∠BAC=100°， :DE∥BC, ∴.FH‖DE, ∴.∠EAF=∠HFA, 2/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :FH∥BC, .∠CBF=∠HFB, :∠AFB=∠AFH+∠BFH=∠EAF+∠CBF, :DE∥BC, .LEAC=∠C, ∠EAC=nZEAF,∠ABC=n∠FBC, ∠EAF=1∠EAC,∠CBF=1∠ABC, ∠AFB=∠EAF+∠CBF-L∠EAC+1∠ABC=∠C+∠ABC)=1O0； n (3)解：：DE∥BC, ∴，∠ADE=∠ACF=∠A+∠ABC,∠GFM=∠GDE. :DG平分∠ADE,BG平分LABC, ∠oDE=ACr-A+ZABC,∠GBF-ABc, ∠GRM=∠A+∠ABC)=∠GBF+∠G, ·∠G=1∠4=1x400=20°. 1 2 2 3.(24-25七年级下.上海阶段检测)在ABC的CA、BA的延长线上任取两点D,E,连接DE· 图1 图2 (1)如图1，求证：B+∠C=∠D+∠E; 2)如图2，∠AED和∠ACB的平分线交于点F,求证，∠F=(LB+∠D),(提示：可直接利用(1)的 结论) 【详解】(1)证明：根据题意得∠CAB=∠EAD, :∠CAB+∠B+∠C=LEAD+∠D+∠E=180°， ∠B+LC=∠D+LE; (2):∠AED和∠ACB的平分线交于点F, 3/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠AEH=∠DEH,∠BCG=∠ACG, ∴∠D+∠DEH=∠F+∠ACG①， 由(1)得∠AEH+∠DEH+∠D=LACG+LBCG+∠B, 即2LDEH+LD=2∠ACG+∠B②， ①×2-②得：∠D=2∠F-∠B, F-(28+2D) 4.【模型探究】(1)如图①，己知线段AD、BC相交于点O,连接AB、CD,则有LA+∠B=∠C+∠D·我 们把形如这样的图形称为“八字”模型.甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：：∠A+∠B+∠A0B=180°（①），.∠A+∠B=180°-∠A0B 同理可得，∠C+∠D=180°-∠C0D, 又：∠A0B=∠C0D, ∠A+∠B=∠C+∠D 乙同学证明：：∠A0C=∠A+∠B(②)， ∠AOC=∠C+∠D, .∠A+∠B=∠C+∠D. 甲同学证明过程的理论依据是：① 乙同学证明过程的理论依据是：② 【模型应用】(2)如图②，已知线段AD、BC相交于点O,连接AB、CD,AP、CP分别平分∠BAD、 ZBCD. ①若∠B=30°，∠D=20°，求∠P的度数. 补全下面求解过程， 解：：AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD, ∠1=∠2，∠3=∠4. 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若∠B=a,LD=B,直接写出∠P=一（用含有和B的代数式表示）· 【模型拓展】(3)如图③，己知线段AD、BC相交于点O,连接AB、CD,AP、CP分别为∠BAD、 ∠BCD的三等分线，∠PAD=写B4D,∠PCB=写BCD,若∠B=25,∠D=38, 4/77 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAD+∠BCD=I05°，直接写出∠P的度数= 图① 图② 图③ 【详解】解：(1)甲同学证明： :LA+∠B+LA0B=180°，（三角形内角和等于180°）， :∠A+∠B=180°-∠A0B 同理可得，∠C+∠D=180°-∠C0D, 又：∠AOB=LCOD, ∠A+∠B=∠C+∠D. 乙同学证明： :∠A0C=∠A+∠B,(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和)， LAOC=∠C+∠D, .∠A+∠B=∠C+∠D. 甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于180°， 故答案为：三角形内角和等于180°； 乙同学证明过程的理论依据是：②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和， 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和： (2)①设AD于CP交于点Q,如图②所示： :AP、CP分别平分∠BAD、LBCD, 图② ∠1=∠2，∠3=∠4， ∠0AB=2∠2，∠0CD=2∠4， 在△OAB和△OCD构成的“八字"模型中，∠OAB+LB=∠OCD+∠D, .2∠2+∠B=2∠4+∠D, 5/77 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 24-2-∠2B-D, :∠B=30°，∠D=20°， .∠4-∠2=5°， 在△QAP和△QCD构成的“八字"模型中，∠2+∠P=∠4+∠D, ∠P=∠4-∠2+∠D=5°+20°=25°， 故答案为：25°； ②：∠B=a,LD=B, 0时知：4-2=B-D,∠P=4-42+∠D, ∠4-∠2=a-B 2 ∠P=aB+B=a+B, 2 2， 故答案为：a+B, 2 (3)设AD与CP交于点H,如图③所示 B 图③ 设∠PAD=a,∠PCB=B, :∠PAD=,∠BAD,∠PCB=∠BCD, ∠BAD=3∠PAD=3,∠BCD=3∠PCB=3B, .∠PCD=∠BCD-∠PCB=3B-B=2B, :∠BAD+∠BCD=105°， .3a+3B=105①， 在△OAB和△OCD构成的“八字"模型中，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D, :∠B=25°，∠D=38°， ∴.30+25°=3β+38°， ∴.30-3β=13②， 6/77 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由①，②解得：a= 59 46° 3，B= 3 在△HAP和aHCD构成的“八字"模型中，∠PAD+∠P=∠PCD+∠D, .a+∠P=2B+38°， ∠P=2B-a+38°=2×46°_59 +38°=49°， 33 故答案为：49°. 5.如图，己知线段AB、CD相交于点O,连接AB、CD,我们把形如这样的图形称为“八字图形”. M 0 D 图① 图② (1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D; (2)利用八字图形解决问题：如图②，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,与CD、AB分别交 于点M,N. ①若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数； ②根据①的结果直接写出LB,∠C,LP之间的关系是 【详解】(1)证明：在△A0C中，∠A+∠C=180°-∠A0C, 在△BOD中，∠B+∠D=180°-∠BOD, :∠AOC=∠BOD, ·∠A+∠C=∠B+∠D. (2)解：：在△AMC和aDMP中，∠C+LCAM=LP+LPDM, 在△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN, :∠C+∠CAM+∠B+∠BDN=∠P+∠PDM+∠P+∠PAN, :PA平分∠BAC,PD平分LBDC, ∴.∠CAM=∠PAN,∠BDN=∠PDM, ∠C+∠B=2∠P,即120°+100°=2∠P, ∠P=110°. ②∠B、∠C、∠P之间的关系为2LP=∠B+LC. 理由如下：如下图， 7/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M D :AP和DP分别平分∠CAB和∠BDC, .∠1=∠2，∠3=∠4， 在△AMC和aDMP中，∠C+∠1=∠P+∠3， :∠C=LP+L3-∠1， 在△BDN和△PAN中，∠B+∠4=∠P+∠2， .∠B=∠P+∠2-∠4， ∠B+∠C=∠P+∠2-∠4+∠P+∠3-∠1=2∠P, ·∠B、∠C、∠P之间的关系为2LP=∠B+∠C, 6如图1，己知线段AB、CD相交于点O,连接AC、BD,则我们把形如这样的图形称为“8字型”. B CM 0 图1 图2 图3 (1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D. (2)如图2所示，∠1=130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 (3)如图3，若∠CAB和LBDC的平分线AP和DP相交于点P,且与CD,AB分别相交于点M,N. ①若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数 ②若角平分线中角的关系改成"∠C4P=<C4B,∠CDP4CDB”,试直接写出∠p与∠B,∠C之间 存在的数量关系，并证明理由。 【详解】(1)证明：在图1中，有∠A+∠C=180°-∠A0C,∠B+∠D=180°-∠B0D, :∠A0C=∠B0D, .∠A+∠C=LB+LD; (2)解：如图2所示， 8/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图2 :∠DME=LA+∠E,∠3=LDME+LD, .∠A+∠E+∠D=∠3， :∠2=∠3+∠F,∠1=130°， .∠3+∠F=∠2=∠1=130°， ∴∠A+∠E+∠D+∠F=130°， :∠B+∠C=∠1=130°， ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°. 故答案为：260°， (3)解①以M为交点“8字型"中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP, 以N为交点"8字型"”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP, .2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP, :AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC, ∠BAP=∠CAP,LCDP=∠BDP, ∴2LP=∠B+∠C, :∠B=100°，∠C=120°， P=B+20=10, ②4LP=∠B+3LC,其理由是： :∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB, :∠BAP=3∠CAB,∠BDP=3∠CDB, 4 4 以M为交点8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP, 以N为交点“8字型"中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP, :∠C-∠P=∠CDP-∠CAP=∠CDB-∠CAB), 4 ∠P-∠B=∠BDP-∠BAP=3(∠CDB-∠CAB). 4 9/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3(LC-∠P)=LP-∠B, .4∠P=∠B+3∠C. 7.(2026七年级下.上海.专题练习)如图1的图形我们把它称为8字形”，显然有∠A+∠B=∠C+∠D; 新定义：在图1中，我们把AB,CD,BC,AD叫做“8字形”的边，∠A,∠B,∠C,∠D叫做“8字形” 的内角，“8字形"的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角.例如，图2中，∠BAD,∠BCD为8字 形"的内角，图3中，∠BCE,∠FAD为8字形"的外角. B 图1 图2 图3 A D 图4 图5 (1)在图2中，∠BAD的平分线和∠BCD的平分线相交于点P,若∠B=36°，∠D=16°，求∠P的度数. (2)在图3中，∠BCE的平分线和∠FAD的平分线所在直线相交于点P,猜想∠P与∠B、∠D的关系，并说 明理由. 3)在图4中，∠BCE的平分线和∠FAD的平分线相交于点P,猜想∠P与∠B、∠D的关系，并说明理由. (4)在图5中，∠BCE的平分线和∠BAD的平分线相交于点P,用∠B、∠D来表示出∠P，直接写出结论， 无需说明理由， 【详解】(1)解：AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD, ∠BAP=∠PAD, 设∠BAP=∠PAD=x,∠BCP=∠PCD, 则有 x+∠ABC=y+∠P x+∠P=y+∠ADC ∠ABC-LP=LP-LADC, ∠P=)∠ABC+∠ADC=36°+16)=26°. 2 (2)解：：∠BCE的平分线和∠FAD的平分线所在直线相交于点P, 10/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .ZFAG ZDAG,ZECP ZBCP, :∠B+∠BAO=∠D+∠BCD,① ∠B+180°-2∠FAG=∠D+180°-2∠BCP, 2LFAG-2LBCP=∠B-LD, ∴2∠PAB-2∠BCP=∠B-∠D, :∠P+LPAB+LBAO=∠D+∠BCP+∠BCD,② ②-①，得 ∠P+∠PAB-∠B=∠BCP, ∠PAB-∠BCP=LB-∠P, 2∠B-∠P）=LB-∠D, “∠P=∠B+∠D 2 (3)解：连接PB,PD :直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE, :LFAP=LPAO,∠PCE=∠PCB, :∠APB+LPBA+∠PAB=180°，∠PCB+∠PBC+LBPC=180°， ∴∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°， 同理得到：∠APC+∠ADC+LPCD+∠PAD=360°， 2LAPC+∠ABC+∠ADC+∠PCB+∠PAB+∠PCD+∠PAD=720°， 2LAPC+∠ABC+LADC+LPCE+∠PAB+∠PCD+∠PAF=720°， :∠PCE+∠PCD=180°，∠PAB+∠PAF=180°， .2LAPC+∠ABC+∠ADC=360°， :∠APC=180°-∠ABC+∠ADC. B E (4)解：：直线AP平分∠BAD,CP平分LBCD的外角∠BCE, 11/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠PMB=∠PAD-<BAD,∠PCB=∠PE- ∠BCE, 2∠PAB+∠B=180°-2∠PCB+∠D, 180°-2(LPAB+LPCB)+LD=∠B, :∠P+∠PAD=∠PCD+∠D,∠BAD+∠B=LBCD+∠D, ∴.∠P+∠PAD-∠BAD-∠B=∠PCD-∠BCD, ∠P-∠PAB-∠B=∠PCB, ∠P-∠B=LPAB+∠PCB, 180°-2（∠P-∠B+∠D=∠B, 即P0+<BD1. 题型2燕星（飞镖）模型（共7小题） 8.形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，己知LADC=105°，∠ABC=63°， ∠BAD=22°，则∠BCD的度数为() A.63° B.20° C.85° D.105 【答案】B 【详解】解：连接BD,延长BD到E. B D 112 E :∠1=LA+∠ABD,∠2=∠C+∠CBD, ∠ADC=∠1+∠2=∠A+∠C+∠ABC, :∠ADC=105,∠ABC=63°，∠BAD=22°， 12/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠BCD=∠ADC-∠ABC-∠BAD=105°-63°-22°=20° 故选：B 9.在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°， ∠E=72°，∠F=65°，则∠D的度数为() E B D C A.35° B.45° C.30° D.24° 【答案】C 【详解】解：如图，延长BE交CF延长线于点O,交AC于点M, EQ. M ∠BMC=LA+LB,∠BOC=∠BMC+∠C, B D .∠BOC=∠A+∠B+∠C=107°， ∠E=72°，∠F=65°， ∠0ED=108°，∠0FD=115°， :∠D=360°-115°-108°-107°=30°. 故选：C 10.如图，己知BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD,若∠BAC=,∠BPC=B,则∠BDC的大小为() 13/77 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.a+B B.180°-2B+a C.2β-a D.2a-B 【答案】C 【详解】解：连接AP并延长，如图所示： P D B 它 由三角形外角性质可知LBPE=∠BAP+∠ABP;∠CPE=∠CAP+∠ACP; :BP、CP分别平分LABD、∠ACD, :LABP=LABD;∠ACP=∠ACD: 2 ∠BAC=a,∠BPC=B, ∴.∠B=∠BPC =∠BPE+∠CPE =LBAP+∠ABP)+(∠CAP+∠ACP =(∠BAP+∠CP)+A8D+号ACD a+∠ABD+ZACD .∠ABD+∠ACD=2(B-a), 连接AD并延长，如图所示： A D B .∠BDC=∠BDF+∠CDF =∠ABC+∠BAF）+LACB+∠CAF =∠ABD+∠BAC+∠ACD 14/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =∠BAC+∠ABD+∠ACD) =a+2(B-a =2B-a, 故选：C. 11.如图，∠ABD,∠ACD的角平分线交于点P,若LA=48°，∠D=10°，则∠P的度数() B A.19° B.20° C.22° D.25° 【答案】A 【详解】解：法一：延长PC交BD于E,设AC、PB交于F, y B D :∠A+∠ABF+∠AFB=∠P+∠PCF+∠PFC=18O°， :∠AFB=∠PFC, ∴.∠P+∠PCF=∠A十∠ABF, :∠P+∠PBE=∠PED,∠PED=∠PCD-∠D, ∴.∠P+∠PBE=∠PCD-∠D, :2∠P+∠PCF+∠PBE=∠A-∠D+∠ABF+∠PCD, :PB、PC是角平分线 ·∠PCF=∠PCD,∠ABF=∠PBE, .2∠P=∠A-∠D :∠A=48°，∠D=10°， 15/77 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠P=19°. 法二：延长DC,与AB交于点E. A E B D :∠ACD是△4CE的外角，∠A=48°， ∴.∠ACD=∠A+∠AEC=48°+∠AEC. :∠AEC是△BDE的外角， ∴.∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+1O°， :.∠ACD=48°+∠AEC=48°+∠ABD+10°， 整理得∠ACD-∠ABD=58°. 设AC与BP相交于O,则∠AOB=∠POC, :∠P+5∠ACD=∠A+3∠ABD, 即∠P=48°-3（∠ACD-∠ABD)=19. 故选A. 12.在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果 LA=52,LB=25°，LC=30,∠D=35°，LE=72°，那么∠F=°. B D 【答案】70 【详解】解：延长BE、CF,交于点G,连接AG,如图， 16/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 D .∠AGB=180°-∠B-LBAG,LAGC=I80°-∠C-∠CAG, .∠AGB+∠AGC=180°-∠B-∠BAG+180°-∠C-∠CAG=360°-∠B-∠C-∠BAC=253°， ∠CGB=360°-∠AGB+∠AGC)=107°. ∠BED=72°， .∠GED=108°， .∠GFD=360°-∠GED-∠D-∠CGB=110°， .∠CFD=70°. 故答案为：70. 13.如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于点P,若∠A=48°，∠D=10°，则∠P的度数为 B 【答案】19° 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，熟记性质并作辅助线然后整理出∠A、 ∠D、∠P三者之间的关系式是解题的关键 延长PC交BD于E,根据角平分线的定义可得∠I=∠2，∠3=∠4，再根据三角形的内角和定理可得 ∠A+∠1=∠P+∠3，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠5，整理可得 P∠A-∠D,即可得解 【详解】如图，延长PC交BD于点E,设AC与BP交于点F. :∠ABD、∠ACD的平分线交于点P, B 4 E 17/77 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠1=∠2，∠3=∠4 :∠A+∠1+∠AFB=∠P+∠3+∠PFC,∠AFB=∠PFC, :∠A+∠1=∠P+∠3① :∠5=∠2+∠P,∠5=∠4-∠D, ∠2+∠P=∠4-∠D② ①-②，得∠A-∠P=∠P+∠D, ∠P=∠A-∠D :∠A=48°，∠D=10°， 2P=刘48-10)=19. 14.实验探究： (1)动手操作： ①如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别 经过点B、C,且BC∥EF,己知∠A=30°，则∠ABD+∠ACD=-; A B E 9 图1 ②如图2，若直角三角板ABC不动，改变等腰直角三角板DEF的位置，使三角板DEF的两条直角边DE、 DF仍然分别经过点B、C,已知LA=30°，那么∠ABD+∠ACD=-: 18/77 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F 图2 E (2)猜想证明：如图3，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，并说明理由； O B 图3 (3)灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题： ①如图4，BE平分∠ABD,CE平分LACD,若∠BAC=40°，∠BDC=120°，求∠BEC的度数； E 图4 ②如图5，∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点F、F、、E,若LBDC=110°，∠BF,C=62°，则 ∠A的度数为- B 图5 19/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】(1)①60°；②60°；(2)∠BDC=∠A+∠B+∠C,理由见解析；(3)①80°；②30° 【详解】解：(1)①：BC∥EF,∠DEF=∠DFE=45°， ∠DBC=∠DEF=45°，∠DCB=∠DFE=45°， :∠ABC=90°，∠ACB=60°， ∠ABD=45,∠ACD=15°， .∠ABD+∠ACD=60°， 故答案为：60°； ②：∠BDC=90°， ∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=90°， ∠ABD+∠ACD=180°-∠A-∠DBC-∠DCB=60°， 故答案为：60°； (2)∠BDC=∠A+∠B+∠C,理由如下： 如图3，过点D作射线AF B 图3 根据三角形外角的性质，可得∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=LC+∠CAD, 又：∠BDC=∠BDF+∠CDF,LBAC=LBAD+LCAD, ∴∠BDC=∠A+LB+∠C: (3)①如图4，由(2)可得∠BDC=LABD+∠ACD+∠A, :∠BAC=40°，∠BDC=120°， ∠ABD+LACD=80°， :BE平分∠ABD,CE平分LACD, :∠EBD=∠ABD,∠ECD=∠ACD, 2 2 :∠EBD+∠ECD=)∠ABD+∠ACD=40° n :∠BDC=∠BEC+∠EBD+∠ECD, 20/77 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BEC=∠BDC-∠EBD-∠ECD=120°-40°=80°； D 图4 图5 ③如图5，设∠ABE=x°，∠ACE=y°，则∠ABD=10x°，∠ACD=10y°， :∠BDC=110°，∠BF,C=62 .∠A+4x°+4y°=62°，∠A+10x°+10y°=110°， 解得x+y=8°， ∠A=62°-32°=30°， 即∠A的度数为30°， 题型38字+燕星模型（共2小题） 15.【数学模型】 如图(1)，AD,BC交于O点，根据"三角形内角和是180”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系： ①∠D0C=∠AOB;②LD+LC=LA+LB. 【提出问题】 分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交于点E,如图(2)，∠E与∠D、∠B之间是否存在 某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，己知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于点E. (1)如图(3)，若AB∥CD,∠D=30°，∠B=40°，则∠E=一· (2)如图(4)，若AB不平行CD,∠D=30°，LB=50°，则∠E= (3)在总结前两问的基础上，借助图（2)，写出∠E与∠D、∠B之间的数量关系，并说明理由， 【类比应用】 (4)如图(5)，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E.已知：LD=a、∠B=B,(a<B) ,求∠E的大小，并说明理由（用a、B表示）· 21/77 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 这惑这 图(1) 图(2) 图3) 图(4) 图(5) 【答案】(1D35:2》40:3》∠E=∠D+∠，理由见解折：(4)∠E=B-a) 【详解】解：(1)如图3， :∠D+∠DCE=LE+∠DAE,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB, .∠D+∠DCE+LB+LEAB=2LE+LDAE+LECB, :EC平分∠ECB,AE平分∠BAD, ∴.∠DCE=∠ECB,∠DAE=∠BAE, 2∠E=∠B+∠D, ∠E=2D+∠B-330+409)=350, 故答案为：35°， (2)如图4，∠D+∠1=∠E+L3,∠B+∠4=∠E+∠2， .∠D+∠1+LB+∠4=2∠E+L3+L2, :EC平分∠ECB,AE平分∠BAD, .∠1=∠2，∠3=∠4， 2∠E=∠B+∠D, 2E=D+∠830+50=40 故答案为：40°， 3》∠E=∠D+∠8，理由如下： :∠D+∠DCE=∠E+LDAE,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB, ∠D+∠DCE+∠B+∠EAB=2E+∠DAE+∠ECB, :EC平分∠ECB,AE平分∠BAD, ∴.∠DCE=∠ECB,∠DAE=∠BAE, 2∠E=∠B+∠D, :∠E=LD+LB): 2 22/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)如图5，延长BC交AD于点F, D E B :∠BFD=∠B+∠BAD, ∴.∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D, :EC平分∠ECB,AE平分∠BAD, :∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD, :∠E+∠ECB=LB+∠EAB, ∠E=∠B+∠EAB-∠ECB=∠B+∠BAE-∠BCD=∠B+∠BME-∠B+∠BAD+∠D)=∠B-∠D, :∠D=,∠B=B, ∠E=p-a 16.模型规律：如图1，延长CO交AB于点D,则LB0C=∠1+LB=LA+LC+LB 因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“LB0C=∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做 “箭头四角形”. D 1309 B 图1 图2 图3 B D 图4 图5 图6 图7 模型应用 (1)直接应用： ①如图2，∠A=60°，∠B=20°，∠C=30°，则LB0C=-°； 23/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②如图3，∠A+∠B+∠C+∠D+LE+LF=_; (2)拓展应用： ①如图4，∠AB0、∠AC0的2等分线（即角平分线）BO、CO,交于点O,已知LB0C=120°， ∠BAC=50°，则∠BO,C=—°； ②如图5，B0,、CO,分别为∠AB0、∠AC0的10等分线(i=1,2,3,,8,9)·它们的交点从上到下 依次为O、O、Q、、Q.已知LB0C=120°，LBAC=50°，则∠BOC=_; ③如图6，∠AB0、∠BAC的角平分线BD、AD交于点D,已知LB0C=120°，LC=44°，则∠ADB=—; ④如图7，∠BAC、∠B0C的角平分线AD、OD交于点D,则∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 【答案】(1)①110；②260 2085:②9：8142：0∠D-<C-∠8 【详解】(1)解：(1)①∠B0C=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°； ②LA+∠B+LC+∠D+∠E+LF=∠B0C+∠D0E=2×130°=260°： 30 图3 (2)①∠B0,C=∠B0C-∠OB0,-∠OC0 =LB0C-(LAB0+∠ACO) =ZBOC-(ZB0C-ZA) =180C-2(120°-50) =120°-35° =85°； ②∠B0,C=∠B0C-3LB0C-∠H) 10 -120- 120°-50) =120°-21° 24/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =99°； ③∠ADB=180°-∠ABD+∠BAD =180°- 3 (LBOC-∠C) 10 =180°-3(120°-49 =142°； ④LB0D=∠B0C=LB+LD+5∠BAC, LBOC=LB+LC+∠BAC, 联立得：LB-∠C+2∠D=0. 所以∠D=∠C-∠B 题型3双内角平分线模型（共5小题） 17.(24-25七年级下.上海月考)如图，在ABC中，B0、C0分别平分LABC和∠ACB,过点0作 DE∥BC,分别交边AB、AC于点D和点E,如果LBAC=70°，∠ABC=50°，那么∠EOC-∠BOD= A D B 【答案】5° 【详解】解：：BO平分∠ABC,LABC=50°， :∠0BC=∠ABC=25°， 2 :∠BAC=70°， ∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°， :CO平分LACB, :∠0cB=∠4CB=30°， 2 :DE∥BC, ∠E0C=∠0CB=30°，∠B0D=∠0BC=25°， ∠E0C-∠B0D=30°-25°=5°. 25/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：5° 18.(24-25七年级下.上海浦东新·期中)如图，点D是ABC的内角∠ABC和∠ACB的平分线BD和CD的 交点，若∠BDC=113°，则∠A= B D 【答案】46° 【详解】解：：∠BDC=113, .∠BCD+∠DBC=67°， :点D是ABC的内角∠ABC和∠ACB的平分线BD和CD的交点， :∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB, 2 .∠ABC+∠ACB=2∠DBC+2∠DCB=2×67°=134°， .∠A=180°-∠ABC-∠ACB=46°： 故答案为：46°. 19.(24-25七年级下.上海青浦期中)如图，在ABC中，BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,如果 ∠A=82°，那么∠BEC=. 【答案】131 【详解】：∠A=82°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=98°， :BE平分∠ABC,CE平分∠ACB, :∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB, 2 2 :∠EBC+∠ECB=(LABC+∠ACB)=x98°=49 :.∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB)=131°， 26/77 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：131. 20.(25-26七年级下.上海松江期中)如图，在ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线0B、OC相交于点O. B (1)若∠A=70°，则∠B0C= (2)探究∠A与∠B0C的数量关系，并说明理由. 【详解】(1)解：：ABC的内角和为180°，∠A=70°， ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°， :OB、OC为∠ABC、∠ACB的平分线， ÷2480-∠08c-4c,4c0=∠ocB-4c ∠06C+∠0cB=∠A8c+∠4C8=5, :aBOC的内角和为180°， ∠B0C=180°-∠0BC+∠0CB)=125°； (2)解：∠A与∠B0C的数量关系为：∠B0C=90°+∠A,理由如下： :ABC的内角和为180°， ∠ABC+∠ACB=180°-LA, :OB、OC为∠ABC、∠ACB的平分线， :∠ABO=∠OBC=∠ABC,∠ACO=∠OCB=∠ACB, 208c+<0c8=∠1Bc+∠4c8=I0-=0P-A, :aBOC的内角和为180°， :.∠B0C=180°-（∠OBC+∠0CB)=180°- 21 90+∠4 21.如图，在△ABC中， 27/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A C (1)如果AB=4cm,AC=3cm,BC是能被3整除的偶数，求这个三角形的周长. (2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， a、当∠A=45时，求∠BPC的度数， b、当∠A=x时，求∠BPC的度数 【答案】(1)13cm 2a、12.5,b、90+2 【详解】(1)：AB=4cm,AC=3cm .1<BC<7 .BC=6cm “三角形的周长为： CMABC=AB+AC+BC =4+3+6 =13cm (2)a、当∠A=45时，由三角形的内角和可知： ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-45°=135° :BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ·∠PBC-?∠ABC,∠PCB=,∠ACB ·∠PBC+∠PCB=2∠ABC+2∠ACB -(∠ABC+∠4CB) =1×135° 2 =67.5° ∴.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB) 28/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =180°-67.5° =112.5° b、当∠A=x时，由三角形的内角和可知： ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-x° :BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 :∠PBC=3∠ABC,∠PCB=;∠ACB :∠PBC+∠PCB;∠ABC+;∠ACB =(ZABC+∠ACB =5*180-9 =90°-5r .∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB) =180°-(90°-7) =90+5 题型5一内一外平分线模型（共8小题） 22.（22-23七年级下·上海·期中)如图，BD、CD分别是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线， ∠D=30°，那么∠A的度数() E A.60° B.45° C.30° D.无法确定 【答案】A 【详解】解：：BD平分∠ABC,CD平分∠ACE, :∠DBC=∠ABC,∠DCE=∠ACE. 2 :∠ACE是△ABC的外角，∠DCE是△DBC的外角， 29/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠ACE=∠A+∠ABC,∠DCE=∠D+∠DBC, ACE-/D+☑DBC ∠A+∠ABC=∠D+∠DBC,A+乙ABC-ZD+ZDBC 2 C)A+∠DBC=ZD+∠DBC .∠A=2∠D=2×30°=60°. 故选：A, 23.如图ABC中，∠A=80°，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A,∠A,BC与∠A,CD的 平分线相交于点A,依此类推，∠A,BC与∠A,CD的平分线相交于点A,则∠A的度数为() A A.50 B.10 C.20° D.40° 【答案】A 【详解】解：：∠ABC与LACD的平分线相交于点A, A8c-5ABc,∠ACD=ACD. 根据三角形的外角的性质得，∠A=∠ACD-∠ABC,∠A,=∠A,CD-∠ABC, A=ACn-∠Asc=LACD-1ZABC=∠AcD-∠ABC)=A, :∠A=80°， ∠4=54A=40 同瑞：∠4=分44=20,1444=10°，A=4=5°， 故选：A. 24.(24-25七年级下.上海闵行期中)如图，在ABC中，延长BC到D,∠ABC、∠ACD的角平分线相交 于点A点.∠A,BC与∠ACD的外角平分线交于点A,∠ABC与∠A,CD的外角平分线交于点A,依次类推， ∠AnBC与ZA,-CD的外角平分线交于点A,如果∠A=m°，那么∠An=°.（用含m、n的表示）， 30/77 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B O 【答案】是 【详解】解：：∠ACD是ABC的外角， .∠A=LACD-∠ABC, :∠ACD是△ABC的外角， LA,=∠A,CD-LA,BC, :BA平分∠ABC,CA平分∠ACD, ∠AcD-AcD,ABc=ABc, ACD-ABC-ACD-C 2 1 同理可得：LA三，4=)方ZA三m 23, ∠An= 2分， 故答案为： 2 25.如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A,∠ABC的平分线与 ∠A,CD的平分线交于点A,∠ABC的平分线与∠A,CD的平分线交于点A,,设∠A=0,则∠A25= 【答案】9 22025 【详解】解：：∠ACD是ABC的外角，∠A,CD是△A,BC的外角， 31/77 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠ACD=∠A+∠ABC,∠A,CD=∠A+∠ABC, :∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A, ∠4Bc=号aBc,240-aCD, 2 :LA=2 1 同理可得∠4=24=41 :∠A=0, 同理：∠A=行∠4=87” 00 A=4=6 00 ∠4，= 20, 当n=2025时， ∠A2025= 0 22025· 0 故答案为：2丽· 26.如图，在ABC中，BO,C0分别平分LABC,∠ACB,CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线 于点E,记LBAC=∠1，∠BEC=∠2.给出下列结论：①∠1=2∠2；②∠B0C=3∠2；③∠B0C=90°+∠1 ;④∠B0C=90°+∠2.其中正确的是 (填序号) E B C D 【答案】①④ 【详解】解：：CE平分LACD,BE平分LABC, :∠DCE=∠ACD,∠DBE=∠ABC, 2 2 :∠DCE是△BCE的外角， 22=∠DcE-∠DBE=∠ACD-∠ABC)A,即∠1=2∠2，①正确，故符合要求： 32/77 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :BO,C0分别平分∠ABC,∠ACB, +∠0c-<ABC0cB=∠AcB. ÷∠B0c=180-(20BC+∠0c8=180-∠4Bc+∠4c8\=180-l80-4-90+5A, 又：∠1=2∠2， LB0C=90°+∠2，故②③错误，不符合要求，④正确，故符合要求 故答案为：①④. 27.如图，∠ACD是ABC的外角，∠ABC的平分线与LACD的平分线交于点A,∠A,BC的平分线与 ∠A,CD的平分线交于点4. (1)试确定∠A与∠A之间的数量关系，并说明理由： (2)若∠A2=16°，求∠A的度数 【详解】(1)解：∠4=4，理由如下 :A,B是∠ABC的平分线，AC是∠ACD的平分线， ∠ABC=∠ABC,∠ACD=∠ACD, 2 又：∠ACD=∠A+∠ABC,∠ACD=∠A,BC+∠A, AC)C 24524 (2)解：同理(D可得∠44 .∠A=2∠A2=32°， ∠A=2∠A,=64°， .∠A的度数为64°. 28.(2024七年级下.上海.专题练习)如图1，∠ABC、∠ACM的角平分线BA2、CA,相交于点4， 33/77 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D B 02 M B M 图1 图2 (1)如果∠A=68°，那么∠A,的度数是多少，试说明理由： (2)如图2，如果∠A,BC、∠A,CM的角平分线BA,、CA,相交于点A,请直接写出∠A的度数： (3)如图2，重复上述过程，∠An-,BC、∠AnCM的角平分线B4,、CAn相交于点A,得到∠An,设∠A=0,请 用O表示∠An(直接写出答案) 解：(1)结论：∠A=度，说理如下：因为BA,、CA平分∠ABC和∠ACM(已知)， 所以∠A,BC=2∠1，∠ACM=2∠2(). 因为∠ACM=∠A,BC+∠ -,∠2=∠1+∠ ,(完成以下说理过程) 【答案】(1)34：角平分线的定义；A;A;理由见解析 (2)∠4=17 m4品 【分析】本题考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和，正确解决(1)，读懂题意是关键， (1)利用角平分线的定义和三角形的外角的性质即可求解； (2)根据(1)的解法即可直接求解； (3)利用(1)(2)的结论求解 【详解】(1)解：结论：∠4=34°.理由如下： 因为BA2、CA,平分∠ABC和∠ACM(已知)， 所以∠A,BC=2∠1，∠ACM=2∠2（角平分线的意义）. 因为∠A,CM=∠A,BC+∠A1,∠2=∠1+∠A2,(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)， 所以44， 因为∠4=68°， 所以∠4，=34°， 故答案为：34；角平分线的定义；A；4: 34/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：BA,、CA,平分∠A,BC和∠ACM(已知)， .∠A,BC=2∠A,BM,∠A,CM=2LABM(角平分线的意义). :∠A,CM=∠A,BC+∠A2,∠A,CM=∠A,BM+∠A,(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)， L4=L4 2 ∠4，=34°， ∴.∠A=17° (3)解：由(1(2)得， 设4-0，%号品， 49品 00 ∠A=22, 00 ∠A=2F2’ ……, ∠A=2· 29.如图1，在ABC中，∠ABC的平分线与ABC的外角∠ACE的平分线相交于点D. D D B -E B4 图1 图2 (1)判断∠D与∠A的数量关系，并加以证明； (2)如图2，∠DBC与∠DCE的平分线交于点D,得∠D:∠D,BC与∠DCE的平分线相交于点D2,得 ∠D2:;∠D202BC与∠D202sCE的平分线相交于点D2026,得∠D2o26,直接写出∠D2o26与∠A的关系 (3)如图2，若∠D=5°，∠ACB=85°，求∠ABC的度数. 【答案】四∠D=;∠A 2 1 (2）∠Ds=2∠A (3)75° 35/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【】wD-a 证明：在ABC中，∠ACE=∠A+∠ABC, 在△DBC中，LDCE=LD+∠DBC, :∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点D, ∠DBC=ABC,∠DcE-4CE, :∠A=∠ACE-∠ABC,∠D=∠DCE-∠DBC=∠ACE-I∠ABC, 2 即∠D-4cE-Ac0)=4, D-4: (2)在△DBC中，∠DCE=∠D+∠DBC, D F F D D E B C 图1 图2 在△DBC中，∠DCE=∠D,+∠DBC, :∠DBC的平分线与∠DCE的平分线相交于点D, .∠D,BC=∠DBC,∠DCE=∠DCE, 2 ∴∠D=∠DCE-LDBC,LD,=∠DCE-∠D,BC=}∠DCE-∠DBC, 即∠D=DcE-∠D8O=D, 又：∠D=∠A 2 同理∠D分A,A=A,一 1 ∠D,m6=2丽∠A 9)解：由2)知道，D=4=空4 :LA=4∠D1=20°， 在ABC, 36/77 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∠ABC=180°-20°-85°=75°， 答：∠ABC的度数是75°. 题型6双角平分线叠加模型（共10小题） 30.在ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,LACF的平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于 点D,与∠MBC的平分线相交于点E,则下列结论一定正确的是() ①∠B0C=0+A:②∠DA:®∠4-号∠E:国∠B+∠ncF=90+24cn. M E A.①②④ B.①②③ C.①② D.①②③④ 【答案】C 【详解】解：：∠ABC,∠ACB的平分线交于点O, :∠ABD=∠OBC= LABC.20CB-LACO- 1 <AC8, 1 20BC+20cB=∠ABC+∠4C8 180-24 =90°-1∠A 2 .∠B0C=180°-L0BC+L0CB =180°- 90-54） =90+1∠4，故①正确， :CD平分LACF, :∠DCF=∠ACF, ZACF ZABC+ZA,ZDCF Z0BC+ZD, 37/77 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2∠0BC+2∠D=LABC+LA, ∠D=A,故②正确： :∠MBC=∠A+∠ACB,∠BCN=LA+∠ABC,∠ACB+LA+LABC=180°， .∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A, :BE平分∠MBC,CE平分∠BCN, .∠MBC=2∠EBC,∠BCN=2∠BCE, LEBC+∠ECB=90°+24A, ∠E=180°-（∠EBC+∠ECB=180°- 0+分4=90-4，故错误 :∠DCF=∠DBC+∠D, ·∠E+∠DCF=90°-1 A+∠D8C+3A=90P+∠D8C, :∠ABD=∠DBC, .∠E+LDCF=90°+∠DBC=90°+∠ABD,故④错误： 综上分析可知，正确的有：①②. 故选：C. 31.(25-26七年级下.上海杨浦阶段检测)已知，如图，CE是ABC的外角平分线，BE平分∠ABC,且 BE、CE交于E点. D 图1 图2 图3 求证：∠E=2∠A. (2)请探究，在ABC中，∠B、∠C内角平分线形成的∠D与∠A的关系？∠B、∠C外角平分线形成的 ∠D与∠A的关系？（直接写出结果） 【详解】(1)证明：：CE是ABC的外角平分线，BE平分LABC,且BE、CE交于E点. ∠BcD-AcD-4+Z8G,∠Bc-i8c 又：∠ECD是△BCE的外角， 38/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ECD=∠E+∠EBC, 2E=∠BcD-∠EBc-A+∠4ac-A8c-4 (2)解：图2结论：∠D-904:图3结论：∠D=90-4 在图2中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D, ZDBC--ZABC:ZDCB-ZACB 2 在△BCD中，∠D+∠DBC+∠DCB=180° iD=l0-A8c+AC1 在ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180 ∠ABC+LACB=180°-∠A ÷2D=180180-小=90+3A 在图3中，∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D, ∠EBC=∠A+∠ACB,∠BCF=∠A+∠ABC, ∠Dc-EBc,∠DcB-BcF, 在ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180 在AECD中，∠D=180°-（∠DBC+∠DCB EC+FCB) 2°2A+∠ACB+∠A+A =180-180+ 心- 32.【探究】如图①，在ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P. (1)若∠ABC=80°，∠ACB=48°，则∠A=度，∠P=度； (2)∠A与∠P的数量关系为，并说明理由； 【应用】如图②，在ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于P,LABC的外角平分线与 ∠ACB的外角平分线相交于点Q.直接写出∠A与∠Q的数量关系为 39/77 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B Q 图① 图② 【答案】探宽：1)2,16：(2)∠P-A=90:应用：∠0=90-4 【详解】解：(1)：∠ABC=80°，∠ACB=48°， ∠A=180°-80°-48°=52°， :∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P, ∠CBP=∠ABC,∠BCP=∠ACB. 2 2 ∠BCP+∠CBP=∠ABC+∠AC-x128=64, ∠P=180°-64°=116°， 故答案为：52,116； 2)P-A=90°，理由如 :∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P, :∠CBP=∠ABC,∠BCP=∠ACB, 2 2 :∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠P+∠PBC+∠PCB=180°， ÷∠P+∠ABC+LACB=180, 2 ÷∠P+180-∠A=180°， 2 .∠p- 4A=90: 1 故答案为：P-4=90； 应用：解：<0=90A.理由如下 :∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q, ∠C0-l8w-∠4C=90-4aC,∠Bc0-s0-∠4C8=90-4CB 40/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △Bc0中，∠0-180-(2CB0+∠Bce-180-(90-∠4Bc+90-4cB∠4BC+∠4CB)又： ∠ABC+∠ACB=180°-∠A, 50-0-24=0-号4 故答案为：∠0=90-4 33.(24-25七年级下.上海青浦阶段检测)(1)如图，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.∠A与∠D有 什么数量关系？请证明. D (2)如图，BD平分外角∠CBP,CD平分外角∠BCQ,∠A与∠D数量关系为： D (3)如图，点P为ABC内角平分线BP与外角平分线CP的交点，∠A与∠P数量关系为： 【详解】(1)解：D=90+4. 证明：：BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∠Dc-A8c.∠cB-AC8, ∠D8C+∠DCB=∠ABc+∠AC8. ∠ABC+∠ACB=180°-∠A, 41/77 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B2DBC+∠DCB=I80°-LA=90P70 ∠D=180°-（∠DBC+∠DCB)=180°- 即∠D=90°+∠A: (2)解：∠D=90-1 ∠A. 理由：：BD平分∠PBC,CD平分∠BCQ, ·∠DBC= 3P8c,∠DcB-BcQ, :∠PBC=180°-∠ABC,∠BCQ=180°-∠ACB, ∴.∠D=180°-∠DBC-∠DCB F180°∠PBC+∠BCO 180°-180P-∠ABC+180°-∠ACB ACLAC8) :∠ABC+∠ACB=180°-∠A, D180-∠A=90-4, 即∠D=90-A, 故答案为：∠D=90-)∠4； 2 3解：∠p4 理由：：CP平分∠ACD,BP平分LABC, PD-54cD.∠CBP=ABc 2 ∠P=∠PCD-∠CBP-24CD-∠ABG, ZACD-ZABC ZA, 1 P=A, 故答案为：∠P=4 34某数学兴趣小组对“三角形内（外）角平分线形成的夹角与第三个内角之间的数量关系”进行了探究 42/77 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 图(1) 图(2) 图(3) (1)如图(1)，在ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,若LA=66°，则∠BPC=; (2)如图(2)，ABC的内角∠ACB的平分线与ABC的外角∠ABD的平分线交于点E,若∠A=a,则 ∠E=（用含a的式子表示)： (3)如图(3)，ABC的两外角∠CBM与∠BCN的平分线交于点Q.请写出∠BQC与∠A之间的数量关系， 并说明理由. 【详解】(1)解：：PB、PC分别平分LABC和∠ACB, ∠PBC=ABC,∠PCB=ACB(角平分线的定义)， :∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°（三角形内角和定理）， .∠BPC=180°-∠PBC+∠PCB =180-（34c+54c8 =180-∠A8c+∠AC8) -180-3080-∠4 =180°-90°+1∠A 2 A -90°+2 =123°. 故答案为：123°； (2)解：：BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线， ∠ECB=∠4CB,∠EBD-5ABD, :∠ABD是ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角， ∴∠ABD=∠A+∠ACB,∠EBD=LECB+∠BEC, 43/77 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EBD-ABD-2A+∠AC8=∠BC+∠BCB, 即∠A+∠ECB=∠ECB+∠BEC, ∠BEC=∠A=a: 1 2 2 3)解：∠0c=90-A,理由如下： :∠CBM与∠BCN是ABC的外角， ∴.∠CBM=∠A+∠ACB,∠BCN=∠A+∠ABC, :BQ,CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线， ∠0sc=2A+∠ACB,∠0cB=2A+∠ABC. :∠QBC+∠QCB+∠BQC=180°， LB0C=180°-LQBC-∠0CB, =180-2∠A+∠4C8-∠A+∠ABC) =180-A-2A+∠iBc+∠4cB) =180-1-0 =90°-1∠A 2 35.(2024七年级下.上海.专题练习)(1)阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、 ∠ACB的平分线， 试说明∠D=90+兮4的理由。 解：因为BD平分∠ABC(己知)， 所以∠1=一（角平分线定义). 同理：∠2= 因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠1+∠2+∠D=180°，( 所以 (等式性质)· 即：∠D=90°+∠A. 2 (2)探究，请直接写出结果，无需说理过程： ()如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线.试探究∠D与∠A之间的等量关 44/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 系 答：∠D与∠A之间的等量关系是」 (i)如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线.试探究∠D与∠A之间 的等量关系 答：∠D与∠A之间的等量关系是 (3)如图④，△ABC中，∠A=90°，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB,CD是△ABC的外角∠ACE的平 分线.试说明DC=CF的理由 A D B D 图1 图2 图3 图4 【详解】(1)解：因为BD平分∠ABC(已知)， 所以∠1=∠ABC(角平分线定义). :2-ac8 因为LA+∠ABC+∠ACB=180°，∠1+∠2+∠D=180°（三角形的内角和等于180）， 所以∠D=180°-（☑+∠2）=10-ABC+∠4CB =180-080-∠0=90+4（等式性质） 21 即：D=90+A. (2)解：0∠D与∠A之间的等量关系是：∠D=90°-∠4.理由： 2 BD、CD分别是△ABC的两个外角LEBC、∠FCB的平分线， :ZEBD=ZDBC,ZBCD LDCF ∠DBC+∠DCB+∠D=180°， ·LA+LABC+∠ACB=180°， 而∠ABC=180°-2LDBC, ∠ACB=180°-2∠DCB, .∠A+180°-2∠DBC+180°-2∠DCB=180°， 45/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠A-2(∠DBC+∠DCB)=-180°， :LA-2180°-∠D)=-180°， LA+2∠D=180°， D=0-4 mLD与∠A之间的等量关系是：∠D=∠A. 2 理由：BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线， :LDCE=∠DBC+∠D, ∠A+2∠DBC=2∠DCE .∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D ∠A=2∠D 即：nA (3)解：因为BD平分∠ABC(已知)， 所以∠DBC=)∠ABC(角平分线定义). 2 同理：∠ACF-∠ACB,∠DCA=∠DCE=ACE :∠ACE=∠ABC+∠A,∠DCE=∠DBC+∠D(三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和)， 1 ZD-ZDCE-ZDBC-(ZACE-ZABC)- ∠A 又：∠A=90°（已知）， ∠D=45°（等式性质）. :∠ACB+∠ACE=180°（平角的定义）， 马∠FCD=∠FCA+∠ACD=ZBCA+LACE)=90 :∠D+∠DFC+∠FCD=180°（三角形的内角和等于180）， :∠DFC=45°（等式性质）. ·LD=LDFC(等量代换). ·DC=FC.(等角对等边)， 36.(24-25七年级下.上海奉贤期中)综合与实践 46/77 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Q 图1 图2 图3 (1)如图1，在ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,如果A=50°，那么∠BPC= (2)如图2，作ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q,试求出∠Q、∠A之间的数量关系： (3)如图3，延长BP、QC交于点E,在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出∠A的 度数 【答案】(1115 2)∠0=90°-1∠A 2 (3)36°或45°或135°或144° 【详解】(1)解：：∠A=50°. .∠ABC+∠ACB=130°， :点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∠BPc=180-∠ABC+4c8=180-x130=15, (2)解：：外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q, :∠QBC+∠QCB=(∠MBC+∠NCB) =2360°-∠ABC-∠ACB) 080+乙40 ∠9=180°- 0+4-0- (3)解：延长BC至F, 47/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E (0 :CQ为ABC的外角LNCB的角平分线， :CE是ABC的外角∠ACF的平分线， ∴.∠ACF=2LECF, :BE平分∠ABC, ∴∠ABC=2LEBC, :∠ECF=∠EBC+LE, ∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E,即∠ACF=∠ABC+2∠E, 又：∠ACF=LABC+LA, ∠A=2∠B,即∠E=4: :∠EBQ=∠EBC+∠CBQ =号A8c+号Mc 24Bc+2A+24c0=0. ∠Q+∠E=90°： 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①∠EB0=4∠E=90°，则LE=22.5°，LA=2LE=45°； ②∠EB0=4∠Q=90°，则∠Q=22.5°，∠E=67.5°，∠A=2∠E=135°： ③∠Q=4∠E,则LE=18°，解得LA=36°： ④∠E=4∠Q,则∠E=72°，解得∠A=144° 综上所述，∠A的度数是36°或45°或135°或144°. 37.（24-25七年级下·上海崇明期末)综合与实践 48/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B M 图1 图2 图3 (1)如图1，在ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,如果∠A=70°，那么∠BPC= (2)如图2，作ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q,试求出∠Q、∠A之间的数量关系 (3)如图3，延长BP、QC交于点E,在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程， 求∠A的度数. 【答案】(1)125° 2)∠0=90°- < (3)36°或45°或135°或144° 【详解】(1)解：∠A=70°. .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°， :点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， BPC180°)∠ABC+∠ACB1=180°-x110°=125 2 (2)解：：外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q, ∠QBC+∠QCB=-(∠MBC+∠NCB) 360o-aBc-∠4CB 2080+a0 =90+∠A, 2 ∠9=180°- (3)解：延长BC至F, 49/77 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :CO为ABC的外角∠NCB的角平分线， ·CE是ABC的外角∠ACF的平分线， .∠ACF=2LECF, :BE平分∠ABC, ∴∠ABC=2LEBC, :∠ECF=∠EBC+∠E, ∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E,即∠ACF=∠ABC+2∠E, 又：∠ACF=LABC+LA, A=2∠8，即∠B4: :∠EBQ=∠EBC+∠CBQ =号A8c+号Mc )∠ABC+ZA+LACB=90P ∠Q+∠E=90°： 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①∠EBQ=4∠E=90°，则∠E=22.5°，∠A=2LE=45°； ②∠EB0=4∠Q=90°，则∠Q=22.5°，∠E=67.5°，∠A=2∠E=135°： ③∠Q=4∠E,则∠E=18°，解得∠A=36°： ④∠E=4∠Q,则∠E=72°，解得∠A=144°. 综上所述，∠A的度数是36°或45°或135°或144°. 38.综合实践 【问题情境】 (1)如图1，在ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I,如果∠A=60°，求LB1C的度数.请补全 探究过程： 50/77 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在ABC中，根据三角形内角和为180°，则①=180°. 由于BI,CI分别是∠ABC,∠ACB的平分线， 所以∠IBC=∠ABC,∠ICB=5∠ACB. 所以∠Bc+∠1cB24BC+∠Ac8=×@—). 因为LA=60°， 所以∠IBC+∠1CB=③ 在△BIC中，根据三角形内角和为180°，有LB1C=180°-(LIBC+L1CB)=④ 【问题探究】 (2)如图2，在ABC中，作ABC外角∠CBE,∠BCF的平分线交于点O. 求证：∠0=90°2∠4 【拓展应用】 (3)如图3，在ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I,∠CBE与LBCF的平分线交于点O,延长 B1,OC交于点P,在△PB0中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，则∠P=一 B 图1 图2 图3 【答案】(1)∠A+ABC+∠ACB;180°-∠A;60°；120°；(2)见解析：(3)18°或22.5°或67.5°或 72° 【详解】(1)在ABC中，根据三角形内角和为180°，则∠A+∠ABC+∠ACB=180°. 由于BI,CI分别是∠ABC,∠ACB的平分线， 所以∠IRC-ZARC,1cB=54C8. 所以∠IBC+∠ICB=∠ABc+∠ACB=×②180-∠A. 2 因为∠A=60°， 51/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以LIBC+∠ICB=60°. 在△BIC中，根据三角形内角和为180°，有LBIC=180°-∠1BC+∠1CB)=120°. 故答案为：∠A+∠ABC+∠ACB;180°-∠A;60°；120°； (2):∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∠EBC=180°-∠ABC,∠FCB=180°-∠ACB .∠EBC+∠FCB=360°-∠ABC+∠ACB)=360°-(180°-∠A=180°+∠A :ABC外角∠CBE,LBCF的平分线交于点O, .LEBO=LCBO=。∠EBC,∠FCO=∠BCO-、∠FCB :∠OBC+∠OCB=(∠EBC+∠FCB)=(180°+∠A=90+∠A 2 2 :.∠0=180°-∠OBC+∠0CB)=180°- 1 (3):BP是∠ABC的平分线，BO是∠CBE的平分线， ∠P9C-4Bc,∠CB0= ∠CBE, :∠ABC+∠CBE=180°， .∠PBC+∠CBO= ∠ABC+∠CBE)=90°， .∠P+∠0=90°， ①当∠PB0=4∠P时，90°=4∠P ∠p=22.5°： ②当∠PB0=4L0时，90°=4∠0 ∴.∠0=22.5°； .∠P=90°-∠0=67.5°； ③当∠0=4∠P时， ∠P+4∠P=90° ∠P=18°； ④当∠P=4∠0时 .4∠0+∠0=90° ∠0=18 .∠P=4∠0=72 综上所述，∠P=18°或22.5°或67.5°或72° 52/77 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 39.（24-25七年级下·上海浦东新·期中)某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第 三个内角的量关系”进行了探究： B D B 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，在ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,LA=64°，则∠BPC= (2)如图2.ABC的内角∠ACB的平分线与ABC的外角∠ABD的平分线交于点E,其中LA=Q,求 ∠BEC= (用a表示)： (3)如图3，∠CBM、∠BCN为ABC的外角，∠CBM、LBCN的平分线交于点Q,其中∠A=a·求 LBOC= (用a表示)： (4)如图4，ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q,∠A=64°，∠CBQ、∠BCQ的平分线交于 点P,则∠BPC= °；延长BC至点E,∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R,则∠R= 【答案】 1 122° 90°、1 119 29 【详解】解：(1)：∠A=64°， ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=116°， :BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, :∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB, 2 :∠PBC+∠PCB=(LABC+∠ACB=58°， ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=122°； (2):∠ABD是ABC的外角， .∠ABD=∠A+∠ACB, :BE平分∠ABD, ∠EBD=∠ABD三2∠A+∠ACB, 2 2 :CE平分∠ACB, :∠BCE=∠ACB, 2 53/77 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 .∠EBD=三∠A+∠BCE, 2 :∠EBD是△BCE的外角， .∠EBD=∠BEC+∠BCE, ∠BEc=A-2a 1 2 (3):∠A=, .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-a, ∠MBC+∠NCB=360°-∠ABC+∠ACB=180°+a, :BQ平分∠MBC,CQ平分∠NCB, :∠QBc+∠0cB=∠MBc+∠Nc8=90+a, 2 ∠BQC=180°-∠0BC-∠QCB=900-1a a 2 (4)同理(3)可得，∠B0C=900-∠A=580, 同理(1)可得，∠BPC=90°+∠B0C=119°， 2 同理(2)可得，∠R=∠B0C=290 2 题型7A字+双角平分线叠加模型（共3小题） 40.【尝试探究]如图1，在一张三角形纸片上，剪去ABC,得到四边形BCHG,∠1与∠2分别为ABC的 两个外角 A A 12 BA B E人3 3 G H G H G H 图1 图2 图3 图4 (1)请你试着说明：∠1+∠2=180°+∠A (2)如图2，如果沿着EF再剪一刀，∠3与∠4分别为△AEF的两个外角，那么∠1+∠2和∠3+∠4的数量关 系为 (3)如图3，EP,FP分别平分外角LFEG、∠EFH,求∠EPF与∠A的数量关系： 54/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [拓展提升] (4)如图4，在四边形BCFE中，EP、FP分别平分外分∠FEG、∠EFH,请写出∠EPF,∠1、∠2这三个 角的数量关系，并说明理由。 【详解】(1)解：：∠1与∠2分别为ABC的两个外角， ∠1=180°-∠ABC,∠2=180°-∠ACB, A A 6 o C 1 E人3 2 E H H H G 图1 图2 图3 图4 .∠1+∠2=360°-（∠ABC+∠ACB), :三角形的内角和为180°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∠1+∠2=360°-(180°-∠A=180°+∠A; (2)由(1)得，∠1+∠2=180°+∠A, 同理，∠3+∠4=180°+∠A, ∠1+∠2=∠3+∠4， 故答案为：∠1+∠2=∠3+∠4； (3)由(1)得，∠GEF+LHFE=180°+∠A, :EP,FP分别平分外角∠FEG、∠EFH, ∠PEF=)∠GEF,∠PFE=∠HFE, 21 ∠PEF+∠PFE=zGEF+∠HFD)=080+∠0， 2P=180-(2PEF+∠PFE)=180-080+20=0-A, 2 (4)数量关系：∠1+L2+2LP=360°， 理由：如图，由(3)可知，∠A+2∠P=180°， 由(1)可知，∠1+∠2=180°+∠A, 55/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .(∠1+∠2-180）+2∠P=180°， ∴∠1+∠2+2LP=360° 41.(22-23七年级下.上海青浦期中)我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，那么， 三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ A B B B B 34 ED 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，∠1和∠2分别是ABC的两个外角，请说明∠A与∠1+∠2之间的数量关系. (2)如图2，在ABC中裁去△AMN得到四边形MBCN,若∠3=100°，则利用(1)的结论可得∠4-∠A= 。 (3)如图3，ABC两个外角平分线相交于点P,直接利用(1)的结论说明∠P和∠A的数量关系. (4)如图4，在四边形MBCN中，BP、CP分别平分外角∠DBC和∠ECB,利用(1)(3)得到的结论，直 接写出∠P与∠M、∠N之间的数量关系： 【答案】(1)∠1+∠2=∠A+180° (2)80 (3)∠A+2∠P=180° (4)∠M+∠N+2∠P=360° 【详解】(1)解：：∠1=∠A+LACB,L2=LA+LABC, :∠1+L2=∠A+∠A+∠ABC+∠ACB, 又：∠A+∠ABC+∠ACB=I80°， .∠1+∠2=∠A+180°： (2)解：利用(1)的结论可得∠3+∠4=∠A+180°， ∠4-∠A=180°-∠3=180°-100°=80°， 故答案为：80： (3)解：利用(1)的结论可得∠DBC+∠ECB=∠A+180°， :PB是∠DBC的角平分线，PC是∠ECB的角平分线， 56/77 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠PBC2ZDBC,ZPCB--ZECR ∠PBC+∠PcB=∠DBC+∠Bc)=∠A+180, 又∠P+LPBC+LPCB=180°， 2P+A+1809)=180, ∠A+2∠P=180°： (4)解：利用(1)的结论可得∠M+∠N=∠A+180°， 利用(3)的结论可得∠A+2∠P=180°，即∠A=180°-2LP, ∠M+∠N=∠A+180°=(180°-2∠P)+180°=360°-2∠P, .∠M+∠N+2LP=360°， 故答案为：∠M+∠N+2∠P=360°. 42.【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，∠1与 ∠2分别为ABC的两个外角，则∠1+∠2=180°+∠A. 【推理证明】：∠1与∠2分别为ABC的两个外角， ∠1=∠A+-，∠2=∠A+-, .∠1+∠2=-· .∠3+∠4+∠A=180°， .∠1+∠2=180°+∠A. D D 图① 图② 图③ 图④ 【初步应用】 (1)如图②，在ABC纸片中剪去△AED,得到四边形BCDE,若∠1=130°，则∠2-∠A的大小为 度 (2)如图③，在ABC中，BP、CP分别为外角∠DBC、∠ECB的平分线，则∠P与∠A的数量关系，并 说明理由. 57/77 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【拓展提升】 (3)如图④，在四边形ABCD中，BP、CP分别为外角LEBC、∠FCB的平分线，若LA+LD=230,求 ∠P的度数 【详解】证明：【推理证明】：∠1与∠2分别为ABC的两个外角， ∠1=∠A+∠4，∠2=LA+L3, .∠1+∠2=∠A+L3+L4+LA. :∠3+∠4+∠A=180°，（三角形内角和定理） .∠1+∠2=180°+∠A. 故答案为：L4:L3:LA+L3+L4+LA; 解：(1)：∠1+∠2=180°+∠A, ∠2-∠A=180°-∠1=180°-130°=50°， 故答案为：50： (2):BP、CP分别为外角∠DBC、∠ECB的平分线， ∠PC=DBC,∠PCB-8CE. ∠P=180-(∠PBC+∠PcB=I80P∠D8C+∠BCE, :∠DBC+∠BCE=180°+∠A, 2P=180-l80+2A=90-4 (3)如图所示，延长BA、CD交于点M, M 图④ :∠BAD+∠ADC=230°，∠BAD+LADC=180°+∠M, ∠M=∠BAD+∠ADC-180°=230°-180°=50°， 58/77 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠P=90° 1 2 ∠M=90°-1 50°=650】 题型8三角板叠放模型（共3小题） 43.(24-25七年级下.上海黄浦·期中)如图(1)，把一把含30°角的三角尺ABC的边BC放置于直尺 DEFG的边EF上. 309 309 2 2 C ho B 图(1) 图(2) (1)填空：如图(1)，∠1=_ ,∠2= (2)如图(2)，现把三角尺ABC绕点B逆时针方向旋转n°，当0<n<90且点C恰好落在边DG上，若∠2恰 好是1的信，求响组 (3)按图(1)所示的方式放置三角尺ABC和直尺DEFG,现将射线BF绕点B以每秒1°的速度逆时针方向旋 转得到射线BM,同时射线OA绕点Q以每秒2°的速度顺时针方向旋转得到射线QN.当射线QW旋转至第 一次与QB重合时，射线BM,QN均停止转动，设旋转时间为t秒.在旋转过程中，是否存在BM∥ON? 若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。 【答案】(1)120,90 (236 (3)存在，t=20或80 【详解】(1)解：由题意，得：∠ABC=60°，∠ACF=90°， :DG∥EF, ∠AQG=∠ABC=60°，∠2=∠ACF=90°， .∠1=180°-60°=120°； 故答案为：120,90： 59/77 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 309 D 2 E B (2)解：如图， A 30° D G C E B :DG∥EF, ∴∠DCB=∠CBF=n°， ∴.∠ACD=90°-n°， ∠1=LA+∠ACD=(120-n°，∠2=180°-∠ACD=90°+n°， :∠2恰好是∠1的倍， 590+n°=3120°-n9), 解得n=36, n的值是36； (3)解：存在BM∥NQ,理由如下： 如图：由题意，得：∠FBM=t°，∠AQN=(2t)°， N M G :BM∥NQ, 60/77 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·.∠AQN=∠ABM=∠ABF-∠FBM, 21=60-1, 解得t=20: 如图： M A 309 D G E :BM∥NQ, .∠ABM=∠BQN, t-60=180-21, 解得t=80, 综上所述，t的值为20或80 44.(24-25七年级下.上海闵行期中)在一副三角尺中∠B=90°，∠C=90°，∠BPA=45°，∠CPD=60° MA D N 图1 备用图1 备用图2 图2 (1)将一副三角尺按如图1所示方式摆放（两条直角边在同一条直线上） ①联结AD,测得∠1=45°，则∠2的度数是多少？ ②将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，当三角尺PCD的边PD与射线PB重合时停止运动，经 历多久使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？ (2)若将这幅三角尺按照如图2所示方式摆放（两条斜边在同一条直线MN上）.三角尺PCD绕点P以每秒 2°的速度逆时针旋转，同时三角尺PAB以每秒3°的速度顺时针旋转，当三角尺PAB的边PB与射线PN重合 时两块三角尺都停止运动，运动秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？（只 写答案) 61/77 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)①60°；②10秒或15秒 (2)6或9或42或45 【详解】(1)解：①：∠BPA=45°，∠CPD=60°， ∴∠APD=180°-∠BPA-∠CPD=75°， ∠2=180°-∠1-∠APD=180°-45°-75°=60°； ②当PD'∥AB时， D' D B 则∠D'PC=∠B=90°， .∠D'PD=∠D'PC-∠DPC=90°-60°=30°， ∴1=30÷3=10（秒）； 当D'C∥AP时， D D B :∠C=90°，∠CPD=60 ∠D=180°-∠C-∠CPD=30°， 旋转， .∠D'=D=30 :D'C∥AP ∠APD'=∠D'=30°， ∠DPD'=∠APD-∠APD'=75°-30°=450 .1=45÷3=15(秒)， 综上所述：当10秒或15秒时，其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行； (2)解：设旋转时间为t秒，由题意得，∠MPA=3t,∠NPD=21, 62/77 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当PA∥CD时， ⊙ D M 则∠APC=∠C=90°， :∠MPA+∠APC+∠DPC+∠NPD=I80°， .31+90°+60°+21=180° 解得：t=6: 当AB∥PD时， B M N .∠BPD=∠B=90°， :∠MPA+∠APB+∠DPB+∠NPD=180 ∴.3t+45°+90°+2t=180°， 解得：t=9; 当CD∥AP时， M 则∠APD=∠D=30°， :∠MPA+∠NPD-∠APD=180°， .31+21-30°=180°， 解得：1=42； 当AB∥PD时， 63/77 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则∠APD=∠A, :LB=90°，LBPA=45°， ∠A=180°-∠B-∠BPA=45°， ∠APD=450 :∠MPA+∠NPD-∠APD=180°， .3t+21-45°=180°， 解得：1=45， 综上所述：运动时间为6或9或42或45秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行. 45.(25-26七年级下.上海期中)如图1，把一把含30°角的三角尺ABC的边BC放置于直尺DEFG的边 EF上. A 30 30 2 2 G O- B B 图(1) 图(2) (1)填空：如图1，∠1= °，∠2= (2)如图2，现把三角尺ABC绕点B逆时针方向旋转n°，当0<n<90且点C恰好落在边DG上，若∠2恰好 是∠1的2倍，求的值。 (3)按图1所示的方式放置三角尺ABC和直尺DEFG,现将射线BM从BF开始绕点B以每秒1°的速度逆时针 方向旋转至与BE重合时立即停止，射线QN从QA开始绕点Q以每秒2°的速度顺时针方向旋转至与QB重合 时立即回转，旋转至与QA重合时再回转，如此循环往复.若射线BM转动20秒后，射线QN才开始转动， 那么在射线BM停止运动之前，射线QN转动秒，可使得BM∥QN. 【答案】(1)120,90 (2)50 a智安2或10 【详解】(1)解：由题意，得：∠ABC=60°，∠ACF=90°， :DG∥EF, :∠AQG=∠ABC=60°，∠2=∠ACF=90°， .∠1=180°-60°=120°； 64/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：如图， 30° 2 G E B :DG∥EF, ∴∠DCB=∠CBF=n°， ∠ACD=90°-n°， ∠1=∠A+∠ACD=(120-n°，∠2=180°-LACD=90°+n°， :∠2恰好是∠1的2倍， 90°+n°=2(120°-n）, 解得n=50; (3)解：设射线QN转动t秒，可使得BM∥ON, 如图：由题意，得：∠FBM=(20+°，∠AQN=(2)°， M :BMI‖ON, ∴.∠AQN=∠ABM=∠ABF-∠FBM, .21=60-20+, 解得1=40」 3 如图： 65/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M D W :BM‖ON, .∠ABM=∠BQN, 20+1-60=180-21, 解得1=220 如图： A 309 D 2 G M E BM IION, .∠ABM=∠BQN, (20+1-60=2t-180, 解得t=140 综上所述，t的值为，或。或140， 3 题型9折叠倒角模型（共3小题） 46.（24-25七年级下.上海崇明期中)如图，在ABC中，∠B=40°，将ABC沿直线1翻折，点B落在 点B的位置，则∠2-∠1的度数是() E 02 D B----- C A.90° B.80° C.50° D.40° 66/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】解：如图，设BE与BC交于点F, E62 B 由折叠的性质可得：∠B′=∠B=40°， 由三角形外角的性质可得： ∠2=∠B+∠EFB=∠B+∠B'+∠1=40°+40°+∠1=80°+∠1， ∠2-∠1=80°， 故选：B. 47.(24-25七年级下.上海阶段检测)如图①，四边形纸片ABCD中，∠A=50°，∠C=150°，若将其按照 图②所示方式折叠后，恰好使得MD'∥AB,ND'∥BC,则∠D的度数为() 折叠 B D 图① 图② A.70° B.75° C.90 D.80° 【答案】D 【详解】解：：MD'∥AB,ND'∥BC, ∴.∠DMD'=∠A=50°，∠DND'=∠C=150°， 由翻折的性质得， ∠DMN=DMD-25,∠DM-DND-75, ∴.∠D=180°-∠DMN-∠DNM=180°-25°-75°=80°， 故选：D 48.如图，把△4BC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，∠A=60°，∠1=96°，则∠2的度数为() 67/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 2 B B、 ·C A.30° B.24° C.25° D.26° 【答案】B 【详解】解：：∠A=60°， ∠AEF+∠AFE=180°-∠A=180°-60°=120°， ∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°， 由折叠的性质可得： ∠B'EF+∠C'FE=∠FEB+∠EFC=240°， ∴.∠1+∠AEF+∠2+∠AFE=240°， :∠1=96°， 96°+120°+∠2=240°， 即∠2=240°-120°-96°=24°. 故选B 49.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠.当点A落在四边形BCED的外部时，测量得到 ∠1=70°，∠2=138°，则∠A的度数为() B A.28° B.40° C.42° D.52° 【答案】A 【详解】解：：∠1=70°，∠2=138， ∠B+∠C=360°-70°-138°=152， 68/77 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=180°-∠B+∠C）=180°-152°=28° 故选：A· 50.(22-23七年级下·上海黄浦·阶段检测)如图所示，将ABC沿着DE翻折，若LADC-∠BEC=90°，则 LC= 【答案】45° 【详解】解：如图，标注顶点， M H :∠ADC=∠DHM+∠M,LDHM=∠C+LBEC, ∠ADC=∠C+∠BEC+∠M, ∠ADC-LBEC=∠C+LM, 由对折可得：∠C=∠M, ∠ADC-∠BEC=2∠C=90°， .∠C=45°， 故答案为：45°. 51.(22-23七年级下.上海浦东新期末)如图，ABC中，∠ACB=130°，将ABC折叠，使顶点B、A均 与顶点C重合，那么LECF的度数为· A A E D 【答案】80° 69/77 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】由折叠性质可知：∠A=∠ACF,∠B=∠ECB, :∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=130°， ∠A+∠B=50°， LACF+LBCE=50°， ∴∠ECF=130°-（∠ACF+∠BCE)=130°-50°=80°， 故答案为：80°. 52.如图，点D,E,F分别在ABC的各边上，DE∥AC,DF∥AB.将ABC沿DE翻折，使得点B 落在B处，沿DF翻折，使得点C落在C处.若LB'DC'=40°，则∠A= 【答案】70 【详解】解：设LEDB=x°， :将ABC沿DE翻折，使得点B落在B处， ∠EDB=∠EDB'=x°， :∠B'DC'=40°， ∠EDC'=x°-40°， .∠CDC'=180°-x°-x°+40°=220°-2x°， :沿DF翻折，使得点C落在C处 :∠CDF=∠CDC'=110°-x°， 2 :DE∥AC, .∠C=∠BDE=x°， ∠DFC=180°-x°-110°-x=70°， :DF∥AB, .∠A=∠DFC=70°， 故答案为：70. 53.（24-25七年级下.上海·月考)如图，点D为三角形ABC的边AB上一点，如果∠A=60°，将三角形 70/77 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ACD沿着直线CD翻折后，点A落在A处，那么当LACD=时，有A'D∥CA. D C 【答案】60 【详解】解：：∠A=60, ∠ACD+∠ADC=180°-∠A=120°， 由翻折得∠ADC-∠A'DC, :当∠ACD=∠A'DC时，A'D∥CA, ∴∠ADC=LACD, .∠ACD=60°， 故答案为：60 54.(25-26七年级上·上海阶段检测)如图，将纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A!处，且A'B 平分∠ABC,A'C平分∠ACB,若∠I=44°，∠2=46°，则LBA'C的度数为 B D E 【答案】112.5° 【详解】解：如图，连接AA, B 沿DE折叠， A1 ,.∠DAA'=∠DA'A,∠EAA'=∠EA'A, :∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA',∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA', ∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=44°+46°=90°， 71/77 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LBAC=45°， ∠ABC+∠ACB=180°-45°=135°， :AB平分∠ABC,A'C平分∠ACB, ∠A'BC=∠ABC,∠ACB=∠ACB, :∠ABC+∠ACB=x135°=67.5°， ∠BA'C=180°-67.5°=112.5°， 故答案为：112.5°. 55.(22-23七年级下.上海普陀期末)在ABC中，∠BAC=40°，点D是边AB上的一点，将△BCD沿直 线CD翻折，使点B落在边AC上的点E处，如果ADE是等腰三角形，那么∠ABC=° 【答案】80或110 【详解】解：如图， ADE是等腰三角形， D B 当AE=DE时， ∠ADE=∠A=40°， ∠CED=40°+40°=80°， 由对折可得：LABC=∠CED=80°， 当AE=DA时，如图， E D B ∠AED=∠ADE=80-40=70, 72/77 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠CED=180°-70°=110°， 由对折可得：∠ABC=∠CED=110°， 当AD=DE时， ∴∠A=∠AED=40°， ∠CED=180°-40°=140°， 由对折可得：∠B=LCED=140°， 此时∠A+∠ABC=180°，不符合题意，舍去： 故答案为：80或110. 56.如图，在ABC中，∠A=30°，∠C=80°，点D为AB边中点，点E为射线AC上一动点，将ADE沿 DE折叠，点A落在点A处，当AD与BC平行时，∠AEA'的度数为 【答案】50°或130° 【详解】解：设AD与AC交于点F, 在ABC中，∠A=30°，∠C=80°， .∠B=70°， :A'D∥BC, ∴.∠AFD=∠C=80°，∠ADF=∠B=70°， 将ADE沿DE折叠，点A落在点A处， .∠ADE=∠A'DE=35°， ∠A=∠A'=30°， ∠AED=∠A'EF=115°， .∠AEA'=360°-LAED-∠A'EF=130°： 73/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D y D B E 在ABC中，∠A=30°，∠C=80°， ∠B=70°， :A'D∥BC, .∠AFD=∠C=80°，∠ADF=∠B=70°， 将ADE沿DE折叠，点A落在点A处， ∠A=∠A'=30°， :∠EFA'=∠A+∠ADF=100 ∠AEA'=180°-∠A'-∠EFA'=50° LAEA'=50° 故答案为：50°或130°. 57.(24-25七年级下.上海长宁.期末)如图，己知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=50°，点D在边AC上， 将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD,如果直线ED与ABC的一条边垂直，那么∠DBC的度数是 74/77 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】10°或50° 【详解】解：①如图1，当ED⊥BC时， B 图1 :∠ABC=90°，∠A=50°， .AB⊥BC,∠ACB=90°-∠A=40°， ED∥AB, ∠ADE=∠A=50°， 由折叠的性质得：∠ECD=LBCD=40°，∠DBC=LE, ∠DBC=∠E=∠ADE-LECD=I0°； ②如图2，当ED⊥AC时， D A 图2 ∠CDE=90°， 由折叠的性质得：∠CDB=∠CDE=90°， ∠DBC=90°-∠ACB=90°-40°=50°： ③如图3，当ED⊥AB时， E D B 图3 75/77 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AB⊥BC, ED∥BC, ∠CDE=∠ACB=40°， 由折叠的性质得：∠ECD=∠BCD=40°，LDBC=∠E, ∠DBC=∠E=180°-LECD-∠CDE=100°>90°， .∠DBC>∠ABC,不符合题意，舍去： 综上，∠DBC的度数是10°或50°， 故答案为：10°或50° 58.(23-24七年级下.上海浦东新期末)在ABC中，AB=AC,把ABC折叠，使点B与点A重合，折 痕交AB于点M,交AC于点N,如果△CBN是等腰三角形，则∠C的度数为 A M B 【答案】72°或 540 7 【详解】解：设∠A=a, AB=AC, ÷∠ABC=∠C=180°-a 2 :把ABC折叠，使点B与点A重合， :AN BN, ∠NBA=∠A=a, ∠BNC=∠NBA+∠A=a+=2a, :∠NBC=180-∠C-∠BNC=180-180°-a-2a-180°-30 2 2 :△CBN是等腰三角形， ①若NB=NC,则∠NBC=LC, 76/77 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即180°-3a-180°-a 2 2 解得：a=0°，不符合题意； ②若BN=BC,则LC=LBNC, 即1809-a=2a, 2 解得：a=36°， ∠0-180-a-180°，36°=72， 2 ③若CB=CN,则LNBC=LBNC, 即180°-3a =2, 2 180 ∠C=180°-a 180° 、7 540。, 2 7 综上所述，∠C的度数为72°或 540。 7 540 故答案为：72°或 7 77/77专题06 三角形中的9倒角几何模型 题型1 8字模型 题型6 双角平分线叠加模型 题型2燕尾（飞镖）模型 题型7 A字+双角平分线叠加模型 题型3 8字+燕尾模型 题型8 三角板叠放模型 题型4 双内角平分线模型 题型9折叠倒角模型 题型5一内一外平分线模型 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 8字模型（共7小题） 1．（2023七年级下·上海·专题练习）如图所示，已知与相交于点F，平分，平分，试说明三者之间的数量关系． 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）（1）【问题情境】如图1，已知三角形，试说明的理由． 解：过A点作 （过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行） （请按照上述思路继续完成说理过程） （2）【尝试运用】如图2，若且经过A点，，求的度数（用含n的代数式表示）． （3）【拓展探索】如图3，在三角形中，点D是延长线上的一点，过点D作，平分，平分，与交于点G．若，求的度数． 3．（24-25七年级下·上海·阶段检测）在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 4.【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 5.如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 6.如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)求证：． (2)如图2所示，，则的度数为　 　． (3)如图3，若和的平分线和相交于点P，且与，分别相交于点M，N． ①若，，求∠P的度数． ②若角平分线中角的关系改成“， ”，试直接写出与，之间存在的数量关系，并证明理由． 7．（2026七年级下·上海·专题练习）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有； 新定义：在图1中，我们把，，，叫做“8字形”的边，，，，叫做“8字形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2中，，为“8字形”的内角，图3中，，为“8字形”的外角． (1)在图2中，的平分线和的平分线相交于点P，若，，求的度数． (2)在图3中，的平分线和的平分线所在直线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (3)在图4中，的平分线和的平分线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (4)在图5中，的平分线和的平分线相交于点P，用、来表示出，直接写出结论，无需说明理由． 题型2燕尾（飞镖）模型（共7小题） 8．形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中，，，，，则∠D的度数为（    ）    A．35° B．45° C．30° D．24° 10．如图，已知分别平分，若，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 11．如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 12．在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果，那么_____．    13．如图，、的平分线交于点，若，，则的度数为__________． 14.实验探究： （1）动手操作： ①如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边、分别经过点、，且，已知，则 ； ②如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，已知，那么 ； （2）猜想证明：如图3，与、、之间存在着什么关系，并说明理由； （3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题： ①如图4，平分，平分，若，，求的度数； ②如图5，，的10等分线相交于点、、…、，若，，则的度数为 . 题型3 8字+燕尾模型（共2小题） 15．【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 16.模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 题型3 双内角平分线模型（共5小题） 17．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，、分别平分和，过点作，分别交边、于点和点，如果，，那么______． 18．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，点是的内角和的平分线和的交点，若，则________． 19．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，平分，平分，如果，那么______°． 20．（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，在中，、的平分线相交于点O． (1)若，则________ (2)探究与的数量关系，并说明理由． 21．如图，在△ABC中， (1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的偶数，求这个三角形的周长． (2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数． b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数． 题型5一内一外平分线模型（共8小题） 22．（22-23七年级下·上海·期中）如图，、分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，，那么的度数（　　） A． B． C． D．无法确定 23．如图中，，延长到D，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则∠的度数为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么______°．（用含m、n的表示）． 25.如图， 是的外角，的平分线与的平分线交于点 ，∠A1BC 的平分线与的平分线交于点 ，的平分线与的平分线交于点 ，…，设，则_____． 26．如图，在中，分别平分，为外角的平分线，交的延长线于点E，记．给出下列结论：①；②； ③；④．其中正确的是________．（填序号）    27．如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点． (1)试确定与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 28．（2024七年级下·上海·专题练习）如图1，、的角平分线、相交于点， (1)如果，那么的度数是多少，试说明理由； (2)如图2，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出的度数； (3)如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示（直接写出答案） 解：（1）结论： 度．说理如下：因为、平分和（已知）， 所以， ． 因为 ， ，（完成以下说理过程） 29.如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． 题型6 双角平分线叠加模型（共10小题） 30．在中，、的平分线交于点O，的平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①②③ C．①② D．①②③④ 31．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知，如图，是的外角平分线，平分，且、交于点． (1)求证：． (2)请探究，在中，、内角平分线形成的与的关系？、外角平分线形成的与的关系？（直接写出结果） 32．【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点． （1）若，，则_____度，_____度； （2）与的数量关系为_____，并说明理由； 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于P，的外角平分线与的外角平分线相交于点 直接写出与的数量关系为__________． 33．（24-25七年级下·上海青浦·阶段检测）（1）如图，平分，平分．与有什么数量关系？请证明． （2）如图，平分外角，平分外角，与数量关系为：___________； （3）如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，与数量关系为：___________： 34.某数学兴趣小组对“三角形内（外）角平分线形成的夹角与第三个内角之间的数量关系”进行了探究． (1)如图（1），在中，与的平分线交于点，若，则______； (2)如图（2），的内角的平分线与的外角的平分线交于点．若，则______（用含的式子表示）； (3)如图（3），的两外角与的平分线交于点．请写出与之间的数量关系，并说明理由． 35．（2024七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，、分别是的内角、的平分线． 试说明的理由． 解：因为平分（已知）， 所以 （角平分线定义）． 同理： ． 因为，， ， 所以 （等式性质）． 即：． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： 如图②，、分别是的两个外角、的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． 如图③，、分别是的一个内角和一个外角的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． （3）如图④，中，，、分别平分、，是的外角的平分线．试说明的理由． 36．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 37．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 38.综合实践 【问题情境】 （1）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数．请补全探究过程： 在中，根据三角形内角和为，则①______． 由于，分别是，的平分线， 所以，． 所以． 因为， 所以③______． 在中，根据三角形内角和为，有④______． 【问题探究】 （2）如图2，在中，作外角，的平分线交于点． 求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，则_____． 39．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： （1）如图1，在中，与的平分线交于点，，则__________； （2）如图2．的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求__________（用表示）： （3）如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求__________（用表示）： （4）如图4，外角、的平分线交于点，，、的平分线交于点，则__________；延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则__________． 题型7 A字+双角平分线叠加模型（共3小题） 40．[尝试探究]如图1，在一张三角形纸片上，剪去，得到四边形，与分别为的两个外角 (1)请你试着说明： (2)如图2，如果沿着再剪一刀，与分别为的两个外角，那么和的数量关系为 　　 (3)如图3，，分别平分外角、，求与的数量关系； [拓展提升] (4)如图4，在四边形中，、分别平分外分、，请写出，、这三个角的数量关系，并说明理由． 41．（22-23七年级下·上海青浦·期中）我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ (1)如图，和分别是的两个外角，请说明与之间的数量关系． (2)如图，在中裁去得到四边形，若，则利用（1）的结论可得_____°． (3)如图，两个外角平分线相交于点，直接利用（1）的结论说明和的数量关系． (4)如图，在四边形中，、分别平分外角和，利用（1）（3）得到的结论，直接写出与、之间的数量关系：____________________． 42．【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则． 【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴______，______， ∴______． ∵， ∴． 【初步应用】 （1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度． （2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数． 题型8 三角板叠放模型（共3小题） 43．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），______°，______° (2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 44．（24-25七年级下·上海闵行·期中）在一副三角尺中，，， (1)将一副三角尺按如图1所示方式摆放（两条直角边在同一条直线上） ①联结，测得，则的度数是多少？ ②将三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺的边与射线重合时停止运动，经历多久使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？ (2)若将这幅三角尺按照如图2所示方式摆放（两条斜边在同一条直线上）．三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与射线重合时两块三角尺都停止运动，运动______秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？（只写答案） 45．（25-26七年级下·上海·期中）如图1，把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图1，______°，______°． (2)如图2，现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的2倍，求的值． (3)按图1所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线从开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转至与重合时立即停止，射线从开始绕点以每秒的速度顺时针方向旋转至与重合时立即回转，旋转至与重合时再回转，如此循环往复．若射线转动20秒后，射线才开始转动，那么在射线停止运动之前，射线转动______秒，可使得． 题型9折叠倒角模型（共3小题） 46．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 47．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图①，四边形纸片中，，．若将其按照图②所示方式折叠后，恰好使得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 48．如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 49．如图，将三角形纸片沿折叠．当点A落在四边形的外部时，测量得到，则的度数为（    ） A． B． C． D． 50．（22-23七年级下·上海黄浦·阶段检测）如图所示，将沿着DE翻折，若，则__________．    51．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，，将折叠，使顶点、均与顶点重合，那么的度数为____．    52．如图，点D，E，F分别在的各边上，，．将沿翻折， 使得点B落在 处，沿翻折，使得点C 落在处．若，则________°． 53．（24-25七年级下·上海·月考）如图，点为三角形的边上一点，如果，将三角形沿着直线翻折后，点A落在处，那么当______时，有． 54．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图，将纸片 沿 折叠，使点 落在点 处，且 平分 ， 平分 ，若 ， ，则 的度数为_____． 55．（22-23七年级下·上海普陀·期末）在中，，点D是边上的一点，将沿直线翻折，使点B落在边上的点E处，如果是等腰三角形，那么______． 56．如图，在中，，，点D为边中点，点E为射线上一动点，将沿折叠，点A落在点处，当与平行时，的度数为___________．    57．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知中，，，点在边上，将沿直线翻折得到，如果直线与的一条边垂直，那么的度数是___________． 58．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）在中，，把折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．如果是等腰三角形，则的度数为_______． $