2026年甘肃兰州市中考新题型新定义 专项练习

**基本信息** 聚焦新定义题型，以“概念理解-临界分析-动态迁移”为主线，系统整合坐标几何知识，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |新定义概念应用|1-19题|定义转化、临界值分析、数形结合|从点坐标基础到图形运动（正方形、圆），构建“概念生成-静态计算-动态参数”逻辑链|

兰州2026中考数学新定义专项练习 a 1、在平面直角坐标系中，Pa,b是第一象限内一点，给出如下定义：(=6和 k,=两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数飞· y 3 2 -0123456x 1 (1)求点P6,2的“倾斜系数”k的值； (2)①若点Pa,b的“倾斜系数"k=2,请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点Pa,b的“倾斜系数"k=2,且a+b=3,求OP的长； (3)如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC:y=x运动，Pa,b是正方形ABCD上 任意一点，且点P的“倾斜系数"k<√3，请直接写出a的取值范围. 1 2、在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图 形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”. 例如：如图1，己知点A(1,2),B3,2,P2,2在线段AB上，则点P是直线EPX轴的“伴随点”. 4- OE F 大Ed 图1 图2 图3 图4 3 （①)如图2，已知点A1,0,B3,01,P是线段AB上一点，直线EF过G-1,0,T0,3 两点，当点P是 直线EF的“伴随点”时，求点P的坐标： (2)如图3，x轴上方有一等边三角形ABC,BC⊥y轴，顶点A在y轴上且在BC上方，OC=V5,点P是 △ABC上一点，且点P是直线EF:X轴的“伴随点”.当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的 边长： (3)如图4，以A1,0,B2,0,C2,1为顶点的正方形ABCD上始终存在点P,使得点P是直线EF: y=-x+b 的“伴随点”.请直接写出b的取值范围。 3、 在平面直角坐标系Oy中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在PO的延长线上，使得 PO 1 二 90 2 如果点Q在图形W上，则称点P是图形矿的“延长2分点”，例如：如图1， PO 1 A2,4,B2,2,P-1,2 是线段AB外一点，Q2,3在PO的延长线上，且OO 2,因为点Q在线 段AB上，所以点P是线段AB的“延长2分点”. 图1 图2 图3 ①如图，已知图形w:线纹AB,A24B22.在P号-1，-11，P1-2中， 是图形W1的“延长2分点”： ②如图2，已知图形W:线段BC,B2,2,C5,2,若直线MN:y=-X+b上存在点P是图形 W2的“延长2分点”，求b的最小值： (3)如图3，已知图形W3:以Tt,1为圆心，半径为1的⊙T,若以D1,-2,E1,1,F2,1为顶点 的等腰直角三角形DEF上存在点P,使得点P是图形W3的“延长2分点”·请直接写出t的取值范围. 3 4、在平面直角坐标系xOy中，对于图w上或内部有一点N(不与原点0重合)， 及平面内一点P,给出如下定义：若点P关于直线ON的对称点P在图W上或内部 则称点P是图W的“映射点”. 0 .B B 图1 图2 图3 (1)如图1，已知图W1:线段AB,A-1,-1,B1,-1.在P1-1,0,P21,2中， 是图W的“映射点”； (2)如图2，已知图W2:正方形ABCD,A-1,-1,B1,-1,C1,1,D-1,1.若直线： l:y=x+b上存在点P是图W的“映射点”，求b的最大值， (3)如图3，已知图W3:⊙T,圆心为T0,t,半径为1.若x轴上存在点P是图W3的 “映射点”，请直接写出t的取值范围， 4 u 5、 综合与实践 在平面直角坐标系Oy中，给出如下定义：对于平面内一点M和另一点P,在图形G上存在点Q,使得 PMQM=k(k为常数， k>0)且PM1QM于点M,则称点P为图形G关于点M的“k定积垂旋点”， 点M称为垂旋中心. y VA y =-x+b 图1 图2 图3 备用图 (1)【感知定义】如图1，已知图形G1:线段AB,A2,2,B4,2,若点P为图形G1关于点M的“3定积 垂旋点”，其中M1,2为垂旋中心，请写出一个满足要求的点P坐标 ②》【类比探究】如图2，已知图形C:半径为V2的⊙0，若直线y=-x+b 上存在点P为图形G2关于 点O的“4定积垂旋点”，其中O0,0为垂旋中心，求b的取值范围： (3)【应用迁移】如图3，M-2,0为垂旋中心，点P0,t为图形G3关于点M的“6定积垂旋点”，点Q是 图形G3上的一点，请解决以下问题： ①求O0的最大值： ②请直接写出 O0取得最大值时t的值。 6 6、在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于图形W和图形W外一点P, 若在图形W上存在点M,N,使PM=2PN,则称点P是图形W的一个“2倍关联 点”.例如：如图1，已知图形队：△ABC,A(0,2,B-1,0,C1,0;点P0,-1到 △ABC上的点的最小距离为PO=1,到△ABC上的点的最大距离为PA=3,则 PA>2PO.因此在△ABC上存在点M,W,使得PM=2PN,则点P是△ABC的一个 “2倍关联点”. 图1 图2 图3 (1)如图2，已知A0,1,B2,1. ①判断点P,2,-1 线段AB的一个“2倍关联点”；（填“是”或“不 是”) ②若点P21,m是线段AB的“2倍关联点”，求m的最小值； (2)如图3，⊙0的圆心为原点，半径为1，若在直线1：y=x+b上存在点Q是⊙0 的.“2倍关联点”，求b的取值范围. 7 7、在平面直角坐标系Oy中，点P的坐标为(x1,y),点Q的坐标为(xy),且 x≠x2,y1y2,若P,Q为某个直角三角形的两个顶点，且该直角三角形的两条直 角边分别与坐标轴垂直，则称该直角三角形为点P,Q的“坐标直角三角形”，图1 为点P,Q的“坐标直角三角形”示意图. 如图2，点A的坐标为1,2. 图1 图2 (1)若点B的坐标为(-2,1)，求点A,B的“坐标直角三角形"的面积； (2)点C在y轴上，若点A,C的“坐标直角三角形"为等腰直角三角形，直接写出直 线AC的表达式； 3)点D在直线y=2x+4上，且点A,D的“坐标直角三角形"为等腰直角三角形， 求点D的坐标 8、对于平面直角坐标系xOy中的图形，水，给出如下定义：如果点P为图形 M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形 M,W的“最短距离”，记作dM,N. 例：如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形△ABC,各顶点的坐标分别是 A(1,1),B(-1,2),C(2,3)；图形Nx轴.则图形M,的“最短距离”是顶点 到x轴垂线段的长度为1，即dM,N=1. 根据以上定义及例题，解决下列问题： B A O D 图1 如图2：在平面直角坐标系x0y中，点A(-4,5),B0,-3,C4,5,D14,0 9 D 图2 (1)图形M原点O图形N线段BD.求dM,N. (2)图形M直线y=x+b;图形N△ABC.若dM,N=1.求b的值. 3)当dM,N>0时，则称图形与图形N“相离”.图形5OH,圆心为Ht,0, 半径为1；图形M△ABC.直接写出图形M与图形W“相离”时t的取值范围. 10 9、在平面直角坐标系xOy中，已知P(x,y)Q(x,y),定义P、Q两点 的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和为P、Q两点的直角距离，记 作d(P,Q).即d(P,Q)=x2-+y2-yhl 如图1，在平面直角坐标系Oy中，A(1,4),B(5,2),则d(A,B)=5 -1+|2-4=6. s 3 3H 1 54321012345x -5-4-3 10 345 -1 -2 -3H -4F 5 -5 1 图2 11 4 3 2 2 1F 1 54321012345x54321012345x 1 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 备用图1 备用图2 (1)如图2，已知以下三个图形： ①以原点为圆心，2为半径的圆； ②以原点为中心，4为边长，且各边分别与坐标轴垂直的正方形， ③以原点为中心，对角线分别在两条坐标轴上，对角线长为4的正方形. 点P是上面某个图形上的一个动点，且满足d(O,P)=2总成立.写出符合题 意的图形对应的序号 (2)若直线y=k(x+3)上存在点P使得d(O,P)=2,求k的取值范围. (3)在平面直角坐标系xOy中，P为动点，且d(O,P)=3,⊙M圆心为M (t,O),半径为1.若⊙M上存在点N使得PN=1,求t的取值范围. 12 1O、点P为平面直角坐标系xOy中一点，点Q为图形M上一点.我们将线段P9 长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”· 如图，⊙0半径为2，与x轴交于点A,B,点P2,3. ↑ y个 3 3 ·P 2 2 1 B -5-4-3-2-1012345x -4-3 -10 34 -2 -3 -3 -4 -5H (1)在点P视角下，⊙O的“宽度”为，线段AB的“宽度”为 (2)点Mm,0为x轴上一点.若在点P视角下，线段AM的“宽度”为2，求m的取 值范围. 13 11、在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2-2ax+a-4a≠0l. (1)求抛物线y=ax2-2ax+a-4的顶点坐标； (2)当-1≤x≤5时，y的最大值为12；请求出a的值， 14 12、对于平面内的点P和图形M,给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作 圆，若⊙P与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大 值与最小值的差称为点P视角下图形M的“宽度M” (1)如图1.点A(4,3),B(0,3). ①在点O视角下，则线段AB的“宽度dAB”为 ②若⊙B半径为1.5，在点A视角下，⊙B的“宽度d。B"为 4 3 2 1 432012345 本3934 引 3 4 图1 图2 (2)如图2，⊙0半径为2，点P为直线y=-x+1上一点.求点P视角下⊙0“宽 度d。o”的取值范围； 15 13、对于平面直角坐标系中的点M和图形G,G,给出如下定义：点P为图形 G1上一点，点2为图形G2上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形 G1,G的“中立点"如果点Px,y1,Qx2,y2,那么“中立点”M的坐标为 ,已知，点a3,、B4,4,c4,0. 4 4 3 21 2 432-2房45 432-01234x 2 -2 3 4 -5 -5外 图1 图2 4连接C,在点D2D,E0,山，F}中.可以成为点A和线段C的中立 点"的是 (2)已知点G3,0,⊙G的半径为2，如果直线y=x-1上存在点K可以成为点A和 ⊙G的“中立点”，求点K的坐标； 3)以点C为圆心，半径为2作圆，点N为直线y=2x+4上的一点，如果存在点 16 N,使得y轴上的一点可以成为点W与⊙C的“中立点”，直接写出点N的横坐标n 的取值范围· 17 14、对于平面直角坐标系x0y中的任意一点P,给出如下定义：经过点P且平 行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P的“特征线”. 例如：点M1,3的特征线是y=x+2和y=-x+4; 4F 3 5-4-3-2-1012345 (1)若点D的其中一条特征线是y=x+1,则在D2,2、D21,0、D,3,4三个点中， 可能是点D的点有； (2)已知点P1,2的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点A, 直线y=x+b(k≠0经过点P,且与x轴交于点B.若使△BPA的面积不小于6，求 k的取值范围 (3)已知点C2,0,Tt,0,且⊙T的半径为1.当⊙T与点C的特征线存在交点时， 直接写出t的取值范围 18 后 15、在平面直角坐标系x0y中，对于P,Q两点给出如下定义：若点P到两 坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P,Q两点为同族点. 如图P,Q两点即为同族点， 3 1 123 方4内之0124x方4立0124x 2 备用图 备用图 (1)已知点A的坐标为(-3,1)，点B在x轴上，且A,B两点为同族点，则点 B的坐标为； (2)直线1：y=x-3,与x轴交于点C,与y轴交于点D, ①M为线段CD上一点，若在直线x=n上存在点N,使得M,N两点为同族点， 求n的取值范围； ②M为直线1上的一个动点，若以(m,0)为圆心，2为半径的圆上存在点 N,使得M,N两点为同族点，直接写出m的取值范围. 20 16、在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+3a的图象过点A1,t, B(3,t] (1)求的值： (2)已知二次函数y=ax2+bx+3a的最小值为a-6. ①求该二次函数的表达式， ②若M(x,m),Nx2,m为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证： (x-321-x m2x1-1 21 17、在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象过点A(2,k),B(-1,k). (1)求的值： 2已知二次函数y-0x2+bx+2的最大值为号0， ()求该二次函数的表达式； (i)若M(x1,n),N(x2,n)为该二次函数图象上的不同两点，且n≠0，求证： x1+1X2-2 nx1-2· 22 18、已知二次函数y=ax-1川x+2(a≠0). (1)求该二次函数图象的顶点坐标· (2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点(0，-3，求该二次函数的表 达式 (3)已知a<0,Ax1,m和Bx2,n是该二次函数图象上任意两点，若对x1=-1-a, x2=2d 都满足m<n,求证：y星 23 19、已知抛物线y=-x2+2m-3x-m+2. (1)求证：不论m为何值，抛物线与x轴都有两个交点； 1 x<2 (2)若该抛物线的对称轴为x=多.当2 时，求y的取值范围 . 参考答案： 24 1、 (1)3 (2)①a=2b或b=2a,②0P=V5 (3)/3+1<a<3+3 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，正方形的性质，点的坐标的特 征，本题是新定义型题目，解题的关键是：(1)(2)问理解新定义，(3)问 求临界值 (1)直接由“倾斜系数”定义求解即可； (2)①由点Pa,b的“倾斜系数”k=2,由=2或名2求解即可： b ②由a=2b或b=2a,又因a+b=3,求出a、b值，即可得点P坐标，从而由勾股定 理可求解； (3》当点P与点D重合时，且k=3时，a有最小临界值，此时，名V5,则 +2-3,求得a=3+1;当点P与B点重合，且k=3时，a有最大临界值，此时， a <V3 83,则23，求得：a=3+3,即可求得 时，a的取值范围. 【详解】()解：由盟高，得3，名 25 :3> 3, ∴·点P6,2的“倾斜系数”k=3; (2)解：①a=2b或b=2a, :点Pa,b的“倾斜系数”k=2, 当号=2时，则0=2b, 当。2时，则b-2a, ∴.a=2b或b=2a: ②：Pa,b的“倾斜系数”k=2, 当82时，则a=2b, .a+b=3, ∴.2b+b=3, .b=1, ∴.a=2, .P2,1, .0P=V22+12=5; 当会2时，则6-20， .a+b=3, 26 ∴.a+2a=3, .a=1, ∴.b=2,∴.P1,2 .0P=V12+2=V5: 综上，OP=5; (3)解：由题意知，当点P与点D重合时，且k=3时，a有最小临界值，如图， 连接OD,延长DA交x轴于E, D(P)C GA B E 此时，V5 则2-， 解得：a=3+1; :k<3,则a>V5+1: 当点P与B点重合，且k=3时，a有最大临界值，如图，连接OB,延长CB交x 27 轴于F, y D 14-B(P) F 此时，8=3， 则25， 解得：a=3+3, :k<3,则a<3+3: 综上，若P的“倾斜系数”k<V3,则3+1<a<3+3. 2、 (1)P3,0 (2)2 (3)-1≤b≤1或3≤b≤5 【分析】(1)过点P作PQ⊥EF于点Q,根据新定义得出PQ=2,根据已知得出 28 ∠TGO=30°，则GP=2PQ=4,即可求解； (2)当P到x轴的距离最小时，点P在线段BC上，设△ABC的边长为a,以C为圆 心a为半径作圆，当OC与x轴相切时，如图所示，切点为H，此时点P是直线EF: x轴的“伴随点”·且点P到x轴的距离最小，则C的纵坐标为a,即CH=a,△ABC 是等边三角形，且BC1y轴，设BC交于点D,则AD1BC,得出Ca,a,根据 0C=V5即可求解； (3)由正方形的边长为1，即可求出P到EF的距离为2，从而可得P既在正方 形的边上，也在到EF距离为V2的直线上，当b≤1时，EF向上平移2个单位长度 得1，分别求出1过A、C时b的值：当b>1时，EF向下平移2个单位长度得1， 分别求出1过A、C时b的值，即可求出b的取值范围. 【详解】(1)解：如图所示，过点P作PQ1EF于点Q, /G OA P B .A1,0,B3,0,则AB=2,点P是直线EF的“伴随点”时， 29 ∴.PQ=2, .G-1,0,T0, 3 3 .0G=1,6= 3 3’ 3 :an∠TG0=i=3 3 3, .∠TG0=30° .GP=2PQ=4, .P3,0; (2)解：当P到x轴的距离最小时， .点P在线段BC上， 设△ABC的边长为a,以C为圆心a为半径作圆，当⊙C与x轴相切时，如图所示， 切点为H,此时点P是直线EF:x轴的“伴随点”·且点P到x轴的距离最小， B DP E 则C的纵坐标为a,即CH=a, 30 .'△ABC是等边三角形，且BC⊥y轴，设BC交于点D,则AD⊥BC, .BD=DC= 30, c .0C=/5, /12 2a+a=5, 解得：a=2或2（舍去）， ∴.等边三角形ABC的边长为2； (3)解：由题意知，正方形ABCD的边长为1，所以正方形ABCD上任意两点距 离的最大值为1+1=2，即正方形ABCD上始终存在点P,P到EF的距离为2.则 EF向上或者向下平移2个单位长度得到直线1 :与EF平行，且两直线间的距离为2， ∴P既在1上，又在正方形ABCD的边上， .与正方形ABCD有交点。 当b≤1时，为y=-x+b+2, 当4过A时，0=-1+b+2,即b=-1, 当1过C时，1=-2+b+2,即b=1; 31 .-1≤b≤1： 当b>1时，4为y=-x+b-2, 当1过A时，0=-1+b-2,即b=3, 当1过C时，1=-2+b-2,即b=5; .3≤b≤5； 综上，当-1≤b≤1或3≤b≤5时，正方形ABCD上始终存在点P,使得点P是直线 EF:y=-x+b的“伴随点”. 【点睛】本题考查了几何新定义，解直角三角形，切线的性质，直线与坐标轴 交点问题，正方形的性质，理解新定义是解题的关键. 3、 (1)P2,P3 2)名 (3)1≤t≤3或-1-V2≤t≤V2-1 【分析】(1)根据题意，画出图象，进行判断即可； (2)作BC以原点为位似中心，位似比为2：1的位似图形BC,根据直线 32 MN:y=-x+b上存在点P是图形w的“延长2分点”，得到直线 MN:y=-x+b与BC有交点，进而得到当MN:y=-X+b过点C时，b值最 小，进行求解即可； (3)作△兽以原点为位似中心，位似比为1：2的位似△DEF,得到W3与△DEF 有交点，求出⊙T与DE相切以及⊙T与DF相切，两种情况求出t的临近值，即可 得出结果. 【详解】(1)解：作线段AB以原点为位似中心，位似比为2：1的位似图形AB, 5-4-3:-2: 12345: .A2,4,B2,2, ∴.A-1,-2,B-1,-1, .‘点P是图形W的“延长2分点”， ∴.点P在线段AB上， 33 ,…P2-1,-1,P3-1,2在线段AB上， ∴.P2,P3是图形W的“延长2分点”； 故答案为：P2,P3: (2)作BC以原点为位似中心，位似比为2：1的位似图形BC,如图， 个y 5 4 3 2 b 5-4X-2 2345 B .B2,2,C5,2, 1-,d2-1 :直线MN:y=-x+b上存在点P是图形w的“延长2分点”， :直线MN:y=-x+b与BC有交点， :当MN:y=-x+b过点C时，b值最小， 把c是-小代入=-+6，得：b子 7 .b的最小值为2； 34 (3)作△以原点为位似中心，位似比为1：2的位似△DEF, .D-1,-2,E-1,1,F2,1, ∴.D2,4,E2,-2,F-4,-2, ,等腰直角三角形DEF上存在点P,使得点P是图形W的“延长2分点”， ∴.当W3与△DEF有交点时，满足题意， 当⊙T与DE相切时，如图，则：t=1或t=3, ◆y 5 5:-4-3:2 45 ∴.1≤t≤3时，满足题意； 当⊙T与DF相切时，且切点为G,连接TG,则：4TGE=90°， 个y 5 4 5-4-3 345 35 y D 3 E -4:-3:2 345 ,△为等腰直角三角形， ∴.△DEF为等腰直角三角形， .E-1,1,F2,1,E2,-2,F-4,-2, ∴.EF‖EF‖x轴， ∴.∠DFE=45°， .以Tt,1为圆心，半径为1的⊙T, ∴.T点在直线EF上，TG=1, ∴.∠TEG=∠DEF=45°， ∴.ET=V2TG=V2, ∴.t=-1-2或t=V2-1, .-1-2≤t≤V2-1; 综上：1≤t≤3或-1-2≤t≤V2-1. 36 【点睛】本题考查坐标与图形变换一位似，等腰三角形的性质，勾股定理，切 线的性质等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，理解并掌握新定义，利 用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键， 4、 (1)P1-1,0 (2)2 (3)-2≤t≤2 【分析】本题考查了新定义，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，切线长定 理的应用，一次函数与结合图形，熟练掌握轴对称的性质，找到临界值是解题 的关键； (1)根据定义，观察P-1,0,P21,2,经过ON对称后，判断对称点是否在AB上， 即可求解； (2)根据正方形的顶点到O的距离为2，则对称之前的点到原点的距离为2， 进而求得b的最大值，将D-1,1代入y=x+b得，1=1+b,即可求解； (3)根据新定义，找到临界值，即OP为⊙T的切线时的情形，求得的值，即可 37 求解. 【详解】(1)解：如图，当A,N重合时，P关于ON的对称点为0,1，在线段AB 图1 .P1-1,0是图W的“映射点”； 而P,1,2关于ON的对称点不在AB上，则P1,2不是图W的“映射点”； 故答案为：P-1,0. （2)解：依题意，正方形的顶点到0的距离为1+1=V2, .当：y=x+b上存在点P是图W的“映射点”，则点O到y=x+b的距离为V2 ∴.当y=x+b经过点D时，b的值最大， 将D-1,1代入y=x+b得，1=-1+b 解得：b=2, .b的最大值2； 38 (3)解：如图，ON,OP分别为⊙T的切线， p主 当P为W的“映射点”， ∴.∠PON=∠PON, 又.'∠PON=∠TON=90°-∠PON, 设∠PON=a,则∠TON=90°-a .∴.∠PON=∠PON=2∠TON=180°-2a .180°-2a=a 解得：a=60 ∴.∠P0N=60°，∠TOW=30 .TN=1, ∴.0T=2, 当减小时，P关于W3的“映射点”，在W即⊙T的内部，符合题意， .∴.t≤2 39 当t<0时，根据对称性可得t≥-2 综上所述，-2≤t≤2 5、 (1)P1,5)(答案不唯一) (2)-4≤b≤4 (3)①4；②-1或1 【分析】(1)根据“k定积垂旋点”的定义解答即可： (2)根据“k定积垂旋点”的定义，可得P0Q0=4,则P0=22,再分别求出两 当直线y=-x+b与该圆相切于点P时，当直线y,=-x+b,与该圆相切于点P时，b的 值，即可求解； (3)①当图形G3在x轴上方时，如图3所示，过点M作MN1x轴，过点Q作 QN I PM,交MN于点N,连接PY,P吧，根据“k定积垂旋点”的定义，可得 SANMIP=S△oMP=3,从而得到NM=3,再结合∠NQM=∠PMQ=90°，可得图形G3是以 MN为直径的OG(点M除外)取MN的中点G,连接GQ,GO,根据三角形两边之 和大于第三边，可得当点Q在0C的延长线上时O0最大，即可解得：当图形G在 40 x轴下方时，如图5所示.过点M作MN⊥x轴，过点Q作QN‖PM,交MN于点 N,连接PN,PQ,同理可解得；②根据①分两种情况，结合相似三角形的判 定和性质，即可求解. 【详解】(1)解：当点Q与点A重合时， 由题意得，AM=1, ·点P为图形G关于点M的“3定积垂旋点”，M1,2为垂旋中心， .∠PMA=90°，PM·AM=3, ∴.PM=3, .P1,5;(答案不唯一) (2)解：如图2，在图形G2上任取一点记为点Q, =-x+b1、个 y2=-x+b2 图2 由题意得，⑨0=V2, ,点P为图形G2关于点O的“4定积垂旋点”，00,0为垂旋中心， ∴.P0Q0=4, 41 .P0=2V2, ·满足“4定积垂旋点”的点P一定在以0为圆心，22为半径的圆上. :直线y=x+b上存在点P, ∴直线y=-x+b与以0为圆心，22为半径的圆存在公共点， .‘点P为图形G2关于点O的“4定积垂旋点”. 当直线y=-x+b与该圆相切于点P时， :OP⊥直线y=-x+b1, .∴.∠NPO=90° 由题意得：∠PNO=45°， .NP=OP=22, .N0=/Np2+0P2=4, .b1=4 同理当直线y2=-x+b2与该圆相切于点P时，N0=4,b2=-4, 综上所述，-4≤b≤4； (3)解：①情况一：当图形G3在x轴上方时，如图3所示，过点M作MN⊥x轴， 过点Q作QNPM,交MN于点N,连接PN,PO 42 M :点P0,t为图形G3关于点M的“6定积垂旋点”，M-2,0为垂 图3 旋中心， .PM·QM=6,∠PMQ=90°， .SANMP=S△OMP=3, :2M-0M=3, 号M×2=3, .∴.NM=3 .QN‖PM, ∴.∠NQM=∠PMQ=90°， ∴.图形G3是以MN为直径的OG(点M除外)， 取MN的中点G,连接GQ,GO, :OQ≤GQ+G0(三角形两边之和大于第三边) ∴当点Q在0G的延长线上时00最大，如图4所示， 43 .NM=3, M 图4 GM-GQ-3 , ∴.G0=VGM2+0M2= +22=5 ∴0Q=GQ+G0=3+5 22 4 情况二：当图形G3在x轴下方时，如图5所示.过点M作MN⊥x轴，过点Q作 Q N I PM,交MN于点N,连接PN,PQ. M 图5 同理，图形G3是以MN为直径的⊙G(点M除外)，取MN的中点G,连接GQ, G0,当点Q在0G的延长线上时0Q最大（如图5所示） 同理可得，00-GQ+60-4 综上所述，O的最大值为4： ②情况一：当图形C在x轴上方时，过点Q作QH⊥x轴于点H,则QH‖MN, 44 H ∴.△GOM-△Q0H, …08器器 3 即 2 QH OH 4 解得：OH=3.2,QH=2.4, ∴.HM=1.2, .∠PMQ=90°， ∴.∠OMP+∠QMH=90°=∠OMP+∠MPO, .∴.∠QMH=∠MPO, ,∠POM=∠QHM=90°， ∴.△POM-△MHQ, PO OM PO2 MH0,即122.4 .OP=1,即t=1: 当图形C3在x轴下方时，过点Q作QK1x轴于点K,则QK‖MN, 45 K M L 同理解得：M=1.2,QK=2.4, .‘∠PMQ=90°， ∴.∠OMP+∠QMK=90=∠OMP+∠MPO, ∴.∠QMK=∠MPO, .'∠POM=∠QKM=90°， ∴.△POM-△MKQ, 器器 P0=2 即1.22.4’ ∴.OP=1,即t=-1: 综上所述，t=-1或1. 6、 1)①不是，②19 (2)-3V2<b<3V2 46 【分析】(1)①根据“2倍关联点”的定义判断即可.②过点P作PC1AB于 点C,当P2A=2PC时，点P是线段AB的“2倍关联点”，此时m的值最小，根据 定义解直角三角形，即可求出m的值. (2)由题得出y=x+b交r轴于(0，b),分两种情况，①当直线I在⊙O的左上方时， 记为直线4，过圆心0作0Q1山于点Q,若Q1是直线1上⊙0的唯一“2倍关联 点”， 此时QM=2QN,得出OQ1=3,然后判定△ODQ1为等腰三角形，解直角三角形得 出b=32,②当直线1在⊙0的右下方时，记为直线，过圆心0作0Q1l2于点. 同①的方法求得b=-32,即可求出b得取值范围， 【详解】(1)解：①不是， 由题意得：P1A=-22+1-1=22, PB=2-22+-1-12=2, ,点P到线段AB的最小距离为PB=2,最大距离为PA=22,且PA<2PB, ∴.点P2,-1不是线段AB的一个“2倍关联点”. ②如下图，过点P作P,C1AB于点C 当P2A=2PC时，点P2是线段AB的“2倍关联点”，此时m的值最小. 47 在Rt△ACP2中，∠P2AC=30, .P2C :.AC =tan30°， P2C=AC.tan309=3 3’ 又P2C=1-m, 1m3 3 解得： n13 3 ·点m的最小值为13 3 (2)如下图，y=x+b交y轴于(0，b) ①当直线1在⊙0的左上方时，记为直线， 过圆心0作0Q1l于点Q, 若Q1是直线上⊙0的唯一“2倍关联点”， 此时Q1M=2Q1N, 48 .⊙0的半径为1， .0Q1+1=20Q1-1 .0Q1=3 直线y=x+b, .C-b,0,D0,b ..OC=OD=b, ∴.∠CD0=45 ∴.在Rt△ODQ中， 0=sin45°，b=0D= OD 0Q,=32 in45° ②当直线1在⊙O的右下方时，记为直线， 过圆心0作0Q,112于点·同①的方法求得b=-32. 综上，b的取值范围是-3V2<B<3V2. 2 49 【点睛】本题主要考查了一次函数与圆的综合问题，“2倍关联点”的新定义下 的运算，两点之间的距离公式，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形 等知识.理解并会运用“2倍关联点”是解题的关键. 7、 ①s是 (2)y=x+1或y=-x+3 110 (3)点D的坐标为-3，-2或3’3 【分析】(1)根据坐标与图形，结合新定义，根据三角形的面积公式，即可求 解 (2)根据新定义得出AC是斜边，且AC与坐标轴的夹角为45°，则C0,1或0,3， 进而待定系数法求解析式即可求解； (3)由(2)可知点D一定在直线y=x+1或y=-x+3上，又点D在直线 y=2x+4上，联立解方程组即可求解. 【详解】(1)解：，点A的坐标为1,2，点B的坐标为-2,1)， 50 5号31-是 2 (2)解：，点A的坐标为1,2，点A,C的“坐标直角三角形”为等腰直角三角 形， AC是斜边，且AC与坐标轴的夹角为45 .A到y轴的距离为1， ∴.C0,1或0,3， 设经过A1,2,C0,1的解析式为y=x+1, 则k+1=2,解得k=1, ∴.y=x+1, 设经过A1,2,C0,3的解析式为y=k1x+3, 则k+3=2,解得：k=-1, y=-x+3 综上所述，直线AC的表达式为y=x+1或y=-x+3 A Z1 1234 1 51 (3).'点A,D的“坐标直角三角形”为等腰直角三角形 ∴由(2)可知点D一定在直线y=x+1或y=-X+3上， 又：点D在直线y=2x+4上， y=x+1 y=-x+3 .可列方程组y=2x+4或y=2x+4, X=-3 、1 3 解得y=-2或，10 y3 110 点D的坐标为3,2或3’3、 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数交点问题，理解新定义，等腰三角 形的性质，一次函数的性质是解题的关键. 8、 adM,N)-号 2)b-V2+9或b=V2-3 ?或△3+5 3)大3V5 2 52 【分析】(1)连接BD,作OE⊥BD,图形M,N的“最短距离”是OE,求出 OB,OD和BD的长度，利用面积相等求出OE的长度即可； (2)对直线位置分情况讨论，①当y=x+b在△ABC右侧时；②当y=x+b在△ABC 左侧时，利用等面积法求b的值； (3)对OH的位置分情况讨论，①当OH在△ABC右侧时：②当⊙H在△ABC 左侧时，利用等面积法求d的值，再根据>l求出t的范围. 【详解】(1)解：连接BD,作OE1BD,如图： .B0,-3,D4,0, ∴.OB=3,OD=4, ∴.BD=5, 53 1 1 xODxOD=-xOExBD .2 .oe号 5 0,0=号 (2)解：由题意可知： ①当y=x+b在△ABC右侧时，分别交坐标轴与点E,F,图像大致如下： 由图可知：b<-3,E-b,0,F0,b,EF=2b,BF=-3-b, 此时dM,N=1为B到EF的距离， Sar=（-b-3-b)-×1xV26,解之得：6=2-3 ②当y=x+b在△ABC左侧时，分别交坐标轴与点E,F,延长CA交EF于点G,图 像大致如下： 54 由图可知： b>5,E-b,0,F(0,b),G(5-b,5),EF=2b,AG=b-9, FG=V2(b-5), 此时dM,N=1为A到EF的距离， :5e=-56-9)=x1xV56-5),解之得：62+9： 综上所述：b=V2+9或b=√2-3. (3)解：①当H在△ABC右侧时，假设直线BC与x轴交于点K,H到直线BC的 距离为d,图像大致如下： 55 A D O - 设直线BC解析式为y=ax+m, 4a+m=5 a=2 将B,C两点的坐标代入可得： m"3,解之得03 ∴直线0解析式为y=2x-3,则K号0， ad=21-3 V5, 半径为，=5，解 解之存公3*6 2; ②当H在△ABC左侧时，假设直线AC与x轴交于点K,H到直线AC的距离为d, 图像大致如下： 56 设直线AC解析式为y=ax+m, 将A,C两点的坐标代入可得： 4只5， a=-2 解之得m=-3' 6直线C解折武为y=-2x-3,则之0Λ K d=21-3 半径为1,23 >1 V5 ，解2得人36 2; 综上所述： 2或△3+5 3-v5 2. 【点睛】本题考查直角坐标系，一次函数，(1)比较简单：(2)和(3)的关 键是分情况讨论，画出大致图象，结合图象利用等面积法进行求解. 57 9、 (1) ®：2-号sk≤：(3)-5≤t≤-3+22或3-22≤t≤5. 【分析】(1)分三种情况设出点P的坐标，按照两点的直角距离的定义可以直 接求出结果，即可判断各结论是否符合题意： (2)分别求出直线y=k(x+3)经过特殊点(0,2)，(0，-2)时k的值， 由运动过程写出k的取值范围； (3)由(1)可判断满足d(O,P)=3的点是在以原点为中心，对角线在坐标 轴上，且对角线长为6的正方形ABCD上，再分别求出⊙M与正方形在y轴左右 两边最远距离为2时t的值，即可写出结果. 【详解】解：(1)①如图1，点P在以原点为圆心，2为半径的圆上， 4 45 -3 图1 58 设P点横坐标为1，则纵坐标为2-1=3， P(1,V5), 根据定义两点的直角距离，d(P,0)=2-0+1V3-0=2+V3≠2， 故①不符合题意： ②如图2，点P在以原点为中心，4为边长，且各边分别与坐标轴垂直的正方形 上时， -5-4-3-2-10 345 -3 -4 -5 图2 设P(2,a)(a≠0)， 则d(P,0)=|2-0+a-0=2+a≠2， 故②不符合题意； ③如图3，点P在以原点为中心，对角线分别在两条坐标轴上，对角线长为4的 正方形上时， 59 4 2kA B M D 54-3-2入-10 12345x -2 -3 -4 图3 -5 将点A(0,2),D(2,0)代入y=kx+b, b=2 得，2k+b=0' 解得，k=-1,b=2, ∴.yD=-X+2, 设点P在AD上，坐标为(a,-a+2)(0≤a≤2)， 则d(P,0)=|a-0+-a+2-0=2, 故③符合题意： 故答案为③； (2)当直线经过(0,2)时，将(0,2)代入直线y=k(x+3), 得，3k=2, k=号： 60 当直线经过(0，-2)时，将(0，-2)代入直线y=k（x+3), 得，3k=-2, tk- 运动观察可知，k的取值范围为-号≤k≤号： (3)由题意，满足d(0,P)=3的点是在以原点为中心，对角线在坐标轴上， 且对角线长为6的正方形ABCD上（如图4）， LD 2 图4 当M在正方形ABCD外时，若MA=2,则t=-5,若MC=2,则t=5, 当M在正方形ABCD内部时， 若M到正方形AD,AB边的距离恰好为2， 则t=-3+22, 若M到正方形DC,BC边的距离恰好为2， 61 则t=3-22, 运动观察可知，t的取值范围为-5≤t≤-3+22或3-22≤t≤5. 【点睛】本题考查了新定义，类比法，点与圆的位置关系等，解题的关键是要 有较强的理解能力及自学能力等. 10、 (1)4,2 (2)2≤m≤6或m=2-2V10 【分析】(1)作出图形，由点P视角下图形M的“宽度”定义，直接求解即可 得到答案； (2)根据题意，分两种情况：点M在点A右侧和点M在点A左侧，按照线段AM 的“宽度”为2讨论求解即可得到答案. 【详解】(1)解：如图所示： 62 y个 3 B -4-3 3 4'x -3 -4 由定义可知，在点P视角下，⊙O的“宽度”为PE-PF=EF=4; :P2,3、B2,0, :.PB上x轴， 在Rt△PAB中，PB=3,AB=4,则由勾股定理可得A=√42+3=5， ∴·由定义可知，在点P视角下，线段AB的“宽度”为PA-PB=2; 故答案为：4,2； (2)解：如图所示： 4 B 4-3 2 34x 3 由(1)知，PA-PB=2, P2,3、B2,0, 63 PB上X轴， 由题意可知，点A-2,0关于点B2,0的对称点坐标为C6,0, 又点Mm,0为x轴上一点，分两种情况： 当点M在点A右侧时， 若-2<m<2, 则由PB<PM<PA,PA-PB=2,可知PA-PM<2,不符合题意； 若m>6, 则由PM>PA,PA-PB=2,可知PM-PB>2,不符合题意； 若2≤m≤6， 则由PC=PA,PA-PB=2,可知PM-PB=PA-PB=2,符合题意； 综上所述，此种情况下，2≤m≤6； 当点M在点A左侧时，PM>PA,令PM-PA=2, 由(1)知PA=5,则PM=PA+2=7, :B2,0,Mm,0,且点M在点A左侧，m<-2, ∴.BM=2-m, 在Rt△PBM中，PB=3,PM=7,BM=2-m,则由勾股定理可得PB+BM=PM2 即2-m2+32=72, 64 ∴.m2-4m-36=0, 解得m1=2-210,m,=2+210(m2>-2,不满足要求，舍去) ∴.m=2-210, 综上所述：2≤m≤6或m=2-210, 【点睛】本题考查圆综合，涉及点与圆的位置关系、切线性质、勾股定理、解 一元二次方程等知识，理解题中点P视角下图形M的“宽度”这个新定义是解决 问题的关键. 11、 (1)(1,-4): (2)①a=1;②0<t≤4 【分析】(1)将解析式化为顶点式即可顶点答案； (2)①根据顶点坐标及-1≤x≤5得到当=5时的函数值为12，代入函数解析式计 算即可； ②先求出图象的顶点坐标为(1，-4)，及 Am,m2-2m-3,Bm+t,m2+2mt+t-2m-2t-3,分四种情况：当图象G不包含顶点， 65 m心1时，t+2m-1t=4;当图象G不包含顶点，m+tK1时，t+2m-1t=-4;当图象 包含J顶点，m+t>1,f1,m+t-1≥1-m时，m2+2mt+t-2m-2t-3--4=4,当图象包 含顶点，m+t仑1，m1,1-m≥m+t-1时，m2-2m-3--4=4,进而求出答案. 【详解】（1)解：y=ax2-2ax+a-4=ax-1-4, ∴.抛物线的顶点坐标为（1，-4)； (2)解：①图象的顶点坐标为（1，-4)， ∴.当1时，函数有最值为-4， .当-1≤x≤5时，y的最大值为12,1-(-1)<5-1， .当5时的函数值为12， ∴.a5-12-4=12, 解得a1; ②对于抛物线y=x-1-4=x-2x-3,其顶点坐标为(1，-4)， Am,m2-2m-3,Bm+t,m2+2mt+t2-2m-2t-3, 当图象G不包含顶点，m1时，t+2m-1t=4, .m-1=4-t 2t’ 4-t20, .2t1 66 .t>0, 0<t<2 当图象G不包含顶点，m+tK1时，t2+2m-1t=-4, .m-1=4-t2 2t’ -=m-1<-t, .t>0, 0<t<2 当图象包含顶点，m+t≥1,1，m+t-1≥1-m时，m2+2mt+t-2m-2t-3-(-4)=4, .m+t2-2m+t-3=0, ,∴.m+t-3m+t+1=0, ∴.m+仁3或m+t仁-1（舍去），即3-t, .f1,m+t-1≥1-m, ∴.e1,2m+t-220, ∴.3-t≤1,23-t+t-2≥20， .2≤t≤4； 当图象包含顶点，m+21,m≤1,1-m≥m+t-1时，m2-2m-3-(-4)=4, .m-3m+1=0, 67 ∴.F3(舍去)或-1， .m+t21,1-m≥m+t-1, ∴.m+t≥1,2m+t-2≤0， ∴.-1+t21,-2+t-2≤0， .2≤t≤4； 综上，0<t≤4. 【点睛】此题考查了二次函数的综合知识，二次函数的图象和性质，掌握二次 函数图象上点的坐标特征，运用分类思想进行讨论解决问题是解题的关键. 12、 (1)①2；②3；(2)2≤d。o≤4；(3)m<-33-2或m>-33+1. 【分析】(1)①根据题意易得当线段AB与以点O为圆心的圆相切时半径最小， 经过点B时半径最大，由此问题可得解；②由题意可得当以点A为圆心的圆与 ⊙B外切时半径最小，内切时半径最大，由此问题可得解： (2)设直线y=-x+1与⊙O的交点分别为M和N,与x轴、y轴交于点A、B,由题 意易得点A1,0,B0,1,即OA=1,OB1,则可分当点P在点M上方、点W下方时和 68 当点P在线段MW上时，然后进行分类求解即可； 3)由直线y=3x+3可得0D=33,0E=3,则DE=6,∠ED0=30,由 Cm,0,CK=1可知点K在以点C为圆心，半径为1的圆上，进而可分当⊙C经过点 D时和当OC与直线DE相切于点K时，然后求解即可. 【详解】解：(1)①由题意得：当以点O为圆心的圆与线段AB相切于点B时， 半径为最小，经过点A时半径最大，连接OA,如图所示： 4 3 2 43-2-12345x -2 3 -4 图1 .A4,3,B0,3, ∴.0B=3,OA=4-02+3-02=5, ∴.在点O视角下，则线段AB的“宽度dAs”为5-3=2， 故答案为2； ②由题意得：以点A为圆心的圆与⊙B外切时半径最小，内切时半径最大，如图 所示： 69 B 4-3-2012345 3 图1 .⊙B半径为1.5， .半径最大为1.5+4=5.5，半径最小为4-1.5=2.5， ∴.在点A视角下，⊙B的“宽度doB”为5.5-2.5=3， 故答案为3； (2)设直线y=-x+1与⊙O的交点分别为M和N,与x轴、y轴交于点A、B,如图 所示： 43太10 45 -4 图2 当点P在点M上方时，则以点P为圆心的圆与⊙O内切时半径最大，外切时半径 最小，如图，设⊙P的半径最小为”，由圆与圆的位置关系可得半径最大时为 70 r+4, ∴.在点P视角下⊙0“宽度d。0”为r+4-r=4, 同理可得当点P在点N下方时，与点P在点M外时相同； 当点P在线段W上时，则根据点到直线垂线段最短可得当点P在AB的中点时， 此时在点P视角下⊙0“宽度doo”取最小，即：以点P为圆心的圆与⊙0内切 时半径最大，外切时半径最小，如图所示： 43 3本方 图2 ∴.由直线y=-x+1可得点A1,0,B0,1,即0A1,0B1, ∴.△AOB是等腰直角三角形， .AB=2, .点P是AB的中点， :0p=2 2, 71 :“©P的半径最小为灯-要半径银大为2+ 2, 在点P视角©0“宽度为加要2引-恒， 综上所述：在点P视角下⊙0“宽度doo”的取值范围为2≤doo≤4； (3)由题意可得如图所示： 4 2 D 7543-2-012345 -21 -3 -4 由直线y-要可得当=0时，0更+8，解得×=，当0时，则有 3 =3, ∴.D-33,0,E0,3, ∴.0D=33,0E=3, ∴.DE=6, .ED0=30°， .Cm,0,CK=1, .点K在以点C为圆心，半径为1的圆上， 72 .由在所有点K的视角下，线段DE的“宽度”均满足0<dDe<6,则有： 当⊙C经过点D时，如图所示： 2 75-4-2-0 12345 -2 .DC1, ∴.0C=33-1, .m=-33+1, '.当点K与点D重合时，以点K为圆心的圆与线段DE有交点时，半径最小为0， 最大为6，所以在点K的视角下，线段DE的“宽度”为D=6,而点K在⊙C的其 他地方时，根据三角形三边关系可知始终满足题意， ∴.m>-33+1: 当⊙C与直线DE相切于点K时，如图所示： 73 D 4十方4 引 -4 ,C=1,∠ED0=30°， .∠CDK=30°， .CD=2CK=2, ∴.0C=33+2,即m=-33-2, 此时在点K的视角下，线段DE的“宽度”为dDr=6,故不符合题意， ∴.m<-33-2, 综上所述：当随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段DE的“宽 度”均满足0<doe<6,则m的取值范围为m<-33-2或m>-33+1. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系及一次函数的 综合，熟练掌握直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系及一次函数的性质是 解题的关键. 74 13、 (1)点D,点F (2)点K的坐标为0，-1或1,0 (3)存在，点W的横坐标的取值范围为-6≤n≤-2 【分析】(1)根据“中立点”的定义，画出图形即可判断； (2)如图2中，点A和⊙G的“中立点”在以0为圆心，1为半径的圆上运动， 因为点K在直线y=x-1上，设Km,m-1,则有m2+m-1?=1,求出m的值即可解决 问题； (3)如图3中，由题意，当点W确定时，点N与⊙G的“中立点”是以NC的中 点P为圆心1为半径的⊙P,当⊙P与y轴相切时，点W的横坐标分别为2或-6， 由此即可解决问题. 【详解】(1)解：如图1中， 75 B A 图1 观察图象可知，满足条件的点在△ABC的平行于BC的中位线上， 故成为点A和线段BC的“中立点”的是D、F. 故答案为：D、F (2)解：如图2中，点A和⊙G的“中立点”在以O为圆心，1为半径的圆上运 动， y A G 图2 因为点K在直线y=x-1上，设Km,m-1, 76 则有m2+m-12=1, 解得m=0或1， ∴.点K坐标为1,0或0，-1. (3)解：如图3中，由题意，当点V确定时，点N与⊙C的“中立点”是以NC 的中点P为圆心1为半径的⊙P, 图3 当⊙P与y轴相切时，点W的横坐标分别为2或-6， 所以满足条件的点W的横坐标的取值范围为6≤xw≤-2，即-6≤n≤-2. 【点睛】本题考查一次函数综合题、圆的有关知识、三角形的中位线定理、 “中立点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问 题，属于中考压轴题 77 14、 (1)D2 ②)子ks且k20 (3)2-/2≤t≤2+V2 【分析】(1)画出图形，根据点的特征线的定义解决问题即可； (2)过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为'=-x+b,求出 △BPA的面积为6时点B的坐标，再利用待定系数法求直线BP的解析式，结合图 形即可解决问题； (3)如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y=x-2或y=-x+2,设当⊙T与直 线y=-x+2相切于点M时，当⊙T与直线y=x-2相切于点W时，分别求出OT,OT', 结合图象即可解决问题. 【详解】（1)如图1中，观察图象可知，点D2的特征线是y=x+1, 78 =x+1 D D 图1 故答案为：D2 (2)如图2中， B B ----- 图2 设过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为'=-x+b, ∴.1+b=2, .b=1, '.过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y=-x+1, .A1,0, 当△BPA的面积为6时，)AB2=6, .AB=6, 79 ∴.B-5,0或7,0， 当y=x+b经过P-1,2,B5,0时， -k+b'=2 -5k+b'=0, 解得， 当直线y=x+b经过P-1,2,B(7,0)时， 74品，解得k=子， -k+b'=2 观察图形可知满足条件的的值为子≤k≤且k0: (3)如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y=x2或y=-x+2, 图3 当⊙T与直线y=-x+2相切于点M时，连接TM, 在Rt△TCM中， .'∠TMC=90°，∠MCT=45°， MT=MC=1, ∴.TC=V2M=V2, 80 ∴.0T=2-2,此时t=2-2, 当OT与直线y=x2相切于点W时，同理可得0T=2+2,此时t=2+√2， 结合图象可知满足条件的t的值为：2-2≤t≤2+只2. 【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质、 三角形的面积、点P的“特征线”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键 是理解题意，学会用特殊位置解决问题. 15、 (1)(-4,0)或(4,0) (2)①-3≤n≤3；②㎡≤-1或m≥1 【分析】(1)因为点B在x轴上，所以设B（x,0),则|x=4,可得结论； (2)①首先证明点M的横坐标与纵坐标的绝对值之和为定值3，然后画出图形 即可解决问题； ②如图，设P(m,0)为圆心，为半径的圆与直线y=x-3相切，求出此时P 的坐标，即可判断. 【详解】(1)解：.点A的坐标为(-3,1)， 81 .3+1=4, .点B在x轴上， ∴.点B的纵坐标为0， 设B(x,0), 则x=4, .=士4， .B(-4,0)或(4,0)； 故答案为：(-4,0)或(4,0)； (2)①由题意，直线=x-3与x轴交于C(3,0),与y轴交于D(0,- 3). 4 E 2 14 12 451 -1 点M在线段CD上，设其坐标为（x,y), 82 则有：x≥0，≤0，且y=x-3. .X-y=3. 点M到x轴的距离为y,点M到y轴的距离为x, 则|x+y川=x-y=3. ∴.点M的同族点W满足横纵坐标的绝对值之和为3. 即点N在右图中所示的正方形CDFE上. .'点F的坐标为(-3,0)，点W在直线x=n上， ∴.-3≤n≤3： ②如图，设P(m,0)为圆心，2为半径的圆与直线y=x-3相切， 之D房4PW=2,∠P0W=∠CPW=45°， ∴.PC=2, ∴.0P=1, 83 观察图形可知，当m≥1时，若以(m,0)为圆心，2为半径的圆上存在点N 使得M,N两点为同族点， 再根据对称性可知，m≤-1也满足条件， ∴.满足条件的m的范围：㎡≤-1或m≥1. 【点睛】本题考查一次函数综合题、同族点的定义、圆的有关知识，解题的关 键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题， 属于中考压轴题. 16、 4 (2)①y=2x2-8x+6;②见解析 【分析】(1)根据二次函数的对称性求解即可； (2)①先求出顶点坐标，然后根据最小值为a-6列方程求解即可： ②先根据二次函数的对称性求出x+x,=4,然后把m=2-8x+6代入3通过分 m 解因式和约分后即可证得结论， 84 【详解】(1)解：二次函数y=r+br+30的图象的对称轴为x=品 .点A1,t,B3,t在该函数的图象上， -6=1+3 2a2’ 2=-4 a (2)①解：由(1)可得，b=-4a,抛物线的对称轴为直线x=2, ∴.该函数的表达式为y=ax-4ax+3a, 当x=2时，y=-a,即函数图象的顶点坐标为2，a. .函数的最小值为a-6, ∴.a>0,且-a=a2-6, 解得a1=2,a2=-3（舍去). .该二次函数的表达式为y=2x-8x+6 ②证明：，点Mx1,m在函数y=2x-8x+6的图象上， .m=2x1-8x1+6, 由①知，点Mx1m,Nx,m关于直线x=2对称， 则=2，即×=4x. :-3-k-3 (x1-3P (x1-3。x1-3_4-x2-3_1-x2 m2x-8x1+62x7-4x1+32x1-3x1-12x1-12(x1-12x1-1 85 17、 (1)-1 (2)(i)y=-x+x+2;(i)见解析 【分析】(1)根据二次函数的对称性求解即可； 51 (2)①先求出顶点坐标，然后根据最大值为24a列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出×+x,=1,然后把 x1+12x32-2 nx2通分后代入即可求 解. 【详解】（1)解：.二次函数y=ax+bx+2的图象过点A(2,k),B(-1,k), 2-1_1 :二次函数的对称轴为直线×=2=2， b 二次函数的对称轴为x=2a, b 1 .2a2' b二-1： :.a (2)解：(i)y=a+bx+2=aX+bx+bb+ 。x242+2=ax+2a+86 4a, 当×=时，二次函数的最值为84。， 8a-b2 .二次函数图象开口向下，即a<0, 86 :二次函数y=0+bx+2的最大值为号0， a20 “aa, 化简得，a-b-2a=0, 由(1)知，a =-1, .b=-a, .a3-a-2a=0, ∴.aa+1a-2=0, a≠0， ∴.a+1=0或a-2=0, ∴.a=-1或a=2（舍去)， .二次函数解析式为y=-x+x+2; (i)M(x,n),N(,n为该二次函数图象上的不同两点，且n≠0，不妨设 X1<X2, 二次函数的对称轴为直线x=, 2， 由(1)知，二次函数y=-+x+2的对称轴为直线x2, =克，n=-x+x+2=-+x+2, .X1+X2=1, 87 :12 nx1-2 _x+1x-2-nx-2 nx1-2 x1+1川x-2x1+1-nx2-2 nx1-2 _xx-2x+1小-nx-2 nx1-2 =-nx+1-nx2-2 nx1-2 =-nx+x2-1 nx1-2 =n1-1 n =0, 器 【点睛】本题考查了二次函数.熟练掌握待定系数法求二次函数表达式，二次 函数的图象与性质，二次函数的对称性，二次函数的最值，用分式的减法证明 相等关系，是解题的关键. 88 18、 (2)y=3x-1x+2 (3)见解析 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴的计算，二次函数平 移的性质，函数增减性式关键， (1)根据解析式得到对称轴直线为x=22,再代入计算函数值即可求解： (2)由题意得平移后的解析式为y=ax-1x+2+3,将0,3代入，运用待定系数 法即可得到解析式： (3)根据题意得到m-n=ax+ax1-2a-ax+ax2-2a=ax1-x2x1+x2+1,结合题意 得到x1-x2=-1-a-2a=-1-3a,x+x2+1=-1-a+2a+1=a,所以原式 =a1-3aa=-1-3ad,可得a<0,结合二次函数顶点坐标即可求解. 【详解】(1)解：对称轴为直线x2安， 当时，=01*2， 89 19 顶点坐标为24： (2)解：由题意得平移后的解析式为y=ax-1川x+2+3,将0，-3代入， ∴.-2a+3=-3, ∴.a=3, .二次函数表达式为y=3x-1x+2; (3)证明：二次函数y=ax-1x+2(a0)化为一般式得， .y=ax+ax-2aa≠0， .Ax1,m和Bx2,n是该二次函数图象上任意两点， ..m=ax1-1x1+2=axi+ax1-2a,n=a(x2-1)X2+2=ax2+axz-2a, ..m-n=axj+ax1-2a-ax+axz-2a) =axj+ax-2a-ax-ax,+2a =ax12-x32+ax1-x2 =ax1-x2x+x2+ax1-X2 =ax1x2x1+x2+1, x=-1-a,X3=2a, ∴.1x2=-1-a-2a=-1-3a,x1+x2+1=-1-a+2a+1=a, ∴.原式=a(-1-3a)a=(-1-3a)a2, 90 .m<n, .（-1-3a)a<0, ∴.-1-3a<0, 解得，a>是 39 a<0, a0, ”二次函数对称轴直线为x=, 9913 .当x=-2时，y4434x’ :y<3 4· 19、 (1)证明见解析 2)1≤ys 【分析】本题考查二次函数与轴，y轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二 次函数的性质是解题的关键 (1)令y=0,则-x2+2m-3x-m+2=0,再证明△>0即可； 91 (2)先确定抛物线的解析式，再结合函数图像开口方向，得到最值即可得解； 【详解】（1)证明：当y=0时，得：-x2+2m-3x-m+2=0, .△=2m-3-4×-1-m+2 =4m-12m+9-4m+8 =4m2-16m+17 =4m-22+1>0, ∴.方程x+2m-3x-m+2=0总有两个不相等的实数根， 即不论m取何值，该抛物线与x轴总有两个公共点； (2》解：抛物线的对称拍为，解得m=3, 3+5 y=-X2+3x-1=-x2+4: x=时，y取得最大值，最大值为： 、3 ×时，取得最小值，最小值为}引+好： 综上，寻ys导 92