精品解析：浙江义乌市丹溪中学2026年上学期八年级数学期中考试试题卷

2026年上学期八年级数学期中考试试题卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 在某场女排决赛中，队战胜队获得冠军．如图反映了两队队员拦网高度情况，下列说法错误的是（ ） A. 队拦网高度的整体水平比队高 B. 队拦网高度的中位数更低 C. 队拦网高度的波动相对较小，队拦网高度相对分散 D. 队上四分位数更高 4. 设，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 若一组数据1，3，x，5，8的众数为8，则这组数据的中位数为（　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 6. 若一个多边形的内角和比它外角和的2倍大，则这个多边形是（　　） A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形 7. 用配方法解一元二次方程，得，则的值是（ ） A. 11 B. 3 C. D. 8. 已知，则化简二次根式的正确结果是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为（　　） A. B. C. D. 10. 已知两个非零实数，按规则进行运算，运算的结果记为，称此为一次操作；再从中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为；再从中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为，依次进行下去，以下结论正确的个数为（ ） ①若为方程的两个根，则； ②若，则； ③若，要使得成立，则至少为5． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 化简：_______． 12. 一个多边形从一个顶点出发，可作4条对角线，则这个多边形是_______边形． 13. 若关于的方程的一个根为3，则的值为______． 14. 数据组，的组内离差平方和为_______． 15. 已知，为有理数，，分别为的整数部分和小数部分，且，则的值为_______． 16. 如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有___．（填序号） ①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程； ②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程； ③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）； ④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程． 四、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）． （2）． 19. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度 h（单位：m）近似满足公式 t=（不考虑风速的影响） （1）从 50m 高空抛物到落地所需时间 t1 是多少 s，从 100m 高空抛物到落地所 需时间 t2 是多少 s； （2）t2 是 t1 的多少倍？ （3）经过 1.5s，高空抛物下落的高度是多少？ 20. 为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． （1）根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 7 7 b c （1）在以上成绩统计表中，____，____，_____． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一根恰为另一根的2倍，求m的值． 22. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 23. 数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 猜想发现 由； ；； ；； 猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）． 猜想证明： ∵， ∴①当且仅当，即时，，∴； ②当，即时，，∴． 综合上述可得：若，，则成立（当且仅当时等号成立）． （1）猜想运用：对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）变式探究：对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （3）拓展应用：疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题，高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用48米长的钢丝网围成了6间相同的长方形隔离房，如图．设每间隔离房的面积为（）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？ 24. 定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数叫做虚数单位．我们把形如（，为实数）的数叫做复数，叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似．例如：， 读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：_______，_______． （2）已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程． （3）在复数范围内解方程：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期八年级数学期中考试试题卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数大于或等于0是解题关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，列出不等式求解即可． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得：， 故选：A． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A.方程是一元一次方程，选项A不符合题意； B.方程是分式方程，选项B不符合题意； C.方程是一元三次方程，选项C不符合题意； D.方程是一元二次方程，选项D符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 3. 在某场女排决赛中，队战胜队获得冠军．如图反映了两队队员拦网高度情况，下列说法错误的是（ ） A. 队拦网高度的整体水平比队高 B. 队拦网高度的中位数更低 C. 队拦网高度的波动相对较小，队拦网高度相对分散 D. 队上四分位数更高 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图，解决本题的关键是根据箱线图中极小值、极大值、上四分位数、下四分位数、中位数的位置判断各项是否正确． 【详解】解：A选项：由箱线图可知，队的极小值、极大值、上四分位数、下四分位数、中位数均高于，队拦网高度的整体水平比队高，故A选项正确； B选项：由箱线图可知，队拦网高度的中位数高，故B选项错误； C选项：由箱线图可知，队的极差小，队的极差大，队拦网高度的波动相对较小，队拦网高度相对分散，故C选项正确； D选项：由箱线图可知，队的上四分位数更高，故D选项正确． 故选：B． 4. 设，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据根与系数的关系即可解答． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系等知识点， 熟记公式是解答本题的关键． 5. 若一组数据1，3，x，5，8的众数为8，则这组数据的中位数为（　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数和中位数的概念求解． 【详解】∵数据1、3、x、5、8的众数为8， ∴x＝8， 则数据重新排列为1、3、5、8、8， 所以中位数为5， 故选：C． 【点睛】本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 6. 若一个多边形的内角和比它外角和的2倍大，则这个多边形是（　　） A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列式进行计算即可求解． 【详解】解：设多边形的边数为，则 ， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理列出方程是解题的关键． 7. 用配方法解一元二次方程，得，则的值是（ ） A. 11 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照配方法的步骤将原方程化为题目要求的形式，得到m和n的值，再计算即可． 【详解】解：， 方程两边同除以2，得， 移项得 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方16，得 ， 整理得，即 对比，得 ∴． 8. 已知，则化简二次根式的正确结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数． 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知a，b必须异号，而，易确定a，b的取值范围，也就易求二次根式的值． 【详解】解：由题意得，， ∴， 又∵， ∴或， ∴ 故选：A． 9. 如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，所以首先根据已知条件可以证明△ABE≌△ADF，再根据全等三角形的性质得到BE=DF，设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1-x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠D=90°，AB=AD， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE=EF=AF， 在Rt△ABE和Rt△ADF中 ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)， ∴BE=DF， 设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1−x， 在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2， 在Rt△CEF中，FE2=CF2+CE2， ∴AB2+BE2=CF2+CE2， ∴x2+1=2(1−x)2， ∴x2−4x+1=0， ∴x=2±，而x<1， ∴x=2−， 即BE的长为2−. 故选A. 10. 已知两个非零实数，按规则进行运算，运算的结果记为，称此为一次操作；再从中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为；再从中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为，依次进行下去，以下结论正确的个数为（ ） ①若为方程的两个根，则； ②若，则； ③若，要使得成立，则至少为5． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，先解方程得到或，则不妨设，据此根据定义求出，进而求出，即可判定①；根据定义可得，解方程即可判断②；每次操作后，得到的所有结果都大于0，且的所有结果最小为3，故要使得成立时，n最小，那么每次操作都要使对应的最大，，且k为正整数，故每次操作时选择的两个数一定要是可选择的数中最大的两个数，据此可判断③． 【详解】解：①解方程得，或， ∵为方程的两个根， ∴不妨设， ∴， ∵， ∴从中任选两个数，只有两种情况，即选择或， 当选择时，则， 当选择时，则， 综上所述，，故①正确； ②∵， ∴， ∴或， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴每次操作后，得到的所有结果都大于0，且的所有结果最小为3， 要使得成立时，n最小，那么每次操作都要使对应的最大，，且k为正整数， ∴每次操作时选择的两个数一定要是可选择的数中最大的两个数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴若，要使得成立，则至少为5，故③正确， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接进行分母有理化运算即可． 【详解】解：． 12. 一个多边形从一个顶点出发，可作4条对角线，则这个多边形是_______边形． 【答案】7 【解析】 【分析】设多边形的边数为n，根据边数与对角线的关系计算即可； 【详解】设多边形的边数为n， ∴， ∴， ∴这个多边形是7边形； 故答案是7． 【点睛】本题主要考查了多边形与对角线的关系，准确计算是解题的关键． 13. 若关于的方程的一个根为3，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键． 14. 数据组，的组内离差平方和为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】先分别计算两组数据的平均数，再分别计算每组的离差平方和，最后求和得到总的组内离差平方和． 【详解】解：对于第一组数据，其平均数为 ， 第一组离差平方和为 ； 对于第二组数据，其平均数为 ， 第二组离差平方和为 ； 总的组内离差平方和为． 15. 已知，为有理数，，分别为的整数部分和小数部分，且，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先估算的取值范围，得出，再代入，整理得 ，根据题意得到，解二元一次方程组得到，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别为的整数部分和小数部分， ∴， 把代入得： ， 整理得： ， ∵a，b为有理数， ∴， 解得：， ∴． 16. 如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有___．（填序号） ①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程； ②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程； ③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）； ④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】①解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断； ②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断； ③根据方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2＝，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即＝4，得到b＝﹣4a，据此即可判断； ④根据韦达定理和x1＝3x2，得出3x22＝（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用关于2的等距方程的定义进行判断． 【详解】解：①∵x2﹣4x＝0， ∴x（x﹣4）＝0， ∴x1＝0，x2＝4， 则|x1﹣2|＝|x2﹣2|， 故①正确； ②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0， 则x1＝﹣1，x2 ， ∵5m＝﹣n， ∴x2＝5， ∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，（x＋1）（mx＋n）＝0是关于2的等距方程； 当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程， 故②错误； ③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2＝， ∵方程是2的等距方程， ∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|， 则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2， ∴x1＝x2或x1+x2＝4， 当x1＝x2时，x1＝x2＝，不能判断a与b之间的关系， 当x1+x2＝4时，即＝4， ∴b＝﹣4a， 故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误； ④对于方程px2﹣x＝0有两根满足x1＝3x2， 由韦达定理得：x1x2＝，x1+x2＝， ∴x1x2＝×＝（x1+x2）， ∴3x22＝（3x2+x2）＝3x2， ∴x2＝1或x2＝0（舍去）， ∴x1＝3x2＝3， ∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|， 即px2﹣x+＝0是关于2的等距方程，故④正确， 故正确的有①④， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“关于2的等距方程”的定义是解题的关键． 四、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）方程运用配方法解答即可； （2）方程整理后运用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解： ， ， ， ， 解得：，． 19. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度 h（单位：m）近似满足公式 t=（不考虑风速的影响） （1）从 50m 高空抛物到落地所需时间 t1 是多少 s，从 100m 高空抛物到落地所 需时间 t2 是多少 s； （2）t2 是 t1 的多少倍？ （3）经过 1.5s，高空抛物下落的高度是多少？ 【答案】（1）t1=（秒）；t2=2（秒）；（2）t2 是 t1 的倍；（3）下落的高度是 11.25 米． 【解析】 【分析】（1）将h=50代入t1=进行计算即可；将h=100代入t2=进行计算即可； （2）计算t2与t1的比值即可得出结论； （3）将t=1.5代入公式t=进行计算即可． 【详解】（1）当 h=50 时，t1= =（秒）； 当 h=100 时，t2===2（秒）； （2）∵=， ∴t2 是 t1 的倍． （3）当 t=1.5 时，1.5=， 解得 h=11.25， ∴下落的高度是 11.25 米． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 20. 为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． （1）根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 7 7 b c （1）在以上成绩统计表中，____，____，_____． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】（1），， （2）小明可能是甲组的学生，理由见解析 （3）选乙组参加决赛，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据方差、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据中位数的意义即可得出答案； （3）根据平均数与方差的意义即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． ∴中间两个数的平均数是，则中位数； ∵乙组学生成绩中，数据出现了四次，次数最多， ∴众数； ； 【小问2详解】 解：小明可能是甲组的学生，理由如下： ∵甲组的中位数是6分，而小明得了7分， ∴在小组中属中游略偏上， 【小问3详解】 解：选乙组参加决赛，理由如下： ， 甲、乙两组学生平均数相同，而， 乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一根恰为另一根的2倍，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）m的值 【解析】 【分析】本题考查了判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）计算判别式，根据，可得该方程总有两个不相等的实数根； （2）根据题意，设方程的两根为，，利用根与系数的关系列方程求解即可． 【小问1详解】 由题知，， ， 该方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 设方程的两根为，， 由根与系数关系得，， 由可得， 把代入得： ， 解方程得， m的值为． 22. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为20% （2）在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． 【小问2详解】 解：设增加x条生产线． ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． 23. 数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 猜想发现 由； ；； ；； 猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）． 猜想证明： ∵， ∴①当且仅当，即时，，∴； ②当，即时，，∴． 综合上述可得：若，，则成立（当且仅当时等号成立）． （1）猜想运用：对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）变式探究：对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （3）拓展应用：疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题，高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用48米长的钢丝网围成了6间相同的长方形隔离房，如图．设每间隔离房的面积为（）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，函数的值最小，最小值是2 （2）当时，函数的值最小，最小值是5 （3）每间隔离房的长为4米，宽为3米时，可使每间隔离房的面积最大，最大面积是12 【解析】 【分析】（1）根据猜想的不等式即可得； （2）将改写成，再利用猜想的不等式即可得； （3）设每间隔离房与墙平行的边长为米，与墙垂直的边长为米，则，，利用猜想的不等式化简即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ，当且仅当时，等号成立， 由得：或（舍去）， 经检验，是方程的解， 故当时，函数的值最小，最小值是2． 【小问2详解】 解：， ， ，当且仅当时，等号成立， 由得：或（舍去）， 经检验，是方程的解， 故当时，函数的值最小，最小值是5． 【小问3详解】 解：设每间隔离房与墙平行的边长为米，与墙垂直的边长为米， 由题意得：，， ∴， ∵，， ∴，即，当且仅当时，等号成立， 整理得：，即， 则当时，取得最大值，最大值为12， 将代入得：，解得， ，解得， 故每间隔离房的长为4米，宽为3米时，可使每间隔离房的面积最大，最大面积是12． 【点睛】本题考查了完全平方公式、算术平方根、利用平方根解方程、解分式方程等知识点，熟练掌握完全平方公式和算术平方根是解题关键． 24. 定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数叫做虚数单位．我们把形如（，为实数）的数叫做复数，叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似．例如：， 读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：_______，_______． （2）已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程． （3）在复数范围内解方程：． 【答案】（1）1；0 （2）（答案不唯一） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用新定义和乘方的意义计算； （2）先整理得到，所以，，然后利用根与系数的关系写出一个满足条件的一元二次方程即可； （3）利用配方法解方程． 【小问1详解】 解：，； ∵；；⋯， ∴ ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ，， ， 以，的值为解的一元二次方程可以是； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 解得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $