11.3　余弦定理、正弦定理的应用同步课时练 -2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 本同步练以“余弦定理、正弦定理的应用”为核心，通过三级分层设计（基础-能力-拓展）实现从单一应用到综合建模的知识巩固，适配新授课教学，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级基础达标练|正弦定理、余弦定理直接应用|结合船行、仰角等情境，第5题多选题考查定理适用条件辨析，培养数学眼光| |B级能力提升练|多定理综合应用|涉及坡度、正三角形等复杂情境，第10题含探究性问题，发展数学思维的推理能力| |C级拓展探究练|跨情境建模应用|融入圭表文化、扇形区域等特色情境，第12题需构建方程求解，提升数学语言表达能力|

11.3　余弦定理、正弦定理的应用 A级 基础达标练 1.某船开始看见灯塔在南偏东30° 方向,后来船沿南偏东60° 的方向航行45 km后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是(　　) A.15 km B.30 km C.15 km D.15 km 2.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别是β,α(α<β),则点A离地面的高度AB等于(　　) A. B. C. D. 第2题图 第3题图 3.(2025启东月考)如图,A,B两船相距10 n mile,B船在A船南偏西45° 方向上,B船向正南方向行驶,A船以B船速度的倍追赶B船,A船若用最短的时间追上B船,A船行驶的角度为(　　) A.南偏西30° B.南偏西15° C.南偏东30° D.南偏东15° 4.如图所示,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距 40 n mile 的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距 20 n mile 的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cos θ=(　　) A. B. C. D. 5.(多选题)重庆是一座网红城市,外地游客到重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡.如图,某校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端BA的高度,选取与B在同一水平面内的两点C与D(B,C,D不在同一直线上),画一条基线,测得CD=s,测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADB,∠ADC,∠BDC,则根据下列各组中的测量数据可计算出AB的高度的是(　　) A.s,∠ACB,∠BCD,∠BDC B.s,∠ACB,∠BCD,∠ACD C.s,∠ACB,∠ACD,∠ADC D.s,∠ACB,∠BCD,∠ADC 第5题图 第6题图 6.(2025句容期末)“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行,会议期间达成了多项国际合作协议,其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头,如图所示,工程师为了了解深水港码头海域海底的构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量.已知AB=60 m,BC=120 m,于A处测得水深AD=120 m,于B处测得水深BE=200 m,于C处测得水深CF=150 m,则cos∠DEF=　　　　.  7.缉私巡逻艇在一小岛A南偏西50° 的方向,距小岛A 12海里的B处,发现隐藏在小岛A边上的一走私船正开始向小岛A北偏西10° 方向行驶,测得其速度为每小时10海里,问巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后截获该走私船?(参考数据:sin 38°≈0.62) B级 能力提升练 8.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m 到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,山坡的坡角为θ,则cos θ=(　　) A. B.-1 C.2- D. 9.(2025徐州调研)中华人民共和国国歌有84个字,37小节,奏唱需要46秒,某校周一举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上,要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为　　　　米/秒. 10.如图,我方炮兵阵地位于A处,两移动观察所分别设在C,D两处.已知△ACD为正三角形.当目标出现在点B时,测得BC=1千米,BD=2千米. (1)若测得∠DBC=,求△ABC的面积; (2)若我方炮火的最远射程为4千米,试问目标B是否在我方炮火射程范围内? C级 拓展探究练 11.(2025海安检测)如图,圭表是中国古代通过测量日影长度来确定节令的仪器,也是作为指导汉族劳动人民农事活动的重要依据,它由“圭”和“表”两个部件组成,圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板,表是与圭垂直的杆,正午时太阳照在表上,通过测量此时表在圭上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时,太阳光线与圭所在平面所成角分别为α,β,测得表影长之差为l,那么表高为(　　) A. B. C. D. 12.如图所示,有一段河流,河的一侧是以O为圆心,半径为10米的扇形区域OCD,河的另一侧是一段笔直的河岸l,岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离),且OB的连线恰好与河岸l垂直,设OB与圆弧的交点为E.经测量,扇形区域和河岸处于同一水平面,在点C,点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°,30°和60°. (1)求烟囱AB的高度; (2)如果要在CE间修一条直路,求CE的长. 参考答案 1.A　设灯塔位于A处,船开始的位置为B,航行45 km后到C处,如图所示.∵∠DBC=60°,∠ABD=30°,BC=45,∴∠ABC=60°-30°=30°,∠BAC=180°-60°=120°.在△ABC中,由正弦定理,可得AC==15.即所求船与灯塔的距离是15 km.故选A. 2.A　在△ADC中,∠DAC=β-α. 由正弦定理,得, ∴AC=, ∴AB=ACsin β=. 3.B　设B船的速度为v,A船的速度为v,经过t时,A船在C点处追上B船,则BC=tv,AC=tv,∠ABC=135°,如图所示. 在△ABC中,由正弦定理得,,所以sin∠BAC==tv·.因为0°<sin∠BAC<90°,所以∠BAC=30°,则A船行驶的角度为南偏西45°-30°=15°.故选B. 4.B　在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°. 由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800,所以BC=20. 由正弦定理,得sin∠ACB=·sin∠BAC=. 由∠BAC=120°,得∠ACB为锐角,故cos∠ACB=. 故cos θ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°=. 5.ACD　根据s,∠BCD,∠BDC,由正弦定理求BC,再结合∠ACB可求AB的高度,故A正确;在△ACD,△BCD中都只有一边一角,不能求出其他角或边,无法求AB的高度,故B错误;根据s,∠ACD,∠ADC,由正弦定理求AC,再结合∠ACB可求AB的高度,故C正确;由∠ACB,∠BCD可得cos∠ACD=cos∠ACB·cos∠BCD,结合∠ADC由正弦定理求AC,再由∠ACB可求AB的高度,故D正确.故选ACD. 6.-　如图,作DM∥AC交BE于N,交CF于M,则 DF=, DE==100, EF==130, 在△DEF中,由余弦定理得 cos∠DEF==-.故答案为-. 7. 解 如图所示,AC所在射线即走私船航行路线,假设巡逻艇在C处截获走私船,巡逻艇的速度为每小时x海里,则BC=2x,AC=20. 依题意∠BAC=180°-50°-10°=120°, 由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°=122+202-2×12×20×=784, 所以BC=28, 因为BC=2x,所以x=14. 又由正弦定理,得sin∠ABC=≈0.62,所以∠ABC≈38°. 在Rt△ADB中,∠ABD=40°,所以∠EBC=90°-38°-40°=12°.即巡逻艇用每小时14海里的速度向北偏东12°的方向航行. 8.B　在△ABC中,由正弦定理,得 BC==50()(m).在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BDC=-1. 由题图知cos θ=sin∠ADE=sin∠BDC=-1.故选B. 9.　如图所示, 依题意知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°, ∴∠EAC=180°-45°-105°=30°, 由正弦定理知, ∴AC=×sin 45°=20(米), ∴在Rt△ABC中,AB=AC·sin∠ACB=20×=10(米).　 ∵奏唱国歌需要46秒, ∴升旗手升旗的速度应为(米/秒), 故答案为. 10.解 (1)在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BD·BCcos∠DBC, ∴CD2=1+4-2=3. ∵BD2=CD2+BC2, ∴∠BCD=, ∴S△ABC=AC·BCsin∠ACB=×1×sin=. (2)设∠CBD=α,∠CDB=β,在△BCD中,由余弦定理得CD2=5-4cos α, 由正弦定理得CDsin β=sin α. 在△ABD中, AB2=BD2+AD2-2BD·ADcosβ+ =9-4cos α-2ADcos β+2ADsin β =9-4cos α-2AD+2sin α =9-4cos α-2+2sin α =9-4cos α-2(2-cos α)+2sin α =5+4sinα-≤9, 当且仅当α=时,AB取到最大值3, ∵3<4,∴目标B在我方炮火射程范围内. 11.C　如图,设表高AB=x, 在△ACD中,∠CAD=β-α,由正弦定理有, 所以AC=. 在直角三角形ABC中,=sin β, 即x=AC·sin β==l· =.故选C. 12.解 (1)设AB的高度为h.在△CAB中, 因为∠ACB=45°,所以CB=h. 在△OAB中,因为∠AOB=30°,∠AEB=60°, 所以OB=h,EB=h. 由题意得h- h=10,解得h=15米. (2)在△OBC中,cos∠COB=, 所以在△OCE中,CE2=OC2+OE2-2OC·OEcos∠COE=300+300-600×=100.∴CE=10米. 学科网（北京）股份有限公司 $