11.3余弦定理、正弦定理的应用（题型专练）高一数学苏教版必修第二册

11.3余弦定理、正弦定理的应用 题型一 正余弦定理判断三角形的形状 1．(24-25高一下·江苏常州田家炳高级中学·期中)在中， 若， 则的形状为（      ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式可得，即可得求解. 【详解】由正弦定理和可得， 故, 由于，故,结合为三角形的内角，故， 故三角形为直角三角形， 故选：A 2．(24-25高一下·安徽芜湖安徽师范大学附属中学·期中)在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】结合余弦定理和可求C的大小，利用三角恒等变换公式和可求A与B的关系，从而可判断三角形的形状. 【详解】因为，所以， 又根据余弦定理可知， 所以， 因为，所以. 又由，得 ， 所以 ， 所以， 因为A和B是三角形的内角，所以，即， 所以是等腰三角形， 又因为，所以，是等边三角形. 故选：D. 3．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)（多选）已知中角，，所对的边分别为，，，满足，则下列条件能使成为锐角三角形的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】利用余弦定理和面积公式求出角，利用内角和定理可判断A；利用余弦定理可逐项判断BCD. 【详解】由余弦定理和面积公式可得，，整理得， 因为，所以， 对A，若，则，为直角三角形，A错误； 对B，若，，则由余弦定理得， 易知此时角最大，因为，所以角为锐角，B正确； 对C，若，，则，解得（负根已舍去）， 易知此时角最大，因为，所以角为锐角，C正确； 对D，若，，则，无实数解，D错误. 故选：BC 4．(24-25高一下·江苏南京第一中学·期末)在中，满足，则的形状为_________. 【答案】等腰或直角三角形 【分析】利用正弦定理边化角得，再利用二倍角公式化简即可得解. 【详解】根据题意，， 即， 利用正弦定理，得， 则，， 所以或， 即或， 则的形状为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 5．(24-25高一下·江苏马坝高级中学·月考)在中，角的对边分别为，若，，则的形状是______． 【答案】等边三角形 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合即可求解. 【详解】由， 可得：， 即，又， 所以，即， 又， 所以， 所以的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形 题型一 正余弦定理与恒等式 1．(24-25高一下·江苏无锡辅仁高级中学·调研)（多选）已知不是直角三角形，角的对边分别为，且，则（    ） A． B．的最小值为4 C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】应用正弦边角关系得，再由判断A；应用“1”的代换，讨论一正一负或同正，研究最值判断B；由正余弦定理及已知得、，即可判断C；由余弦定理、辅助角公式及已知有 ，进而得到，即可求范围判断D. 【详解】由，则，故， ，A对； 由， 又不是直角三角形，则一正一负或同正， 若一正一负，显然，此时，最小值不为4； 若同正，则，故， 当且仅当时取等号，显然等号不能成立，故， 综上，的最小值不为4，B错； 由， 而，即，由，则， 所以，C对； 由， 则 ，且，， 所以，左侧等号在时取得，右侧等号在时取得， 若，则，即，所以，D对. 故选：ACD 2．(23-24高一下·江苏武进高级中学·期末) （多选）在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（    ） A． B．若，则为锐角三角形 C．若，则 D．若，则为钝角三角形 【答案】ACD 【分析】作图分析，结合解直角三角形判断A；利用余弦定理判断B；利用正弦定理判断C；利用诱导公式以及余弦函数的单调性可判断D。 【详解】对于A，在中，作于D， 则,即，即，A正确； 对于B，由得， 结合，可知A为锐角，但不能确定B，C角的大小， 故不能确定为锐角三角形，B错误； 对于C，若，由正弦定理可得，则，C正确； 对于D，若，由于，则A为锐角； 若B为锐角，则，可得，则， 故为钝角三角形； 若B为钝角，则，可得，则，适合题意， 此时为钝角三角形； 综合以上可知为钝角三角形，D正确， 故选：ACD 3．(24-25高一下·江苏南通第一中学·) （多选）对于，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的有（ ） A．若，则是钝角三角形. B．若，则为等腰三角形 C．命题“若，则”是真命题 D．“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理和余弦定理可判断A；利用正弦函数的图象及三角形内角的范围可判断B；利用正弦定理的边角互化和三角形边角大小关系可判断C；利用正弦函数的单调性可判断D. 【详解】对于A：若，由正弦定理得， 由余弦定理，且 所以为钝角，即是钝角三角形，故A正确； 对于B：因为在中，， 故若，则或，可得或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C：若，则，由正弦定理可得成立，故C正确； 对于D：若为锐角三角形，则且， 可得，因在内单调递增， 则，即充分性成立； 若，例如符合题意， 但此时为直角三角形，即必要性不成立； 综上所述：“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：ACD. 4．(24-25高一下·江苏淮安涟水县第一中学·月考) （多选）在△ABC中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A．若△ABC是锐角三角形，则 B．若，则△ABC为等腰三角形 C．若，则△ABC是钝角三角形 D．若，，，则满足这组条件的三角形有两个 【答案】AC 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形内角关系，结合三角函数性质逐项分析即可得结论. 【详解】对于A，若△ABC是锐角三角形，则，所以， 因为，且正弦函数在该区间递增，则，故A正确； 对于B，若，又，则或， 所以或，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B不正确； 对于C，若，由正弦定理得， 由余弦定理得，则角为钝角，则△ABC是钝角三角形，故C正确； 对于D，若，，，根据正弦定理，则， 所以，而正弦函数的值域为， 因此这样的角不存在，满足条件的三角形无解，故D不正确. 故选：AC. 5．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研) （多选）在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则一定是锐角三角形 C．若，则一定是钝角三角形 D．若，则有两解 【答案】AC 【分析】应用正弦定理计算判断A，D，应用余弦定理计算判断B，C. 【详解】对于A，若，则，由正弦定理得，A选项正确； 对于B，若满足，则不是锐角三角形是直角三角形，B选项错误； 对于C，若，则所以为钝角，所以一定是钝角三角形，C选项正确； 对于D，若，则，所以，只有一个解，有一个解，D选项错误； 故选：AC. 题型二 正余弦定理与距离、高度、角度问题 1．(24-25高一下·江苏南通海门区部分学校·月考)如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，从而结合已知的数据可求得隧道的长度， 【详解】在中，，， 由正弦定理得， 在中，，， 由正弦定理得， 所以. 故选：C 2．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过向作垂线，垂足为，设，分别在直角三角形、、中依次求出，，，再由求出即可求解. 【详解】过向作垂线，垂足为，设， 则在直角三角形中可知，在直角三角形中可知， 在直角三角形中可知， 因为，所以，即， 因此可得． 故选：A 3．(24-25高一下·江苏徐州邳州毓秀高级中学·月考)猎狗甲在A地发现野兔乙在北偏东75°方向上的B地，立刻以m/s的速度进行追捕，与此同时，野兔乙以m/s的速度往北偏东15°方向逃窜，假设甲、乙都是匀速直线运动，且m，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为__________s. 【答案】100 【分析】利用余弦定理解三角形即可. 【详解】如图，设甲最快捕获乙的地点是点C，时间为t（单位：s）， 则，. 由题意得， 由余弦定理 ， 得， 解方程得或（舍去）. 故答案为：100. 4．(24-25高一下·江苏镇江丹阳·期末)我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画，最高点为，最低点为，观察点所在的水平线与壁画的竖直线交点为，在点处观察点，仰角为，然后面对壁画前进处的点观察点，其仰角的正切值为7． (1)求壁画最高点与点的距离； (2)若在，两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等． ①求壁画最低点与点的距离； ②在观察水平线上，应处在距离点多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？ 【答案】(1)7 (2)①1；② 【分析】（1）根据三角函数的定义，列出方程即可求解； （2）设，，由正弦定理列出方程即可求解；设距点距离为时，仰角差最大，此时位于点，设，由两角差的正切公式及基本不等式即可求解． 【详解】（1）在中，，所以， 在中，， 因为， 所以， 所以壁画最高点与点的距离为7． （2）①设，， 在中，，则， 在中，， 在中，由正弦定理得，， 在中，， 在中，由正弦定理得，， 解得，即． ②设距点距离为时，仰角差最大，此时位于点，设， 在中，，在中，， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 所以当距离点 处观察壁画，才能使得仰角差最大． 5．(24-25高一下·江苏镇江·期末)镇江句容茅山风景名胜区有一座闻名遐迩的老子像，是世界上最大、最高的露天老子铜像．某数学兴趣小组在铜像底座中心正东方向处测得铜像顶的仰角为，从处沿直线走38米到达南偏东的处，测得铜像顶的仰角为，点，，在同一平面内． (1)求铜像连同底座的高度； (2)若铜像底座的高度为3米，组员甲用相机给铜像拍照，已知相机镜头到地面的距离为1.5米，为使拍照的视角最大，请问组员甲应在距离铜像底座中心多远处？ (3)在（2）的条件下，若组员甲在区域内以最大视角拍照，则他站位的轨迹长度为多少？ （参考数据：，，所有答案精确到小数点后1位） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，由三角函数的定义表示出，在中由余弦定理列出方程即可求解； （2）设距离铜像底座中心时，拍照的视角最大，设该处为点，相机镜头为点，过点作平行线，交于点，设，分别表示出，由两角差的正切公式及基本不等式即可求解； （3）根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）由题可知，， 设，在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得，， 解得，所以铜像连同底座的高度为． （2）设距离铜像底座中心时，拍照的视角最大，设该处为点，相机镜头为点，过点作平行线，交于点，设，如图所示， 则，， 在中，，在中，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故组员甲应在距离铜像底座中心 处拍照的视角最大． （3）以点为圆心，7.4为半径画弧，交于点，如图所示， 则他站位的轨迹为，轨迹长度为． 题型一 正余弦定理解决边长与周长的取值范围 1．(24-25高一下·江苏宜兴丁蜀高级中学·期末)已知锐角的面积为，，则边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得、，再由正弦定理得，进而有，应用三角恒等变换及正切函数的性质求边的范围. 【详解】由锐角中，则， 故，同理， 由三角形面积，则， 由正弦定理，则，故， 所以，而， 所以，则. 故选：C 2．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)（多选）已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ） A．的取值范围为 B．外接圆半径的范围为 C．的面积最小值为 D．的周长范围为 【答案】ABD 【分析】对A：根据三角形是锐角三角形，则每个角均为锐角，列出不等式组，求解即可；对B：根据正弦定理可得：，结合的范围，求得函数值域，即可求得范围；对C：根据正弦定理，求得三角形面积关于的函数，也即，再求该函数值域，即可求得面积的范围；对D：求得三角形周长关于的函数，也即，再求该函数值域，即可求得周长范围. 【详解】对A：因为△为锐角三角形，故可得：，也即，解得 ，故A正确； 对B：设外接圆半径为，由正弦定理可得：，也即， 由A可知： ，故，故，故B正确； 对C：由正弦定理，也即可得：， 故△的面积， 由A可知： ，故，故，故，没有最小值，故C错误； 对D：由C可知：，， 设△的周长为，则 也即，由A可知： ，故，则， 则，故，故D正确； 故选：ABD. 3．(24-25高一下·江苏无锡江阴某校·月考)锐角的三个内角角，，所对的边分别为，，，满足． (1)求角的大小及角的取值范围； (2)若，求的周长的取值范围； (3)若的外接圆的圆心为，且，求的取值范围． 【答案】(1)；； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，再根据锐角三角形的知识列不等式，由此求得的取值范围. （2）应用正弦定理结合三角恒等变换化简得出结合角的范围求出值域即可得出周长范围； （3）根据正弦定理求得外接圆的半径，设，将表示为的形式，结合三角函数值域的知识求得的取值范围. 【详解】（1）锐角的三个内角角，，所对的边分别为，，， 因为， 由正弦定理可得， 所以， 故，因为为锐角，所以， 因为为锐角三角形，则， 解得，所以，角的取值范围是. （2）因为，由正弦定理得， 所以 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以周长的取值范围为 （3）设的外接圆半径为，所以， ，所以 设，则，则， 所以 因为，所以，所以,所以, 所以，所以的取值范围为. 4．(24-25高一下·江苏徐州邳州毓秀高级中学·月考)已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且. (1)求△ABC周长的取值范围. (2)当△ABC周长最大时，设点M为AB边的中点，点P在边BC上（包括端点），求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理由边化角，由已知条件解三角形，再根据正弦定理将三角形周长转化为关于三角形内角的三角函数，依据锐角三角形内角的范围，求出三角函数值域，求出周长的范围. （2）根据周长最大的情况，解三角形，根据向量数量积的坐标表示，建立直角坐标系，求出向量数量积的函数，根据自变量的范围，求出函数的最小值，得到向量数量积的最小值. 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 在三角形中,代入可得 化简得，因为在锐角三角形中， 所以，变形得， 即，在锐角三角形中内角小于，所以，解得. 根据正弦定理可知，已知， 所以，可得， 此时三角形周长为， 已知，所以，代入得， 因为，化简得， 锐角三角形中，解得， 则，可知，所以，三角形周长范围为 （2）当周长最大时，解得，此时三角形为等边三角形. 如图所示，以AB边的中点M为坐标原点，以为轴，以为轴，建立平面直角坐标系， 已知等边三角形边长为6，根据勾股定理，高为， 所以， 设直线为，点带入得，解得， 所以直线为，点坐标设为， 此时，则， 对于二次函数，开口向上，对称轴为， 当时函数取得最小值，即时，取得最小值，即， 所以最小值为. 5．(24-25高一下·江苏梅村高级中学空港分校·期中)在中，． (1)若的面积为，求； (2)若，且为锐角三角形，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于，先利用正弦定理将边化角，再利用和角的正弦公式展开，即可求出角，再由三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理即可； （2）先利用正弦定理表示出，即可得到周长的表达式，再由是锐角三角形得到角范围，即可借助三角函数求出周长的取值范围． 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， ， 又因为在中，， 所以， 整理可得，又因为，， 所以，因为，所以. 因为，所以. 因为，所以由余弦定理可知，， 所以. （2）因为，又由（1）可知，所以， 由正弦定理可知， 所以， 所以的周长 . 因为为锐角三角形，所以， 解得，所以， 所以， 所以， 即周长的取值范围为. 题型二 正余弦定理解决面积的取值范围 1．(24-25高一下·江苏南京临江高级中学·月考)在中，角所对的边，已知． (1)求角； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得到求解； （2）由（1）知，再由，利用余弦定理结合基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 得， 即，又， 所以，所以，又，从而得； （2）由（1）得，又， 由余弦定理 ， 所以，当且仅当时取得等号， 故，当且仅当时取得等号， 所以面积的最大值为. 2．(22-23高一下·江苏灌南高级中学·月考)已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)若为锐角三角形，且，求a的取值范围； (2)若点D在边AC上，且，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理角化边可得到，再根据余弦定理的推论即可解出； （2）根据邻角互补可得，即可由余弦定理化简得到，再结合题干中角化边得到的，消去可得，，然后根据基本不等式求出的范围，即可得到面积的最大值． 【详解】（1）由， 根据正弦定理可得，， 则，即， 所以， 又，所以， 因为为锐角三角形，所以， 则，又，即， 则，又，解得， 即a的取值范围为. （2）在中，，， ， 在中，，， ， ∵，所以， 所以，即， 由（1）知，，所以， 即（当且仅当时取等号）， 则， 所以面积的最大值． 3．(23-24高一下·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合、的取值范围可得出、的关系，由此可得出角的值； （2）①由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式即可求得面积的最大值； ②由平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算性质可得出，由余弦定理可得出，可得出、的表达式，结合基本不等式可得出关于的不等式，由此可解得的最大值. 【详解】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 4．(23-24高一下·江苏扬州江都区·期中)如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域为书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为阅读区，，m. (1)求两区域边界的长度； (2)区域为锐角三角形. ①若，求面积的最大值； ②若，求面积的取值范围. 【答案】(1). (2)①；② 【分析】（1）根据平面几何的知识求解即可； （2）①利用余弦定理及基本不等式求解面积的最大值即可；②运用正弦定理将表示出来，求其范围，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）（1）在 中, , 所以 ， 因为 , 所以 即 是直角三角形, 所以 （2）①在 中, 由余弦定理知, 所以 即 ，当且仅当 时，等号成立, 所以 面积 故 面积的最大值为 . ②在 中, 由正弦定理知 所以 因为 为锐角三角形, 所以 , 解得 , 所以 , 所以 , 所以 面积 故 面积的取值范围为 5．(23-24高一下·江苏无锡堰桥高级中学·期中)从①；②；③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 并加以解答． 在中，三边分别是角的对边， 若______. (1)求C； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）条件①，化简得到，求得，进而求得的值； 选条件②，由正弦定理得到，结合余弦定理，求得，即可求解； 选条件③：化简得到，求得，即可求解； （2）由（1）和由余弦定理得，得到，结合面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：若选条件①，由， 可得，即， 因为，所以，可得， 因为，可得，所以，所以，可得. 若选条件②，由， 根据正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以. 若选条件③：由，可得， 即， 因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. （2）解：由（1）知：且， 又由余弦定理得， 即， 当且仅当时，等号成立，所以， 则，所以面积的最大值为. 题型三 几何图形中的正余弦定理 1．(22-23高一下·江苏镇江句容南京人民中学等三四校联考·月考)如图，平面四边形A､B､C､D，已知，，，，则A､B两点的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正余弦定理计算即可. 【详解】由题意可知在中，有，， ，所以， 由正弦定理可得， 而， 故， 又， 在中，， 由正弦定理可得， 在中， 由余弦定理可得. 故选：B 2．(24-25高一下·江苏高邮·期中)（多选）如图，已知的内接四边形ABCD中，，，，则（   ） A．四边形ABCD的面积为 B．该外接圆的半径为 C．过D作交BC于F点，则 D． 【答案】BCD 【分析】对于A：在中，利用余弦定理结合圆的性质可得，进而可求得，，再利用面积公式运算求解；对于B：可知四边形的外接圆为即为的外接圆，利用正弦定理求外接圆半径；对于C：根据几何性质分析可得在方向上的投影向量为，进而可得结果.对于D：根据几何性质分析可得在方向上的投影向量为，进而可得结果； 【详解】 对于A：连接，由题意可知，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得， 所以， 且，则，即， 所以四边形的面积 ， 故A错误； 对B：该四边形的外接圆为即为的外接圆，设外接圆的半径为， 在中，由正弦定理可得， 即，故B正确； 对于C：由题意可得：， 过作，垂足，则为的中点，可得， 在方向上的投影向量即为， 所以，故C正确； 对于D：过作，垂足，则为的中点，可得， 过作，垂足，可得， 故，即在方向上的投影向量为， 所以，故D正确； 故选：BCD. 3．(24-25高一下·江苏常州前黄高级中学·期末)如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，． (1)证明：； (2)若. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求线段长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）; （Ⅱ） 【分析】（1）结合图形，先找到的数量关系式，再运用诱导公式推理即得； （2）（Ⅰ）在中，运用正弦定理得到，结合（1）结论，联立解方程即可求得； （Ⅱ）在中，分别运用正、余弦定理得到，两式，结合式，在中，利用余弦定理将用的三角函数表示，并运用辅助角公式化成正弦型函数，利用三角函数的值域即得. 【详解】（1）证明：∵，∴， 在中，，可得，                            ∴，即. （2）（Ⅰ）在中，由正弦定理得， 可得，∴，                                 ∵，∴， 可得，即，                          解得或（舍去）， ∵，∴.                                                    （Ⅱ）在中，由正弦定理得， 即，                                            由余弦定理得， ∵，，∴，∴，                      在中，由余弦定理得 ，                                               ∵，∴，∴，       ∴，解得. 4．(22-23高一下·江苏连云港高级中学·期中)如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.    (1)点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？ (2)点B在什么位置时，线段的长度最大？ 【答案】(1)点满足 (2)点满足 【分析】（1）四边形OACB的面积由B点的位置唯一确定，由此可设，再用的三角函数来表示四边形OACB的面积. （2）要求线段，则在，已知，进而需求，则需在先在三角形中先求出，则问题得解 【详解】（1）解：设,中， 由余弦定理得： 四边形OACB的面积 ， ，所以当四边形OACB的面积. （2）（2）中，由正弦定理得： 所以 不是中的最大角，， 中： 由余弦定理得： ， 时，所以当,OC有最大值. 5．(22-23高一下·江苏宿迁·期末)在圆的内接四边形中，，，，示意如图．    (1)若是圆的直径，求的长； (2)若圆的直径为，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）连接，利用圆的性质、直角三角形边角关系，结合差角的余弦公式求解作答. （2）连接，利用正弦定理、余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解作答. 【详解】（1）连接，设，则，因为是圆O的直径， 则与为直角三角形，有， 又，，即，整理得， 所以. （2）    连接，因为圆O的直径为，则在中，由正弦定理得，， 在中，由余弦定理得， 设，则，即，解得， 设，同理在中有，，解得， 因此四边形的面积 ， 所以四边形的面积为或. 【点睛】思路点睛：涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11.3余弦定理、正弦定理的应用 基础达标题 题型一正余弦定理判断三角形的形状 题型一正余弦定理与恒等式 能力提升题 题型二正余弦定理与距离、高度、角度问题 余弦定理、正弦定理的应用 题型一正余弦定理解决边长与周长的取值范 围 拓展培优题 题型二正余弦定理解决面积的取值范围 题型三几何图形中的正余弦定理 基础达标题 题型一正余弦定理判断三角形的形状 1.(24-25高一下.江苏常州田家炳高级中学.期中)在△ABC中，若acosB+bcosA=csinA,则 △ABC的形状为() A.直角三角形B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 2.(24-25高一下，安微芜湖安徽师范大学附属中学.期中)在△ABC中，若a2+b2-c2=ab,且 sinC=2 sin AcosB,那么△ABC-定是() A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 3.(24-25高一下江苏苏州中学校，期中)（多选）己知△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满 尼a2+c2-b2-S45c 则下列条件能使△ABC成为锐角三角形的是() A.A=晋 B.a=V5,c=3 C.a=2,b=3 D.b=1.5,c=2 4,(24-25高一下江苏南京第一中学期末)在△ABC中，满足0=o,则△ABC的形状为 5.(2425高一下江苏马坝高级中学月考)在△ABC中，角AB,C的对边分别为a,b,c,若号=留器， C=号，则△ABC的形状是 1/8 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一正余弦定理与恒等式 1.(24-25高一下·江苏无锡辅仁高级中学.调研)（多选）已知△ABC不是直角三角形，角AB,C的对边分 别为a,b,c,且c=2 asinB,则() A.十品=2 B.tanA十tanB的最小值为4 c.若C=翠，则a2+b2=2W2ab D.V2-1≤号≤2+1 2.(23-24高一下.江苏武进高级中学期末)（多选）在△ABC中，角AB,C所对的边分别为a,b,C,下列 说法正确的有（) A.a bcosC+ccosB B.若a2<b2+c2,则△ABC为锐角三角形 C.若sinA>sinB,则A>B D,若cosA>sinB,则△ABC为钝角三角形 3.(24-25高一下江苏南通第一中学)（多选）对于△ABC,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列 说法正确的有() A.若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形. B.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形 C.命题“若A>B,则sinA>sinB"是真命题 D.“△ABC为锐角三角形"是“sinA>cosB"的充分不必要条件 4.(24-25高一下江苏淮安涟水县第一中学.月考)（多选）在△ABC中，内角AB,C所对的边分别为 a,b,c,则下列说法正确的是() A.若△ABC是锐角三角形，则sinA>cosB B.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形 C.若sin2A>sin2B+sin2C,则△4BC是钝角三角形 D.若b=4,C=3,C=,则满足这组条件的三角形有两个 5.(24-25高一下江苏南通如皋.调研)（多选）在△ABC中，角AB,C的对边分别为a,b,c,下列说法正 2/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 确的是() A.若A<B,则sinA<sinB B.若a2+b2>c2,则△ABC一定是锐角三角形 C.若a2+b2<c2,则△ABC一定是钝角三角形 D.若a=1,b=2,B=号，则△ABC有两解 题型二正余弦定理与距离、高度、角度问题 1.(24-25高一下江苏南通海门区部分学校月考)如图，A,B,C为山脚D,E两侧共线的三点，在山顶P 处测得A,B,C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得AD=500m,EB=300m,BC=800V3m, 则隧道DE的长度为() 力 A D EB A.600m B.700m c.800m D.900m 2.(24-25高一下江苏南京师范大学附属中学.期中)如图，A,B,C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处 测得三点的俯角分别为ax=60°，B=45°，Y=30°，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE,已知 BC=150m,AD=30m,EB=20m,则隧道DE的长度为() AD EB A,100+100W3m B.150+100W3mc.150W2+150W6mD. 100W2+100W6m 3.(24-25高一下江苏徐州邳州毓秀高级中学·月考)猎狗甲在A地发现野兔乙在北偏东75°方向上的B地， 立刻以10W3ms的速度进行追捕，与此同时，野兔乙以10W2ms的速度往北偏东15°方向逃窜，假设甲、 乙都是匀速直线运动，且AB=500(V6-V2)m,则甲能够一次性捕获乙的最短时间为5. 4.(24-25高一下江苏镇江丹阳期末)我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值6称之为 “仰角差”.某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画BC,最高点为B,最低点为C,观察点A所在的水平 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 线与壁画的竖直线交点为0，在点A处观察点B,仰角为45°，然后面对壁画前进6处的点D观察点B,其 仰角的正切值为7. 0 D (1)求壁画最高点B与点0的距离： (2)若在A,D两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等， ①求壁画最低点C与点O的距离； ②在观察水平线A0上，应处在距离点0多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？ 5.(24-25高一下，江苏镇江·期末)镇江句容茅山风景名胜区有一座闻名遐迩的老子像，是世界上最大、最高 的露天老子铜像.某数学兴趣小组在铜像底座中心Z正东方向A处测得铜像顶的仰角为30°，从A处沿直线 走38米到达Z南偏东60°的B处，测得铜像顶的仰角为45°，点A,B,Z在同一平面内. S (1)求铜像连同底座的高度LZ: (2)若铜像底座SZ的高度为3米，组员甲用相机给铜像拍照，已知相机镜头到地面的距离为1.5米，为使拍 照的视角最大，请问组员甲应在距离铜像底座中心Z多远处？ (3)在(2)的条件下，若组员甲在△ABZ区域内以最大视角拍照，则他站位的轨迹长度为多少？ (参考数据：√219心14.8，π≈3.14，所有答案精确到小数点后1位) 拓展培优题 题型一正余弦定理解决边长与周长的取值范围 4/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(24-25高一下江苏宜兴丁蜀高级中学期末)已知锐角△ABC的面积为2V3,A=零， 则边AB的取值范 围是() A.(1,2 B.(N2,22 c.(2,4) D.2,4) 2.(24-25高一下江苏连云港东海县期中)（多选）己知锐角△ABC三个内角A,B,C的对应边分别为a, b,c,且∠B=晋，c=2,则下列结论正确的是() A.∠C的取值范围为(，变) B.△ABC外接圆半径的范围为(1,2) C.△ABC的面积最小值为V3 D.△ABC的周长范围为(5+3,23+2) 3.(24-25高一下江苏无锡江阴某校月考)锐角△ABC的三个内角角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满 足(sin2B+sin2℃-sin2A)tanA=V3 sinBsinC. (1)求角A的大小及角B的取值范围： (2)若a=2,求△ABC的周长的取值范围； 3)若△ABC的外接圆的圆心为0，且O.O元=-专，求A0.(A店+A⊙的取值范围. 4.(24-25高一下.江苏徐州邳州毓秀高级中学月考)已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对 边，a=6且acosC+V3 asinC-b-c=0. (1)求△ABC周长的取值范围. (2)当△ABC周长最大时，设点M为AB边的中点，点P在边BC上（包括端点），求M立.C的最小值， 5.(24-25高一下.江苏梅村高级中学空港分校期中)在△ABC中，a=cc0sB+b (1)若a+b=8,△ABC的面积为3y3,求c: (2)若c=4,且△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围. 题型二正余弦定理解决面积的取值范围 1.(24-25高一下江苏南京临江高级中学.月考)在△ABC中，角AB,C所对的边a,b,c,已知 a=bcosC+号bsinC: (1)求角B; (2)若b=3,求△ABC面积的最大值， 2.(22-23高一下江苏灌南高级中学.月考)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (a+b)(sinA-sinB)=c(sinA-sinC). (1)若△ABC为锐角三角形，且c=4,求a的取值范围； (2)若点D在边AC上，且AD=2DC,BD=1,求△ABC面积的最大值 3.(23-24高一下江苏无锡惠山区锡山高级中学.期中)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c, 且能=2竖 a4c2b2· (1)求B: (2)设D为AC的中点，b=2;求：①△ABC面积的最大值；②BD的最大值， 4.(23-24高一下江苏扬州江都区期中)如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域ABE为 书籍摆放区，沿着AB、AE处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域BCDE为阅读区， ∠BCD=∠CDE=号，DE=3BC=3CD=3V5m. (1)求两区域边界BE的长度： (2)区域ABE为锐角三角形 ①若∠BAE=号，求△ABE面积的最大值； ②若∠BEA=号，求△ABE面积的取值范围. 5.(23-24高一下江苏无锡堰桥高级中学期中)从①asin49=csinA:② sin2A+sin2B-sin2C-sinAsinB=0;③ccosB-(2a-b)cosC=0,这三个条件中任选一个，补充在 下面问题中，并加以解答. 在△ABC中，三边a,b,c分别是角AB,C的对边，若一· (1)求C; (2)若c=2,求△ABC的面积的最大值， 题型三几何图形中的正余弦定理 1.(22-23高一下江苏镇江句容南京人民中学等三四校联考·月考)如图，平面四边形A、B、C、D,已知 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠DCA=45°，∠CDB=∠ADB=30°，CD=(V6+V2),∠ACB=60°，则A,B两点的距离是() A A.4V5 B.V10 c.6W2 D.2y10 2.(24-25高一下江苏高邮期中)（多选）如图，己知⊙0的内接四边形ABCD中，AB=2,BC=5, AD=CD=3,则() D 0 A.四边形ABCD的面积为号 ®。该外接圈的半径为厚 C.过D作DF⊥BC交BC于F点，则DC.D=孚 D.B0.Ci=-3 3.(24-25高一下.江苏常州前黄高级中学期末)如图，在平面四边形ABCD中，∠ACB=变，若E是AB上一 点，BC=CE.记∠ABC=a,∠ACE=B. (1)证明：cos2ax+sinB=0; (2)AC=3 AE,CD=3,AD=2. (I)求B的值； 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (Ⅱ)求线段BD长度的取值范围 4.(22-23高一下江苏连云港高级中学期中)如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2, B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC. C B (1)点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？ (2)点B在什么位置时，线段OC的长度最大？ 5.(22-23高一下江苏宿迁期末)在圆0的内接四边形ABCD中，AB=2,CD=1,∠A=号，示意如图. 0· D (1)若AC是圆0的直径，求AD的长： 2)若圆O的直径为V5,求四边形ABCD的面积. 8/8