11.2 正弦定理 课时练-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 分层递进设计，覆盖正弦定理从基础应用到综合探究，通过选择、填空、解答题梯度巩固知识，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级基础达标练|正弦定理直接应用|7题，选择为主，如已知两角一边求边，巩固基本公式| |B级能力提升练|综合面积、余弦定理|10题，含多选（第12题）、多解问题（第9题），提升推理能力| |C级拓展探究练|数学史与高考真题|2题，如秦九韶公式应用（第17题）、高考综合题（第18题），发展创新意识|

11.2　正弦定理 A级 基础达标练 1.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于(　　) A.4 B.4 C.4 D. 2.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,若a=3,b=,A=,则角C的大小为(　　) A. B. C. D. 3.(2025江阴月考)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,c=2,A=,sin B=2sin C,则△ABC的面积为(　　) A. B.2 C.2 D.4 4.(2025扬州月考)△ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,asin Asin B+bcos2A=a,则=(　　) A.2 B.2 C. D. 5.(多选题)(2025徐州期中)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若S△ABC=2,a+b=6,=2cos C,则a,b的值分别为(　　) A.2,4 B.1,5 C.4,2 D.5,1 6.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,若a=bsin A,则△ABC一定是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 7.在①5cos A=2b,②A+C=2B,③2asin C-3csin(A+C)=0这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中并解答.是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2sin(A+C)=sin A+sin C,a+c=4,　　　?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由. B级 能力提升练 8.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,A=60°,a=4,b=4,则B等于(　　) A.45°或135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 9.(多选题)(2025宿迁期末)在△ABC中,∠A=,若三角形有两解,则的可能取值为(　　) A. B.1.1 C. D.1.01 10.(2025苏州月考)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,已知b2-bc-2c2=0,且a=,cos A=,则△ABC的面积等于(　　) A. B. C.2 D.3 11.△ABC中,已知AC=,∠ABC=60°,AB<BC,且△ABC的面积为3,则AB边上的高等于(　　) A.2 B. C. D.2 12.(多选题)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的命题是(　　) A.若,则△ABC一定是等边三角形 B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形 C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形 D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形 13.在△ABC中,若3acos C=4csin A,△ABC的面积S=10,b=4,则a的值为(　　) A. B. C. D. 14.在△ABC中,若a=,b=2,sin B+cos B=,则角A的大小为　　　　　.  15.(2025南京质检)在△ABC中,AB=2,C=,则AC+BC的最大值是　　　　.  16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csin A=acos C. (1)求角C的大小; (2)求sin A-cos的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小. C级 拓展探究练 17.(2025镇江期中)《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷共八十一个问题,分为九类,每类九个问题,《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积”中提出:已知三角形的三边a,b,c求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法如下“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S=.现有△ABC满足a∶b∶c=2∶3∶,且△ABC的面积S△ABC=6,请运用上述公式判断下列命题正确的是(　　) A.△ABC的周长为10+2 B.△ABC的三个内角满足2B=A+C C.△ABC外接圆的半径为 D.△ABC内切圆的半径为 18.(2025新高考Ⅰ)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sin A; (2)设AB=5,求AB边上的高. 参考答案 1.A　∵A+B+C=180°,又B=60°,C=75°,∴A=180°-B-C=45°.由正弦定理, 得b==4.故选A. 2.D　由正弦定理,得sin B=.因为a>b,所以A>B,所以B=,所以C=π-. 3.B　由正弦定理得b=2c=4,由面积公式得bcsin A=×4×2×=2.故选B. 4.D　由asin Asin B+bcos2A=a及正弦定理得, sin Asin Asin B+sin Bcos2A=sin A, 即sin B=sin A,所以.故选D. 5.AC　∵=2cos C,由正弦定理, 得sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos C, ∴sin(A+B)=sin C=2sin Ccos C, ∵0<C<π,sin C≠0,∴cos C=.∵C∈(0,π), ∴C=.∵S△ABC=2absin C=ab, ∴ab=8.又a+b=6,解得 6.B　由已知得=b=,所以sin B=1,所以B=90°,故△ABC一定是直角三角形. 7.解 因为2sin(A+C)=sin A+sin C,sin(A+C)=sin(π-B)=sin B, 所以2sin B=sin A+sin C,由正弦定理可得2b=a+c.又a+c=4,所以b=2. 假设△ABC存在. 方案一:选条件①. 因为5cos A=2b,所以cos A=, 则a2=b2+c2-2bccos A,即(4-c)2=22+c2-2×2·c·,解得c=,所以a=, 所以a2+b2=c2,所以AC⊥BC,所以此时△ABC存在,且为直角三角形,c=. 方案二:选条件②. 因为A+C=2B,所以3B=A+B+C=π,解得B=, 又b2=a2+c2-2accos B,所以22=(4-c)2+c2-2(4-c)c·,解得c=2. 所以a=2,此时△ABC存在,且为等边三角形,c=2. 方案三:选条件③. 由2asin C-3csin(A+C)=0,可得2sin Csin A=3sin Csin B, 因为C∈(0,π),则sin C≠0,所以sin A=sin B,所以a=b=3,则c=1. 因为b+c=3=a,故此时△ABC不存在. 8.C　∵sin B=, ∴B=45°或135°.又a>b,∴B=45°.故选C. 9.BD　若三角形有两个解,则满足c<a<c,故1<.故选BD. 10.A　因为b2-bc-2c2=0,所以(b-2c)(b+c)=0,所以b=2c. 由a2=b2+c2-2bccos A,解得c=2,b=4.因为cos A=,所以sin A=, 所以S△ABC=bcsin A=×4×2×. 11.A　如图所示,设BC=a,AC=b,AB=c,AB边上高为h, 由面积公式得S=acsin B=ac×=3, 所以ac=12. 又cos B=, 所以a2+c2=25.又因为AB<BC,即c<a, 所以a=4,c=3, 所以h=asin B=4×=2. 故选A. 12.AC　对于A,若,则,即tan A=tan B=tan C,即A=B=C, 即△ABC是等边三角形,故A正确; 对于B,若acos A=bcos B,则由正弦定理得, 2rsin Acos A=2rsin Bcos B,即sin 2A=sin 2B, 则2A=2B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°,则△ABC为等腰三角形或直角三角形,故B错误; 对于C,若bcos C+ccos B=b,sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A=sin B,∴A=B,即a=b,则△ABC是等腰三角形,故C正确; 对于D,在△ABC中,∵a2+b2-c2>0,∴角C为锐角,但△ABC不一定是锐角三角形,故D错误.故选AC. 13.B　由3acos C=4csin A,得.又由正弦定理,得, ∴tan C=,∴sin C=. 又S=absin C=10,b=4,sin C=, ∴a=.故选B. 14.30°　由sin B+cos B=,得1+sin 2B=2,所以sin 2B=1,所以B=45°.由正弦定理,得sin A=.因为a<b,所以A<B,所以A=30°. 15.4　在△ABC中,AB=2,C=, 则=4, 故AC+BC=4sin B+4sin A=4sin+4sin A=2cos A+6sin A=4sin(A+θ). 所以AC+BC的最大值为4. 16.解 (1)由正弦定理及已知条件得sin Csin A=sin Acos C. 因为0<A<π,所以sin A>0, 从而sin C=cos C,即tan C=1,又C∈(0,π),则C=. (2)由(1)知B=-A, 于是sin A-cossin A-cos(π-A)=sin A+cos A=2sin. 因为0<A<,所以<A+. 从而当A+,即A=时,2sin取得最大值2. 综上所述,sin A-cos的最大值为2,此时A=,B=. 17.A　由题意,设a=2x,b=3x,c=x, ∴=6,则=12, ∴x=2,故a=4,b=6,c=2,则周长为10+2,A正确. cos C=,0<C<π,则C=,故A+B==2C,B错误. ∴sin C=,若外接圆的半径为R,则2R=,即R=,C错误. 若内切圆的半径为r,则r×(10+2)=6,即r=,D错误.故选A. 18.解 (1)∵A+B=3C,∴π-C=3C,即C=. 又2sin(A-C)=sin B=sin(A+C), ∴2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C, ∴sin Acos C=3cos Asin C. 又cos C=sin C=,∴sin A=3cos A, 即tan A=3,∴0<A<,∴sin A=. (2)由(1)知,cos A=, 则sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=. 由正弦定理,,可得AC==2. 设AB边上的高为h, ∴AB·h=AB·AC·sin A, ∴h=AC·sin A=2=6. 学科网（北京）股份有限公司 $