11.1 余弦定理课时练-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 该同步练习通过三级分层设计，以余弦定理为核心，从基础应用到综合探究层层递进，强化运算能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级基础达标练|余弦定理直接应用、三角形边角关系判断|以选择填空为主，如第1题直接用公式求边，第5题结合余弦定理判断三角形性质，夯实概念理解| |B级能力提升练|三角形形状判定、实际问题应用|融入钝角三角形（第8题）、角平分线（第12题）等综合情境，第16题通过几何图形考查定理应用，发展几何直观| |C级拓展探究练|跨知识整合（海伦公式）、不等式证明|第17题结合海伦公式求内切圆半径，第18题通过不等式探究角的范围，培养创新意识与数学思维|

11.1　余弦定理 A级 基础达标练 1.在△ABC中,a=4,b=3,C=,则c的值为(　　) A. B. C.3 D. 2.(多选题)在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的值不可以是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形状是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度确定 4.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为(　　) A. B. C. D.3 5.(多选题)(2025如东期中)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中正确的是(　　) A.在△ABC中,若a2+b2-c2>0,则C是锐角 B.在△ABC中,若a2<b2+c2,则A>B+C C.在△ABC中,若4sin Acos A=0,则△ABC一定是直角三角形 D.任何三角形的三边之比不可能是1∶2∶3 6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-b=4,a+c=2b,且最大内角为120°,则该三角形的周长为　　　,最小角的余弦值为　　　　　.  7.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2=b(b+c),求证:A=2B. B级 能力提升练 8.(2025镇江期中)在钝角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=2,则最大边c的取值范围是(　　) A.(,+∞) B.(2,) C.() D.(,3) 9.在△ABC中,已知(b+c-a)(b+c+a)=3bc,且2cos Bsin C=sin A,则△ABC的形状为(　　)　 A.钝角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 10.在△ABC中,若b2=ac,则B的取值范围是(　　) A. B. C. D. 11.(2025武汉质检)在△ABC中,BC=4,AB=3AC,则的取值范围为(　　) A.[-3,12] B.(-3,12) C.[12,24] D.(12,24) 12.在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=,则sin∠ABD=　　　. 13.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为　　　　　.  14.(2025济宁月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b2+c2=24,则角A的最大值为　　　　.  15.(2025无锡月考)黄金三角形有两种,一种是顶角为36° 的等腰三角形,另一种是顶角为108° 的等腰三角形.其中顶角为36° 的等腰三角形的底与腰之比为,这种黄金三角形被认为是最美的三角形.根据这些信息,则cos 36°=　　　. 16.如图,已知△ABC中,A=,|AC|=10,点D在AB上,CD⊥AB,并且|AD|∶|DB|=5∶11. (1)求BC的长度; (2)若点E为AB的中点,求CE的长度. C级 拓展探究练 17.(2025无锡期末)海伦不仅是古希腊的数学家,还是一位优秀的测绘工程师.在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式,即著名的海伦公式S=,这里p=(a+b+c),a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C所对的边,该公式具有轮换对称的特点,形式很美.已知△ABC中,p=12,c=9,cos A=,则该三角形内切圆的半径为(　　) A. B. C. D. 18.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若≥1,求角A的取值范围. 参考答案 1.A　由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=16+9-2×4×3×=13,∴c=.故选A. 2.ACD　若a为最大边,则b2+c2-a2>0,即a2<5, ∴a<;若c为最大边,则a2+b2-c2>0,即a2>3, ∴a>.故<a<. 3.A　设直角三角形的三条边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,三条边均增加同样的长度m,三边长度变为a+m,b+m,c+m,此时最长边为c+m, 设该边所对角为θ,则由余弦定理,得cos θ=.因为m>0,a+b-c>0,所以cos θ>0,所以θ为锐角,其他各角必为锐角,故新三角形是锐角三角形. 4.B　在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,由余弦定理,得cos A=,又A∈(0°,180°),∴A=60°.∴边AC上的高h=ABsin A=3sin 60°=.故选B. 5.ACD　对于A,由a2+b2-c2>0及余弦定理可得cos C=>0,又C∈(0,π),所以C∈,所以C是锐角,故A正确;对于B,由a2<b2+c2及余弦定理可得cos A=>0,又A∈(0,π),所以A∈,所以A是锐角,所以B+C>>A,故B错误;对于C,因为4sin Acos A=0,A∈(0,π),所以sin A≠0,所以cos A=0,则A=,所以△ABC一定是直角三角形,故C正确;对于D,若三角形三边之比是1∶2∶3,不妨设三边分别为x,2x,3x(x>0),则两短边之和为3x,不满足三角形两边之和大于第三边,故任何三角形的三边之比不可能是1∶2∶3,故D正确.故选ACD. 6.30　　由a-b=4,a+c=2b,得b=a-4,c=a-8,所以a>b,a>c,即a是最长边,所以角A最大.由余弦定理,得cos 120°=,解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故△ABC的周长为30.易得最小内角为C,所以cos C=. 7.证明 由余弦定理得cos A=, ∵cos B=, ∴cos 2B=2cos2B-1=2-1=-1=, ∴cos A=cos 2B. ∵a2=b(b+c),∴a2-b2=bc>0, ∴a2>b2,即a>b,∴A>B. 若B≥,则A>B≥,与A+B<π矛盾, ∴角B只能是锐角, ∴0<2B<π.又∵0<A<π,cos A=cos 2B, ∴A=2B. 8.D　已知△ABC是钝角三角形,a=1,b=2,且c是最大边,则由余弦定理得cos C=<0,于是得c2>a2+b2=12+22=5,c>0,解得c>,而有c<a+b=3,即<c<3,所以最大边c的取值范围是(,3).故选D. 9.B　由题意,得sin A=sin(π-A)=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B, 则2cos Bsin C=sin Bcos C+sin Ccos B⇔sin Bcos C-cos Bsin C=sin(B-C)=0. 又-π<B-C<π,所以B=C. 由(b+c-a)(b+c+a)=3bc,可得(b+c)2-a2=3bc,即b2+c2-a2=bc,所以cos A=. 由0<A<π,知A=. 综上可知,△ABC是等边三角形. 故选B. 10.A　cos B=,∵0<B<π,∴B∈. 11.D　设AC=m,则AB=3m, 由余弦定理得cos B=, ∴=12mcos B=4(2+m2)=4m2+8. ∵∴1<m<2,∴4m2+8∈(12,24), 即的取值范围为(12,24).故选D. 12.　因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=∠ABC.由余弦定理,得cos∠ABC=, 所以cos∠ABC=1-2sin2∠ABD=, 所以sin∠ABD=(负值舍去). 13.　因为sin∠BAC=,且AD⊥AC, 所以sin, 所以cos∠BAD=. 在△BAD中,由余弦定理, 得BD= =. 14.　由b2+c2=24=2a2,则a2=,所以cos A=,0<A<π,所以0<A≤,故A的最大值为. 15.　在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,. 设AB=2x,BC=(-1)x, 则cos 36°= =. 16.解 (1)由CD⊥AB,A=, 可知|AD|=|AC|cos =10×=5. 又|AD|∶|DB|=5∶11,可得|DB|=11, 所以|AB|=16. 在△ABC中,由余弦定理可得|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB|·|AC|cos A=196, 所以|BC|=14. (2)由(1)可知|AD|=5,|DB|=11, 又点E为AB的中点,可得|BE|=8,|ED|=3, 在直角△ADC中,|CD|2=|AC|2-|AD|2=100-25=75, 在直角△CDE中,|CE|2=|CD|2+|DE|2=75+9=84, 所以|CE|=2. 17.D　∵p=(a+b+c),∴a+b+c=24. 又∵c=9,∴a+b=24-c=15. ∵cos A=,∴, ∴(b-a)(b+a)+81=12b,∴15(b-a)+81=12b, ∴3b-15a+81=0.又∵a+b=15,∴a=7,b=8, ∴S==12, ∴r=.故选D. 18.解 ∵≥1,整理可得b2+c2-a2≥bc, ∴由余弦定理可得cos A=, ∴由A为三角形的内角,即A∈(0,π),可得A∈. 学科网（北京）股份有限公司 $