10.2二倍角的三角函数课时练-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 10.2二倍角的三角函数同步练采用A/B/C三级分层设计，通过基础公式应用、综合能力提升到跨学科情境探究的梯度路径，强化运算能力与模型意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|二倍角公式直接应用|选择、填空题为主，如sin15°sin105°计算，巩固公式记忆与基本运算| |B级|公式变形与综合应用|结合函数性质（如f(x)最值）、两角和差公式，如第11题sin(α-β)与cos(2α+2β)关联，提升推理能力| |C级|跨学科与实际问题|融入“过洋牵星术”历史情境（第17题）、几何面积优化（第18题），培养数学建模与应用意识|

10.2　二倍角的三角函数 A级 基础达标练 1.sin 15°sin 105°的值是(　　) A. B.- C. D.- 2.下列各式的值等于的是(　　) A.sin 15°cos 15° B.cos2-sin2 C. D.2cos215°-1 3.已知cosθ-=,-<θ<,则sin 2θ的值等于(　　) A.- B. C.- D. 4.设sin α=,2π<α<3π,则sin+cos=(　　) A.- B. C. D.- 5.若,则tan 2α=(　　) A.- B. C.- D. 6.(2025徐州期中)已知θ∈(0,π),且cos θ=-,则cos=　　　　.  7.已知sin -2cos =0. (1)求tan x的值; (2)求的值. B级 能力提升练 8.黄金三角形是一个顶角为36°的等腰三角形,其底边与腰长之比是黄金分割比.例如,国旗上的正五角星就是由5个黄金三角形和一个正五边形组成.如图所示,在黄金三角形ABC中,,根据这个信息,可求得cos 144°的值为(　　) A. B.- C.- D.- 9.(2025佛山期末)函数f(x)=3sin cos +4cos2(x∈R)的最大值等于(　　) A.5 B. C. D.2 10.若sin,则sin=(　　) A.- B. C.- D. 11.(2025新高考Ⅰ)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　) A. B. C. - D. - 12.(2025淮安月考)(多选题)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x,若α∈(0,π),且f(α)=,则α的值为(　　) A. B. C. D. 13.=(　　) A. 1 B.2 C.3 D.4 14.(多选题)已知函数f(x)=|sin x||cos x|,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的图象关于直线x=对称 B.f(x)的周期为 C.点(π,0)是f(x)图象的一个对称中心 D.f(x)在区间上是增函数 15.若cos(75°+α)=,则sin(60°+2α)=　　　　　.  16.(2025扬州月考)设函数f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2sin ωxcos ωx+λ的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若y=f(x)的图象经过点,求函数f(x)在区间上的最值. C级 拓展探究练 17.明朝早期,郑和七下西洋过程中,将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海,形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”,简单地说,就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板,其由12块正方形模板组成,最小的一块边长约2厘米(称一指),每块木板依次比上一块木板长2厘米,最大的边长约为24厘米(称十二指)观测时,将木板立起,一手拿着木板,手臂伸直,眼睛到木板的距离大约为72厘米,使牵星板与海平面垂直,让板的下缘与海平面重合,上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板,当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板,观测的星辰离海平面的高度就是几指,然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示,若在一次观测中,所用的牵星板为六指板,则cos 2α的值约为(　　) A. B. C. D. 18.如图,有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另两点B,C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m. (1)如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大,最大值是多少? (2)沿着AB,BC,CD修一条步行小路从A到D,如何选择A,D的位置,使步行小路的距离最远? 参考答案 1.A　因为sin 105°=cos 15°,所以sin 15°sin 105°=sin 15°·cos 15°=sin 30°=.故选A. 2.C　对于A,sin 15°cos 15°=sin 30°=,故A不正确;对于B,cos2-sin2=cos ,故B不正确;对于C,tan 45°=,故C正确;对于D,2cos215°-1=cos 30°=,故D不正确.故选C. 3.B　因为cosθ-=sin θ=,-<θ<,所以cos θ=.所以sin 2θ=2sin θcos θ=2×.故选B. 4.A　∵sin α=,∴=1+sin α=.又2π<α<3π,∴π<,∴sin<0,cos<0,∴sin+cos=-. 5.B　给等式的左边分子、分母同时除以cos α(显然cos α≠0),得,解得tan α=-3, ∴tan 2α=. 6.　方法一:由θ∈(0,π),且cos θ=-,可得sin θ=,故sin 2θ=2sin θcos θ=-,则cos=-sin 2θ=. 方法二:由θ∈(0,π),且cos θ=-,可得sin θ=, 则cos=cos θcos +sin θsin , 所以cos=2cos2-1=.故答案为. 7.解 (1)由sin -2cos =0,知cos ≠0, ∴tan =2,∴tan x==-. (2)由(1)知tan x=-, ∴ = = = =. 8.C　由题图可知∠ACB=72°,且cos 72°=,所以cos 144°=2cos272°-1=-.故选C. 9.B　由题意知f(x)=sin x+4×sin x+2cos x+2=sin(x+φ)+2. 又因为x∈R,所以f(x)的最大值为. 10.A　因为sin,所以sin= -cos, =-cos=2sin2-1=2×-1=-.故选A. 11.B　因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,而cos αsin β=,所以sin αcos β=,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,所以cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×.故选B. 12.AC　由题意知f(x)=cos 2xsin 2x+cos 4x= sin 4x+cos 4x=sin, 因为f(α)=sin, 所以4α++2kπ,k∈Z,即α=,k∈Z. 因为α∈(0,π),所以α=或α=.故选AC. 13.A　= =1.故选A. 14.AB　因为函数f(x)=|sin x||cos x|=|sin xcos x|=|sin 2x|, 画出函数图象,如图所示, 由图可知,f(x)的图象关于直线x=(k∈Z)对称, 所以直线x=是f(x)图象的一条对称轴,A正确; f(x)的最小正周期是,B正确; f(x)是偶函数,其图象没有对称中心,C错误; 由图可知,f(x)=|sin 2x|在区间上是减函数,D错误. 15.　∵cos(75°+α)=,∴cos(150°+2α)=2cos2(α+75°)-1=2×-1=-,∴sin(60°+2α)=-cos(90°+60°+2α)=-cos(150°+2α)=. 16.解 (1)f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2sin ωx·cos ωx+λ =sin 2ωx-cos 2ωx+λ =2sin+λ. 因为f(x)的图象关于直线x=π对称, 所以2πω-+kπ(k∈Z), 所以ω=(k∈Z). 又ω∈,令k=1时,ω=符合要求, 所以函数f(x)的最小正周期为. (2)因为f=0, 所以2sin+λ=0,则λ=-. 所以f(x)=2sin. 由0≤x≤π,知-x-π, 所以当x-=-,即x=0时,f(x)取最小值-1-; 当x-,即x=时,f(x)取最大值2-. 17.D　由题意得cos α=,则cos 2α=2cos2α-1=2×-1=.故选D. 18.解 (1)连接OB,如图所示,设∠AOB=θ, 则AB=OBsin θ=20sin θ,OA=OBcos θ=20cos θ,且θ∈. 因为点A,D关于原点对称, 所以AD=2OA=40cos θ. 设矩形ABCD的面积为S, 则S=AD·AB=40cos θ·20sin θ=400sin 2θ. 因为θ∈,所以当sin 2θ=1,即θ=时,Smax=400 m2. 此时AO=DO=10 m. 故当点A,D距离圆心O为10 m时,矩形ABCD的面积最大,其最大面积是400 m2. (2)由(1)知AB=20sin θ,AD=40cos θ, 所以AB+BC+CD=40sin θ+40cos θ =40sin, 又θ∈,所以θ+, 当θ+,即θ=时,(AB+BC+CD)max=40, 此时AO=DO=10 m, 即当点A,D距离圆心O为10 m时,步行小路的距离最远. 学科网（北京）股份有限公司 $