10.2二倍角的三角函数 同步练习-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

苏教版高一下册数学必修第二册-10.2二倍角的三角函数 同步练习 [A　基础达标] 1．计算sin 15°sin 30°sin 75°的值为(　　) A． B． C． D． 2．已知sin ＝，则cos 的值为(　　) A． B． C．　 D． 3．若sinα＝2sin ，则tan 2α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 4．(2021·高考全国卷甲)若α∈，tan2α＝，则tan α＝(　　) A． B． C． D． 5．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则＝(　　) A．4 B．＋1 C．2 D．－1 6．已知cos ＝，则sin 2x＝________． 7.＝________． 8．已知函数f(x)＝cos2＋sinx－.若f(α)＝，则sin ＝________． 9．已知0<β<α<，sin α＝，sin (α－β)＝. (1)求sin 2α； (2)求cos (α＋β). 10．已知α为第二象限角，且sin α＝，求的值． [B　能力提升] 11．(2021·新高考卷Ⅰ)若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． 12.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，＝.根据这些信息，可得cos324°＝(　　) A． B． C．－ D． 13．已知θ∈，＋＝2，则sin 2θ＝________，sin ＝________． 14．已知sin －2cos ＝0. (1)求tan x的值； (2)求的值． [C　拓展探究] 15．如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前行30 m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前行10 m 到点D，测得顶端A的仰角为4θ.求θ的大小和建筑物AE的高． 参考答案 1．解析：选C．原式＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.故选C． 2．解析：选D．因为sin ＝， 所以cos ＝cos ＝1－2sin2＝. 3．解析：选B．由sin α＝2sin ，可得sin α＝2cos α，即tan α＝2，则tan 2α＝＝＝－.故选B． 4．解析：选A．因为tan 2α＝＝，且tan2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为a∈，所以cos α＝，tan α＝＝.故选A． 5．解析：选C．由题可知2sin18°＝m＝，所以m2＝4sin218°. 则＝＝＝＝2. 故选C． 6．解析：因为sin 2x＝cos ＝cos ＝2cos2－1， 所以sin2x＝2×－1＝－1＝－. 答案：－ 7.解析：＝ ＝＝1. 答案：1 8．解析：f(x)＝×＋sin x－＝sin x＋cos x＝sin ， 又f(α)＝，所以sin ＝， 所以cos ＝1－2sin2＝， 又2α＋＝＋， 所以sin＝sin ＝－cos ＝－. 答案：－ 9．解：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝， 从而sin 2α＝2sin αcos α＝. (2)由题知，cos 2α＝1－2sin2α＝－. 因为0<β<α<，所以0<α－β<， 所以cos(α－β)＝＝， 所以cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)]＝cos 2αcos (α－β)＋sin 2αsin (α－β) ＝－×＋×＝. 10．解：原式＝＝. 因为α为第二象限角，且sin α＝， 所以sin α＋cos α≠0，cos α＝－. 所以原式＝＝－. [B　能力提升] 11．解析：选C．通解(求值代入法)：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限， 所以或 所以＝ ＝sin θ·(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ＝－＝.故选C． 优解一(弦化切法)：因为tan θ＝－2， 所以＝＝sin θ·(sin θ＋cos θ) ＝＝＝＝.故选C． 优解二(正弦化余弦法)：因为tanθ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ. 则＝＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝＝＝＝.故选C． 12.解析：选B．由题意可得∠ACB＝72°，且cos ∠ACB＝＝， 所以cos 144°＝2cos272°－1＝－， 所以cos324°＝cos (144°＋180°)＝－cos 144°＝.故选B． 13．解析：＋＝2⇒＝2 ⇒sin θ＋cos θ＝2sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin22θ. 因为θ∈，所以2θ∈(π，2π). 所以sin2θ＝－.所以sin θ＋cos θ<0. 所以θ∈.所以2θ∈. 所以cos 2θ＝. 所以sin ＝sin 2θcos ＋ sin cos 2θ＝. 答案：－　 14．解：(1)由sin －2cos ＝0， 知cos ≠0，所以tan ＝2. 所以tan x＝＝＝－. (2)由(1)知tan x＝－， 所以＝ ＝＝ ＝×＝×＝. [C　拓展探究] 15．解：因为∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ， 所以∠BAC＝θ，所以AC＝BC＝30 m. 又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ， 所以∠CAD＝2θ， 所以AD＝CD＝10 m. 所以在Rt△ADE中，AE＝AD·sin 4θ＝10sin 4θ(m). 在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 2θ＝30sin 2θ(m)， 所以10sin 4θ＝30sin 2θ. 即20sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ， 所以cos 2θ＝. 又2θ∈，所以2θ＝， 所以θ＝. 所以AE＝30sin ＝15(m). 所以θ＝，建筑物AE的高为15 m． 学科网（北京）股份有限公司 $$