10.1.3 两角和与差的正切课时练-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 本同步练通过三级分层设计，以基础公式应用为起点，逐步过渡到综合情境与探究性问题，构建从单一知识点到创新应用的巩固路径，培养数学思维与问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|两角和差正切公式直接应用|含特殊角计算（如tan255°）、简单方程求解，结合"折竹抵地"古算情境，夯实基础运算能力| |B级|公式综合应用与关联知识融合|涉及三角形内角关系、函数平移、方程根与正切结合（多选题），培养逻辑推理与知识迁移能力| |C级|复杂情境与探究性问题|以锐角三角形正切乘积范围、正三角形喷灌步道设计为载体，发展创新意识与数学建模能力|

10.1.3　两角和与差的正切 A级 基础达标练 1.tan 255°=(　　) A.-2- B.-2+ C.2- D.2+ 2.tan 15°+tan 105°-tan 15°tan 105°=(　　) A. B. C.- D.- 3.已知tanα-=,则tan α=(　　) A. B.- C.5 D.-5 4.(2025厦门期末)在△ABC中,cos A=-,tan B=,则tan(A-B)=(　　) A.-2 B.- C. D.2 5.已知A,B都是锐角,且(1+tan A)(1+tan B)=2,则A+B=　　　　　.  6.(2025启东期中)如图,某书中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?意思如下:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),现被风折断尖端落在地上,竹尖与竹根的距离为三尺,问折断处离地面的高为多少尺?现假设折断的竹子与地面的夹角(锐角)为θ,则tan=　　　　.  7.如图,三个全等的矩形相接,且AB=a,AD=b. (1)若b=2a,求tan(α+β)的值; (2)若α+β=γ,求的值. B级 能力提升练 8.(2025扬州月考)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED=(　　) A. B. C. D. 9.已知tanα-=2,tan(α+β)=-3,则tanβ+=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 10.在△ABC中,tan A+tan B+tan C=3,tan2B=tan Atan C,则角B等于(　　) A.30° B.45° C.120° D.60° 11.(多选题)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,下列各式正确的是(　　) A.A+B=2C B.tan(A+B)=- C.tan A=tan B D.cos B=sin A 12.(多选题)若tan x1,tan x2是方程x2-kx+2=0的两个不相等的正根,则下列结论正确的是(　　) A.tan x1+tan x2=-k B.tan(x1+x2)=-k C.k>2 D.k>2或k<-2 13.(2025江宁月考)已知tan=-,则sin αcos α的值是　　　　.  14.若将函数f(x)=2sin x+cos x的图象向左平移θ个单位长度,得到函数g(x)=sin x+2cos x的图象,则tan θ=　　　　.  15.已知α+β+γ=π,β为锐角,tan α=3tan β,当tan β=　　　　时,取最小值　　　　.  16.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为. (1)求tan(α+β)的值; (2)求α+2β的值. C级 拓展探究练 17.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的取值范围是　　　　　.  18.(2025衡水调研)如图,在某小区内有一形状为正三角形ABC的草地,该正三角形的边长为20米,在C点处有一喷灌喷头,该喷头喷出的水的射程为10米,其喷射的水刚好能洒满以C为圆心,以10米为半径的圆.在△ABC内部的扇形CPQ区域内,现要在该三角形内修一个直线型步行道,该步行道的两个端点M,N分别在线段CA,CB上,并且与扇形的弧相切于△ABC内的T点,步道宽度忽略不计,设∠MCT=α. (1)试用α表示该步行道MN的长度; (2)试求出该步行道MN的长度的最小值,并指出此时α的值. 参考答案 1.D　tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)==2+.故选D. 2.D　因为tan 15°+tan 105°=tan(15°+105°)(1-tan 15°·tan 105°)=-(1-tan 15°tan 105°)=-tan 15°tan 105°,所以tan 15°+tan 105°-tan 15°tan 105°=-.故选D. 3.B　tan,解得tan α=-.故选B. 4.A　因为cos A=-且A∈(0,π),所以A=,所以tan A=-1,所以tan(A-B)==-2.故选A. 5.　∵(1+tan A)(1+tan B)=1+tan Atan B+tan A+tan B=2, ∴tan Atan B=1-(tan A+tan B). ∴tan(A+B)==1. ∵A,B都是锐角,∴0<A+B<π,∴A+B=. 6.-　由题意,设折断处离地面的高为x尺,则由勾股定理得x2+32=(10-x)2,化简得20x=91,解得x=4.55.所以tan θ=,所以tan=-. 7.解 (1)若b=2a,则tan α=,tan β=1. 所以tan(α+β)==5. (2)由题图可得,tan α=,tan β=,tan γ=, 因为α+β=γ,所以tan(α+β)==tan γ, 即, 化简得a2=b2,所以a=b. 所以的值为1. 8.B　由题可知∠DEA=,tan ∠CEB=,所以有tan∠CED=tan(∠DEA-∠CEB)=tan,再根据同角三角函数关系式,可求出sin∠CED=.故选B. 9.A　因为α-+β+=α+β, 所以tanβ+=tan(α+β)-α- = ==1. 故选A. 10.D　由公式变形得, tan A+tan B=tan(A+B)(1-tan Atan B) =tan(180°-C)(1-tan Atan B) =-tan C(1-tan Atan B) =-tan C+tan Atan Btan C, ∴tan A+tan B+tan C =-tan C+tan Atan Btan C+tan C =tan Atan Btan C=3.∵tan2B=tan Atan C, ∴tan3B=3,∴tan B=,∴B=60°.故选D. 11.CD　∵C=120°,∴A+B=60°,∴2(A+B)=C, ∴tan(A+B)=,∴选项A,B错误; ∵tan A+tan B=(1-tan Atan B)=, ∴tan Atan B=,　① 又tan A+tan B=,　② ∴联立①②解得tan A=tan B=, ∴cos B=sin A,故选项C,D正确. 12.BC　因为tan x1,tan x2是方程x2-kx+2=0的两个不相等的正根, 所以tan x1+tan x2=k,tan x1·tan x2=2, 所以tan(x1+x2)==-k, 所以tan x1+tan x2≥2=2. 因为tan x1≠tan x2,所以k>2.故选BC. 13.　由tan=-,得=-. 由=-,两边平方可得. 解得sin αcos α=. 14.　根据辅助角公式得f(x)=2sin x+cos x=sin(x+φ), 其中sin φ=,cos φ=,tan φ=. g(x)=sin x+2cos x=sin(x+α),其中sin α=,cos α=,tan α=2. 根据题意得g(x)=sin x+2cos x=sin(x+α)=sin(x+φ+θ), 所以α=θ+φ,即θ=α-φ, 所以tan θ=tan(α-φ)=. 15.　∵α+β+γ=π, ∴tan γ=-tan(α+β)=-=-, ∴ =, 当且仅当tan β=,即tan β=时取等号, 所以的最小值为. 16.解 由条件得cos α=,cos β=, ∵α,β为锐角, ∴sin α=,sin β=, ∴tan α=7,tan β=. (1)tan(α+β)==-3. (2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β] ==-1, ∵α,β为锐角,∴0<α+2β<,∴α+2β=. 17.[8,+∞)　由已知得sin A=sin(B+C)=2sin Bsin C, 则sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 两边同除以cos Bcos C,得tan B+tan C=2tan Btan C. ∵-tan A=tan(B+C)=, ∴tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C. ∴tan Atan Btan C=tan A+2tan Btan C≥ 2, 令tan Atan Btan C=x>0, 即x≥2,即x≥8或x≤0(舍去),∴x的最小值为8. 当且仅当tan B=2+,tan C=2-,tan A=4(或tan B,tan C互换)时取等号,此时A,B,C均为锐角.故tan Atan Btan C的取值范围是[8,+∞). 18.解 (1)因为∠ACB=,所以∠NCT=-α. 因为MN与扇形弧PQ相切于点T,所以CT⊥MN. 在Rt△CMT中,因为CT=10,所以MT=10tan α. 在Rt△CNT中,∠NCT=-α, 所以NT=10tan. 所以MN=10tan α+10tan,其中0<α<. (2)因为0<α<,所以0<tan α<, MN=10tan α+10tan=10. 令1+tan α=t,其中1<t<4, 则MN=10=10, 当且仅当t=时,即t=2,α=时,MN有最小值. 故当α=时,步行道的长度有最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $