10.1.3 两角和与差的正切（2）同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

10.1.3 两角和与差的正切（2） 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为(　　) A. B. C. D. 2 在△ABC中，cos A＝，tan (A－B)＝，则tan B的值为(　　) A. B. C. D. 3 若tan (α＋)＝5，则的值为(　　) A. B. C.－ D.7 4 (2025辽宁期中)已知0<β<，0<α<，且cos α＝，sin (α＋β)＝，则tan β等于(　　) A. B.或 C.或 D. 5 (2024安徽月考)五一假期，某景点为了给游客提供便利，在广场大屏幕上滚动播放景区的实时动态信息，已知大屏幕下端B离地面 3.5 m，大屏幕高3 m，若某位游客眼睛离地面 1.5 m，为获得观看的最佳视野(最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值)，则这位游客离大屏幕所在的平面的距离为(　　) A. m B. m C.3 m D.2 m 6 (2025南京期中)已知sin (α＋β)＝3sin (α－β)，tan β＝，则tan (α＋β)等于(　　) A.－ B.－ C. D. 二、多项选择题 7 在△ABC中，若 tan A，tan B，tan C 都是整数，则tan A可能等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 8 (2025南阳期末)已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则下列结论中正确的是(　　) A.sin αcos β＝ B. cos αsin β＝ C.＝5 D. ＝ 三、填空题 9 设α为第二象限角，若sin α＝，则tan (α＋)＝________． 10 已知tan α＝(1＋m)，tan (－β)＝(tan αtan β＋m)，且α，β都是钝角，则α＋β＝________． 11 (2025盐城期中)已知α∈，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝，cos β＝－，则tan α＝________；2α－β＝________． 四、解答题 12 (2024上海月考)已知＝－3. (1) 求tan α的值； (2) 若α，β∈，且cos β＝，求α＋β的值． 13 (2024宿迁期中)在Rt△ABC中，B＝90°，点E，F在边BC上，且BE＝EF＝FC，设BA＝c，BC＝a. (1) 若a＝c，求tan ∠EAF，tan ∠FAC的值； (2) 若a＝3，求tan ∠EAF的最大值． 参 考 答 案 1.B　由sin α＝，且α为锐角，得cos α＝＝＝，则tanα＝＝，所以tan (α＋β)＝＝＝－1.又α∈，β∈，所以α＋β∈，所以α＋β＝. 2.A　因为在△ABC中，cos A＝，所以A为锐角，且sin A＝＝，所以tanA＝＝.因为tan (A－B)＝＝，所以－3tan B＝1＋tan B，解得tan B＝. 3.B　由tan ＝5，得＝5，解得tan α＝，所以＝＝＝. 4.D　因为cos α＝，0<α<，所以sin α＝＝，所以tanα＝＝4.因为0<β<，0<α<，所以α<α＋β<π，又sin (α＋β)＝，所以sin (α＋β)<sin α，所以<α＋β<π，所以cos (α＋β)＝－＝－，所以tan(α＋β)＝＝－，所以tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝. 5.B　如图，AB＝3，BD＝3.5－1.5＝2，设CD＝t，则tan ∠BCD＝，tan ∠ACD＝，所以tan ∠ACB＝＝＝＝≤＝，当且仅当t＝，即t＝时，等号成立．因为∠ACB∈，所以当CD＝时，可以获得观看的最佳视野． 6.D　由sin (α＋β)＝3sin (α－β)，得sin αcos β＋cos αsin β＝3sin αcos β－3cos αsin β，即sin αcos β＝2cos αsin β，所以tan α＝2tan β＝，故tan (α＋β)＝＝＝. 7.ABC　由题意，得tan C＝－tan (A＋B)＝－，即tan C－tan A tan B tan C＝－tan A－tan B，所以tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan B tan C．令A≤B≤C，则0<A≤60°.又tan A为整数，所以tan A＝1，所以1＋tan B＋tan C＝tan B tan C，即(tan B－1)(tan C－1)＝2.因为tan B，tan C为整数，所以tan B＝2，tan C＝3，故tan A所有可能的值为1，2，3.故选ABC. 8.ABC　因为sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝＝，cos αsin β＝＝，故A，B正确；＝＝＝5，故C正确；＝＝＝＝＝5，故D错误．故选ABC. 9.－　因为α为第二象限角，sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝－3，所以tan (α＋)＝＝＝－. 10.　因为tan α＝(1＋m)，tan (－β)＝(tan αtan β＋m)，两式作差，得tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)，即＝，所以tan (α＋β)＝.又因为α，β都是钝角，所以π<α＋β<2π，所以α＋β＝. 11.　－　因为β∈(0，π)，cos β＝－，所以β∈，故sin β＝＝，所以tanβ＝＝－，所以tan (α－β)＝＝＝，解得tan α＝<1，所以α∈，故2α∈.因为β∈，所以－β∈，故2α－β∈(－π，0).因为tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝＝＝1，所以2α－β＝－. 12. (1) 由＝＝－3， 解得tan α＝－. (2) 因为β∈，且cos β＝， 所以sin β＝－＝－，tanβ＝＝－， 则tan (α＋β)＝＝＝－1. 又α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－. 13. (1) 若a＝c，则△ABC为等腰直角三角形， 所以∠BAC＝45°，tan ∠BAE＝，tan ∠BAF＝， 所以tan ∠EAF＝tan (∠BAF－∠BAE)＝＝＝， tan ∠FAC＝tan (45°－∠BAF)＝＝＝. (2) 若a＝3，则tan ∠BAE＝，tan ∠BAF＝， 所以tan ∠EAF＝tan (∠BAF－∠BAE)＝＝＝＝≤＝， 当且仅当c＝，即c＝时，等号成立， 所以tan ∠EAF的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $