精品解析：辽宁本溪市2025～2026学年度(下)八年级期中检测 数学试卷

2025~2026学年度（下）八年级期中检测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 考生注意：请在答题卡上各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列大学校徽主体图案是中心对称图形的是（ ） A. 西南财经大学 B. 北京大学 C. 中国人民大学 D. 中南大学 4. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是 B. 在一次函数中，随着的增大而增大 C. 两直线平行，同旁内角相等 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 7. 如图，一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 10. 如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作于点，下列这些结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③④ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当______时，分式的值为0． 12. 知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是____________． 13. 一次函数中两个变量x，y的部分对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 7 5 3 1 … 那么关于x的不等式的解集是________． 14. 如图，在中，，，平分交于点D，点E是射线上的动点，连接，的平分线与交于点P，若，则的度数为________． 15. 如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为________________ ． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 因式分解： （1） （2）． 17. 计算： （1）解不等式组：． （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为1，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移5个单位后得到对应的，请画出平移后的； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的，请画出旋转后的； （3）在轴上找一点P，使的周长最小，则点P的坐标为 ． 19. 2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 20. 如图，已知在中，，平分交于点，过点作于点，交于点，且． （1）证明：垂直平分； （2）在（1）的条件下，若是边的中点，连接与相交于点．请猜想，，之间的数量关系 ． 21. 阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：__________； （2）求的最小值； （3）若，求的最小值． 22. 中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣． 【发现】 某兴趣小组从赵爽弦图（图1）中提炼出三角形全等的模型图（图2），由图中可以通过推理得到，我们可以把这个数学模型称为“一线三垂直”模型；“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）如图3，在中，，，过点B作，过点A作，垂足分别为点E，D．猜想与，之间的数量关系，并说明理由； （2）【类比】如图4，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积． （3）【拓展】如图5，中，，，将绕点顺时针旋转，得，连接，则的面积为 ． 23. 【知识回顾】本册第二章教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 （1）如图1，观察图象，不等式的解集是 ． （2）如图2，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点B和点C结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围 ． 【拓展延伸】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴、轴分别交于点C、D，与直线交于点M，点P在直线上，过点P作轴，交直线于点Q．点B、点O恰好关于点D对称． ①如果线段的长为，求点P的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，请直接写出所有符合条件的整点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度（下）八年级期中检测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 考生注意：请在答题卡上各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，掌握形如（、是整式，且中含有字母）的式子叫做分式是解题的关键．根据分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、的分母是常数，不含字母，不是分式； B、的分母是常数，不含字母，不是分式； C、的分母是含字母的整式，符合分式定义，是分式； D、的分母是常数，不含字母，不是分式． 故选：C． 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质逐个判定选项即可． 【详解】解：∵ A选项：根据不等式性质1，两边加不等号方向不变，得，故A错误． B选项：根据不等式性质1，两边减不等号方向不变，得，故B错误． C选项：根据不等式性质3，两边乘负数不等号方向改变，得，故C正确． D选项：根据不等式性质2，两边除以正数不等号方向不变，得，故D错误． 故选：C． 3. 下列大学校徽主体图案是中心对称图形的是（ ） A. 西南财经大学 B. 北京大学 C. 中国人民大学 D. 中南大学 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．是中心对称图形，故本选项符合题意． 4. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确的计算；根据不等式的解法分别算出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小大小去中间，大大小小无解”得到不等式组解集，并表示在数轴上即可得到答案； 【详解】解：由，得：， 由，得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 故选：C． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是 B. 在一次函数中，随着的增大而增大 C. 两直线平行，同旁内角相等 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点坐标的意义、一次函数的性质、平行线的性质及平行公理．逐一判断各选项的真假，A中点到轴的距离应为纵坐标的绝对值，B中一次函数斜率负则随着增大而减小，C中平行线同旁内角互补而非相等，D为平行公理的推论． 【详解】解：A、点到轴的距离是，故A为假命题； B、一次函数的，则随着的增大而减小，故B为假命题； C、两直线平行，同旁内角互补，而非相等，故C为假命题； D、平行于同一条直线的两条直线平行，故D为真命题； 故选：D． 7. 如图，一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据图象，可以得到当时，，y随x的增大而减小，即可得到不等式的解集． 【详解】解：由图象可得， 当时，，y随x的增大而减小， ∴不等式的解集为， 故选：A． 8. 在中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，可结合三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项：∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，即， ∴ 是直角三角形，不符合题意； B选项：∵ ， ∴ 最大角， ∴ 不是直角三角形，符合题意； C选项：∵ ， 整理得 ， 由勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意； D选项：∵ ，设，，，则，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意． 9. 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、勾股定理，连接，由三角形内角和定理求出，根据作法得平分，垂直平分，得，，从而证明，，由三角形外角的性质求出，进而求出，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 由作法得平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则即， 解得． 故选：B． 10. 如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作于点，下列这些结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、垂直的定义、三角形外角的定义和性质、等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握相关知识是解题的关键．结合题意证明，，结合，可证明，可判定结论①；证明为等腰三角形，再结合角平分线的性质定理可得，可知，即可判定结论④；过点作于点，结合角平分线的性质定理可得，结合三角形面积公式可得，即可判断结论②；无法证明，故结论③不正确． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴，故结论④正确； 如下图，过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴，故结论②正确； 无法证明，故结论③不正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：A． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当______时，分式的值为0． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为0的条件． 分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：且， 故答案为：8． 12. 知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是____________． 【答案】-6 【解析】 【分析】将原式提取公因式进行因式分解，然后代入求值． 【详解】解：x2y+xy2=xy（x+y）=-3×2=-6 故答案为：-6． 【点睛】本题考查提取公因式进行因式分解，掌握提取公因式的技巧正确计算是解题关键． 13. 一次函数中两个变量x，y的部分对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 7 5 3 1 … 那么关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，根据表格可知，随着的增大而减小，且时，，进而得到当时，，即可． 【详解】解：根据表格可知，随着的增大而减小，且时，， ∴当时，， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，平分交于点D，点E是射线上的动点，连接，的平分线与交于点P，若，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】当在线段上时，由角平分线定义求出，由直角三角形的性质求出，得到，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数；当在的延长线上时，求出，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：当在线段上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ； 当在的延长线上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， 综上所述，或． 15. 如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，连接，过点D作于点E，利用旋转的性质证明，得到当点P与点E重合时，最短，即为的长，再根据直角三角形角的性质即可求解． 【详解】解：在上截取，连接，，过点D作于点E，如图， 由题意可得：， 由旋转的性质可得：，， ，即， 又， ， ， 当最短时，最小． 当点P与点E重合时，最短，即为的长． ， ， ． ， ， ， ， ∴则长的最小值为． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 因式分解： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ＝ ＝ ＝ 17. 计算： （1）解不等式组：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先分别解出每一个不等式，再根据不等式组的解集规则，同大取大，同小取小，大小小大中间找找到不等式组的解集即可； （2）先化简再代入求值即可 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为； （2）原式 ， 当时，原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为1，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移5个单位后得到对应的，请画出平移后的； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的，请画出旋转后的； （3）在轴上找一点P，使的周长最小，则点P的坐标为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移方式得到对应点，顺次连接即可； （2）根据旋转方式得到对应点，顺次连接即可； （3）根据轴对称的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问3详解】 解：如图，点即为所求， 理由如下：∵与点关于轴对称， ∴， ∴， 当共线时，取得最小值， ∴点即为所求， 设直线的解析式为，把代入得到， 解得 ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． 19. 2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）至少购进5台A型智能机器人． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购进A型a台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购进A型a台，B型台， 由题意得，， 解得，， 故满足要求的最小整数解为：． 答：至少购进5台A型智能机器人． 20. 如图，已知在中，，平分交于点，过点作于点，交于点，且． （1）证明：垂直平分； （2）在（1）的条件下，若是边的中点，连接与相交于点．请猜想，，之间的数量关系 ． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，则，结合对顶角相等可得，得到．结合平分可证明，则，得证； （2）连接，由等腰三角形的性质可得垂直平分，则，由勾股定理可得，因此． 【小问1详解】 证明：， . ， ， ， . 在和中， ， ， . ， 又， ， ，即， . 平分， （角平分线的性质）. 在和中， ， ， （全等三角形对应边相等）， 垂直平分. 【小问2详解】 如图，连接， ∵，是边的中点， ∴，即垂直平分， ∴， 由（1）可知，， 在中，， ∴． 21. 阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：__________； （2）求的最小值； （3）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）仿照①因式分解即可； （）仿照②解答即可； （）由已知得，即得，再仿照②解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，因式分解，非负数的性质，掌握配方法是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ∵是非负数，即， ∴， ∴代数式的最小值是； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 22. 中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣． 【发现】 某兴趣小组从赵爽弦图（图1）中提炼出三角形全等的模型图（图2），由图中可以通过推理得到，我们可以把这个数学模型称为“一线三垂直”模型；“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）如图3，在中，，，过点B作，过点A作，垂足分别为点E，D．猜想与，之间的数量关系，并说明理由； （2）【类比】如图4，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积． （3）【拓展】如图5，中，，，将绕点顺时针旋转，得，连接，则的面积为 ． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可得到结论； （2）作于点证明，得到，根据三角形面积公式即可求出答案； （3）过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，证明即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵在中，， ∴， ∵过点B作，过点A作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：如图，作于点 ∴， ∵将斜边绕点逆时针旋转至， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴的面积． 【小问3详解】 如图，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，则， ，， ， 由旋转得，，， ，， ， 在和中， ， ． 23. 【知识回顾】本册第二章教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 （1）如图1，观察图象，不等式的解集是 ． （2）如图2，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点B和点C结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围 ． 【拓展延伸】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴、轴分别交于点C、D，与直线交于点M，点P在直线上，过点P作轴，交直线于点Q．点B、点O恰好关于点D对称． ①如果线段的长为，求点P的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，请直接写出所有符合条件的整点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）①点坐标为或；②，，， 【解析】 【分析】（1）观察两条直线可知从交点向右直线在上方，解答即可； （2）先求出两条直线的交点，可知从交点向右直线在上方，且在x以下，即可求出答案； （3）先求出直线的关系式，再设点，则点，可得，当求出解即可；分别求出和时的解，再根据在交点的两边都有符合题意的部分得出当或时，，然后求出整数解即可． 【小问1详解】 解：当时，，即， 所以不等式的解集是； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ∴当时，； 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， 即点， ∴当时，， ∴当时，， ∴当时，， 即自变量的取值范围是； 【小问3详解】 解：当时，， ∴点． ∵点B，点O恰好关于点D对称， ∴点． ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线：． 设点，则点， ∴． ①∵， ∴， 解得或，则或， ∴点P的坐标为或； ②时，解得或； 时，解得或， 则当或时，， 所以或，则， 整点P的坐标是，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $