精品解析：辽宁省本溪市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024-2025年度（下）八年级期中检测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，注意：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变．根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．由可得，故A选项不符合题意； B．由可得，故B选项不符合题意； C．由可得，所以，故C选项符合题意； D．由可得，故D选项不符合题意． 故选：C． 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了多项式因式分解．根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 4. 如图，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据确定不等式组解集的原则确定出不等式组的解集，再在数轴上表示出这个解集即可求解． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴， 在数轴上表示不等式组的解集为： 故选：C． 5. 如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先利用直线的解析式确定A点的坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】把代入得 ， 解得， 由函数图象可知，当时，， 故选：D． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 对顶角相等 B. 有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形 C. 不相交的直线一定平行 D. 9的算术平方根是3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查真假命题的判断，熟练掌握对顶角的性质，等腰三角形的判定和算术平方根定义是解题的关键，根据以上性质和定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、对顶角相等，故此项正确； B、若三角形两条边上的高相等，则对应两边相等（由面积公式推导），所以三角形是等腰三角形，故此项正确； C、在同一平面内，不相交的直线一定平行，故此项错误； D、9的算术平方根是3，此项正确； 故选：C． 7. 如果，那么代数式的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据分式混合运算的法则进行化简，再把整体代入即可. 详解：原式， ∵， ∴原式． 故选A. 点睛：考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键. 8. 如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E.若，则BD的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作，根据角平分线的性质得出，再由等角对等边得出，由勾股定理即可求解． 【详解】解：过点D作，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质，等角对等边及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 9. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中． 设，则．先根据折叠的性质和平行线的性质，得，则，然后在直角三角形中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则． 根据折叠的性质，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 在直角三角形中，根据勾股定理，得 ， 解得． 故选：C． 10. 在中，，，点是线段上一动点，作射线，点关于的对称点为，直线与相交于点，连接，下面结论正确的个数是（ ） ①线段；②当时，的面积是；③随着点的移动，的角度不变；④线段的长度最大值是12． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用轴对称变换的性质判断①；过点作于点F，证明是等边三角形，求出长，再利用三角形面积公式求的面积，即可判断②；证明，即可判断③；根据两点之间线段最短得，可判断④． 【详解】解：∵点关于的对称点为， ∴由轴对称变换性质可知，故①正确； 如图，过点作于点F． 当时，由轴对称变换性质得， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ，故②错误； ∵，， ， ，， ，，， ， ， 定值，故③正确； ∵， 的最大值为12，故④正确． ∴正确的有①③④关，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，，则多项式____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将因式分解得，再把已知条件代入即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 12. 一次知识竞赛中共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小李有1道题没答，竞赛成绩不少于38分，则小李至少答对了_____________道题． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设小李答对了x道题，则答错了道题，根据总分答对题目数答错题目数，结合总分不少于38分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论． 【详解】解：设小李答对了x道题，则答错了道题， 根据题意，得 解得： ∵x为整数， ∴的整数 即小李至少答对了8道． 故答案为：8． 13. 已知关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键． 先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据不等式组只有3个整数解得出答案即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴不等式组解集为，3个整数解为0，1，2． ∴． 故答案为：． 14. 如图，已知在四边形内，，，，，则_________________． 【答案】##138度 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长到点，使，连接，证明，即可得到，可得为等边三角形，再得到的角度，利用等腰三角形的性质得到，即可得到，进而根据三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点为的中点，点在射线上，连接，，当为等腰三角形时，线段的长是______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的定义．先证明为等边三角形，然后分当，当时，两种情况分析即可． 【详解】解：中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， 当，如图，过作于， ∴， ∴， 在中，， ∴， 当，如图，过作，交延长线于， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 综上可知：的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）因式分解； （2）因式分解； （3）解不等式组． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，求不等式组的解集，熟练掌握因式分解的方法和不等式组的解法是解答本题的关键． （1）先提取公因式，再用完全平方公式分解； （2）先用完全平方公式分解，再用平方差公式分解； （3）分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可； 【详解】解：（1） （2） （3）， 由①得， 由②得 在同一数轴上表示不等式①②的解集为 原不等式组的解集为． 17. 先化简再求值：，其中． 【答案】,0 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得． 【详解】 ． 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确的计算是解题的关键． 18. 如图，的顶点坐标分别为． （1）请画出以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后得到； （2）请画出关于点O的中心对称图形，直接写出坐标_______； （3）利用网格做出线段的中点P（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析；点坐标为 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转和中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质，矩形的性质，找出对应点位置是解题的关键． （1）根据旋转的性质找出点B，C的对应点的位置，顺次连接即可； （2）根据中心对称的性质找出点A，B，C的对应点的位置，顺次连接即可． （3）连接，交于点P，则点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形，点坐标为； 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求作的点． ∵四边形为矩形， ∴． 19. 某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为师生的午餐，这两种食品每包的营养成分表如下： （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选取，两种食品各多少包？ （2）若每份午餐选取这两种食品共5包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选取这两种食品？ 【答案】（1）应选用A种食品3包，B种食品1包 （2）应选取A种食品3包，B种食品2包 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设选用A种食品m包，则选用B种食品包，根据要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设每份午餐的总热量为，利用每份午餐的总热量每包A种食品的热量选用A种食品的数量每包B种食品的热量选用B种食品的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得：， 解得， 答：应选用A种食品3包，B种食品1包； 【小问2详解】 解：设选用A种食品m包，则选用B种食品包， 根据题意得：， 解得：． 设每份午餐的总热量为，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，此时． 答：应选取A种食品3包，B种食品2包． 20. 【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． 【类比推理】（1）已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：____________． 【应用公式】（2）①因式分解：． ②因式分解：． 【拓展提升】（3）如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则_____________． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）13． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、多项式乘多项式，勾股定理，关键在于熟练掌握因式分解的方法． （1）根据题意，类比推理即可； （2）①先提取公因式x，再利用立方和公式即可； ②利用分组分解法先分组，再利用立方差公式，然后提取公因式即可； （3）由勾股定理，得，由图可得：，，，代入，求解即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：． （2）① ； ② ． （3）由勾股定理，得， 由图可得：，，， ∵ ∴ ， 即． 故答案为：13． 21. 如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，再由，，可得． （2）先根据证明，即可得到，然后证明即可得到结论． 【小问1详解】 是等边三角形 ， ， 由旋转的性质得 ∴ ． 【小问2详解】 由旋转的性质得， 是等边三角形， ，， ， ， 22. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中，，，，为线段上一点． 【初步感知】 （1）如图1，连接，将绕点逆时针旋转90°至，连接，，求的度数； 【深入探究】 （2）、、三边满足什么数量关系？并证明． （3）如图2，将沿折叠至．射线、射线交于点，若时，求的长度． 【答案】（1） （2），证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）先证明，由旋转的性质得，证明得，进而可求出的度数； （2）由全等三角形的性质得，在中，求出，在中，求出，进而可得； （3）证明得，求出，可证，设，则，，然后在中利用勾股定理求解即可 【小问1详解】 解：，，， ， ， ， 由旋转的性质得， ， ， 即， ， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， 在中，， 由勾股定理得，， ， 在中，， 由勾股定理得，， ， ； 【小问3详解】 解：过点作， 折叠， ∴， ， ∴， ， ， ，，， 折叠， ， ， ， ， ， 设， 则， ， 在中，， 由勾股定理得，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，旋转的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 23. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ． （2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． （3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即 解得 一次函数的“不动点”为 【小问2详解】 解：根据定义可得，点在上， 解得 点又在上， ， 又 解得 【小问3详解】 直线上没有“不动点”， 直线与平行 ，令， 令，则 设 即或 解得或 或 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年度（下）八年级期中检测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 对顶角相等 B. 有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形 C. 不相交的直线一定平行 D. 9的算术平方根是3 7. 如果，那么代数式的值为 A. B. C. D. 8. 如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E.若，则BD的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 9. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 在中，，，点是线段上一动点，作射线，点关于的对称点为，直线与相交于点，连接，下面结论正确的个数是（ ） ①线段；②当时，的面积是；③随着点的移动，的角度不变；④线段的长度最大值是12． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，，则多项式____________． 12. 一次知识竞赛中共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小李有1道题没答，竞赛成绩不少于38分，则小李至少答对了_____________道题． 13. 已知关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是______________． 14. 如图，已知在四边形内，，，，，则_________________． 15. 如图，在中，，，，点为的中点，点在射线上，连接，，当为等腰三角形时，线段的长是______________． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）因式分解； （2）因式分解； （3）解不等式组． 17. 先化简再求值：，其中． 18. 如图，的顶点坐标分别为． （1）请画出以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后得到； （2）请画出关于点O的中心对称图形，直接写出坐标_______； （3）利用网格做出线段的中点P（保留作图痕迹）． 19. 某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为师生的午餐，这两种食品每包的营养成分表如下： （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选取，两种食品各多少包？ （2）若每份午餐选取这两种食品共5包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选取这两种食品？ 20. 【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． 【类比推理】（1）已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：____________． 【应用公式】（2）①因式分解：． ②因式分解：． 【拓展提升】（3）如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则_____________． 21. 如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）求证：． 22. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中，，，，为线段上一点． 【初步感知】 （1）如图1，连接，将绕点逆时针旋转90°至，连接，，求的度数； 【深入探究】 （2）、、三边满足什么数量关系？并证明． （3）如图2，将沿折叠至．射线、射线交于点，若时，求的长度． 23. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ． （2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． （3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $