命题大赛 浙江高一数学下学期阶段测试2025-2026学年（人教A版必修第二册第八章）

**基本信息** 高一数学立体几何初步单元卷，适配周测/单元复习，覆盖空间几何体结构、体积表面积、线面关系等核心知识，原创题与实际情境结合，考查空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|圆柱圆锥结构、直观图面积、异面直线关系|如第3题考查直观图还原，第5题辨析充分必要条件| |多选题|3/18|棱柱棱台性质、圆锥侧面展开、翻折问题|第11题结合翻折动态分析线面角与距离| |填空题|3/15|圆台组合体（花盆）、正方体表面轨迹（原创）|第12题联系徐汇滨江鲜花展实际情境| |解答题|5/77|几何体体积表面积、线面平行垂直证明、二面角计算|第19题探究动点线面角最值，培养创新意识|

细目表 题号 难度系数 详细知识点 一、单选题 1 0.85 圆柱的结构特征辨析；圆锥的结构特征辨析；圆台的结构特征辨析；棱台的结构特征和分类 2 0.85 棱柱的结构特征和分类；棱锥的结构特征和分类；圆台的结构特征辨析 3 0.85 由直观图还原几何图形；斜二测画法中有关量的计算 4 0.75 台体体积的有关计算 5 0.85 判断命题的充分不必要条件；异面直线的概念及辨析；异面直线的判定 6 0.65 异面直线所成角的计算 7 0.55 证明面面垂直；求二面角；线面垂直证明线线垂直；面面垂直证线面垂直 8 0.45 面面平行证明线线平行；空间中的点共线问题 二、多选题 9 0.62 圆柱的结构特征辨析；判断几何体是否为棱柱；圆台的结构特征辨析；棱台的结构特征和分类 10 0.62 圆锥表面积的有关计算；锥体体积的有关计算；圆锥的展开图及最短距离问题 11 0.65 求点面距离；求线面角；求异面直线所成的角 三、填空题 12 0.65 圆台表面积的有关计算；圆台的结构特征辨析 13 0.5 动点的轨迹问题 14 0.4 异面直线的判定 四、解答题 15 0.72 求组合多面体的表面积；求组合体的体积 16 0.72 证明线面平行；证明线面垂直 17 0.62 圆锥表面积的有关计算；锥体体积的有关计算 18 0.56 求线面角；求二面角；证明线面垂直 19 0.4 求点面距离；求线面角；证明线面垂直 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景：周测/单元测 高一数学下学期单元测试 第八章 立体几何初步 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）下列命题中为真命题的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台 C．棱台的侧面都是等腰梯形 D．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 2．（本题5分）下列说法正确的是（   ） A．正四棱锥的侧面均为等边三角形 B．正四面体的高为其棱长的倍 C．以直角三角形的一边所在直线为轴，旋转一周所得的旋转体是圆锥 D．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 3．（本题5分）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（    ） A．12 B． C． D．24 4．（本题5分）一圆台的上底面半径为，下底面半径为，若母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（     ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知命题：，为异面直线，命题直线，不相交，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（本题5分）（原创）已知长方体，，E是 的中点，则异面直线与D所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 7．（本题5分）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（     ） ①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 8．（本题5分）如图，四边形是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则截面四边形的周长的最小值为（   ） A． B．5 C． D．10 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列关于空间几何体的论述，不正确的是（ ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 10．（本题6分）如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于、的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 D．三棱锥的体积的最大值为 11．（本题6分）如图，在矩形中，，，将三角形沿直线翻折得到三角形，在翻折过程中，下列说法正确的是（    ） A．存在某个位置，使得三棱锥的外接球半径大于 B．存在某个位置，使得异面直线与的所成的角为 C．点到平面的距离的最大值为 D．直线与平面所成角的正弦值最大为 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）徐汇滨江作为2025年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上、下底面直径分别为和，下面圆台的上、下底面直径分别为和，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为，则该花盆上、下两部分母线长的总和为______________cm。 13．（本题5分）（原创）已知正方体，，O是AB的中点，动点P在表面上运动，且，则点P 的轨迹长度是________________。 14．（本题5分）如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）如图，某几何体上面部分是一个正四棱锥，下面部分是一个长方体，． (1)若，该几何体的体积为192，求正四棱锥的高； (2)若，求该几何体的表面积． 16（本题15分）如图，已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，，，分别为，，的中点． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 17．（本题15分）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． (1)求圆锥的体积； (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高． 18．（本题17分）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 19．（本题17分）已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离； (3)若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学下学期单元测试 第八章 立体几何初步 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B C C A A D D ABC ACD BC 1．A 【详解】对于A选项，圆柱的侧面展开图是一个矩形，正确； 对于B选项，用一个平行于底面的平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台，错误； 对于C选项,只有正棱台的侧面才是等腰梯形，错误； 对于D选项, 以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，错误. 2．B 【详解】因为正四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形，故A错； 设棱长为a，正四面体的高是从一个顶点垂直于对面的高度， 所以底面的等边三角形的高为， 底面的重心将高分为， 又正四面体的高h与侧棱a和底面重心到顶点的距离构成直角三角形： 所以，故B对； 当以直角三角形的一条直角边为轴旋转，得到圆锥， 当以斜边为轴旋转，得到两个圆锥的组合体，故C错； 当平行于底面的平面截圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台， 不平行于底面的平面截圆锥，无法得到圆台，故D错；故选：B 3．C 【详解】由题意得，所以矩形的面积为， 由原图形面积与直观图面积的比例关系，可知原图形的面积是. 4．C 【详解】已知圆台的上底面半径为，即，下底面半径为，即，母线与底面的夹角为， 由于圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示，由题意得，， 因此圆台的高， 由圆台的体积公式得. 5．A 【详解】若，为异面直线，则直线，不相交，充分性成立， 若，不相交，则直线，可能平行或异面，故不一定能推出，必要性不成立． 故是的充分不必要条件. 6．A 长方体中，延长到F，使得EF=4，则，则（或其补角）就是异面直线与D所成角。，，， ，所以异面直线与D所成角的余弦值是 7．D 【详解】由题意，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 所以四边形为平行四边形，则周长， 沿将相邻两四边形展开， 当，，三点共线时，最小，最小值为5， 所以周长的最小值为10. 8．D 【详解】对于①，因为，所以. 因为，所以，又， 所以，即. 因为平面平面，平面平面，， 所以平面. 若平面平面，由于平面平面， 过点作，则平面，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾，所以①错误； 对于②，由于，若，因为，平面， 所以平面，又平面，所以，这与矛盾，所以②错误； 对于③，因为平面，平面，所以. 又因为是等腰三角形，，所以. 因为平面，所以平面平面，所以③ 正确； 对于④，由③可知平面，则为二面角的平面角， 设，则，由， 得，得，所以④正确. 9．ABC 【详解】对于A，如图1利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件， 但该几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，如图2该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形， 但该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误； 对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形， 这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得， 轴截面包含上下底面的直径和母线形成对称的等腰梯形， 故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确． 10．ACD 【详解】对于C，由圆锥的侧面积为，得圆锥的母线长，侧面展开图弧长， 因此圆锥的侧面展开图的圆心角，C正确； 对于A，侧面展开图扇形圆心角，点在上且，则， 在展开后的扇形中，与（对应底面同一点）的圆心角为， 最短路径为线段，且，A正确； 对于B，设圆锥的高，该圆锥的体积为，B错误； 对于D，由圆的几何性质知，由勾股定理得， 由基本不等式得，则， 当且仅当，即当时取等号， 此时，因此，D正确. 11．BC 【详解】连接交于点，过作，垂足为，过作，垂足为， 记关于的对称点为，过作平面，设垂足为，则点在直线上，连接. 对A，因为，因此三棱锥的外接球半径为，选项A错误. 对B，因为，则，又因为， 则为等边三角形，则， 则，， 则，，则易知，则， 因为，因此平面，因此即为直线与所成角， 因为平面，所以 ，又， 则当时，，选项B正确. 对C，记为点到平面的距离，为点到平面的距离， 因为，，因此， 当平面 平面时取等号，此时点与图中点重合，故C正确； 对D，法一：注意到当落在线段时，直线与平面所成角有最大值，记此时，， 则有， 于是，令，则， 则化简知. 当且仅当时等号成立，于是最大值为，选项D错误. 法二：设关于直线的对称点为，的中点为.点在直线上的投影为， 点在平面上的投影为，则一定在线段的内部或端点上. 同A选项方法易知， 由于，，故. 设，由于，故. 而，， 故. 据相似三角形知识有，故. 由于，，故，而，所以四边形是平行四边形. 从而. 这就得到了. 由于点在平面上的投影为，故直线与平面所成角的大小就是. 而， 且由于当时，有， 故此时有 . 这表明当时，直线与平面所成角的正弦值大于，故D错误. 故选：BC. 12． 【详解】设上面圆台的母线长为，上面半径为下半圆半径为高为， 根据圆台的母线长公式，代入数值计算得到； 设下面圆台的母线长为，上面半径为下半圆半径为 由于两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等，可以得到，代入数值计算得到； 所以该花盆上､下两部分母线长的总和为. 故答案为： 13． 当点P内时，P是以的中点为圆心，1为半径的半圆，此时点P的轨迹长度为 当点P内时，P是以的中点为圆心，1为半径的半圆，此时点P的轨迹长度为 当点P内时，P是以为圆心，2为半径的圆，此时点P的轨迹长度为 当点P内时，P是以为圆心，2为半径的圆，此时点P的轨迹长度为， 所以点P的轨迹长度为 14．5 【详解】连接， 因为六边形为正六边形，所以， 故，所以四点共面，不是异面直线， 同理可得：与共面，不是异面直线， 而，又与相交， 故条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为， 其余面对角线均与异面，分别为，共5条. 故答案为：5 15．(1)，(2) 【详解】（1）设正四棱锥的高为，因为该几何体的体积为192， 所以；（…………6分） （2）在等腰三角形中，底边上的高为，（…………9分） 所以该几何体的表面积为： .（…………13分） 16．(1)证明见解析，(2)证明见解析 【详解】（1）以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，（…………2分） 令，则，，，，，， ，平面的法向量为，（…………4分） ，平面，（…………6分） 平面．（…………7分） （2），， ，（…………10分） ，，， ，．（…………12分） 平面， 平面．（…………15分） 17．(1)，(2)最大值为，此时圆柱的高为. 【详解】（1）设圆锥的母线长为，底面半径为，高为. 已知母线长，圆锥侧面展开图为半圆， 因此半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，代入，得，（…………3分） 圆锥的高.（…………5分） 因此圆锥的体积为.（…………7分） （2）设圆柱的底面半径为，高为. 由相似三角形（小圆锥的轴截面与原圆锥的轴截面相似）， 可得比例关系.（…………10分） 圆柱侧面积公式为，代入得（…………12分） 这是关于的开口向下的二次函数，当时，二次函数取得最大值， 代入得最大侧面积.（…………14分） 因此圆柱侧面积的最大值为，此时圆柱的高为.（…………15分） 18．(1)证明见解析，(2)，(3) 【详解】（1）如图，取的中点，连接，． 因为为等边三角形，所以， 又在等腰梯形中，为的中点， 可知为等腰梯形的高，故，（…………3分） 又，，平面，所以平面，得． 因为，，且， 故， 又，，，（…………5分） 所以．（…………6分）    （2）在平面内，作于点，连接． 由（1）易知，从而为二面角的平面角．（…………8分） 易知，则，（…………10分） 所以，（…………11分） 所以，即二面角的余弦值为．（…………12分） （3）设到平面的距离为． 易知，即，（…………14分） 即，解得．（…………15分） 设直线与平面所成的角为，则．（…………17分） 19．(1)证明见解析，(2)， (3)点E在线段上靠近点D的四等份点处，此时最大角的正弦值， 【详解】（1）∵点P在底面上的射影是与的交点O， 所以平面，（…………2分） 因为平面，所以，（…………4分） 因为四边形为菱形，所以， 因为，⊂平面， 所以平面．（…………5分） （2）由题意可得，与都是边长为2的等边三角形， ， 则 ，（…………7分） 所以， 作，所以， 则，（…………8分） 设点D到平面的距离为，由，则 即 解得 故点D到平面的距离为 ；（…………10分） （3）设直线与平面所成的角为， 因为平面， 所以E到平面的距离即为D到平面的距离， 过E作垂线平面交平面于点，则，（…………12分） 此时 ,要使最大，则需使最小，此时（…………13分） 由题意可知 ， ∵平面，且 ， 所以（…………14分） 在△PAD中，由余弦定理可得： ， 所以 ， 则 ，，（…………16分） ，， 即点E在线段上靠近点D的4等份点处，此时.（…………17分） 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $