精品解析：2026年河北省张家口市二模数学试题

2026年河北省初中学业水平考试第二次模拟调研 九年级数学 注意事项： 1．共有三个大题，24个小题，满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，相反数比本身大的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，结合不等式推导得出符合条件的数为负数，再对比选项得到答案． 【详解】解：设这个实数为，则的相反数为． ∵相反数比本身大 ∴ 移项整理得， 即， ∴符合条件的数是负数，选项中只有是负数． 2. 下列数中，不满足不等式的的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先求解不等式得到的取值范围，再对比选项中的数找出不满足条件的数即可． 【详解】解：解不等式 ∵ 移项得 ∴不等式的解集为 选项中，，都满足，只有不满足，因此不满足不等式的是． 3. 一个等边三角形的对称轴共有(　　) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 6条 【答案】C 【解析】 【详解】等边三角形三线合一，所以等边三角形每条边的垂直平分线均为对称轴，等边三角形三边的垂直平分线共有3条，故对称轴的条数是3条．故选C 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类型、积的乘方、同底数幂的乘除法，根据相关运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故该选项不符合题意； B、，原计算错误，故该选项不符合题意； C、，原计算正确，故该选项符合题意； D、，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，正方形与平行四边形的一边重合．若平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质，平行四边形的性质，角的平分线求解即可； 【详解】解：因为正方形与平行四边形的一边重合， 所以，， 因为平分， 所以， 所以． 6. 2026年，中国“嫦娥九号”月球南极采样返回任务取得圆满成功，科学家在样品中发现了一种新型矿物，其晶体尺寸仅为0.00000003米．数据“0.00000003”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 7. 如图，2026年为丙午马年，央视2026马年春晚主标识由四匹拾级而上的骏马组成，象征国人齐头并进、稳步登高．从数学角度看，四匹马之间的图形变换关系为（ ） A. 中心对称 B. 位似 C. 平移 D. 旋转 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移. 8. 如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反射原理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可； 【详解】解：如图，设平面镜所在直线与y轴交于点C，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴， 则， 故， 因为， 故， 故， 根据正方形的性质，得是小正方形的对角线， 所以， 所以是小正方形的对角线， 故， 故, 故反射光线与轴交于点； 9. 在2，6，，6这一组数中，平均数、中位数、众数至少有两项相等，下列两位同学给出的的值合适的是（ ） 嘉嘉：的值可以为2． 淇淇：的值可以为6． A. 只有嘉嘉 B. 只有淇淇 C. 两人都不合适 D. 两人都合适 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算和时这组数据的平均数、中位数、众数，判断是否满足至少两项相等，即可得到结论． 【详解】解：嘉嘉的说法：当时，这组数据为，平均数， 将数据从小到大排序后，中位数为， 平均数等于中位数，满足至少两项相等，嘉嘉的说法正确； 淇淇的说法：当时，这组数据为， 将数据从小到大排序后，中位数为，众数为， 中位数等于众数，满足至少两项相等，淇淇的说法正确； 因此两人都合适． 10. 已知a，b，c均为正数，且满足，则下列关系式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过对等式移项分解因式，结合a，b，c为正数的条件，推导出正确结论． 【详解】解：将已知等式移项整理得：， 利用平方差公式分解前两项，提取后两项公因式得：， 提取公因式得：， ∵，，均为正数， ∴， ∴， 即， 因此一定正确的关系式是． 11. 嘉嘉用硬卡纸做了一个骰子，六个面上分别标有六个数字，投掷两次，结果如图所示．从第二次投掷结果开始将骰子向右滚动，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，……，按照这样的规律，经过103次滚动后，朝下一面的数字为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据分析，4和3相对，6和5相对，1和2相对，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，第三次滚动后写有数字3的一面朝下，第四次滚动后写有数字5的一面朝下，第五次滚动后写有数字4的一面朝下，每滚动4次回到初始位置，结合，求解即可； 【详解】解：根据题意，得4和3相对，6和5相对，1和2相对，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，第三次滚动后写有数字3的一面朝下，第四次滚动后写有数字5的一面朝下，第五次滚动后写有数字4的一面朝下，每滚动4次回到初始位置， 因为， 所以朝下一面的数字为3； 12. 已知二次函数．若，点，在该二次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的增减性求解即可； 【详解】∵点在二次函数的图象上， ，， ． ，， ， ． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算的结果为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据同分母分式加减法的运算法则进行计算，即可求出答案． 【详解】解：原式==1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了同分母分式的加减，解题的关键是熟练掌握同分母分式加减的运算法则． 14. 若为正整数，且满足，则数轴上表示的数的点为______．（填字母） 【答案】 【解析】 【分析】通过平方法估算的范围即可求解． 【详解】解：，， ∵， ∴，即， ∵为正整数，且满足， ∴， ∴数轴上表示的数的点为． 15. 如图，甲、乙二人分别从地前往地，若A，B两地之间的距离为7千米，甲行走的路线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 【答案】8（答案不唯一） 【解析】 【分析】设乙走的路程为x千米，根据题意，得，且x是整数，求解即可； 【详解】解：设乙走的路程为x千米，根据题意，得，且x是整数， 故乙走的路程是8千米或9千米或10千米； 16. 如图，在中，，点在轴上，点在轴上，轴，平分，交于点，反比例函数的图象经过点，与交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于点，交于点，设点，由条件可知，则有，证明，所以，即，则，即，设，则，所以，然后解方程即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点，交于点， 设点， 由条件可知，， ， 轴，轴， ， ， ，即， ，即， 设，则， ，解得或（舍去）， ， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 嘉嘉利用“”形格玩填数字游戏．如图，这是嘉嘉所填数字的情况． （1）求图中所有数的和． （2）若横行的三个数的和与竖行的三个数的和相等，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将图中所有数相加即可； （2）根据“横行的三个数的和与竖行的三个数的和相等”列方程求解即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：由题意，得， 整理，得， 解得． 18. 淇淇和老师玩计算游戏，规定给出实数数对时，根据公式来计算．例如：给出实数数对时，计算结果为． （1）老师给出实数数对，淇淇计算如下： ……第一步 ……第二步 ．……第三步 淇淇上述计算过程中，第__________步开始出错，正确结果为__________． （2）若实数数对为，请根据公式计算出对应的结果． 【答案】（1）二；20 （2） 【解析】 【分析】（1）根据混合运算求解即可． （2）根据混合运算求解即可． 【小问1详解】 解：给出实数数对，计算如下： ． 【小问2详解】 解：实数数对为，计算如下： ． 19. 如图，在的正方形网格中，点，，，，均是格点（网格线的交点）． （1）从，，三点中随机取一点，选中点的概率为__________． （2）从，，三点中随机取两点，以这两点及点，为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）明确总结果数和符合条件的结果数，再用概率公式计算； （2）先列出所有取点的组合情况，再根据平行四边形的判定条件筛选出符合的组合，最后计算概率． 【小问1详解】 解：∵从，，三点中随机取一点，一共有3种等可能的结果， ∴选中点的概率． 【小问2详解】 画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中符合条件的结果有4种， ∴所画四边形是平行四边形的概率． 20. 如图，这是嘉琪折的纸飞机的外轮廓图，其中点在的延长线上，点在的延长线上，，交的延长线于点，，交的延长线于点，，点和点分别在边和边上，且． （1）求证：． （2）若，，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行得到，再结合和即可证明． （2）由等腰三角形和三角形内角和得到，再根据得到，最后利用三角形的外角性质求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ． 在和中， ． 【小问2详解】 解：， ． ， ， ． 21. 如图1，为的外接圆，． （1）若，求的半径． （2）在（1）的条件下，求的长． （3）如图2，点在上，且，过点作，则直线和的位置关系为__________． 【答案】（1） （2） （3）相切 【解析】 【分析】（1）连接，过点O作于点Q，利用圆周角定理，垂径定理，三角函数求解即可． （2）根据弧长公式求解即可． （3）连接，交于点M，根据垂径定理，切线的判定解答即可． 【小问1详解】 解：连接，过点O作于点Q， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为，， 所以， 所以； 【小问2详解】 解：根据题意，得； 【小问3详解】 解：直线和的位置关系为相切．理由如下： 连接，交于点M， 因为点在上，且， 所以于点M， 因为， 所以， 所以直线是的切线； 22. 实践小组利用一个密闭容器研究水面高度与注水和放水时间的关系，容器有一个开放量固定的注水开关和一个可调节开放量的放水开关，容器中初始水面高度为．实验第一阶段只打开注水开关，注水时水面高度为，注水时接着打开放水开关，并持续，最后只打开放水开关并把开关调整至放水量最大，记录水面高度（单位：）与实验时间（单位：）的函数图象如图所示，其中轴，段图象的函数表达式为． （1）求段的函数表达式．（不用写出自变量取值范围） （2）实践小组成员嘉嘉记录如下：“当实验时间为时，容器中的水全部放完”．请通过计算，判断嘉嘉的记录是否正确？ （3）段的每分钟放水量为段每分钟放水量的__________． 【答案】（1） （2）嘉嘉记录的不正确 （3） 【解析】 【分析】（1）设出解析式，待定系数法求出解析式即可； （2）求出点坐标，进而求出点坐标，代入解析式即可得出结果； （3）根据图象可知，段水位不增不降，得到段的注水速度和放水速度一样，即每分钟放水，由段得函数解析式得到段每分钟放水量为，即可得出结果. 【小问1详解】 解：设段的函数表达式为． 将点代入上式，得 解得 段的函数表达式为． 【小问2详解】 解：将代入中，得． 轴， ∴点的坐标为． 将点代入，得，解得， 段的函数表达式为． 令，则，解得， ∴嘉嘉记录的不正确． 【小问3详解】 解：由（1）可知，每分钟注水， 由图象可知，段水位不增不降， 故段的注水速度和放水速度一样，即每分钟放水， ∵段图象的函数表达式为． 故段每分钟放水量为， 故段的每分钟放水量为段每分钟放水量的． 23. 【实践情境】在数学综合与实践课上，王老师发给每个小组一块表面平整的矩形木板、有一个内角为的直角三角板（说明：仅能作，，的角）、一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）、一个圆规、三支木工笔、小刀和橡皮． 【实践任务】仅利用提供的工具作出木板长边的三等分点． 【小组设计】下面是各小组展示完成实践任务的操作步骤． 甲组：如图1，①利用直角三角板的直角和圆规，以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，过点作于点；②连接，，交于点，利用直角三角板的直角过点作于点，并延长，交于点． 乙组：如图2，连接，在射线上利用圆规作相等的线段，和，连接…… 丙组：如图3，只利用直角三角板便可完成作图，①分别以点A，B为顶点，为底边作角的等腰；②…… 【问题探究】根据上述内容，完成下列探究问题． （1）如图1，求证：为的中点． （2）如图1，求证：． （3）根据乙组的思路在图2中补全图形，边的三等分点从左至右分别为点，．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （4）根据丙组的思路在图3中补全图形，求作一点，使得，请写明作图过程，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据作图得到，三线合一得到，即可； （2）证明，得到，证明，得到，进而推出，即可； （3）利用尺规作，即可； （4）利用角过点作于点，交于点，则点即为所求，根据含30度角的直角三角形的性质，结合等角对等边得到，即可． 【小问1详解】 证明：如图1，连接． 由作图可知，， ， 为的中点． 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ，，． ， ∴， ． ， ， ∴四边形是矩形， ． ， ∴， ， ， ，即． 【小问3详解】 解：如图2，点即为所求． 【小问4详解】 解：如图3，利用角过点作于点，交于点，则点即为所求． 理由：， ． ， ， ． 中，， ∴， ， ． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，B两点，交轴于点，，点在抛物线上，且点的横坐标，连接，交轴于点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）设的面积为，求与之间的函数关系式． （3）如图2，过点作于点，过点作轴，交的延长线于点，延长，交抛物线于点，交直线于点，过点作，交抛物线于点，连接，交于点，，点在的延长线上，连接，．若，请直接写出的面积的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式，确定的坐标为，，继而得到点的坐标为，代入解析式求解即可． （2）过点作轴于点M，故，，根据，得到，利用比例求解即可； （3）利用待定系数法，三角函数的应用，三角形外角性质等解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于点， ∴点的坐标为， ， ， ∴点的坐标为． 将点代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：在中，令， 则， 解得， ∴点的坐标为． ∴． ∵点在抛物线上， ∴点的坐标为． 过点作轴于点M， 故，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故， ， ． 【小问3详解】 解：解：设D的横坐标为t，则，且， 根据题意，得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故， ， 根据题意，得， 解得（与点C重合，舍去）或， 故， 设直线的表达式为， 将代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：， 令，得， 解得， 故点， ，， ， 即， 作线段的垂直平分线，交于点R，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理，得， 解得，负的舍去， 故． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省初中学业水平考试第二次模拟调研 九年级数学 注意事项： 1．共有三个大题，24个小题，满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，相反数比本身大的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 2. 下列数中，不满足不等式的的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 一个等边三角形的对称轴共有(　　) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 6条 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正方形与平行四边形的一边重合．若平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 2026年，中国“嫦娥九号”月球南极采样返回任务取得圆满成功，科学家在样品中发现了一种新型矿物，其晶体尺寸仅为0.00000003米．数据“0.00000003”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，2026年为丙午马年，央视2026马年春晚主标识由四匹拾级而上的骏马组成，象征国人齐头并进、稳步登高．从数学角度看，四匹马之间的图形变换关系为（ ） A. 中心对称 B. 位似 C. 平移 D. 旋转 8. 如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点（ ） A. B. C. D. 9. 在2，6，，6这一组数中，平均数、中位数、众数至少有两项相等，下列两位同学给出的的值合适的是（ ） 嘉嘉：的值可以为2． 淇淇：的值可以为6． A. 只有嘉嘉 B. 只有淇淇 C. 两人都不合适 D. 两人都合适 10. 已知a，b，c均为正数，且满足，则下列关系式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 嘉嘉用硬卡纸做了一个骰子，六个面上分别标有六个数字，投掷两次，结果如图所示．从第二次投掷结果开始将骰子向右滚动，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，……，按照这样的规律，经过103次滚动后，朝下一面的数字为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 已知二次函数．若，点，在该二次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算的结果为________． 14. 若为正整数，且满足，则数轴上表示的数的点为______．（填字母） 15. 如图，甲、乙二人分别从地前往地，若A，B两地之间的距离为7千米，甲行走的路线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 16. 如图，在中，，点在轴上，点在轴上，轴，平分，交于点，反比例函数的图象经过点，与交于点，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 嘉嘉利用“”形格玩填数字游戏．如图，这是嘉嘉所填数字的情况． （1）求图中所有数的和． （2）若横行的三个数的和与竖行的三个数的和相等，求的值． 18. 淇淇和老师玩计算游戏，规定给出实数数对时，根据公式来计算．例如：给出实数数对时，计算结果为． （1）老师给出实数数对，淇淇计算如下： ……第一步 ……第二步 ．……第三步 淇淇上述计算过程中，第__________步开始出错，正确结果为__________． （2）若实数数对为，请根据公式计算出对应的结果． 19. 如图，在的正方形网格中，点，，，，均是格点（网格线的交点）． （1）从，，三点中随机取一点，选中点的概率为__________． （2）从，，三点中随机取两点，以这两点及点，为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率． 20. 如图，这是嘉琪折的纸飞机的外轮廓图，其中点在的延长线上，点在的延长线上，，交的延长线于点，，交的延长线于点，，点和点分别在边和边上，且． （1）求证：． （2）若，，，求的度数． 21. 如图1，为的外接圆，． （1）若，求的半径． （2）在（1）的条件下，求的长． （3）如图2，点在上，且，过点作，则直线和的位置关系为__________． 22. 实践小组利用一个密闭容器研究水面高度与注水和放水时间的关系，容器有一个开放量固定的注水开关和一个可调节开放量的放水开关，容器中初始水面高度为．实验第一阶段只打开注水开关，注水时水面高度为，注水时接着打开放水开关，并持续，最后只打开放水开关并把开关调整至放水量最大，记录水面高度（单位：）与实验时间（单位：）的函数图象如图所示，其中轴，段图象的函数表达式为． （1）求段的函数表达式．（不用写出自变量取值范围） （2）实践小组成员嘉嘉记录如下：“当实验时间为时，容器中的水全部放完”．请通过计算，判断嘉嘉的记录是否正确？ （3）段的每分钟放水量为段每分钟放水量的__________． 23. 【实践情境】在数学综合与实践课上，王老师发给每个小组一块表面平整的矩形木板、有一个内角为的直角三角板（说明：仅能作，，的角）、一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）、一个圆规、三支木工笔、小刀和橡皮． 【实践任务】仅利用提供的工具作出木板长边的三等分点． 【小组设计】下面是各小组展示完成实践任务的操作步骤． 甲组：如图1，①利用直角三角板的直角和圆规，以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，过点作于点；②连接，，交于点，利用直角三角板的直角过点作于点，并延长，交于点． 乙组：如图2，连接，在射线上利用圆规作相等的线段，和，连接…… 丙组：如图3，只利用直角三角板便可完成作图，①分别以点A，B为顶点，为底边作角的等腰；②…… 【问题探究】根据上述内容，完成下列探究问题． （1）如图1，求证：为的中点． （2）如图1，求证：． （3）根据乙组的思路在图2中补全图形，边的三等分点从左至右分别为点，．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （4）根据丙组的思路在图3中补全图形，求作一点，使得，请写明作图过程，并说明理由． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，B两点，交轴于点，，点在抛物线上，且点的横坐标，连接，交轴于点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）设的面积为，求与之间的函数关系式． （3）如图2，过点作于点，过点作轴，交的延长线于点，延长，交抛物线于点，交直线于点，过点作，交抛物线于点，连接，交于点，，点在的延长线上，连接，．若，请直接写出的面积的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $